Post on 24-Feb-2018
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
1/52
CONJUNTOS NUMERICOSEstn formados por:
Nmeros Enteros.
El conjunto de los nmeros enteros est Formado por los naturales,sus opuestos (negativos) y el cero. Se representan mediante la letra Z.
Z= {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
2/52
Operaciones con nmeros enteros
Suma de nmeros enteros
1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valoresabsolutos y al resultado se le pone el signo comn.
3 + 5 = 8
(3) + (5) = 8
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
3/52
2. Propiedades de la suma.
1. Interna:
a + b E a Z
3 + (5) E a Z2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + ( 5) = 2 + [3 + ( 5)]
5 5 = 2 + ( 2)
0 = 0
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
4/52
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + ( 5) = ( 5) + 2
3 = 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
(5) + 0 = 5
5. Elemento opuestoa + (-a) = 0
5 + (5) = 0
(5) = 5
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
5/52
Resta de nmeros enterosLadiferenciade losnmeros
enterosse obtiene sumandoal minuendo el opuesto del sustraendo.
a - b = a + (-b)
7 5 = 27 (5) = 7 + 5 = 12
Propiedades de la resta de nmerosenteros1.Interna:a b E a Z10 (5) E a Z
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
6/52
2. No es Conmutativa:
a - b b - a
5 2 2 5
Multiplicacin de nmeros enterosRegla de los signos
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
7/52
Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros.
1. Asociativa:
(a b) c = a (b c)
(2 3) (5) = 2 [(3 (5)]6 (5) = 2 (15)
-30 = -30
2. Conmutativa:
a b = b a
2 (5) = (5) 2
-10 = -10
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
8/52
3. Distributiva:a (b + c) = a b + a c(2) (3 + 5) = (2) 3 + (2) 5(2) 8 =- 6 + (- 10)
-16 = -166. Sacar factor comn:a b + a c = a (b + c)
(2) 3 + (2) 5 = (2) (3 + 5)
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
9/52
Divisin de nmeros enteros
Propiedades de la divisin de nmeros enteros
2. No es Conmutativo:
a : b b : a6 : (2) (2) : 6
Potencia de nmeros enteros
La potencia de exponente natural de un nmero entero esotro nmero entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la
potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicacin de lassiguientes reglas:
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
10/52
1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de labase.
Propiedades.a0= 1
a1= a
am an= am+n
(2)5(2)2= (2)5+2= (2)7= 128
am: an= am - n
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
11/52
(2)5: (2)2= (2)5 - 2= (2)3= 8
(am)n= am n
[(2)3]2= (2)6= 64
an bn= (a b)n
(2)3 (3)3= (6)3= 216
an: bn= (a : b)n
(6)3: 33= (2)3= 8
Potencias de exponente entero negativo
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
12/52
Raz cuadrada de un nmero entero
Las races cuadradas de nmeros enteros tienen dos signos: positivo ynegativo.
El radicando es siempre un nmero positivo o igual a cero, ya que setrata del cuadrado nmero.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
13/52
Operaciones combinadas con nmeros enteros
Prioridades en las operaciones.
1.Efectuar las operacionesentre parntesis, corchetes y
llaves..2.Calcular las potencias yraces.
3.Efectuarlos productos y cocientes.
4.Realizarlassumasyrestas.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
14/52
CONJUNTO DE NMEROS
RACIONALESSe llama nmero racional a todo nmero que puede representarsecomo el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.Se representa por Q.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
15/52
OPERACIONES CON NMEROSRACIONALESSUMA Y RESTA DE NMEROS RACIONALESCon el mismo denominador.
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene eldenominador.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
16/52
Con distinto denominador
En primer lugar sereducen los denominadores a comn denominador
, y se suman o se restan los numeradores de las fraccionesequivalentes obtenidas.
http://www.vitutor.com/numeros/racionales/r4.htmlhttp://www.vitutor.com/numeros/racionales/r4.html7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
17/52
Propiedades de la suma de nmeros racionales
1. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
18/52
2. Conmutativa:
a + b = b + a
3. Elemento neutro:
a + 0 = a
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
19/52
4. Elemento opuesto
a + (a) = 0
El opuesto del opuesto de un nmero es igual al mismo nmero.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
20/52
Multiplicacin de nmeros racionales
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
21/52
Propiedades de la multiplicacin de nmeros racionales
1. Asociativa:
(a b) c = a (b c)
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
22/52
2. Conmutativa:
a b = b a
3. Elemento neutro:
a 1 = a
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
23/52
4. Elemento inverso:
5. Distributiva:
a (b + c) = a b + a c
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
24/52
6. Sacar factor comn:
a b + a c = a (b + c)
Divisin de nmeros racionales
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
25/52
Potencias de nmeros racionales
Potencias de exponente entero y base racional
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
26/52
Propiedades
3. Producto de potencias con la misma base
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
27/52
4. Divisin de potencias con la misma base:
5. Potencia de una potencia
6. Producto de potencias con el mismo exponente:
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
28/52
7. Cociente de potencias con el mismo exponente:
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
29/52
NMEROS REALESFormado por los racionales e irracionales, se designa por la letra R.Con los nmeros reales podemos realizar todas las operaciones,excepto la radicacin de ndice par y radicando negativo, y ladivisin por cero.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
30/52
OPERACIONES CON NMEROSREALES
SUMA DE NMEROS REALESPropiedade.1.Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no vara el resultado.
