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MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
1
1 1.1 DEFINICIÓN 1.2 INTEGRACIÓN
1.2.1. FÓRMULAS 1.2.2. PROPIEDADES 1.2.3. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
1.2.3.1. INTEGRACIÓN DIRECTA 1.2.3.2. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 1.2.3.3. INTEGRACIÓN POR PARTES 1.2.3.4. INTEGRALES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS 1.2.3.5. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA 1.2.3.6. INTEGRALES DE FUNCIONES
RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES
1.2.3.7. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVO: Encontrar algebraicamente antiderivadas
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En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en Cálculo Diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del Cálculo Integral los cuales expondremos en este texto, sin embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del Cálculo Integral.
1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA
Sea f una función de variable real definida en un intervalo I . Si f es la derivada de una función F entonces a F se la llama antiderivada, primitiva o integral indefinida de f en I . Es decir: ( ) (́ )f x F x=
La función f ahora será una derivada.
Ejemplo
Suponga que ( ) 2f x x= , entonces una antiderivada podría ser ( )3
3xF x = (derive F para
asegurarse que se obtiene f ).
Observe que la f del ejemplo anterior podría tener otras antiderivadas, por
ejemplo ( )3
53xF x = + , como también sería ( )
3
73xF x = − . Esto significa que
para una derivada habrá muchas antiderivadas, la diferencia sería sólo en la constante. Lo cual también significa que las primitivas son una familia de curvas.
1.1.1 Teorema
Si (́ ) (́ )F x G x= , ( ),x a b∀ ∈ entonces existe una constante C tal que ( ) ( )F x G x C= + ,
( ),x a b∀ ∈
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Demostración: Sea )()()( xGxFxH −= definida en un intervalo ( )ba, entonces )´()´()´( xGxFxH −= . Por Hipótesis, como )´()´( xGxF = entonces 0)´( =xH , ( )bax ,∈∀ . Como H es derivable ( )bax ,∈∀ , entonces de acuerdo el teorema del valor medio para
derivada, ( )baxxx ,),( 10 ⊆∈∃ tal que xx
xHxHxH
−−
=1
10
)()()´( . Haciendo 0)´( 0 =xH
tenemos 0)()(
1
1 =−−
xxxHxH es decir CxHxH == )()( 1 .
Por lo tanto CxGxF =− )()(
1.1.2 NOTACIÓN La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la
siguiente:
( ) ( )f x dx F x C= +∫
1.2 INTEGRACIÓN.
Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación.
En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas.
1.2.1 Formas (fórmulas) estándares de Integrales
1. dx x C= +∫
2. 1
1
nn xx dx C
n
+
= ++∫ ; 1−≠n
3. 1 lndx x Cx
= +∫
4. x xe dx e C= +∫
5. ln
xx aa dx C
a= +∫
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6. sen cosxdx x C= − +∫
7. cos senxdx x C= +∫
8. 2sec tgxdx x C= +∫
9. 2csc cotxdx x C= − +∫
10. sec tg secx xdx x C= +∫
11. csc cot cscx dx x C= − +∫
12. tg ln cos ln secxdx x C x C= − + = +∫
13. cot ln senxdx x C= +∫
14. sec ln sec tgxdx x x C= + +∫
15. csc ln csc cotxdx x gx C= − +∫
16. 2 2
1 arcsen xdx Caa x
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠−∫
17. 2 2
1 1 arctg xdx Ca x a a
⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫
18. 2 2
1 1 arcsecx
dx Ca ax x a
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
− ⎝ ⎠∫
19. 2 2
1 1 ln2
x adx Ca x a x a
+= +
− −∫
20. senh coshxdx x C= +∫
21. cosh senhxdx x C= +∫
Las primeras 11 fórmulas se las pueden entender fácilmente de acuerdo a las
fórmulas que se proporcionaron para derivadas.
Ejemplo 1
Calcular ∫ dxx2
SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la fórmula 2.
CxCxdxx +=++
=+
∫ 312
3122
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Ejemplo 2
Calcular ∫ dxx
1
SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la fórmula 2.
Cxdxxdxx
+==+−
+−−∫∫ 1
12
1
21
21
1
Ejemplo 3
Calcular ∫ +dx
x 241
SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la fórmula 17.
2 2
1 1 arctan2 2 2
xdx Cx
⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫
Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades.
1.2.2 PROPIEDADES.
La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:
1. [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
2. ( ) ( ) ;kf x dx k f x dx k= ∈∫ ∫
Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr el objetivo.
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1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN 1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA. Sólo con recursos algebraicos, propiedades y fórmulas, en ocasiones, se
pueden encontrar antiderivadas de manera inmediata.
Ejemplo 1
Calcular ∫ dxx35
SOLUCIÓN: Aplicando propiedades. El 5 es constante, por tanto lo ponemos afuera de la integral y luego aplicamos la regla de la potencia:
CxCxCxdxxdxx +=+=+==+
+
∫∫ 34
1
13
13
4155555
34
34
31
31
Ejemplo 2
Calcular ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ dxex
xx4sin32
SOLUCIÓN: Se aplica la propiedad de la suma y resta de funciones, se separa en tres integrales, y luego se integra cada función:
Cexx
dxexdxdxx
dxedxdxx
dxexx
x
x
xx
+−−=
−+=
−+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
∫ ∫∫∫ ∫∫∫
4cos3ln2
4sin312
4sin324sin32
Ejemplo 3
Calcular ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+ dxx
xxe x
246 3
SOLUCIÓN: Se separa en tres integrales y se procede a integrar cada función:
32
2
3
6 4 2 132 2
1 13 22
13 2ln6
xx
x
x
xe x dx e x dxx x
e dx dx x dxx
e x x C
⎛ ⎞+ − ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= + −
= + − +
∫ ∫∫ ∫ ∫
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Ejemplo 4
Calcular ( )∫ − dxxx
x3
31
SOLUCIÓN: Se eleva al cubo el binomio, luego se simplifica y se integra cada función:
( )
Cxxxx
Cxxxx
dxxdxxdxxdxx
dxxxxx
dxx
x
x
x
x
x
x
dxx
xxxdxxx
x
+−+−−=
+−+−−
=
−+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−+−=
−+−=
−
−
−
−−
−−
∫∫∫∫∫∫∫∫
38
35
32
31
38
35
32
31
35
32
31
34
35
32
31
34
34
3
34
2
34
34
34
32
3
3
83
59
293
38
35
33
23
31
33
33
331
3311
Ejercicios Propuestos 1.1 Hallar:
1. 32 100 47
3ex x x x dxπ −⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
2. ( )22 x dx−∫
3. ( )21x x dx−∫
4. ( )∫ − dxx323
5. ( ) dx
xx∫ − 33
6. ( )32 1z
dzz
+
∫
7. ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− dxxx
x211
8. ( )3 4 52 1x dxx
+∫
9. ( )( )dxx
xx∫ −+3 2
22 21
10. 2
2
2 3x senx x dxx− +∫
11. 2 secxxe x x dx
x+ −∫
12. ( )8 cosx xe x dx+ +∫
13. ( )1 23sec 2 tanxe x x dx+ + −∫
14. ( )14cot 8xx dx−−∫
15. dxx
xx∫ ++ −
3
44 2
16. 2 110 205
x x
x dx+ +−∫
17. dxx
xx
∫−+ −
1052 11
18. 2
1sen7 1
x dxx x
⎛ ⎞−⎜ ⎟
−⎝ ⎠∫
19. 22
517 1
e dxxxπ⎛ ⎞
+⎜ ⎟+−⎝ ⎠∫
20. sen cos
senx x dx
x−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠∫
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1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Cuando se presentan funciones con reglas de correspondencias un tanto más
complejas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un artificio matemático llamado cambio de variable se transformen en integrales inmediatas.
