9/9/2015 Integrales racionales

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Integrales racionales I

1º El denominador tiene sólo raíces reales simples

Ejemplo

 

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En  la  integración  de  funciones  racionales  se  trata  de  hal lar   la

integral   ,   s iendo  P(x)  y  Q(x)  pol inomios.

En  pr imer  lugar ,  supondremos  el   grado  de  P(x)  es  menor  que  el   deQ(x),  s i   no  fuera  así   se  div idi r ía.

C(x)  es  el   cociente  y  R(x)  el   resto  de  la  div is ión  pol inómica.

Una  vez  que  sabemos  que  el   denominador   tiene  mayor  grado  quenumerador,  descomponemos  el   denominador   en  factores.

Dependiendo  de  las  raíces  del   denominador   nos  encontramos  con  lossiguientes  casos:

La  f racción   puede  escr ibi rse  así :

A,  B  y  C  son  números  que  que  se  obtienen  efectuando  la  suma  eidenti f i cando  coef ic ientes  o  dando  valores  a  x.

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Se  efectúa  la  suma:

Como  las  dos  f racciones  tienen  el   mismo  denominador,  los  numeradoreshan  de  ser   iguales:

Calculamos  los  coef ic ientes  de  A,  B  y  C  dando  a  la  x  los  valores  queanulan  al   denominador.

Se  calculan  las  integrales  de  las  f racciones  simples:

Otra  forna  de  hal lar   los  coef ic ientes  es  real izando  las  operaciones  eigualando  coef ic ientes.

Igualamos  coef ic ientes:

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Igualamos  coef ic ientes: