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IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generalesObjetivos:
1. Reconocer que existen excitaciones periรณdicas no harmรณnicas yno periรณdicas.
2. Analizar la respuesta de un sistema de primer y de segundoorden bajo una fuerza periรณdica general.
3. Analizar la respuesta de un sistema de segundo orden bajo unafuerza periรณdica irregular.
4. Describir el mรฉtodo de transformada de Laplace para resolverla ecuaciรณn de movimiento ante una fuerza de excitaciรณnarbitraria, la cuรกl puede ser no periรณdica.
PPT elaborado por Arturo Arosemena 1
1. Introducciรณn
Muchos sistemas estรกn sujetos a diferentes tipos de excitaciรณn
que no son harmรณnicas. Dichas funciones pueden ser
periรณdicas o no periรณdicas. Ejemplos de fuerzas no periรณdicas
incluyen fuerzas repentinas constantes (fuerzas tipo escalรณn),
fuerzas lineales (fuerzas tipo rampa), y fuerzas que varรญan de
forma exponencial.
2. Respuesta bajo una fuerza
periรณdica general
Cuando una fuerza externa ๐น(๐ก) es
periรณdica con un periodo ๐ = 2๐ ๐,
esta puede ser expandida por medio de
una serie de Fourier.
๐น ๐ก =๐02+
๐=1
โ
๐๐ cos ๐๐๐ก +
๐=1
โ
๐๐ sin ๐๐๐ก
Donde
๐0 =๐
๐ 0
2๐ ๐
๐น ๐ก ๐๐ก =2
๐ 0
๐
๐น ๐ก ๐๐ก
๐๐ =๐
๐ 0
2๐ ๐
๐น ๐ก cos ๐๐๐ก ๐๐ก =2
๐ 0
๐
๐น ๐ก cos ๐๐๐ก ๐๐ก
๐๐ =๐
๐ 0
2๐ ๐
๐น ๐ก sin ๐๐๐ก ๐๐ก =2
๐ 0
๐
๐น ๐ก sin ๐๐๐ก ๐๐ก
Aquรญ ๐ = 1,2,3, โฆ
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periรณdica general
A continuaciรณn se considerarรกn tanto sistemas de primer orden
(sistemas de masa despreciable) como sistemas de segundo
orden.
Sistemas de primer orden
Considere el sistema resorte-amortiguador sujeto a una
excitaciรณn periรณdica en el punto ๐ด tal como se observa en la
figura (a). Aquรญ la ecuaciรณn de movimiento del sistema en el
punto ๐ต estarรญa dada por:
โ๐๐ฅ + ๐๐ฆ โ ๐ ๐ฅ = ๐ ๐ฅ = 0
๐๐ฆ = ๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ
๐๐ฆ = ๐ฅ + ๐๐ฅ
Donde ๐ = ๐/๐. Sรญ ๐ฆ(๐ก) es una excitaciรณn
periรณdica descrita por
๐ฆ ๐ก =๐02+
๐=1
โ
๐๐ cos ๐๐๐ก +
๐=1
โ
๐๐ sin ๐๐๐ก
๐๐ฆ ๐ก =๐๐02
+
๐=1
โ
๐๐๐ cos ๐๐๐ก +
๐=1
โ
๐๐๐ sin ๐๐๐ก
๐๐ฆ ๐ก = ๐ด0 +
๐=1
โ
๐ด๐ cos ๐๐๐ก +
๐=1
โ
๐ต๐ sin ๐๐๐ก
Donde: ๐ด0 = ๐๐0 2, ๐ด๐ = ๐๐๐, ๐ต๐ = ๐๐๐
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periรณdica general
Sistemas de primer orden
La soluciรณn asociada al tรฉrmino senoidal
serรญa
Por lo tanto la ecuaciรณn diferencial podrรญa re escribirse como
๐ด0 +
๐=1
โ
๐ด๐ cos ๐๐๐ก +
๐=1
โ
๐ต๐ sin ๐๐๐ก = ๐ฅ + ๐๐ฅ
Puede observarse que el lado izquierdo de la ecuaciรณn de
movimiento consiste de una constante mรกs la suma lรญneal de
funciones harmรณnicas. Y la soluciรณn particular o en estado
estable puede ser encontrada por medio del principio de
superposiciรณn, al suponer que dicha soluciรณn corresponde a la
suma de las soluciones en estado estable correspondiente a
cada uno de los tรฉrminos individuales presentes en el lado
izquierdo.
