LA TEORÍA DE GRAFOS SE APLICA EN CAMPOS TAN DIVERSOS COMO LAS CIENCIAS SOCIALES, LINGÜÍSTICA, CIENCIAS FÍSICAS, INGENIERÍA DE LA COMUNICACIÓN, ETC. DESEMPEÑA UN PAPEL IMPORTANTE EN LA CIENCIAS DE LA CONMUTACIÓN, CONMUTACIÓN Y DISEÑO LÓGICO, INTELIGENCIA ARTIFICIAL, LENGUAJES FORMALES, GRÁFICOS POR COMPUTADORA, SISTEMAS OPERATIVOS, ESCRITURA DE COMPILADORES Y ORGANIZACIÓN Y RECUPERACIÓN DE INFORMACIÓN. SE USAN PARA MODELAR PROBLEMAS.

LAS APLICACIONES MÁS IMPORTANTES DE LOS GRAFOS SON LAS SIGUIENTES:

· RUTAS ENTRE CIUDADES.· DETERMINAR TIEMPOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN UN PROCESO. · FLUJO Y CONTROL EN UN PROGRAMA.

LA ISLA KUEIPHOF EN KOENIGSBERG (POMERANIA) EL RÍO QUE LA RODEA SE DIVIDE EN DOS BRAZOS.SOBRE LOS BRAZOS ESTABAN CONSTRUIDOS SIETE PUENTES Y PARA LOS HABITANTES ERA MOTIVO DE DISTRACCIÓN DESCUBRIR UN CAMINO DE MANERA QUE PUDIERAN REGRESAR AL PUNTO DE PARTIDA, DESPUÉS DE HABER CRUZADO POR LOS SIETE PUENTES PERO PASANDO SÓLO UNA VEZ POR CADA UNO DE ELLOS. LEONARDO EULER ESTUDIÓ EL ASUNTO, REPRESENTÓ LAS DISTINTAS ZONAS A, B, C Y D POR MEDIO DE PUNTOS, MIENTRAS QUE LOS PUENTES ESTABAN REPRESENTADOS POR LÍNEAS QUE UNÍAN ESTOS PUNTOS. A LA FIGURA LA LLAMÓ GRAFO, A LOS PUNTOS LOS LLAMÓ VÉRTICES Y A LAS LÍNEAS LAS DENOMINÓ ARISTAS. 

EULER ESTUDIÓ SI UNA FIGURA LINEAL SE PODÍA DIBUJAR CON UN SOLO TRAZO, SIN LEVANTAR EL LÁPIZ DEL PAPEL Y SIN PASAR DOS VECES POR EL MISMO SITIO. LLEGÓ A LA SIGUIENTE CONCLUSIÓN:

1. ES IMPOSIBLE SI HAY MÁS DE DOS VÉRTICES IMPARES.2. ES POSIBLE CUANDO:

A) TODOS LOS VÉRTICES SON PARES Y EL PUNTO DE PARTIDA PUEDE SER CUALQUIERA.

B) CUANDO NO HAY MÁS DE DOS VÉRTICES IMPARES Y EN ESTE CASO EL COMIENZO DEL RECORRIDO COMIENZA EN UNO DE ELLOS Y TERMINA EN EL OTRO.

UN GRAFO ES UN ESPACIO TOPOLÓGICO QUE SE ARMA A PARTIR DE UN CONJUNTO DISCRETO DE PUNTOS (LLAMADOS VÉRTICES), PEGANDO (ADJUNTANDO) COPIAS DEL INTERVALO UNITARIO REAL I (QUE FORMARAN LAS ARISTAS DEL GRAFO).

LOS VÉRTICES SE DENOMINAN TAMBIÉN NODOS O PUNTOS. LOS VÉRTICE DE UN GRAFO PUEDEN USARSE PARA REPRESENTAR OBJETOS. LOS ARCOS SE UTILIZAN PARA REPRESENTAR RELACIONES ENTRE ESTOS OBJETOS.

SI TENEMOS UN PAR DE VÉRTICES DE UN GRAFO (U, V) Y SI TENEMOS UN ARISTA QUE LOS UNE, ENTONCES U Y V SON VÉRTICES ADYACENTES Y SE DICE QUE U ES EL VÉRTICE INICIAL Y V EL VÉRTICE ADYACENTE.

LOS VÉRTICES A Y B SON ADYACENTES

ES UN VÉRTICE DE GRADO CERO.LOS VÉRTICES QUE LO COMPONEN NO ESTÁN CONECTADOS.

UN ARCO, ES UN PAR ORDENADO DE VÉRTICES (V,E) DONDE V ES EL VÉRTICE INICIAL Y W ES EL VÉRTICE TERMINAL DEL ARCO. UN ARCO SE EXPRESA COMO: V-->E.

COROLARIO. TODO GRAFO TIENE UN NÚMERO PAR DE VÉRTICES DE GRADO IMPAR.