En este caso las fórmulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable.
Ejemplo 1
Calcular ( )∫ − dxx 301
SOLUCIÓN: No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más conveniente emplear el cambio de variable xt −= 1 .
Del cambio de variable, tenemos: 1 dt dx dtdx
= − ⇒ = − (despejamos dx )
Ahora sustituyendo resulta: ( ) ( )31
30 30 30131dt
t
tx dx t dt t dt C−
− = − = − = − +∫ ∫ ∫
Una vez integrado, reemplazamos “ t ”: ( ) ( ) Cxdxx +−
−=−∫ 3111
3130
Ejemplo 2
Calcular e x
dxx∫
SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: xt = .
De donde: 1 2
2dt dx xdtdx x
= ⇒ = .
Sustituyendo resulta: e e 2 2 e 2e
x tt tdx xdt dt C
x x= = = +∫ ∫ ∫
Ahora reemplazamos " t " : e 2e
xxdx C
x= +∫
Ejemplo 3
Calcular dxx
x∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+142
SOLUCIÓN: Esta integral se la resuelve por el cambio de variable 12 += xt ,
De donde xdxdt 2= , entonces
xdtdx2
= .
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Sustituyendo, resulta: 2
4 4 12 2ln21
x x dtdx dt t Ct x tx
= = = ++∫ ∫ ∫
Reemplazando " t " :
22
4 2ln 11
x dx x Cx
= ++∫
Ejemplo 4
Calcular∫ − dxxx 1
SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: 1−= xt
Del cambio de variable se obtiene: 1 dt dx dtdx
= ⇒ =
Sustituyendo resulta: ∫∫ =− dttxdxxx 1
Como no se simplifica la x , debemos reemplazarla.
Despejamos x del cambio de variable: 1+= tx
Entonces:
( ) ( ) 3 1
2 2
1
5 32 22 25 3
1t
x tdt t tdt t t t dt t dt t dt
t t C
+
= + = + = +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ahora reemplazamos “ t ”:
( ) ( )5 3
2 22 25 31 1 1x x dx x x C− = − + − +∫
Podemos quedarnos hasta allí, pero simplificando la expresión resulta:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
5 32 2
3 22 2
32
32
32
32
32
2 21 1 15 3
1 12 1 15 31 12 1 15 3
1 12 15 5 3
22 15 153 22 1
15
21 1 3 215
x x dx x x C
x x C
x x C
xx C
xx C
xx C
x x dx x x C
− = − + − +
⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
+⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
− = − + +
∫
∫
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Ejemplo 5
Calcular( )2
21 3
x dxx+∫
SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: 1 3t x= +
Del cambio de variable se obtiene: 3 3
dt dtdxdx
= ⇒ =
Sustituyendo resulta: ( ) ( )2 2 2
2 2 23 31 3
x x dt xdx dttx t
= =+∫ ∫ ∫
Como no se simplifica la x , debemos reemplazarla.
Despejamos x del cambio de variable: 1
3tx −
=
Entonces:
2 2 2 2 2
2 12
12 2 2 1 2 133 3 9 9
2 1 2 2 1ln ln9 9 2 1 9
tx t tdt dt dt dtt t t t t
tt dt t C t Ct t
− +−
−− ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − = − + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥− +⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫∫
Una vez integrado, reemplazamos “ t ”:
( )
( )2
2 2 1ln 1 39 1 31 3
x dx x Cxx
⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦+∫
Ejemplo 6
Calcular3
22
x dxx+∫
SOLUCIÓN: Aquí es mejor: 2 22t x= +
Derivando implícitamente: 2 2 dt t dtt x dxdx x
= ⇒ =
Sustituyendo resulta: 3 3 3
2
2 22
x x t dt x t dtdx x dtx t xx t
= = =+∫ ∫ ∫ ∫
Despejamos 2x : 2 2 2x t= − Entonces:
( )3
2 2 2 23tx dt t dt t C= − = − +∫ ∫
Una vez integrado, reemplazamos “ t ”:
( )3
23
2
2
22 2
32
xx dx x Cx
+= − + +
+∫
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Ejemplo 7
Calcular 4 13 x dx−∫
SOLUCIÓN: Aquí empleamos el cambio de variable: 4 1t x= −
Del cambio de variable se obtiene: 4 4
dt dtdxdx
= ⇒ =
Sustituyendo resulta: 4 1 1 1 33 3 34 4 4 ln 3
tx t tdtdx dt C− ⎛ ⎞
= = = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫
Una vez integrado, reemplazamos “ t ”:
4 1
4 1 1 334 ln 3
xx dx C
−− ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
El ejemplo anterior nos da la idea de que se puede obtener integrales rápidamente cuando se tiene funciones análogas a las que aparecen en las fórmulas pero si sus argumentos son funciones lineales (porque la derivada es una constante). Esto evita plantear la sustitución.
Ejemplo 8
Calcular 5 1xe dx+∫
SOLUCIÓN:
Como ( )5 1 5d xdx
+ = (constante)
Entonces rápidamente 5 1
5 1
5
xx ee dx C
++ = +∫ (como la integral para la función exponencial pero
dividida para su derivada) Ejemplo 9
Calcular sen 3xdx∫
SOLUCIÓN:
Como ( )3 3d xdx
= (constante)
Entonces rápidamente cos3sen 3
3xxdx C−
= +∫ (como la integral para la función seno pero
dividida para su derivada)
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Ejemplo 10
Calcular 12 1
dxx +∫
SOLUCIÓN:
Como ( )2 1 2d xdx
+ = (constante)
Entonces rápidamente: ( )ln 2 11
2 1 2x
dx Cx
+= +
+∫
En otros ejercicios el cambio de variable podría no ser tan obvio, se requerirá
de mucha habilidad algebraica y quizás varios intentos.
Ejemplo 11
Calcular dxx
extanarcx xtanarc
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−+−
114
2
SOLUCIÓN: Separando las integrales, tenemos:
dxx
edxx
arctanxdxx
dxx
x xtanarc
∫∫∫∫ +−
++
+−
+ 1111
14
2222
Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado.
1. dxx
x∫ +142
. Esta integral se la resuelve por cambio de variable 12 += xt , de donde xdxdt 2= ,
entonces x
dtdx2
= .
