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ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

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ECUACIONES FUNDAMENTALES DE UN FLUJO

• ECUACIÓN DE CONTINUIDAD • ECUACIÓN DE LA ENERGÍA • ECUACIÓN CANTIDAD DE MOVIMIENTO • APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍA• RESALTO HIDRÁULICO

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INTRODUCCIÓN Son tres las ecuaciones fundamentales de un flujo:

• ecuación de continuidad (conservación de la masa)• ecuación de la energía (conservación de la energía) • ecuación de la cantidad de movimiento (conservación de la cantidad de movimiento).

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ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

En un flujo permanente,

volumen de control

V2

1

2

V1

mmm &&& == 21

QQQ ⋅=⋅=⋅ ρρρ 2211

222111 SVSVm ⋅⋅=⋅⋅= ρρ&

)( 21 ρρρ ==

2211 SVSVQ ⋅=⋅=

a) para gases,

b) para líquidos

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22

11 zgpzgpE ⋅+=⋅+=

ρρ

22

11 zpzpH +=+=

γγ

Energía de un líquido en reposo

o en metros de columna de líquido,

S.I.en J/kg 2

2

zgpVE ⋅++=ρ

m 2

2zp

gVH ++=

γ

Energía de un líquido en movimiento

o en metros de columna de líquido,

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SLL

plano de referencia

z1

γp /1

1V 2g/2

1H

22 /V 2g

γ/p2

z2

2H

12Hr

A1

A'

B'

B

2

V

plano de carga inicial (PC)

línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)LP

Ecuación energía en conducciones de líquidos

H1 = H2 + Hr12 1222

22

11

21

22 rHzpg

Vzpg

V+++=++

γγ

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γpgV 2 2

zzp +γ = altura piezométrica

= altura cinética (desnivel entre LE y LP)= altura de presión (desnivel entre LP y conducto)

= altura de posición respecto plano de referencia

SLL

plano de referencia

z1

γp /1

1V 2g/2

1H

22 /V 2g

γ/p2

z2

2H

12Hr

A1

A'

B'

B

2

V

plano de carga inicial (PC)

línea piezométrica (LP) línea de energía (LE)LP

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Ecuación energía en máquinas flujo líquido

Ht trabajo técnico, el que atraviesa los límites de la máquina

rt HzzppgVVH −−+

−+

−= 21

212

22

12 γ

H1 = H2 + |Hr12| + Ht

1H

z

turbina

plano de referencia

z1

1

Ht

22H H1

12

Ht

Hr

Ht

plano de referencia

bomba

11

2

Ht

H2

H 12r

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Ecuación energía en máquinas flujo líquidoH1 −H2 = |Hr12| + Ht

TURBINA

HH1 2

Hr

Ht

tH

He

mH

BOMBA

1H H2 Hr

He

Ht

tH Hm

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Turbina de reacciónPotencia de un flujo

(W)J/s HQgP ⋅⋅⋅= ρ

(J/kg) sm sm :Gravedad

m :Altura

kg/s mkg :Densidadsm :Caudal

222

3

3

HggH

QQ

⋅

⋅ρ

ρ

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EJERCICIOLa energía de un caudal de agua, de 60 m3/s,es, H = 50 m. Calcúlese su potencia.

Solución

CV) (40000kW 29430 W1029430

506081,910003 =⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅= HQP γ

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ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Cuando a lo largo de un volumen de control, la velocidad del flujo varía, es porque actúan fuerzas sobre él que lo aceleran:

amF r& ⋅=Σ

1V C

VF

A

V1 Σ

D

C2 A

FΣD

α

V2

B

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V1

A 'A

B 'B

m 1

α

D '(c)D

ΣF

V2

C '2m

C

)( dtF ⋅Σ)( Vmd ⋅

pdVmddtF r=⋅=⋅Σ )(

pdr

)()( CDB'A'A'ABB'C'CDD'CDB'A'

ABCDD'C'B'A'

pppppppd

rrrr

rrr

+−+==−=

El impulso sobre la masa del volumen de control provocará una variación de su cantidad de movimiento [ ]:

Esta variación del sistema es la corresponde al instante (t + dt), menos la que tenía en t:

V1

A'A

B'B

m1

α

D'(c)D

ΣF

V2

C'2m

C

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V1

A'A

B'B

m1

α

D'(c)D

ΣF

V2

C'2m

C

11221122

A'ABB'C'CDD'

VdtmVdtmVmVm

pppddtF

⋅⋅−⋅⋅=⋅−⋅=

=−==⋅Σ

&&

rrr

1122 VmVmF ⋅−⋅=Σ &&

Por ser el régimen permanente

válida para líquidos y para gases

)( 12 VVmF −⋅=Σ &

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APLICACIONES ECUACIÓN DE LA ENERGÍASalida por un orificio

pγ

V

2V =g2 H

SLLap

gVH2

2=

HgV ⋅⋅= 2

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línea piezométrica (LP)

línea de energía (LE)

L

V

1

SLL

g2

V 2 2/ H= 2

H Hr

Flujo en tuberías con salida libre

SLLpérdida de carga

línea piezométrica (LP)

Con el mismo diámetro y el mismo desnivel entre elextremo 2 y la SLL, se cumple para cualquier longitud,

gVHH r 2

2−=

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Mayor longitud L de la tubería origina:- más pérdida de carga Hr- menos velocidad V del flujo en la tubería- menos caudal Q- menos pérdida de carga unitaria J (Hr/L)

