Logica borrosa´ Sistemas borrososinfofich.unl.edu.ar/upload/1eadcb128bcfc727a887c24... ·...

Logica borrosaSistemas borrosos

Diego Milone

Inteligencia ComputacionalDepartamento de Informatica

FICH-UNL

Introduccion Operaciones Caracterizacion

Organizacion

IntroduccionMotivacionConjuntos borrosos y binariosEjemplos

Operaciones basicasOperaciones elementalesDistancias borrosas

Caracterizacion de los conjuntos borrososEl conjunto borroso medioEntropıas borrosasTeoremas de entropıa y subconjuntos

Introduccion

Pensamiento borroso... difuso? probabilıstico?

Introduccion

Reglas linguısticas

Introduccion

if-then borroso?

Introduccion

if-then borroso?si la temperatura es ALTAentonces activar el acondicionador a nivel MEDIO

Introduccion

if-then borroso?

Incerteza vs. aleatoriedad:

Introduccion

if-then borroso?

Uno vs. muchos objetos o eventos

Introduccion

if-then borroso?

Uno vs. muchos objetos o eventos

En un objeto que se acerca desde lejos tenemos incerteza o aleatoriedad?

En el numero que saldra al tirar los datos tenemos incerteza o aleatoriedad?

Conjuntos binarios

Conjuntos borrosos

Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)

• Velocidades (caso discreto)

tx ∈ F → 1,0 tx ∈ F → 0,8tx ∈ C→ 1,0 tx ∈ C→ 0,2

µL = 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 µL = 1 1 1 0,6 0,3 0 0 0 0 0 0µM = 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 µM = 0 0 0 0,3 0,6 1 1 0,6 0,3 0 0µR = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 µR = 0 0 0 0 0 0 0 0,3 0,6 1 1

Conjuntos borrosos

Simplificacion a conjuntos de 2 elementos (R2):

• Conjuntos binarios P = (0; 1)y Q = (1; 0)

• Conjutnos universo X = (1; 1)y vacıo Φ = (0; 0)

Conjuntos borrosos

Simplificacion a conjuntos de 2 elementos (R2):Vertices de un cuadrado

Conjuntos borrosos

Funciones de membresıa o pertenencia:• Conjuntos binarios: µA : x→ {0, 1}• Conjutnos borrosos: µA : x→ [0, 1]

Organizacion

Subconjunto borrosoSea E un conjunto enumerable y x un elemento de E. Unsubconjunto borroso A de E es un conjunto de paresordenados:

A = {(xi, µA(xi))}; xi ∈ E

donde µA(xi) es el grado de membresıa de x en A.

Operaciones binariasConjunto binario incluido:

Operaciones borrosas elementalesInclusion: A ⊂ B⇔ µA(x) ≤ µB(x) ∀x

Igualdad: A = B⇔ µA(x) = µB(x) ∀x

Complemento: B = Ac ⇔ µB(x) = 1− µA(x) ∀x

Interseccion: A ∩ B⇒ µA∩B(x) = mın {µA(x), µB(x)} ∀x

Union: A ∪ B⇒ µA∪B(x) = max {µA(x), µB(x)} ∀x

Operaciones borrosas elementales

Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc

)∪(Ac ∩ B

)Diferencia: A− B = A ∩ Bc

)∪(Ac ∩ B

Medidas de distancia entre conjuntos borrososDistancia de Hamming: d(A, B) =

n∑i=1|µA(xi)− µB(xi)|

Distancia de Hamming relativa: δ(A, B) =d(A, B)

Medidas de distancia entre conjuntos borrososDistancia de Hamming: d(A, B) =

n∑i=1|µA(xi)− µB(xi)|

Distancia de Hamming relativa: δ(A, B) =d(A, B)

Distancia euclıdea: e(A, B) =

√n∑

i=1|µA(xi)− µB(xi)|2

Distancia euclıdea relativa: ε(A, B) =e(A, B)√

Organizacion

Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}

1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R

2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]

Conjunto convexo:

Conjunto convexo:1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}

∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R

∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]

¿A es convexo?

Conjunto normal: max {µA(x)} = 1

Tamano de un conjunto borroso: |A| =n∑

i=1µA(xi)

(relacion con los conjuntos binarios...)

Otras propiedades curiosas

A ∪ Ac =? X

A ∩ Ac =? Φ

Ejemplo:A = (0,2; 0,8)

Ac = (0,8; 0,2)

A ∪ Ac =? A ∩ Ac =?

A ∪ Ac =? X

A ∩ Ac =? Φ

Ejemplo:A = (0,2; 0,8)

Ac = (0,8; 0,2)

A ∪ Ac =? A ∩ Ac =?

A ∪ Ac =? X

A ∩ Ac =? Φ

Ejemplo:A = (0,2; 0,8)

Ac = (0,8; 0,2)

A ∪ Ac =? A ∩ Ac =?

A ∪ Ac =? X

A ∩ Ac =? Φ

Ejemplo:A = (0,2; 0,8)

Ac = (0,8; 0,2)

A ∪ Ac =? A ∩ Ac =?

El conjunto borroso medio

M/µM(x) =12∀x ∈ E

M = M ∩ Mc = M ∪ Mc = Mc

M/µM(x) =12∀x ∈ E

M = M ∩ Mc = M ∪ Mc = Mc

¿M es el conjunto mas borroso?P

M/µM(x) =12∀x ∈ E

M = M ∩ Mc = M ∪ Mc = Mc

¿M es el conjunto mas borroso?P

¿Como medimos la borrosidad?

Entropıa borrosa

S(A) =d(A, In

d(A, Inmax)

Entropıa borrosa

S(A) =d(A, In

d(A, Inmax)

In = {0, 1}n

Inmin = In

j∗ ⇔ d(A, Inj∗) < d(A, In

j ) ∀j 6= j∗

Inmax = In

i∗ ⇔ d(A, Ini∗) > d(A, In

i ) ∀i 6= i∗

Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13

S(M) =?

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13

S(M) = 1,0

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13

S(M) = 1,0S(In) =?

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13

S(M) = 1,0S(In) = 0,0

Teorema de la entropıa borrosa

S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

AcA ∩ Ac

S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?

ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

Ejemplos:

• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)