CARDINALIDAD O GRADO.- LA CARDINALIDAD O GRADO DE UN VÉRTICE (V) DE UN GRAFO (G) ES IGUAL AL NÚMERO DE ARISTAS QUE INCIDEN EN EL VERTICE (V) Y SE DESIGNA COMO DEG(V).

UNA ARISTA ES INCIDENTE A UN VÉRTICE SI ÉSTA LO UNE A OTRO VÉRTICE.

EL ARCO A, ES INCIDENTE EN A Y B.

VÉRTICE ADYACENTE.SI TENEMOS UN PAR DE VÉRTICES DE UN GRAFO (U, V) Y SI TENEMOS UN ARISTA QUE LOS UNE, ENTONCES U Y V SON VÉRTICES ADYACENTES Y SE DICE QUE U ES EL VÉRTICE INICIAL Y V EL VÉRTICE ADYACENTE.

UN LAZO O BUCLE ES UNA ARISTA QUE RELACIONA AL MISMO NODO; ES DECIR, UNA ARISTA DONDE EL NODO INICIAL Y EL NODO FINAL COINCIDEN.

UN CICLO ES UN CAMINO, ES DECIR UNA SUCESIÓN DE ARISTAS ADYACENTES, DONDE NO SE RECORRE DOS VECES LA MISMA ARISTA, Y DONDE SE REGRESA AL PUNTO INICIAL. UN CICLO HAMILTONIANO TIENE ADEMÁS QUE RECORRER TODAS LOS VÉRTICES.

SI TENEMOS UN PAR DE ARISTAS DE UN GRAFO (U, V) Y SI TENEMOS UN VÉRTICE QUE LAS UNE, ENTONCES U Y V SON ARISTAS ADYACENTES.

CUANDO EN LOS VERTICES O NODOS HAY MAS DE 1 ARISTA.

EXISTEN DOS TIPOS DE GRAFOS LOS NO DIRIGIDOS Y LOS DIRIGIDOS. NO DIRIGIDOS: SON AQUELLOS EN LOS CUALES LOS LADOS NO ESTÁN ORIENTADOS (NO SON FLECHAS). CADA LADO SE REPRESENTA ENTRE PARÉNTESIS, SEPARANDO SUS VÉRTICES POR COMAS, Y TENIENDO EN CUENTA (VI,VJ)=(VJ,VI). FIGURAS 1 Y 2.

DIRIGIDOS: SON AQUELLOS EN LOS CUALES LOS LADOS ESTÁN ORIENTADOS (FLECHAS). CADA LADO SE REPRESENTA ENTRE ÁNGULOS, SEPARANDO SUS VÉRTICES POR COMAS Y TENIENDO EN CUENTA <VI ,VJ>!=<VJ ,VI>. EN GRAFOS DIRIGIDOS, PARA CADA LADO <A,B>, A, EL CUAL ES EL VÉRTICE ORIGEN, SE CONOCE COMO LA COLA DEL LADO Y B, EL CUAL ES EL VÉRTICE DESTINO, SE CONOCE COMO CABEZA DEL LADO.  FIGURA 3

UN GRAFO SIMPLE G=(V,E) CONSISTE DE V, UN CONJUNTO NO VACÍO DE VÉRTICES, Y E, UN CONJUNTO DE PAREJAS NO ORDENADAS DE ELEMENTOS DISTINTOS DE V LLAMADAS ARISTAS.EJEMPLO:UNA RED DE COMPUTADORES COMUNICADOS POR LÍNEAS TELEFÓNICAS, DONDE HAY MÁXIMA UNA LÍNEA ENTRE UN PAR DE COMPUTADORES, LAS LÍNEAS OPERAN EN AMBOS SENTIDOS Y NO HAY UNA LÍNEA DE UN COMPUTADOR A SI MISMO.

UN GRAFO DIRIGIDO (V,E) CONSISTE DE UN CONJUNTO DE VÉRTICES V Y UN CONJUNTO DE ARISTAS E QUE SON PAREJAS ORDENADAS DE ELEMENTOS DE V.EJEMPLO: UNA RED DE COMPUTADORES COMUNICADOS POR LÍNEAS TELEFÓNICAS, DONDE SE DEFINE LA DIRECCIÓN DE LA COMUNICACIÓN.

SEA G=(V,E) UN GRAFO , UN SUBGRAFO DE G ES CUALQUIER GRAFO H=(V(H),E(H)), DE MODO QUE V(H) ESTÁ CONTENIDO EN V Y E(H) ESTÁ CONTENIDO EN E.UN SUBGRAFO SE OBTIENE ELIMINANDO ALGUNA(S) ARISTA(S) Y/O VÉRTICE(S). SI SE SUPRIME UN VÉRTICE, SE SUPRIMEN TODAS LAS ARISTAS QUE TIENEN POR ORIGEN O FIN DICHO VÉRTICE.

G’ ES UN SUBGRAFO DE G, AL SUPRIMIR EL VÉRTICE X Y LAS ARISTAS QUE LLEGAN A ÉL.