La soluciรณn asociada al tรฉrmino constante serรญa
๐ด0 = ๐ฅ0 + ๐๐ฅ0
Suponiendo que ๐ฅ0 ๐ก =๐ด0
๐, se encuentra que efectivamente
se satisface la ecuaciรณn diferencial.
๐ด0 = ๐๐ด0๐
๐ต๐ sin ๐๐๐ก = ๐ฅ๐,๐ต + ๐๐ฅ๐,๐ต
Suponiendo que ๐ฅ๐,๐ต =
๐๐,๐ต sin ๐ ๐๐ก โ ๐๐ต , donde ๐๐,๐ต y
๐๐ต son constantes por determinar.
La soluciรณn supuesta es igual a la parte
imaginaria de la siguiente soluciรณn
compleja
๐ฅ๐,๐ต = Im ๐๐,๐ต๐๐ ๐ ๐๐กโ๐๐ต = Im ๐๐,๐ต๐
๐ ๐๐๐ก ๐โ๐ ๐๐๐ต
๐ฅ๐,๐ต = Im ๐๐,๐ต๐๐ ๐๐๐ก
Donde: ๐ = โ1, y ๐๐,๐ต = ๐๐,๐ต๐โ๐ ๐๐๐ต
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periรณdica general
Sistemas de primer orden
Derivando la expresiรณn anterior
๐ฅ๐,๐ต = Im ๐ ๐๐ ๐๐,๐ต๐๐ ๐๐๐ก
Expresando la fuerza de excitaciรณn en forma compleja, la
ecuaciรณn diferencial podrรญa re escribirse como (aquรญ recuerde
que solo nos interesa la parte imaginaria de la soluciรณn
producto de la forma para ๐ฅ๐,๐ต que ha sido supuesta)
Im ๐ต๐๐๐ ๐๐๐ก = ๐ฅ๐,๐ต + ๐๐ฅ๐,๐ต
๐ต๐๐๐ ๐๐๐ก = ๐ ๐๐ ๐๐,๐ต๐
๐ ๐๐๐ก + ๐๐๐,๐ต๐๐ ๐๐๐ก
๐ต๐ = ๐ ๐๐ + ๐ ๐๐,๐ต
๐๐,๐ต =๐ต๐
๐ + ๐ ๐๐
๐๐,๐ต = ๐ต๐1
๐ + ๐ ๐๐
๐ โ ๐ ๐๐
๐ โ ๐ ๐๐
๐๐,๐ต = ๐ต๐๐ โ ๐ ๐๐
๐2 + ๐๐ 2=
๐ต๐
๐2 + ๐๐ 2
๐
๐2 + ๐๐ 2โ ๐
๐๐
๐2 + ๐๐ 2
๐๐,๐ต =๐ต๐
๐2 + ๐๐ 2cos ๐๐๐ต โ ๐ sin ๐๐๐ต =
๐ต๐๐โ๐ ๐๐๐ต
๐2 + ๐๐ 2
๐๐๐ต = tanโ1๐๐
๐
Recordando que
๐๐,๐ต = ๐๐,๐ต๐โ๐ ๐๐๐ต
Entonces
๐ต๐๐โ๐ ๐๐๐ต
๐2 + ๐๐ 2= ๐๐,๐ต๐
โ๐ ๐๐๐ต
๐๐,๐ต =๐ต๐
๐2 + ๐๐ 2
๐๐๐ต = tanโ1๐๐
๐
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periรณdica general
Sistemas de primer orden
Por รบltimo, la soluciรณn asociada al tรฉrmino cosenoidal serรญa
๐ด๐ cos ๐๐๐ก = ๐ฅ๐,๐ด + ๐๐ฅ๐,๐ด
Suponiendo que ๐ฅ๐,๐ด = ๐๐,๐ด cos ๐ ๐๐ก โ ๐๐ด , donde ๐๐,๐ด y ๐๐ดson constantes por determinar. Siguiendo un procedimiento
anรกlogo al seguido al considerar el tรฉrmino senoidal se
tendrรญa
๐๐,๐ด =๐ด๐
๐2 + ๐๐ 2
๐๐๐ด = tanโ1๐๐
๐
Por lo tanto la soluciรณn particular completa para el sistema de
primer orden serรญa
๐ฅ๐ ๐ก = ๐ฅ0 ๐ก + ๐ฅ๐,๐ต ๐ก + ๐ฅ๐,๐ด(๐ก
๐ฅ๐ ๐ก =๐ด0๐+
๐=1
โ๐ด๐
๐2 + ๐๐ 2cos ๐๐๐ก โ tanโ1
๐๐
๐+
๐=1
โ๐ต๐
๐2 + ๐๐ 2sin ๐๐๐ก โ tanโ1
๐๐
๐
Una vez se encuentra la soluciรณn particular ๐ฅ๐ ๐ก ,
se determina la soluciรณn homogรฉnea ๐ฅโ ๐ก ,
teniendo presente la condiciรณn inicial ๐ฅ 0 = ๐ฅ0 y
recordando que
๐ฅ ๐ก = ๐ฅโ ๐ก + ๐ฅ๐ ๐ก
Para mรกs detalles vea por favor la secciรณn 4.2.1 de
su libro de texto
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periรณdica general
Sistemas de segundo orden
Considere el sistema masa-resorte-amortiguador sujeto a una
excitaciรณn periรณdica ๐(๐ก), figura (a). Aquรญ la ecuaciรณn de
movimiento del sistema estarรญa dada por
)๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ = ๐(๐ก
Sรญ ๐(๐ก) es una funciรณn periรณdica que se puede expandir en
serie de Fourier de la forma
๐ ๐ก =๐02+
๐=1
โ
๐๐ cos ๐๐๐ก +
๐=1
โ
๐๐ sin ๐๐๐ก
Entonces la ecuaciรณn diferencial resultante
estarรญa dada por
๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ =๐02+