Sustituyendo, resulta: CxCtdttx
dttxdx
xx
++=+===+ ∫∫∫ 1ln2ln212
24
14 22
2. dxx∫ +1
12
. Esta integral es directa. Carctanxdxx
+=+∫ 1
12
3. dxx
x∫ +1arctg
2 . Esta integral se la resuelve por cambio de variable xt arctg= , de donde 1
12 +
=xdx
dt ,
entonces ( )dtxdx 12 += . Sustituyendo, resulta:
( ) ( ) CarctanxCttdtdtxx
tdxx
arctanx+=+==+
+=
+ ∫∫∫ 221
11
222
22
4. tan
2 1
arc xe dxx +∫ . Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto:
( ) ∫∫∫ +=+==++
=+
CeCedtedtxx
edxx
e arctanxtttxtanarc
111
222
FINALMENTE:
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13
( )Ce
xtanarcxtanarcxdx
x
extanarcx xtanarcxtanarc
+−+−+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−+−∫ 21ln2
1
14 22
2
Ejemplo 12
Calcular ( ) ( )2 21 ln 1
dx
x x x+ + +∫
SOLUCIÓN:
Separando el radical:( ) ( )2 21 ln 1
dx
x x x+ + +∫
Ahora consideramos el cambio de variable: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= 21ln xxt
Del cambio de variable:
2 2
2
2 2
2
2
1 11 21 2 1
1 1
1 11 1
1
dt xdx x x x
x x
x x xdt dx x dtdx x
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟=⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
= → = ++
Reemplazando, resulta:
( ) ( )
12 12 1 1
2 2122 2 2
1 2111 ln 1
dx x dt tt dt C t Cx tx x x
− +−+
= = = + = +− +++ + +∫ ∫ ∫
Ahora reemplazamos “ t ”
( ) ( )
( )2
2 22 ln 1
1 ln 1
dx x x Cx x x
= + + ++ + +∫
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14
Ejercicios Propuestos 1.2 Calcular:
1. ( )∫ − 2
525x
dx
2. dxxx
x∫ +−
−
384
12
3. ∫ − dxxx 12
4. ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+
42sen 2 x
dx
5. ( ) dxx∫ − 2sen1
6. dxx
x∫ −+112
7. ( )∫ +
+ dxx
x2
2
1
1
8. ( )∫ + xx
dx1
9. ( )
arc tan1
x dxx x+∫
10. dxxx
x∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
− 11ln
1
12
11. ∫ −++ 11 xxdx
12. dxx
xxx∫ −
−++4
22
1
11
13. ∫ + xxdxxln1
ln
14. ( )∫ xxxdx
lnlnln
15. ∫ −+ dx
xaxa
16. ∫ +dx
xbxa
xx2222 cossen
cossen
17. ∫ 42 tgsen xcx
dx
18. ∫ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
dxx
xx
2
2
1
1ln
19. ∫ −dx
xx
xx
49
32
20. ( )∫+++
322 11 xx
dxx
Existen funciones cuyas antiderivadas no pueden ser determinadas con los
métodos hasta aquí explicados. Suponga que estas funciones están formadas por el producto de otras funciones, para este caso existe la integración por partes.
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1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES. El diferencial para el producto de funciones es: ( )d uv udv vdu= +
Despejando e integrando término a término, resulta:
( )
( )
udv d uv vdu
udv d uv vdu
= −
= −∫ ∫ ∫
En definitiva, la fórmula que se emplea en integración por partes es:
udv uv vdu= −∫ ∫
Ejemplo 1
Calcular ∫ dxex x
SOLUCIÓN:
Haciendo xu = y dxedv x= .
Entonces dxdu = y xx edxev == ∫ ( Se deriva u y se integra dv )
Ahora, tenemos:
dv v vu u du
x x xx e dx x e e dx= −∫ ∫
x x xx e dx x e e C= − +∫
Observe que en estos casos es mejor derivar la función polinomial. Sería interesante que pruebe a ver qué ocurre si se escogiera xu e= .
Ejemplo 2
Calcular ( )∫ −+ dxxxx sen532 2
SOLUCIÓN:
Haciendo 532 2 −+= xxu y dxxdv sen= .
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16
Entonces ( )dxxdu 34 += y xxdxv cossen −== ∫
Por lo tanto, tenemos:
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2
2 3 5 sen 2 3 5 cos cos 4 3
2 3 5 cos 4 3 cos
u u v v dudv
x x x dx x x x x x dx
x x x x xdx
+ − = + − − − − +
= − + − + +
∫ ∫∫
Ahora, la integral ( )∫ + xdxx cos34 , también se la realiza por partes.
Haciendo 34 += xu y dxxdv cos= . Entonces dxdu 4= y xxdxv sencos == ∫
Por tanto: ( ) ( ) ( )
( ) xxx
dxxxxxdxx
cos4sen34
4sensen34cos34
++=
−+=+ ∫∫
Finalmente:
( ) ( ) ( ) Cxxxxxxdxxxx ++++−+−=−+∫ cos4sen34cos532sen532 22
Ejemplo 3
Calcular xdxe x cos∫
SOLUCIÓN: Aquí cualquiera de las funciones puede ser u . Haciendo xeu = y dxxdv cos= .
Entonces dxedu x= y xxdxv sencos == ∫
Por tanto: cos sen senx x x
u u v v dudv
e x dx e x x e dx= −∫ ∫
La integral sen xx e dx∫ se la calcula por parte.
Hacemos xeu = y dxxdv sen= . Entonces dxedu x= y xxdxv cossen −== ∫ .
Por lo tanto ∫ ∫+−= xdxexexdxe xxx coscossen
Finalmente:
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17
cos sen cos cos
cos sen cos cos
x x x x
x x x x
e xdx e x e x e xdx
e xdx e x e x e xdx
⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
= + −
∫ ∫∫ ∫
Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando
2 cos sen cosx x xe xdx e x e x= +∫
sen coscos2
x xx e x e xe xdx C+
= +∫
Ejemplo 4
Calcular ∫ xdxx ln
SOLUCIÓN: Aquí debemos tomar xu ln= y dxxdv = .(¿por qué?)
Entonces dxx
du 1= y
2
2xxdxv == ∫
Por tanto:
( ) ( )2 2
21 12 2
221 1
2 2
1ln ln2 2
ln
ln2
dvu uv duv
x xx xdx x dxx
x x xdx
xx x C
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= −
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫∫
2
212ln ln
4xx xdx x x C= − +∫
Ejemplo 5
Calcular ∫ xdxln
SOLUCIÓN:
Aquí sería también xu ln= y dxdv = . Entonces dxx
du 1= y xdxv == ∫
Por tanto:
1ln ln
u dv v u v
du
x dx x x x dxx
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
ln lnxdx x x x C= − +∫
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
18
Ejemplo 6
Calcular ∫ dxxx arctg
SOLUCIÓN:
Tomamos xu arctg= y xdxdv = , entonces: dxx
du21
1+
= y 2
2xv =
Por tanto:
( )
dxx
xxx
dxx
xxxxdxx
∫∫∫
+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1arctg
11
22arctgarctg
2
2
212
21
2
22
Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta:1
111 22
2
+−=
+ xxx
Reemplazando ∫ ∫∫∫ −=+
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−=
+xxdx
xdxdx
xdx
xx arctg
11
111
1 222
2
FINALMENTE: [ ] Cxxxxxdxx +−−=∫ arctgarctgarctg 212
21
Algunas integrales pueden ser calculadas por diferentes métodos.
Ejemplo 7
Calcular∫ − dxxx 1
SOLUCIÓN: Esta integral ya fue calculada empleando cambio de variable (ejemplo 4), ahora la vamos a calcular integrando por partes. Sean u x= y 1dv x dx= − entonces:
du dx= y ( ) ( ) ( )12
32
11
212
1 21 1 11 3
xv x dx x dx x
+−= − = − = = −
+∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
3 32 2
32
32
1
32
2 21 1 13 3
12 213 3 1
u u dudvvv
x x dx x x x dx
xx x C+
⎡ ⎤− = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
−= − − +
+
∫ ∫
Por tanto:
( ) ( )3 52 22 41 1 1
3 15xx x dx x x C− = − − − +∫
Suficiente, pero para dejarla de la misma forma que el resultado que se obtuvo resolviéndola por cambio de variable, simplificamos:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
19
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
3 52 2
3 22 2
32
32
32
32
2 41 1 13 15
2 21 13 52 21 13 52 2 213 5 52 3 213 5 5
21 1 3 215
xx x dx x x C
x x x C
x x x C
xx x C
xx C
x x dx x x C
− = − − − +
⎡ ⎤= − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
− = − + +
∫
∫
En otras ocasiones se puede necesitar hacer un cambio de variable primero.