(a + b) + c = a + (b + c)
2.Conmutativa:
El orden de los sumandos no vara la suma.
a + b = b + a
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
31/52
Multiplicacin nmeros reales
Propiedades.
1.Asociativa:
El modo de agrupar los factores no vara el resultado. Si a, b y c sonnmeros reales cualesquiera, se cumple que:
(a b) c = a (b c).
2.Conmutativa:
El orden de los factores no vara el producto.a b = b a
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
32/52
3.Distributiva:
El producto de un nmero por una suma es igual a la suma de losproductos de dicho nmero por cada uno de los sumandos.
a (b + c) = a b + a c4.Sacar factor comn:
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor comn, podemos transformarla suma en producto extrayendo dicho factor.
a b + a c = a (b + c)
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
33/52
RAZN
Razn es el cociente entre dosnmeros o dos cantidadescomparables entre s, expresado
como fraccin.Los trminos de una razn sellaman: antecedente yconsecuente. El antecedente es eldividendo y el consecuente es eldivisor.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
34/52
Diferencia entre razn y fraccin.
La razn en los lados de unrectngulo de 5 cm de altura y 10 cmde base es:No hay que confundir razn confraccin.Si es una fraccin, entonces a y bson nmeros enteros con b0,
mientras que en la razn losnmeros a y b pueden ser decimales.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
35/52
Proporcin
Una proporcin es una igualdad entre dos razones.
Propiedades de las proporcionesEn una proporcin del producto de los medios es igual al productode los extremos.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
36/52
En una proporcin o en una serie de razones iguales, la suma delos antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes esigual a una cualquiera de las razones.
Si en una proporcin cambian entre s los medios o extremos laproporcin no vara.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
37/52
Cuarto proporcional
Es uno cualquiera de los trminosde una proporcin.Para calcularlo se divide por el
opuesto, el producto de los otrosdos trminos.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
38/52
Medio proporcionalUna proporcin es continua sitiene los dos medios iguales.Para calcular el medio
proporcional de unaproporcin continua se extraela raz cuadrada del producto
de los extremos.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
39/52
Tercero proporcionalEn una proporcin continua, sedenomina tercero proporcional acada uno de los trminos desiguales.Un tercero proporcional es igual al
cuadrado de los trminos iguales,dividido por el trmino desigual.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
40/52
Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de lascantidades es 100.
Ejemplos
Una moto cuyo precio era de 5.000 , cuesta en la actualidad 250 ms. Cul es el porcentaje de aumento?5000 250
100 x
El 5%.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
41/52
Tambin se puede calcular directamente del siguiente modo:
100 92.5 8800 x
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
42/52
El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Cunto hay quepagar por l si el IVA es del 16%?
100 116
1200 x
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
43/52
REGLA DE TRES DIRECTAConsiste en que dadas dos cantidades correspondientes amagnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad deuna de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada dela otra magnitud.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
44/52
La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre lasmagnitudes se establecen las relaciones:
A ms ms.
A menos menos.Ejemplos:
Un automvil recorre 240 km en 3 horas. Cuntos kilmetroshabr recorrido en 2 horas?
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a
menos horas recorrer menos kilmetros.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
45/52
240 km 3 h
x km 2 h
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
46/52
REGLA DE TRES COMPUESTA
La regla de tres compuesta seemplea cuando se relacionan tres oms magnitudes, de modo que a
partir de las relaciones establecidasentre las magnitudes conocidasobtenemos la desconocida.
Una regla de tres compuesta secompone de varias reglas de tressimples aplicadas sucesivamente.
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
47/52
Como entre las magnitudes se pueden establecer relacionesde proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir trescasos de regla de tres compuesta:
Regla de tres compuesta directa
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
48/52
Ejemplo:
Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias hanconsumido una cantidad de agua por valor de 20 .
Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos12 horas durante los mismos das.A ms grifos, ms euros Directa.
A ms horas, ms euros Directa.
9 grifos 10 horas 20
15 grifos 12 horas x
R ld i
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
49/52
Regla de tres compuesta inversa
Ejemplo
5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un
muro en 2 das. Cunto tardarn 4 obreros trabajando 7 horasdiarias?
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
50/52
A menos obreros, ms das Inversa.
A ms horas, menos das Inversa.
5 obreros 6 horas 2 das4 obreros 7 horas x das
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
51/52
Regla de tres compuesta mixta
Ejemplo.
Si 8 obreros realizan en 9 das trabajando a razn de 6 horas porda un muro de 30 m. Cuntos das necesitarn 10 obreros
trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro quefaltan?
7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO
52/52
A ms obreros, menos das Inversa.
A ms horas, menos das Inversa.
A ms metros, ms das Directa.
8 obreros 9 das 6 horas 30 m
10 obreros x das 8 horas 50 m