๐=1
โ
๐๐ cos ๐๐๐ก +
๐=1
โ
๐๐ sin ๐๐๐ก
Empleando el principio de superposiciรณn, la
soluciรณn particular de esta ecuaciรณn, estarรญa
dada por la suma de las soluciones
particulares del siguiente grupo de
ecuaciones no homogรฉneas
๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ =๐02
๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ = ๐๐ cos ๐๐๐ก
๐ ๐ฅ + ๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ = ๐๐ sin ๐๐๐ก
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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2. Respuesta bajo una fuerza periรณdica general
Sistemas de segundo orden
Las cuรกles pueden ser resueltas siguiendo un procedimiento
anรกlogo al usado en los sistemas de primer orden. Por lo
tanto la soluciรณn particular estarรญa dada por
๐ฅ๐ ๐ก =๐02๐
+
๐=1
โ ๐๐ ๐
1 โ ๐2๐2 2 + 2๐๐๐ 2cos ๐๐๐ก โ tanโ1
2๐๐๐
1 โ ๐2๐2+
๐=1
โ ๐๐ ๐
1 โ ๐2๐2 2 + 2๐๐๐ 2sin ๐๐๐ก โ tanโ1
2๐๐๐
1 โ ๐2๐2
Donde ๐ =๐
2๐๐๐, ๐ = ๐/๐๐.
Aquรญ si ๐๐ = ๐๐, para algรบn valor de ๐, se tendrรก en dicho
punto la mayor amplitud ๐ฅ๐ ๐ก del sistema amortiguado.
Puede observarse que a medida que ๐ โ โ los coeficientes
tienden a cero y por lo tanto basta con evaluar los primeros
tรฉrminos de la serie para obtener una resultado con precisiรณn
razonable.
3. Respuesta bajo una fuerza periรณdica irregular
En algunos casos, las fuerzas actuando
sobre un sistema pueden ser periรณdicas pero
bastante irregulares y no pueden ser
determinadas mรกs que de forma
experimental. Ejemplos de dichos tipos de
fuerzas que se inducen sobre un sistema,
son la fuerza del viento o los movimientos
sรญsmicos.
En tales casos, las fuerzas estarรกn
disponibles en forma grรกfica, y solo para
algunos ciertos puntos discretos de tiempo
๐ก1, ๐ก2, โฆ , ๐ก๐ . En todos estos casos, es
posible encontrar los coeficientes de la serie
de Fourier que representa a ๐น(๐ก) por medio
de mรฉtodos de integraciรณn numรฉrica
(mรฉtodo del trapecio, reglas de Simpson,
etc).
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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3. Respuesta bajo una fuerza periรณdica irregular
Mรฉtodo de los trapecios
El รกrea limitada por una curva CD se calcula dividiendo la
proyecciรณn MN de la curva en un numero cualquiera de
partes iguales separadas por un intervalo fijo (๐ผ). Una vez
realizada la divisiรณn se levantan perpendiculares por los
puntos de divisiรณn y la figura queda dividida en trapecios
curvilรญneos, cuyas รกreas son aproximadamente iguales a la de
los trapecios rectilรญneos correspondientes. El รกrea total es la
suma de todos ellos.
Como se puede observar las รกreas (๐๐ )
consisten en un trapecio compuesto por un
rectรกngulo de altura ๐ฆ๐ , y un triรกngulo de
altura ๐ฆ๐+1 โ ๐ฆ๐ . Para ambos la base tiene
un valor de ๐ผ de acuerdo con la figura
anterior.