Ejemplo 8
Calcular23 xx e dx∫
SOLUCIÓN:
Primero hagamos el cambio de variable 2t x= , de aquí 2
2
dt xdxdtdxx
=
=
Realizando la sustitución correspondiente:
23 3 21 12 2 2
x t t tdtx e dx x e x e dt te dtx
= = =∫ ∫ ∫ ∫
La última integral se la realiza por partes:
Tenemos aquí u t= y tdv e dt= entonces du dt= y tv e= Por tanto
1 1 12 2 2
t t t t t
u dv u v v du
t e dt t e e dt te e C⎡ ⎤
⎡ ⎤= − = − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
Finalmente quedaría:
2 2 23 212
x x xx e dx x e e C⎡ ⎤= − +⎣ ⎦∫
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
20
Ejercicios Propuestos 1.3 Encuentre las antiderivadas de:
1. ∫ dxex x3
2. ( )∫ + dxex x21
3. ( )∫ − xdxx 3sen12
4. ( )∫ − dxxx 13sen
5. ∫ − dxex x22
6. ( )∫ +− dxexx x22 23
7. ( )∫ − xdxx ln12
8. ∫ dxxx 2ln
9. ∫ dxxx ln
10. ∫ x
dxxx2sen
cos
11. ( )∫ dxxx 2arctg
12. ∫ dxe x
13. ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ dxxx 21ln
14. ∫ dxxarcsin
15. ∫ xdxarctg
16. ( )∫ dxxtanarc
17. ( )∫ dxxlncos
18. dxx∫ sen
19. ( )∫ dxxlnsen
20. ( )∫ dxxx tglnsen
1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas, es
necesario utilizar identidades trigonométricas.
Tenemos aquí algunos casos:
CASO I: Integrales que contienen senos o cosenos con exponentes enteros mayores que uno
Para este caso se sugiere, lo siguiente: 1. Si el exponente del seno o coseno es un número IMPAR usar:
xx
xx22
22
sen1cos
cos1sen
−=
−=
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
21
2. Si el exponente del seno o coseno es un número PAR usar:
2
2cos1cos
22cos1sen
2
2
xx
xx
+=
−=
Ejemplo 1
Calcular ∫ dxx2cos
SOLUCIÓN: Usamos la regla para la potencia par:
Cxx
xdxdx
dxxdxx
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
∫ ∫∫∫
22sen
21
2cos121
22cos1cos2
Ejemplo 2
Calcular ∫ dxx3sen
SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia impar:
( )
∫∫∫∫∫
−=
−=
=
xdxxxdx
xdxx
xdxxdxx
sencossen
sencos1
sensensen
2
2
23
De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución.
1. xxdx cossen −=∫
2. ∫ xdxx sencos2 requiere el cambio de variable xt cos= entonces xdxdt sen−= .
Reemplazando resulta: ( )∫∫ −=−=3
cossencos3
22 xdttxdxx
FINALMENTE: Cxxxdx ++−=∫ 3coscossen
33
Ejemplo 3
Calcular ∫ dxx4cos
SOLUCIÓN: Ahora usamos la regla para la potencia par:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
22
( )
Cxxxx
xdxdxxx
dxxxx
xdxxdxdx
dxx
dxxdxx
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+++=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
=
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫∫
∫ ∫
44sen
212sen
41
4cos1212sen
41
24cos1
22sen2
41
2cos2cos2141
22cos1
coscos
2
2
224
Ejemplo 4
Calcular ∫ − dxxx 43 cossen
SOLUCIÓN: Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente:
( )
( ) ( )∫ ∫∫∫∫
−−
−
−−
−=
−=
=
dxxxdxxx
dxxxx
dxxxxdxxx
sencossencos
cossencos1
cossensencossen
24
42
4243
Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable xt cos= de donde xdxdt sen−= , resulta
( ) ( ) ( ) ( )
Cxx
Ctt
dttdttdxxxdxxx
+−=
+−
+−
−=
−−−=−
−−
−−
−−−− ∫ ∫∫ ∫
13
13
2424
cos3
cos13
sencossencos
Ejemplo 5
Calcular 3 6cos senx x dx−∫
SOLUCIÓN: Como el exponente de coseno es impar, hacemos lo siguiente:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
23
( )
( ) ( )
3 6 2 6
2 6
6 2 6
6 4
cos sen cos cos sen
1 sen cos sen
cos sen sen cos sen
sen cos sen cos
x x dx x x x dx
x x x dx
x x dx x x x dx
x xdx x x dx
− −
−
− −
− −
=
= −
= −
= −
∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫
Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable sent x= de donde cosdt xdx= , resulta
( ) ( ) ( ) ( )6 4 6 4
5 3
5 3
sen cos sen cos
5 3sen sen
5 3
dt dtt t
x xdx x x dx t dt t dt
t t C
x x C
− − − −
− −
− −
− = −
= − +− −
= − + +
∫ ∫ ∫ ∫
Finalmente:
5 3
3 6 sen sencos sen5 3
x xx x dx C− −
− = − + +∫
Ejemplo 6
Calcular ∫ dxxx 42 cossen
SOLUCIÓN: Como ambos son pares, entonces:
( )
( )( )
( )
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−−+=
−−+=
++−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
=
∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫
∫∫
xdxxdxxdxdx
dxxxx
dxxxx
dxxx
dxxxdxxx
2cos2cos2cos181
2cos2cos2cos181
2cos2cos212cos181
22cos1
22cos1
cossencossen
32
32
2
2
22242
Las dos últimas integrales son trigonométricas
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
24
( )
Cxxxxxx
xdxxxdxxxxx
xxxdxdxxx
xdxxdxxxx
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−−+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−+=
∫ ∫∫∫ ∫
∫ ∫
62sen
22sen
84sen
222sen
81
2cos2sen2cos44sen
21
22sen
81
2cos2sen14cos121
22sen
81
2cos2cos2
4cos122sen
81
3
2
2
2
FINALMENTE:
Cxxxdxxx +⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=∫ 6
2sen84sen
281cossen
342
Ejemplo 7
Calcular 4 2sen cosx x dx∫
SOLUCIÓN: Como ambos son pares, entonces:
( )
( )( )
( )
( )
24 2 2 2
2
2
2 2 3
2 3
2 3
sen cos sen cos
1 cos2 1 cos22 2
1 1 2cos2 cos 2 1 cos28
1 1 2cos2 cos 2 cos2 2cos 2 cos 28
1 1 cos 2 cos 2 cos 28
1 1 cos2 cos 2 cos 28
x x dx x x dx
x x dx
x x x dx
x x x x x dx
x x x dx
dx xdx xdx xdx
=
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − + +
= − + + − +
= − − +
⎡= − − +
∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫
⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Las dos últimas integrales son trigonométricas:
( )
2
2
2
1 sen 2 1 cos4 cos 2 cos 28 2 2
1 sen 2 1 1 cos4 1 sen 2 cos28 2 2
1 sen 2 1 sen 4 cos2 sen 2 cos28 2 2 4
1 sen 28 2 2
x xx dx x xdx
xx dx xdx x xdx
x xx x xdx x xdx
x xx
⎡ ⎤+⎛ ⎞= − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − − + + −
⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= − − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= − − −
∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫3sen 4 sen 2 sen 2
8 2 6x x x C
⎡ ⎤⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
Finalmente:
3
4 2 1 sen 4 sen 2sen cos8 2 8 6
x x xx x dx C⎡ ⎤
= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
25
CASO II. Integrales que contienen productos del seno y coseno con argumentos múltiplo de x .
