Post on 22-Jan-2016
Introducción
Muchos fenómenos se pueden modelar como una función periódica. Algunos ejemplos de ellos son:
Introducción
Electrocardiogramas:
Introducción
Movimientos pendulares
Introducción
Temperaturas diarias:
Los angulos pueden ser medidos en radianes, grados sexagesimales, grados centesimales, etc.
Para nuestros cálculos mediremos los ángulos en radianes, grados sexagesimales (De aquí en adelante lo llamaremos simplemente grados).
Como medir un ángulo
Como medir un ángulo
En grados:
En radianes:
Como medir un ángulo
Equivalencia de ángulos:
Como medir un ángulo
Relación entre los sistemas de medición:
Como medir un ángulo
Como medir un ángulo
Relación entre los sistemas de medición:
Ejemplo:
Como medir un ángulo
Ejemplo:
Como medir un ángulo
Ejemplo
Como medir un ángulo
Ejercicios
Encuentre el valor del ángulo 60º en radianes.
Encuentre el valor del ángulo 120º en radianes.
Encuentre el valor del ángulo 4en grados.
Encuentre el valor del ángulo en grados.
Un sistema coordenado bidimensional es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano.
Sistema coordenado rectangular
Este sistema, también llamado cartesiano, está formado por dos rectas perpendiculares entre sí.
Las rectas son llamadas ejes de coordenadas.
La intersección entre las rectas es un conjunto cuyo único elemento es un punto llamado origen del sistema cartesiano.
Sistema coordenado rectangular
Sistema coordenado rectangular
RECTA 2
RECTA
1
ORIGEN
Sistema coordenado rectangular
La RECTA 1 recibe el nombre de EJE XLa RECTA 2 recibe el nombre de EJE Y.
Eje y
Eje x
ABSCISAS: ubicadas a la derecha y a la izquierda del eje Y, respecto del origen, y son positivas y negativas, respectivamente.
ORDENADAS: ubicadas arriba y abajo del eje X, respecto del origen, y son positivas y negativas, respectivamente.
Sistema coordenado rectangular
TERCERCUADRANTE
(III)
CUARTOCUADRANTE
(IV)
SEGUNDOCUADRANTE
(II)
PRIMERCUADRANTE
(I)
Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes.
Eje x
Eje y
Sistema coordenado rectangular
Angulo en posición normal
Diremos que un ángulo esta en POSICION NORMAL si su vértice coincide con el origen de un sistema coordenado rectangular (Vértice del ángulo) y uno de sus lados esta sobre el lado positivo del eje x (Lado inicial del ángulo).
El otro lado del ángulo lo denominaremos Lado terminal del ángulo.
Angulo en posición normal
Eje x
Eje y
LADO TERMINAL
VERTICE
LADO INICIAL
Eje x
Eje y
LADO TERMINAL
VERTICE
LADO INICIAL
Angulo en posición normal
El lado terminal nos indicara el cuadrante al cual pertenece el ángulo.
Angulo en posición normal
Eje x
Eje y
LADO TERMINAL
En este ejemplo el
ángulo pertenece al
primer cuadrante.
El lado terminal nos indicara el cuadrante al cual pertenece el ángulo.
Angulo en posición normal
Eje x
Eje y
LADO TERMINAL
En este ejemplo el
ángulo pertenece al
tercer cuadrante.
Dado un punto P en el plano, podemos generar un ángulo en posición normal.
Generación de angulos
Eje x
Eje y
En este ejemplo el
ángulo pertenece al
segundo cuadrante.
Dado un punto P en el plano, podemos definir un ángulo en posición normal.
Generación de ángulos
Eje x
Eje y
En este ejemplo el
ángulo pertenece al
cuarto cuadrante.
Dado un punto P en el plano, podemos generar un triángulo rectángulo.
Generación de triángulos
Eje x
Eje y
En este ejemplo el
triángulo pertenece al
primer cuadrante.
Dado un punto P en el plano, podemos generar un triángulo rectángulo.
Eje x
Eje y
En este ejemplo el
triángulo pertenece al
segundo cuadrante.
Generación de triángulos
¿Se acuerdan de la ecuación de la circunferencia?
Circunferencia unitaria
Si la circunferencia tiene centro ( h , k ), y radio r , la ecuación es
Circunferencia unitaria
Si la circunferencia tiene centro (0,0), y radio 1, la ecuación es
Circunferencia unitaria
Eje x
Eje y
Circunferencia unitaria
Ejercicios
Convierta a radianes los siguientes ángulos:
30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º
Triángulo Rectángulo
Partes del ABC
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
A
C B
Notar que el ángulo esta formado por un cateto y la hipotenusa
Triángulo Rectángulo
A
C B
CATETO
HIPOTENUSA
A
C BCATETO
HIPOTENUSA
Triángulo Rectángulo
Nota que el ángulo esta formado por un cateto y la hipotenusa
A
C BCATETO
Triángulo Rectángulo
Notar que el ángulo recto esta formado “SOLO” por catetos.