M1

(a)L 2

LP

LE

γp

V

SLL

r

H

V 2

2g = 2H

H

SLL

1(b)

L 2

LP

V

LE

gV2

2H= 2

HrH

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línea piezométrica sin tobera ( )

Vpγ

Qmáx

B

SV

H

S

== HB SVg22

1

línea piezométrica con tobera

plano de carga inicialSLL

A

A'

L

rHB'

LEV 2LP

V

2g

BS

γBp

LP

γi

VS

2g

=2gp

SV 2H

iV 2

LE

línea piezométrica sin tobera ( )

Vpγ

Qmáx

B

SV

H

S

== HB SVg22

1

línea piezométrica con tobera

plano de carga inicialSLL

A

A'

L

rHB'

B

línea piezométrica (LP)

pérdida de carga

Salida por toberaCuanto menor sea la sección S de salida, menorserá el caudal Q que circula y menor Hr

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LEV2LP

V

2g

BS

γBp

LP

γi

VS

2g

=2gp

SV 2H

iV 2

LE

una tobera es un transformadorde energía potencial en energíacinética.

En B, la energía H estáprácticamente en formade presión: pB/γ. A lolargo de la misma, lavelocidad aumenta y lapresión disminuye. A lasalida, pS = pa

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EJERCICIO

gV

DLH r 2

02,02

⋅⋅=

SoluciónVelocidad en la conducción

rr

r

HHg

V

gV

DLH

⋅=⋅⋅

=

⋅⋅=

005,01000002,0

12

2

02,0

2

2

sm 981,1 ; m 2,0 2 2 == VgV

Calcúlese la sección de salida de la tobera al final de una conducción, de 10 km y 1 m de diámetro, origine la pérdidade 40 m en un salto de 400 m.

Tómese,

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Caudal sm 556,1981,15,0 322 =⋅⋅=⋅⋅= ππ VrQ

Velocidad de salida

sm 04,84 m; 3602 S2

S === VgVH

Diámetro de salida

m154,0 ;04,84556,1 SSS === DVQS

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Conducción hidroeléctrica de Villarino

m 30 m; 0,8m 60 m; ,07m 40 m; 5,7

m 402m15000

======

==

r

r

r

HDHDHD

HL

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Tubo de Pitot

γp

gvh +=2

2

h

M

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FVp

1A

2D

FC

B

Fr

1·1p S

1

G

2

· Sp

22

F

rp FFF +=

=⋅ 11 Sp

=⋅ 22 Sp

=− F

=G

GFSpSpF +−+⋅+⋅=Σ )(2211

Fuerza sobre un conducto corto

Valoración indirecta de la fuerza F

fuerza sobre la sección 1

fuerza sobre la sección 2

fuerza que ejerce la pared

fuerza de gravedad

(Fr insignificante)

Las fuerzas sobre el volumen de control entre 1 y 2 son:

1·1p S

1

G

2

· Sp2

2

F

FVp

1A

2D

FC

B

Fr

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GFSpSpF +−+⋅+⋅=Σ )(2211

)( 12 VVmF −⋅=Σ &

F

)( 122211 VVmGSpSpF −⋅−+⋅+⋅= &

)( 122211 VVmSpSpF −⋅−⋅+⋅= &

2211 SpSpF ⋅+⋅=

Por otra parte,

Igualando y despejando

En conductos cortos, G ≈ 0), en cuyo caso,

Cuando no hay flujo,

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Generalmente la fuerza será mayor cuando no hay flujo.

Las presiones a sustituir en las fórmulas anteriores son la diferencia entre la interior y la que actúa exteriormente sobre el conducto. Si ésta fuera mayor, los términos de presión cambiarían de signo y con ello la fuerza F.

Cuando la presión exterior es la atmosférica, las presionesa sustituir son las relativas.

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EJERCICIO

Calcúlese la fuerza sobre el codo de una conducción hidráulica, de 90o y de 2,8 m de diámetro, a) cuando fluyen 38,75 m3/s y la presión manométrica es de 8 bar, b) cuando el flujo se anula bruscamente, momento en el que se prevé que la presión en el codo se eleve a 13 bar.

Solución a) Velocidad media

m/s 29,64,1

75,38 2 =⋅==πS

QV

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)( 122211 VVmSpSpF −⋅−⋅+⋅= &

kN 5169,8 N 5169766243737492602929,675,3810004,1108

025

111

==+==⋅⋅+⋅⋅⋅=

=⋅⋅++⋅=

π

ρ VQSpFx

kN 5169,8 N 516976624373749260292967538100041108

025

222

===+==⋅⋅+⋅⋅⋅=

=⋅⋅+⋅+=

,,,

VQSpFy

π

ρ

Fuerza sobre el codo

y

V1S·p1 1

px

22·S

2V2

Fx

1FFy

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y

V1S·p1 1

px

22·S

2V2

Fx

1FFy

Solución b)

2211 SpSpF ⋅+⋅=

kN 8004,8 N 8004797 4,110130 25

11

===⋅⋅⋅=+⋅= πSpFx

kN 8004,8 N 8004797

4,110130 2522

==

=⋅⋅⋅=⋅+= πSpFy

El anclaje del codo hay que calcularlo para esta última situación más desfavorable.

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