El รกrea por lo tanto se calcularรญa como
๐๐ = ๐ผ ๐ฆ๐ +๐ฆ๐+1 โ ๐ฆ๐
2= ๐ผ
๐ฆ๐+1 + ๐ฆ๐2
Donde ๐ผ =๐๐
๐; aquรญ ๐๐ se refiere a la
longitud total de la secciรณn de interรฉs en la
curva, y ๐ al nรบmero de divisiones que se
desean obtener.
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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3. Respuesta bajo una fuerza periรณdica irregular
Mรฉtodo de los trapecios
Considere ahora la fuerza irregular presentada en el
grafico mostrado a continuaciรณn, donde ๐น1, ๐น2, โฆ๐น๐representa el valor de ๐น(๐ก) en ๐ก1, ๐ก2, โฆ ๐ก๐ ,
respectivamente, donde ๐ denota la cantidad de
puntos pares equidistantes ( ๐ = 1,2,3โฆ )
considerados en el periodo de la fuerza irregular ๐ =
๐โ๐ก.
๐0 =2
๐ 0
๐
๐น ๐ก ๐๐ก โ 2
๐โ๐ก
๐น02+
๐=1
๐โ1
๐น๐ +๐น๐2
๐0 โ 2
๐
๐น02+
๐=1
๐โ1
๐น๐ +๐น๐2
๐๐ =2
๐ 0
๐
๐น ๐ก cos ๐๐๐ก ๐๐ก
๐๐ โ 2
๐โ๐ก
๐น02cos ๐
2๐
๐๐ก0 +
๐=1
๐โ1
๐น๐ cos ๐2๐
๐๐ก๐ +
๐น๐2cos ๐
2๐
๐๐ก๐
๐๐ โ 2
๐
๐น02cos
2๐๐๐ก0๐
+
๐=1
๐โ1
๐น๐ cos2๐๐๐ก๐๐
+๐น๐2cos
2๐๐๐ก๐๐
๐๐ =2
๐ 0
๐
๐น ๐ก sin ๐๐๐ก ๐๐ก
๐๐ โ 2
๐โ๐ก
๐น02sin ๐
2๐
๐๐ก0 +
๐=1
๐โ1
๐น๐ sin ๐2๐
๐๐ก๐ +
๐น๐2sin ๐
2๐
๐๐ก๐
๐๐ โ 2
๐
๐น02sin
2๐๐๐ก0๐
+
๐=1
๐โ1
๐น๐ sin2๐๐๐ก๐๐
+๐น๐2sin
2๐๐๐ก๐๐
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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3. Respuesta bajo una fuerza periรณdica irregular
Mรฉtodo de los trapecios
Una vez los coeficientes de la series de Fourier de ๐น(๐ก) son
conocidos, la respuesta en estado estable del sistema puede
ser encontrada por medio de
๐ฅ๐ ๐ก =๐02๐
+
๐=1
โ ๐๐ ๐
1 โ ๐2๐2 2 + 2๐๐๐ 2cos ๐๐๐ก โ tanโ1
2๐๐๐
1 โ ๐2๐2+
๐=1
โ ๐๐ ๐
1 โ ๐2๐2 2 + 2๐๐๐ 2sin ๐๐๐ก โ tanโ1
2๐๐๐
1 โ ๐2๐2
Donde
๐ =2๐
๐๐๐
4. Respuesta bajo una fuerza no periรณdica
Cuando la fuerza de excitaciรณn ๐น(๐ก) es no periรณdica, se
requiere de algรบn mรฉtodo diferente a la expansiรณn en series
de Fourier para calcular la respuesta del sistema.
Existen diferentes mรฉtodos que pueden ser
utilizados para determinar la respuesta de
un sistema a una excitaciรณn arbitrarรญa.
Algunos de estos mรฉtodos son los
siguientes:
1. Representaciรณn de la excitaciรณn por
medio de una integral de Fourier.
2. Resoluciรณn por medio del mรฉtodo de
integral de convoluciรณn.
3. Resoluciรณn por medio del mรฉtodo de
transformada de Laplace.
4. Resoluciรณn de la ecuaciรณn diferencial por
medio de mรฉtodos de integraciรณn numรฉrica.
De los mรฉtodos anteriores solo
discutiremos el mรฉtodo de transformada de
Laplace. Sรญ desea comprender el mรฉtodo de
integral de convoluciรณn puede referirse a la
secciรณn 4.5 de su libro de texto.
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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4. Respuesta bajo una fuerza no periรณdica
Recuerde que al final del capรญtulo 3 se presentรณ el
procedimiento general para resolver la ecuaciรณn diferencial
de un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento
viscoso sujeto a una excitaciรณn arbitraria ๐น(๐ก) por medio de
la transformada y la transformada inversa de Laplace.
Sin embargo, en tรฉrminos generales, la aplicaciรณn del mรฉtodo
de transformada de Laplace para encontrar la respuesta de un
sistema (de cualquier orden) bรกsicamente involucra los
siguientes pasos:
1. Escribir la ecuaciรณn de movimiento del sistema.
2. Transformar cada tรฉrmino de la ecuaciรณn, usando las
condiciones iniciales conocidas.
3. Resolver la ecuaciรณn algebraica resultante para la
respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia (aquรญ se
emplean fracciones parciales).
4. Obtener la soluciรณn deseada (respuesta) al usar la
transformada de Laplace inversa.
Aquรญ en la soluciรณn general se tendrรก tanto
la respuesta en estado transitorio como en
estado estable. La respuesta en estado
transitorio es aquella parte de la soluciรณn
asociada a las condiciones iniciales y que se
desvanece con el tiempo, mientras que la de
estado transitorio es aquella que estรก
asociada a la fuerza de excitaciรณn externa
arbitraria (dicha respuesta puede ser
encontrada imponiendo condiciones
iniciales iguales a cero).
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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4. Respuesta bajo una fuerza no periรณdica
Valor inicial y valor de estado estable de la respuesta
-Valor inicial de la respuesta: Sรญ la respuesta o soluciรณn de un
sistema es conocida en el dominio del tiempo, el valor inicial
de la respuesta, ๐ฅ(0), puede ser determinado al evaluar la
respuesta en ๐ก = 0. Sรญ la respuesta del sistema es conocida en
el dominio de la frecuencia, el valor inicial puede ser
encontrada a partir del teorema de valor inicial:
๐ฅ ๐ก = 0 = lim๐ โโ
)๐ ๐(๐
-Valor de la respuesta en estado estable: Sรญ la respuesta de un
sistema es conocida en el dominio del tiempo, el valor de la
respuesta en estado estable ๐ฅ๐ ๐ , puede ser determinado al
tomar el lรญmite de la respuesta cuando ๐ก โ โ. Sรญ la respuesta
del sistema estรก dada en el domino de la frecuencia, el valor
en estado estable puede ser encontrado por medio del
teorema del valor final, al tomar el lรญmite de la respuesta en
el dominio de la frecuencia cuando ๐ โ 0.
Un ejemplo de lo anterior puede ser visto al
analizar la respuesta en estado estable de un
sistema de primer orden, a una funciรณn impulso
unitario ๐ฟ(๐ก):
)๐ ๐ฅ + ๐๐ฅ = ๐ฟ(๐ก
) ๐ฅ + ๐๐ฅ = ๐น๐ฟ(๐ก
Donde ๐ = ๐/๐, ๐น = 1/๐.
โ ๐ฅ + ๐๐ฅ = โ )๐น๐ฟ(๐ก
๐ ๐ ๐ โ ๐ฅ 0 + ๐๐ ๐ = ๐น
Sea ๐ฅ 0 = 0
๐ ๐ =๐น
๐ + ๐
โโ1 ๐ ๐ = โโ1๐น
๐ + ๐
๐ฅ ๐ก = ๐น๐โ๐๐ก
IV. Vibraciรณn bajo condiciones
forzadas generales
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4. Respuesta bajo una fuerza no periรณdica
Valor inicial y valor de estado estable de la respuesta
La aplicaciรณn de la transformada de Laplace
para sistemas de primer y segundo orden bajo
diferentes funciones de excitaciรณn no periรณdicas
puede apreciarla en la secciรณn 4.7 de su libro de
texto.
Valor inicial de la respuesta:
๐ฅ ๐ก = 0 = ๐น
O bien
๐ ๐ ๐ =๐น๐
๐ + ๐
๐ฅ ๐ก = 0 = lim๐ โโ
)๐ ๐(๐ = lim๐ โโ
๐น1
1 +๐๐
= ๐น
Valor de la respuesta en estado estable:
๐ฅ๐ ๐ = lim๐กโโ
๐ฅ ๐ก = lim๐กโโ
๐น๐โ๐๐ก = 0
O bien
๐ฅ๐ ๐ = lim๐ โ0
)๐ ๐(๐ = lim๐ โ0
๐น1
1 +๐๐
= 0