 

UN GRAFO COMPLETO ES UN GRAFO SIMPLE EN EL QUE TODO PAR DE VÉRTICES ESTÁ UNIDO POR UNA ARISTA. (SE REPRESENTA CON KN AL GRAFO COMPLETO DE N VÉRTICES). DICHO DE OTRA MANERA UN GRAFO ES COMPLETO SI CADA VÉRTICE TIENE UN GRADO IGUAL A N-1, DONDE N ES EL NÚMERO DE VÉRTICES QUE COMPONEN EL GRAFO.

UN GRAFO SE DICE QUE ES REGULAR, SI TODOS LOS VÉRTICES TIENEN EL MISMO GRADO.

ES AQUEL CON CUYOS VÉRTICES PUEDEN FORMARSE DOS CONJUNTOS DISJUNTOS DE MODO QUE NO HAYA ADYACENCIAS ENTRE VÉRTICES PERTENECIENTES AL MISMO CONJUNTO.

SE DENOTA KM,N DONDE M, N ES EL GRADO DE CADA CONJUNTO DISJUNTO DE VÉRTICES.

CONSIDEREMOS EL GRAFO RN, QUE LLAMAREMOS GRAFO RUEDA, QUE TIENE N + 1 VÉRTICES. VEMOS INMEDIATAMENTE QUE EL VÉRTICE CENTRAL ES ESPECIAL.

EL GRAFO SIMPLE G1=(V1,E1) Y G2=(V2,E2) SON ISOMORFICOS SI HAY UNA FUNCIÓN (SE DICE DE LAS APLICACIONES DE UN CONJUNTO EN OTRO CUYA CORRESPONDENCIA INVERSA ES TAMBIÉN UNA APLICACIÓN) F DESDE V1 A V2 CON LA PROPIEDAD QUE A Y B SON ADYACENTES EN G1 SI Y SOLO SI F(A) Y F(B) SON ADYACENTES EN G2, PARA TODO A Y B EN V1. TAL FUNCIÓN F ES LLAMADA UN ISOMORFISMO.

EL ALGORITMO DE FLOYD-WARSHALL INTENTA RESOLVER EL PROBLEMA DE ENCONTRAR EL CAMINO MÁS CORTO ENTRE TODOS LOS PARES DE NODOS O VÉRTICES DE UN GRAFO. ESTO ES SIMILAR A CONSTRUIR UNA TABLA CON TODAS LAS DISTANCIAS MÍNIMAS ENTRE POR EJEMPLO PARES DE CIUDADES DE UN MAPA, INDICANDO LA RUTA A SEGUIR PARA IR DE LA PRIMERA CIUDAD A LA SEGUNDA..

VEAMOS UN EJEMPLO DE CÓMO FUNCIONA EL ALGORITMO PARA EL SIGUIENTE GRAFO:

LA MATRIZ DEL GRAFO ES:

ESTA MATRIZ REPRESENTA EL COSTE DE IR DE UN NODO A OTRO DEL GRAFO SIN PASAR POR NODOS INTERMEDIOS. EN CADA ITERACIÓN DEL ALGORITMO SE AÑADE UN NODO A TRAVÉS DEL CUAL SE PUEDEN ESTABLECER CAMINOS PARA IR DE UN NODO A OTRO, ASÍ, AL FINAL DE LA K-ÉSIMA ITERACIÓN, D[I][J] INDICA EL MENOR COSTE DE CUALQUIER CAMINO ENTRE EL NODO I Y EL NODO J QUE PASE POR NODOS CON NÚMERO MENOR O IGUAL QUE K.

UNA MATRIZ DE ADYACENCIA ES AQUELLA QUE MUESTRA DE LA FORMA MAS RUSTICA CÓMO ESTÁ COMPUESTO UN GRAFO, ESTO ES QUE DÓNDE SE COLOQUE UN UNO SE REPRESENTA COMO UNA ARISTA QUE UNA LOS DOS NODOS Y CON CERO DONDE NO HAY UNIÓN.

•ES CUADRADA Y SIMÉTRICA

•LA SUMA DE CADA FILA (O COLUMNA) ES EL GRADO DEL VÉRTICE CORRESPONDIENTE

•LA DIAGONAL ES NULA

UNA MATRIZ QUE ESTÁ COMPUESTA POR UNOS Y CEROS, EN LA QUE SE REPRESENTAN LOS NODOS UNIDOS POR LAS ARISTAS. CADA ARISTA UNE DOS Y NADA MÁS QUE DOS NODOS.EN GENERAL, LAS MATRICES DE INCIDENCIA NO SON USADAS COMPUTACIONALMENTE, PERO SIRVEN COMO AYUDA CONCEPTUAL.

PROPIEDADES:

•NO TIENE POR QUÉ SER NI CUADRADA NI SIMÉTRICA•LA SUMA DE CADA FILA ES EL GRADO DEL VÉRTICE CORRESPONDIENTE•LA SUMA DE CADA COLUMNA VALE 2