nxdxxm cossen∫ , nxdxxm sensen∫ , nxdxxm coscos∫
En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como sea
conveniente:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
xnmxnmnxmx
−++=
−−+−=
−++=
coscos21coscos
coscos21sensen
sensen21cossen
Ejemplo 1
Calcular: sen 3 cos5x x dx∫
SOLUCIÓN: Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta:
( ) ( )
( )
( )
1sen 3 cos5 sen 3 5 sen 3 52
1 sen 8 sen 22
cos 21 cos82 8 2
x x dx x x dx
xdx x dx
xx C
= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦−⎡ ⎤
= − − +⎢ ⎥−⎣ ⎦
∫ ∫∫ ∫
Por tanto:
cos8 cos 2sen 3 cos5
16 4x xx x dx C= − + +∫
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
26
Ejemplo 2
Calcular xdxxx 3sen2sensen∫
SOLUCIÓN: Agrupando y aplicando identidades, tenemos:
( )
( ) ( )[ ]
( )[ ]
[ ] [ ]
Cxxx
xdxxdxxdx
dxxxxx
xdxxxdxx
dxxxxx
xdxxx
xdxxxxdxxx
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
−−−=
−−+−=
=
∫ ∫ ∫∫ ∫
∫∫∫∫∫∫
22cos
44cos
66cos
41
2sen4sen6sen41
2sen4sen210sen6sen
21
21
cos3sen3cos3sen21
3sencos3sen3cos21
3sen21cos21cos21
3sen2sensen3sen2sensen
CASO III. Integrales que contienen tangentes y cotangentes
con exponentes enteros mayores que uno ∫ dxxntg y ∫ dxxg ncot
Aquí se recomienda usar las identidades: 1csccot
1sectg22
22
−=
−=
xxg
xx
Ejemplo 1
Calcular ∫ dxx3tg
SOLUCIÓN:
( )
∫∫∫∫∫
−=
−=
=
xdxxdxx
xdxx
gxdxtxdxx
tgtgsec
tg1sec
tgtg
2
2
23
La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución. xt tg= de donde xdxdt 2sec= FINALMENTE:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
27
( )
Cxx
xtdtdxx
++=
−−= ∫∫cosln
2tg
coslntg
2
3
Ejemplo 2
Calcular 4cot x dx∫
SOLUCIÓN: Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta:
( )
∫∫∫∫∫
−=
−=
=
xdxgxdxxg
dxxxg
dxxgxgdxxg
222
22
224
cotcsccot
1csccot
cotcotcot
La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica respectiva, es decir:
( )
Cxgxxg
dxxdxxg
dxxxg
dxxgdxxgxdxxgdtt
+++−=
+−−=
−−−=
−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
∫∫∫
∫ ∫∫ −
cot3
cot
csc3
cot
1csc3
cot
cotcsccotcot
3
23
23
222
4
CASO V. INTEGRALES DE LA FORMA:
∫ xdxx nm sectg Y ∫ xdxxg nm csccot
1. Si el exponente de la secante o cosecante " n " es par, se procede
con el diferencial de la tangente o cotangente.
Ejemplo
Calcular ∫ − xdxx 423
sectg
SOLUCIÓN:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
28
( )
∫∫∫∫∫
−
−
−−
+=
+=
=
dxxxdxxx
dxxxx
xdxxxdxxx
22322
1
2223
222342
3
sectgsectg
sec1tgtg
secsectgsectg
Las dos integrales últimas se hacen por sustitución:
Cxx
Cxx
dxxxdxxxxdxxdttdtt
+−=
+−
+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
−
−
−− ∫∫∫
21
23
32
21
23
22
3
22
1
423
tg2tg
21
tg
23
tg
sectgsectgsectg
2. Si el exponente de la tangente o cotangente " m " es impar, se procede con el diferencial de la secante o cosecante.
Ejemplo
Calcular ∫ − xdxx 213 sectg
SOLUCIÓN: Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante
( )( )∫∫ −−
=xd
xdxxxxxdxxsec
2322
13 tgsecsectgsectg
y luego resolviendo, tenemos:
( ) ( )
( ) ( )∫∫∫∫
−
−−
−=
−=
xdxxxxdxxx
xdxxxxxdxx
tgsecsectgsecsec
tgsecsec1secsectg
23
21
2322
13
estas últimas integrales se resuelven por sustitución:
( ) ( )
xx
xdxxxxdxxxxdxxdttdtt
21
23
32
23
21
213
sec2sec
tgsecsectgsecsecsectg
−
−−
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫∫∫
Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya definidos:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
29
Ejemplo
Calcular ∫ dxx3sec
SOLUCIÓN: Esta integral se resuelve por partes
∫∫ =dvu
xdxxdxx 23 secsecsec
Entonces si tomamos xu sec= tenemos xdxxdu tgsec= y si tomamos xdxdv 2sec= tenemos xv tg=
Ahora, integrando
( )
xxxdxxxdxx
xdxxdxxx
xdxxxx
xdxxxx
xdxxxxxdxxduvvu
tgseclnsectgsecsec
secsectgsec
sec1sectgsec
sectgtgsec
tgsectgtgsecsec
33
3
2
2
3
++−=
+−=
−−=
−=
−=
∫∫∫∫
∫∫∫∫
FINALMENTE, despejamos la integral buscada
Cxxxxdxx
xxxxdxx
+++=
++=
∫∫
tgseclntgsecsec
tgseclntgsecsec2
21
213
3
Ejercicios Propuestos 1.4 Encuentre las antiderivadas de:
1. ( )dxx∫ − 2cos32 2
2. ∫ xdx3sen3
3. ∫ dxx6cos
4. ∫ dxxx sencos5
5. ∫ dxxx 5sen3sen
6. ∫ dxxx3
2cos3
sen
11. ∫ dxxtan5
12. ∫ dxxc 6tg
13. dxx∫ 5tan2
14. xdxx∫ − 23
sectg5
15. ∫ xx
dx22 cossen
16. ( ) ( )∫ 23
2xx CosSen
dx
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
30
7. ∫ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛− dxxxsen
43cos
62 ππ
8. ∫ dxxx 3coscos 2
9. ( ) ( ) dxxx∫ 2cos2sen 73
10. ∫ dxxxx 3cos2coscos
17. ∫ xx
dx42 cossen
18. ( )∫
π+dx
xxx
cossensen 4
19. ∫ xx
dx
cossen 2
20. ∫ dxx3csc
1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante una
sustitución trigonométrica. Usualmente presentan la forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se recomienda:
Si tenemos 22 xa − sustituir tax sen= Si tenemos 22 xa + sustituir tax tg= Si tenemos 22 ax − sustituir tax sec=
Ejemplo 1
Calcular∫ − dxx
x2
24
SOLUCIÓN: En este caso hacemos tx sen2= entonces tdtdx cos2= Reemplazando y resolviendo, resulta:
( )( )
( )
( )
22 2
2 2 2
2 2
2 2
22
2 2
2 2
4 2sen4 4 4sen2cos 2cos4sen2sen
4 1 sen 4coscos cos2sen 2sen
2cos coscos cot2sen sen
csc 1 csc
cot
tx tdx tdt tdtx tt
t ttdt tdtt t
t ttdt dt g tdtt t
t dt tdt dt
gt t C
−− −= =
−= =
= = =
= − = −
= − − +
∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
Ahora hay que regresar a un expresión en " x ", para lo cual del cambio de variable tenemos 2
sen xt = . Por
trigonometría, hacemos el siguiente triángulo:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
31
De la figura, observamos que x
xtg24cot −
= y como
2arcsen xt = tenemos:
Cxx
x
Ctgtdxx
x
+−−
−=
+−−=−∫
2arcsen4
cot4
2
2
2
Ejemplo 2
Calcular( )∫ + 2
32
3
9x
dxx
SOLUCIÓN: En este caso hacemos tx tg3= entonces dttdx 2sec3= Reemplazando y resolviendo, resulta:
( )( )
( )( )
( )
( )
[ ] Ctt
tdttdtt
dtttdt
ttt
dtttt
dtt
tt
dttt
dtt
tt
dtt
tt
dt
t
tt
tdtt
t
x
dxx
++=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
−=
=
=
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
+
=
+
∫ ∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
cossec3
sentgsec3
sectg
secsectg3
sec1sectg3
sectgtg3
sectg3
sec27sectg81
sec3sectg81
9tg9
sec3tg27
sec39tg3
tg3
9
2
2
2
3
3
23
3
23
32
23
2
23
2
3
23
2
3
24 x−
x2
t
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
32
Ahora por trigonometría, del cambio de variable 3
tgx
t = tenemos el siguiente triángulo:
Ejemplo 3
Calcular∫ − dxx
x3
2 16
SOLUCIÓN: En este caso hacemos tx sec4= entonces tdttdx tgsec4= Reemplazando y resolviendo, resulta:
92 +x
3
t
x
Por tanto 3
9sec2 +
=xt y
9
3cos2 +
=x
t
FINALMENTE,
( )
Cx
x
x
dxx+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
+=
+∫ 9
33
939
2
2
232
3
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
33
( )( )
( )
Cttt
Ctt
tdtdt
dtt
tdt
dt
t
t
t
dtt
t
tdtt
t
tdtt
t
tdtt
t
tdttt
t
tdttt
tdx
x
x
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=
=
=
=
=
−=
−=
−=
−
∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
2cossen2
81
22sen
81
2cos181
22cos1
41
sen41
cos
1cos
sen
41
sec4
tg
tgsec4
tg4
tgsec4
tg16
tgsec4
1sec16
tgsec4sec4
16sec16
tgsec4sec4
16sec416
2
2
2
2
2
2
22
22
2
22
2
33
2
3
2
3
2
Ahora por trigonometría , del cambio de variable 4
sec xt = tenemos el siguiente triángulo:
FINALMENTE:
Cxx
xxarc
Ctttdxx
x
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −−=
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
−∫416
4sec
81
2cossen2
8116
2
3
2
En otras integrales, es necesario completar cuadrado primero.
4
162 −x
t
x
Por tanto,
4sec xarct = ,
xxt 16sen
2 −= y
xt 4cos =
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
34
Ejemplo 4
Calcular∫ −− dxxx 245
SOLUCIÓN: Primero completamos cuadrado, para de allí realizar una simple sustitución algebraica y luego la sustitución trigonométrica que convenga.
( )
( ) dxx
dxxxdxxx
∫∫∫
+−=
+++−=−−
2
22
29
444545
En la última integral podemos hacer 2+= xu entonces dxdu = y la integral quedará así:
∫ − duu 29
Para la cual la sustitución trigonométrica adecuadas es tu sen3= de la cual resulta tdtdu cos3= . Reemplazando y resolviendo, tenemos:
Cttt
Ctt
dttdt
dtt
tdt
tdtt
tdttduu
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
=
=
−=−
∫∫∫∫∫∫∫
2cossen2
29
22sen
29
2cos129
22cos19
cos9
cos3cos3
cos3sen999
2
22
Del cambio de variable 3
sen ut = obtenemos el siguiente triángulo:
Por tanto,
29 u−
u
t
3
Entonces:
3
arcsen ut = y
39cos
2ut −=
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
35
[ ]
Cuuu
Ctttduu
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
++=−∫3
933
arcsen29
cossen299
2
2
Finalmente, como 2+= xu , reemplazando resulta:
( ) ( )
Cxxx
Cuuuduu
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ +−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
+⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−∫
9292
32arcsen
29
99
3arcsen
299
2
22
Ejercicio Propuestos 1.5 Encuentre las antiderivadas de:
1. ∫ − dxxx 22 9
2. ( )∫ − 2
321 x
dx
3. ( )∫ −
dxx
x
23
2
2
1
4. ∫ −dx
x
x2
2
9
5. 2
22x dx
x−∫
6. ∫ + 92xx
dx
7. ∫ − 923 xx
dx
8. ∫ −124 xx
dx
9. ∫ −dx
x
x
22
2
10. ∫ − 2
2
4 xx
dxx
11. ( )∫ ++
32 134xx
dx
12. 2 16
x
x
e dxe +∫
13. ∫ + xe
dx21
14. ∫ ++ 1tg4tg
sec2
2
xx
xdx
15. ∫ + x
xdxx4sen9
cossen
16. ∫ + 21
arctg
x
xdxx
17. ( )∫ +
dxx
ex tanxarc
23
21
18. ∫ dxxarcx cos2
19. ∫ −− xxx
dxx2lnln41
ln
20. ( )∫ −+ 42 11 xx
xdx
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
36
1.2.3.6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Una función racional tiene regla de correspondencia de la forma )()()(
xqxpxf =
donde tanto )(xp como )(xq con funciones polinomiales. Si el grado de )(xp es mayor o igual que el grado de )(xq se dirá que es una
Fracción Impropia. Si el grado de )(xp es menor que el grado de )(xq se dirá que es una Fracción Propia.
CASO I. FRACCIÓN IMPROPIA En este caso se sugiere empezar dividiendo )(xp entre )(xq y luego integrar.
Ejemplo 1
Calcular ∫ ++++ dx
xxxx
12132 23
SOLUCIÓN: Aquí el numerador tiene grado 3 y el denominador tiene grado 1, por lo tanto realizamos la división del polinomio 132 23 +++ xxx entre 12 +x . Es decir:
12
12
12
2
132
2
2
223
23
+−−
++
++
−−
+++
xx
xx
xxx
xx
xxx
Entonces: 12
112
132 223
+++=
++++
xxx
xxxx
Integrando ahora, tenemos:
Cxxx
dxx
xdxdxx
dxx
xxdxx
xxx
++
++=
+++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+++=
++++
∫ ∫ ∫∫∫
212ln
23
121
121
12132
23
2
223
CASO II. FRACCIÓN PROPIA
Cuando la función racional
)()(
xqxp es una fracción propia, primero determine si
es que se trata de una integración directa.
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
37
Ejemplo
Calcular 2
10 35 3 1
x dxx x
−− +∫
SOLUCIÓN: En este caso tenemos una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del
denominador es dos) y además se observa que ( )25 3 1 10 3d x x xdx
− + = −
Entonces integramos por sustitución:
Considerando 25 3 1t x x= − + tenemos ( )10 3dt x dx= −
2
10 3 ln5 3 1
x dtdx t Ctx x
−= = +
− +∫ ∫
Por tanto:
22
10 3 ln 5 3 15 3 1
x dx x x Cx x
−= − + +
− +∫
Si lo anterior no se da y el denominador se puede factorizar se recomienda
usar el método de fracciones parciales, el cual consiste en expresar la fracción propia del integrando como una suma de fracciones equivalentes y proceder a integrar estas fracciones. La regla general para las fracciones parciales es la siguiente:
Sea ( )( )
p xq x
una fracción propia. Entonces:
1. Se podrá expresar en tantas fracciones parciales como factores tenga el denominador ( )q x .
2. Cada denominador de las fracciones parciales es un factor de ( )q x .
3. El numerador de cada fracción parcial será un polinomio de un grado menor a su denominador.
Podemos considerar los siguientes tipos: TIPO I: Suponga que ( )q x (el denominador) se puede expresar en
factores lineales diferentes
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
38
Ejemplo 1
Calcular 2
42 5 2
x dxx x
−+ +∫
SOLUCIÓN: Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del denominador es dos). Además observe que la derivada del denominador no es el numerador. Empecemos factorizando el denominador
( )( )2
4 42 1 22 5 2
x xx xx x
− −=
+ ++ +
El denominar se expresa en 2 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían de la forma siguiente:
( )( )
42 1 2 2 1 2
x A Bx x x x
−= +
+ + + +
Ahora debemos encontrar los valores de A y B
Multiplicando por ( )( )2 1 2x x+ + a cada término, resulta:
( )4 2 (2 1)x A x B x− = + + +
Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de )(xq :
Si 2x = − , resulta:
( ) ( ) ( )( )( )
4 2 2 2 2 2 1
6 3
2
A B
B
B
− − = − + + − +
= −
= −
Si 12x = − , resulta:
( ) ( ) ( )( )1 1 12 2 24 2 2 1
9 32 2
3
A B
A
A
− − = − + + − +
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Integrando,
( ) ( )
4 3 22 1 2 2 1 2
1 13 22 1 2
x dx dxx x x x
dx dxx x
− −⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠
= −+ +
∫ ∫∫ ∫
( )( )
ln 2 14 3 2ln 22 1 2 2
xx dx x Cx x
+−= − + +
+ +∫
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
39
Ejemplo 2
Calcular 2
3 2
6 7 42
x x dxx x x
+ −+ −∫
SOLUCIÓN: Aquí también tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es dos mientras que el grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador
( ) ( )( )
2 2 2
3 2 2
6 7 4 6 7 4 6 7 42 12 2
x x x x x xx x xx x x x x x
+ − + − + −= =
+ −+ − + −
El denominar se expresa en 3 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían de la forma siguiente:
( )( )
26 7 42 1 2 1
x x A B Cx x x x x x
+ −= + +
+ − + −
Ahora debemos encontrar los valores de A , B y C
Multiplicando por ( )( )2 1x x x+ − a cada término, resulta:
( ) ( )26 7 4 2 1 ( 1) ( 2)x x A x x Bx x Cx x+ − = + − + − + +
Evaluando :
Si 0=x , resulta:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )26 0 7 0 4 0 2 0 1 0 (0 1) 0 (0 2)
4 2
2
A B CA
A
+ − = + − + − + +
− = −
=
Si 2x = − , resulta:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )26 2 7 2 4 2 2 2 1 2 ( 2 1) 2 ( 2 2)24 14 4 6
6 6
1
A B CBB
B
− + − − = − + − − + − − − + − − +
− − ==
=
Si 1x = , resulta:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )26 1 7 1 4 1 2 1 1 1 (1 1) 1 (1 2)
9 3
3
A B CC
C
+ − = + − + − + +
=
=
Integrando,
2
3 2
6 7 4 2 1 32 12
1 1 12 32 1
x x dx dxx x xx x x
dx dx dxx x x
+ − ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟+ −+ − ⎝ ⎠
= + ++ −
∫ ∫∫ ∫ ∫
2
3 2
6 7 4 2ln ln 2 3ln 12
x x dx x x x Cx x x
+ −= + + + − +
+ −∫
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
40
Ejemplo 3
Calcular dxxxx
x∫ −−
+
3235
23
SOLUCIÓN: Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador:
( ) ( )( )1335
2235
3235
223 +−+
=−−
+=
−−
+xxx
xxxx
xxxx
x
El denominar se expresa en 3 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían de la forma siguiente:
( )( ) 131335
++
−+=
+−+
xC
xB
xA
xxxx
Ahora debemos encontrar los valores de A , B y C Multiplicando por ( )( )13 +− xxx a cada termino, resulta: ( )( ) )3()1(1335 −++++−=+ xCxxBxxxAx Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de )(xq : Si 0=x , resulta:
( )( )
133
)30)(0()10)(0(10303)0(5
−=−=
−++++−=+
AA
CBA
Si 3=x , resulta: ( )( )
231218
)33)(3()13)(3(13333)3(5
=
=−++++−=+
B
BCBA
Si 1−=x , resulta: ( )( )
21
42)31)(1()11)(1(11313)1(5
−=
=−−−−++−−++−−−=+−
C
CCBA
Integrando:
Cxxx
dxx
dxx
dxx
dxxxx
dxxxx
x
++−−+−=
+−
−+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
−+
−=
−−
+
∫ ∫ ∫∫∫
−
1ln3lnln
11
21
31
231
131
3235
21
23
21
23
23
TIPO II. Suponga que ( )q x se puede expresar en factores lineales donde
hay alguno repetido
Ejemplo 1
Calcular ( )( )
2
2
4 151 2
x x dxx x− − +
+ −∫
SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para el integrando serían de la forma:
( )( ) ( )
2
2 2
4 151 21 2 2
x x A B Cx xx x x
− − += + +
+ −+ − −
Multiplicando por ( )( )21 2x x+ − se obtiene:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
41
( ) ( )( )22 4 15 2 1 2 ( 1)x x A x B x x C x− − + = − + + − + +
Evaluando para las raíces:
Si 1x = − , resulta:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 21 4 1 15 1 2 1 1 1 2 ( 1 1)
1 4 15 918 9
2
A B C
AA
A
− − − − + = − − + − + − − + − +
− + + =
=
=
Si 2x = , resulta:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 22 4 2 15 2 2 2 1 2 2 (2 1)
4 8 15 33 3
1
A B C
CC
C
− − + = − + + − + +
− − + =
=
=
Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro valor de x y empleamos los valores de las constantes ya encontrados:
Si 0=x , resulta:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2 20 4 0 15 2 0 2 0 1 0 2 1(0 1)
15 2 4 2 1 16 2
3
B
BB
B
− − + = − + + − + +
= + − +
= −
= −
Integrando:
( )( ) ( )
( )
2
2 2
2
4 15 2 3 11 21 2 2
1 1 12 31 2 2
x x dx dxx xx x x
dx dx dxx x x
⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ −+ − −⎝ ⎠
= − ++ − −
∫ ∫∫ ∫ ∫
( )( )
2
2
4 15 12ln 1 3ln 221 2
x x dx x x Cxx x
− − += + − − − +
−+ −∫
Ejemplo 2
Calcular ( )( )∫ −+
+− dxxxxx
2
2
131383
SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma:
( )( ) ( )22
2
113131383
−+
−+
+=
−+
+−
xC
xB
xA
xxxx
multiplicando por ( )( )213 −+ xx se obtiene:
( ) ( )( ) )3(1311383 22 ++−++−=+− xCxxBxAxx Evaluando para las raíces: Si 3−=x , resulta:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
42
( ) ( ) ( )( )
41664
)33(1331313)3(833 22
==
+−+−+−+−−=+−−−
AA
CxBA
Si 1=x , resulta:
( ) ( )( )
248
)31(11311113)1(8)1(3 22
==
++−++−=+−
CC
CBA
Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro x y empleamos los valores ya encontrados: Si 0=x , resulta:
( ) ( )( )
163413
)30(2103010413)0(8)0(3 22
−=++−=
++−++−=+−
BB
B
Integrando:
( )( ) ( )
( )
Cx
xx
dxx
dxx
dxx
dxxxx
dxxx
xx
+−
−−−+=
−+
−−
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−−
++
=−+
+−
∫∫∫∫∫
121ln3ln4
1
121
13
14
1
21
13
4
13
1383
2
22
2
TIPO III. Suponga que ( )q x se puede expresar en factores donde hay
cuadráticos irreducibles
Ejemplo 1
Calcular ∫ ++
−− dxxxx
x23
42
SOLUCIÓN: Primero factoricemos el denominador.
