Liacutemite de funciones Caacutelculo

Propiedades

Sean dos funciones f(x) y g(x) para las que existe liacutemite en un punto o en el infinito

Entonces

En general calcular el liacutemite de una funcioacuten normal cuando x tiende a un nuacutemero

real es faacutecil basta aplicar las reglas de caacutelculo indicadas sustituyendo la variable

independiente por el valor real al que la x tiende

No obstante en ocasiones nos podemos encontrar con sorpresas por ejemplo que la

funcioacuten no esteacute definida para el valor en el que queremos calcular el liacutemite Esta

situacioacuten es habitual cuando el liacutemite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito

Una funcioacuten no estaacute definida en un punto siempre que al intentar calcularla en ese

punto resulte alguna de las formas siguientes

En cada caso el liacutemite en el punto en que la funcioacuten no estaacute determinada dependeraacute de

los valores que la funcioacuten tome en las proximidades de dicho punto

Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones Los meacutetodos que se indican

sirven de guiacutea en casos parecidos

La funcioacuten no estaacute determinada para x = 1 la razoacuten es que el denominador se hace 0

Este tipo de indeterminaciones ocurre cuando en el numerador y el denominador de la

funcioacuten existe alguacuten factor que se hace 0 este factor suele ser del tipo x - valor para

el que queremos calcular el liacutemite Si logramos eliminar este factor del numerador y

del denominador se obtiene otra funcioacuten que toma los mismos valores en todos los

puntos que no sean el punto en cuestioacuten

En este caso concreto el punto es x = 1

La nueva funcioacuten permite obtener los valores en las proximidades del punto de la

indeterminacioacuten que son los que permiten calcular el liacutemite En el caso concreto que

nos ocupa seriacutea

Cuando x crece indefinidamente esta funcioacuten es un cociente de dos cantidades que

crecen indefinidamente Se puede plantear la duda de que si al crecer x

indefinidamente tambieacuten lo haraacute

puesto que seriacutea la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente que es una

indeterminacioacuten Sacando factor comuacuten se transforma esta expresioacuten en otra

equivalente

que crece indefinidamente puesto que una cantidad que crece indefinidamente sigue

creciendo indefinidamente aunque le restemos una cantidad constante y el producto de

dos cantidades que crecen indefinidamente tambieacuten crece indefinidamente Lo mismo

ocurre con el denominador

Como al dividir numerador y denominador por una misma cantidad distinta de 0 el

valor de la fraccioacuten no cambia sigue que

Esta propiedad nos permite resolver este tipo de indeterminaciones Se divide

numerador y denominador por x elevado al mayor de los expontentes con los que

aparece en la funcioacuten

Hay un caso trivial que ya hemos visto sea

Es la diferencia de dos cantidades que crecen indefinidamente pero como

Y a una cantidad que crece indefinidamente le quitamos una cantidad constante y sigue

creciendo indefinidamente y el producto de dos cantidades que crece indefinidamente

crece indefinidamente estaacute claro que

Veamos ahora otra indeterminacioacuten de este tipo pero algo maacutes complicada

Como en este caso no se puede sacar factor comuacuten para eliminar la indeterminacioacuten

multiplicamos y dividimos la expresioacuten por su conjugado

El conjugado de una expresioacuten que es la diferencia de dos cantidades que crecen

indefinidamente es otra igual excepto que en lugar de una diferencia es una suma de

dos cantidades que crecen indefinidamente En este caso seraacute

Aparece este tipo de indeterminacioacuten cuando aparecen dos funciones tales que

caacutelculo de liacutemites

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 En los puntos x = -1

y x =1

En x = -1 los l iacutemites laterales son

Por la izquierda

Por la derecha

Como en ambos casos coinciden existe e l l iacutemite y

vale 1

En x = 1 los l iacutemites laterales son

Por la izquierda

Por la derecha

Como no coinciden los l iacutemites laterales no tiene

liacutemite en x = 1

5

6

7

Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos

inf in ito

1

2

3

No existe el liacutemite porque el radicando toma

valores negativos

4

Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales

1

2

3

4

5

Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas

1

2

3

4

5

Calcular por comparacioacuten de inf in itos los

siguientes l iacutemites

1

El numerador t iene mayor grado que el

denominador

2

El denominador t iene mayor grado que el

numerador

3

Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente

entre los coefic ientes de mayor grado

4

5

6

7

8

9

10

11

12

El numerador es un inf in ito de orden superior

13

El denominador es un inf in ito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

En x = 1 los l iacutemites laterales son

Por la izquierda

Por la derecha

Como no coinciden los l iacutemites laterales no tiene

liacutemite en x = 1

5

6

7

Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos

inf in ito

1

2

3

No existe el liacutemite porque el radicando toma

valores negativos

4

Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales

1

2

3

4

5

Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas

1

2

3

4

5

Calcular por comparacioacuten de inf in itos los

siguientes l iacutemites

1

El numerador t iene mayor grado que el

denominador

2

El denominador t iene mayor grado que el

numerador

3

Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente

entre los coefic ientes de mayor grado

4

5

6

7

8

9

10

11

12

El numerador es un inf in ito de orden superior

13

El denominador es un inf in ito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Calcular los l iacutemites cuando x t iende a menos

inf in ito

1

2

3

No existe el liacutemite porque el radicando toma

valores negativos

4

Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales

1

2

3

4

5

Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas

1

2

3

4

5

Calcular por comparacioacuten de inf in itos los

siguientes l iacutemites

1

El numerador t iene mayor grado que el

denominador

2

El denominador t iene mayor grado que el

numerador

3

Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente

entre los coefic ientes de mayor grado

4

5

6

7

8

9

10

11

12

El numerador es un inf in ito de orden superior

13

El denominador es un inf in ito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Calcular los l iacutemites de funciones exponenciales

1

2

3

4

5

Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas

1

2

3

4

5

Calcular por comparacioacuten de inf in itos los

siguientes l iacutemites

1

El numerador t iene mayor grado que el

denominador

2

El denominador t iene mayor grado que el

numerador

3

Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente

entre los coefic ientes de mayor grado

4

5

6

7

8

9

10

11

12

El numerador es un inf in ito de orden superior

13

El denominador es un inf in ito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Calcular los l iacutemites de funciones logariacutetmicas

1

2

3

4

5

Calcular por comparacioacuten de inf in itos los

siguientes l iacutemites

1

El numerador t iene mayor grado que el

denominador

2

El denominador t iene mayor grado que el

numerador

3

Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente

entre los coefic ientes de mayor grado

4

5

6

7

8

9

10

11

12

El numerador es un inf in ito de orden superior

13

El denominador es un inf in ito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Calcular por comparacioacuten de inf in itos los

siguientes l iacutemites

1

El numerador t iene mayor grado que el

denominador

2

El denominador t iene mayor grado que el

numerador

3

Al tener el mismo grado el l iacutemite es el cociente

entre los coefic ientes de mayor grado

4

5

6

7

8

9

10

11

12

El numerador es un inf in ito de orden superior

13

El denominador es un inf in ito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

5

6

7

8

9

10

11

12

El numerador es un inf in ito de orden superior

13

El denominador es un inf in ito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

9

10

11

12

El numerador es un inf in ito de orden superior

13

El denominador es un inf in ito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

El denominador es un inf in ito de orden superior

14

15

16

17

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Hallar los siguientes l iacutemites

1

Como no coinciden los liacutemites laterales la

funcioacuten no tiene liacutemite cuando x -1

2

3

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

4

Calcular los l iacutemites

1

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

2

3

4

5

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Al elevar e l binomio del numerador al cuadrado

obtenemos x4 y por tanto el grado del numerador es

mayor que el grado del denominador

6

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Hallar los l iacutemites

1

2

3

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

4

5

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Hallar los s iguientes l iacutemites

1

2

3

4

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

No tiene l iacutemite en x = -1

5

6

7

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Calcular los siguientes l iacutemites

1

2

3

El denominador es un inf in ito de orden superior

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Calcular

1

2

3

4

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

5

6

7

8

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

Hallar los siguientes l iacutemites

1

2

3

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

4 Resolver por dos meacutetodos

1e r Meacutetodo

2ordm Meacutetodo

2ordm Meacutetodo