CATETO
Triángulo Rectángulo
A
C B
CATETO
HIPOTENUSACATETO
ADYACENTE
CATETO OPUESTO
Cateto adyacente y cateto opuesto
ANALICEMOS
A
C BCATETO
HIPOTENUSA
Triángulo Rectángulo
CATETO ADYACENTE
CATETOOPUESTO
Cateto adyacente y cateto opuesto
ANALICEMOS
Definiciones Trigonométricas
En el ABC rectángulo, definimos:
Definiciones Trigonométricas
En el ABC rectángulo, definimos:
Ejemplo
Encuentre el seno y coseno de , según el ABC rectángulo:
C B
A
3
4
5
Por definición tenemos:
El largo del cateto opuesto a es 4 y el largo de la hipotenusa es 5.
Ejemplo
Finalmente:
Ejemplo
Análogamente, por definición tenemos:
El largo del cateto adyacente a es 3 y el largo de la hipotenusa es 5.
Ejemplo
Finalmente:
Ejemplo
Definiciones Trigonométricas
En el ABC rectángulo, definimos:
Definiciones Trigonométricas
En el ABC rectángulo, definimos:
Ejercicio
Encuentre las seis definiciones trigonométricas para y en el ABC definido de la siguiente manera:
A
C B
3
4
5
Relación de Thales
4
5
4
65
3
E
D
BC
A
ABC
Relación de Thales
10
8
6
ABC
BC
A
Relación de Thales
Analicemos el
10
8
6
ABC
B C
A
E
D
BC
A
Relación de Thales
4
53
Relación de Thales
Analicemos el
4
53
E
D
B
Ejercicio
Realizar el análisis del para los triángulos definidos anteriormente.
E
D
BC
A
Ejercicio
Encuentre las seis definiciones trigonométricas para y en el ABC definido de la siguiente manera:
AC
B
6
561
Trigonometría en el plano
Todos las definiciones estarán basadas en las relaciones trigonométricas expuestas en clases anteriores.
Solo trabajaremos con triángulos rectángulos definidos de la siguiente manera:
La trigonometría, definida en el plano, sufre algunas variaciones en las definiciones, particularmente en los signos.
Trigonometría en el plano
PRIMER CUADRANTE
Trigonometría en el plano
SEGUNDO CUADRANTE
Trigonometría en el plano
TERCER CUADRANTE
Trigonometría en el plano
CUARTO CUADRANTE
Trigonometría en el plano
La trigonometría, definida en el plano, sufre algunas variaciones en las definiciones, particularmente en los signos.
SEGUNDOCUADRANTE
(II)
Trigonometría en el plano
Cambios en el seno
PRIMERCUADRANTE
(I)
Eje x
Eje y
TERCERCUADRANTE
(III)
CUARTOCUADRANTE
(IV)
SEGUNDOCUADRANTE
(II)
Trigonometría en el plano
Cambios en el coseno
PRIMERCUADRANTE
(I)
Eje x
Eje y
TERCERCUADRANTE
(III)
CUARTOCUADRANTE
(IV)
Ejercicio
Defina los cambios de signos para las definiciones trigonométricas restantes, en cada cuadrante. Complete la tabla.
sen cos tg ctg sec csc
I + +
II + -
III - -
IV - +
SEGUNDOCUADRANTE
(II)
Trigonometría en el plano
Cambios en la tangente
PRIMERCUADRANTE
(I)
Eje x
Eje y
TERCERCUADRANTE
(III)
CUARTOCUADRANTE
(IV)
SEGUNDOCUADRANTE
(II)
Trigonometría en el plano
Cambios en la cotangente
PRIMERCUADRANTE
(I)
Eje x
Eje y
TERCERCUADRANTE
(III)
CUARTOCUADRANTE
(IV)
Trigonometría en el plano
SEGUNDOCUADRANTE
(II)
Cambios en la secante
PRIMERCUADRANTE
(I)
Eje x
Eje y
TERCERCUADRANTE
(III)
CUARTOCUADRANTE
(IV)
Trigonometría en el plano
SEGUNDOCUADRANTE
(II)
Cambios en la cosecante
PRIMERCUADRANTE
(I)
Eje x
Eje y
TERCERCUADRANTE
(III)
CUARTOCUADRANTE
(IV)
Trigonometría en el plano
sen cos tg ctg sec csc
I + + + + + +
II + - - - - +
III - - + + - -
IV - + - - + -
Finalmente, la tabla queda de la siguiente manera.
Trigonometría en el plano
sen cos tg ctg sec csc
I + + + + + +
II + - - - - +
III - - + + - -
IV - + - - + -
TERCERCUADRANTE
(III)
CUARTOCUADRANTE
(IV)
SEGUNDOCUADRANTE
(II)
PRIMERCUADRANTE
(I)
Trigonometría en el plano
TODAS SIN TACOS
Ejercicio
Encuentre todas las definiciones trigonométricas para el ángulo
- 3
2
(0,0)
Trigonometría en el plano
a
b
Dado el punto en el plano, P=(a,b), podemos generar un ángulo en estado normal () y un triangulo rectángulo. Luego, podemos encon-trar todas las definiciones trigonométricas para
Trigonometría en el plano
6
3
Encuentre todas las definiciones trigonomé-tricas para el ángulo , si P=(6,3).
Trigonometría en el plano
(0,0)
Trigonometría en el plano
- 3
2
(0,0)
Trigonometría en el plano
Encuentre todas las definiciones trigonomé-tricas para el ángulo , si P=(-3,2).