( )3 2 2
2 4 2 41
x xx x x x x x− − − −
=+ + + +
El factor cuadrático es irreducible, en este caso las fracciones parciales serían de la forma:
( ) 22
2 411
x A Bx Cx x xx x x
− − += +
+ ++ +
Simplificando, tenemos: ( ) [ ]( )xCBxxxAx ++++=−− 142 2
Empleemos ahora un segundo método para hallar los coeficientes: Destruyendo paréntesis y agrupando, tenemos:
42
2
0
22
)()(42
42
−−
++++=−−
++++=−−
AxCAxBAx
CxBxAAxAxx
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
43
Igualando coeficientes, tenemos: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=+
=+
42
0
ACABA
Entonces: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==−=
42
4
BCA
Ahora, integrando resulta
( )
Cxxx
dxxx
xx
dxxx
xdxx
dxxx
xx
dxxxx
x
++++−=
++
++−=
++
++−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++
++
−=
++
−−
∫∫∫
∫∫
1ln2ln4
1122ln4
12414
124442
2
2
2
223
Ejemplo 2
Calcular ∫ +−
+ dxxxx
x54
2523
2
SOLUCIÓN: En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma:
( )( )
5442
5425
5425
22
2
23
2
+−
+−+=
+−
+=
+−
+
xxCxB
xA
xxxx
xxxx
Note que para el polinomio de grado uno, que es numerador de la fracción con denominador el factor cuadrático, se lo define con la derivada del denominador; por asunto de facilitar el cálculo de la derivada. Simplificando, tenemos: ( ) ( )[ ]( )xCxBxxAx +−++−=+ 425425 22 Evaluando para 0=x ,
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )
5252
04025040205 22
=
=+−++−=+
A
ACBA
Para 2=x , porque anulamos el término que contiene a B y como ya se conoce el valor de A ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )
( )
554
212224225242225
52
22
=
+=
+−++−=+
C
CCBA
Evaluando para 1=x y empleando lo valores de A y C, tenemos:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )[ ]10
23
227
14125141215
554
52
5542
522
=
+−+=
+−++−=+
B
B
B
Ahora, integrando:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
44
( )
( )
( ) Cxxxx
dxx
xxx
dxxx
dxxx
xdxx
dxxx
xx
dxxxx
x
+−++−+=
+−++−+=
+−+
+−
−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
+−+=
+−
+
∫∫∫∫
∫∫
2arctg5
5454ln1023ln
52
12
15
5454ln1023ln
52
541
554
5442
10231
52
54
42
5425
2
22
22
25
5410
235
2
23
2
Ejemplo 3
Calcular ∫ +
− dxxx
x3
3 1
SOLUCIÓN: Note que en esta integral la fracción no es propia, el grado del numerador es 3 y el del denominador también; por tanto dividiendo primero, se obtiene:
xxx
xxx
+
+−=
+
−33
3 111
La integral sería ahora:
∫∫∫∫
+
+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+−=
+
−
dxxx
xdx
dxxx
xdxxx
x
3
33
3
11
111
La primera integral es directa y la segunda por fracciones parciales. Entonces:
( )( )
12
111
223 +
++=
+
+=
+
+
xCxB
xA
xxx
xxx
Simplificando tenemos: ( ) ( )[ ]( )xCxBxAx +++=+ 211 2
Evaluando para 0=x , resulta: ( ) ( )[ ]( )
1)1(1
0)0(21010 2
==
+++=+
AA
CBA
Evaluando para 1=x y utilizando el valor obtenido para A, resulta ( ) ( )[ ]( )
02222
1)1(211111 2
=+++=
+++=+
CBCB
CB
Evaluando para 1−=x y utilizando el valor obtenido para A, resulta
( )( ) ( )( )[ ]( )
22220
11211111 2
−=−−+=
−+−++−=+−
CBCB
CB
Tomando simultáneamente, ambos resultados, encontramos los valores de B y C
⎩⎨⎧
−=−=+
2202
CBCB
Bastaría con sumar miembro a miembro las ecuaciones y obtendríamos B: 2
124
−=
−=
B
B
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
45
Entonces
1212
2
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
−=
C
C
BC
OTRO MÉTODO para obtener A, B y C, que en ocasiones es más ventajoso, es el que sigue: En la expresión ( ) ( )[ ]( )xCxBxAx +++=+ 211 2 simplificamos hasta obtener un polinomio reducido en ambos lados de la ecuación, es decir:
( ) ACxxBAx
CxBxAAxx
+++=+
+++=+2
22
21
21
De la última expresión, rápidamente se puede decir que: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
+=
AC
BA
11
20
Por tanto ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
=
12
11
C
B
A
En fin, ahora integrando tenemos:
( )
( ) Cxxxx
dxx
dxx
xdxx
x
dxx
x
xx
dxxx
xdxdxxx
x
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++−−=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
++
+−−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+−+−=
+
+−=
+
−
∫ ∫∫∫∫∫∫
arctg1lnln
11
12
211
1
121
111
221
22
221
33
3
Y si hay factores cuadráticos irreducibles repetidos se procede de igual forma
que para los factores lineales repetidos.
Ejemplo 4
Calcular ( )( )
4 3
22
2 6 3
1 1
x x x dxx x
− − +
+ +∫
SOLUCIÓN: Aquí el denominador ya está factorizado, en este caso tenemos:
( )( ) ( )
4 3
2 2 22 2
2 6 31 11 1 1
x x x A Bx C Dx Ex xx x x
− − + + += + +
+ ++ + +
Multiplicando por el común denominador a cada término de la ecuación:
( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )24 3 2 22 6 3 1 1 1 1x x x A x Bx C x x Dx E x− − + = + + + + + + + +
Agrupando:
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
46
( ) [ ]( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 3 4 2 3 2 2
4 3 4 2 4 2 3 3 2 2
4 3 4 3 2
2 6 3 2 1 1
2 6 3 22 6 3 2
x x x A x x Bx C x x x Dx Dx Ex E
x x x Ax Ax A Bx Bx Bx Bx Cx Cx Cx C Dx Dx Ex Ex x x A B x B C x A B C D x B C D E x A C E
− − + = + + + + + + + + + + +
− − + = + + + + + + + + + + + + + +
− − + = + + + + + + + + + + + + + + Igualando coeficientes:
21
2 06
3
A BB C
A B C DB C D EA C E
+ =⎧⎪ + = −⎪⎪ + + + =⎨⎪ + + + = −⎪⎪ + + =⎩
De la primera y segunda ecuación, se obtiene: 2A B= − y 1C B= − −
Reemplazando A y C en la tercera ecuación y simplificando:
( ) ( )2 2 1 0
4 2 1 0
2 3
B B B DB B B D
D B
− + + − − + =
− + − − + =
= −
También reemplazamos A y C en la quinta ecuación:
( ) ( )2 1 3
2 2
B B E
E B
− + − − + =
= +
Reemplazando en la cuarta ecuación:
1 2 3 2 2 6
4 4
1
B B B BB
B
− − + − + + = −= −
= −
Y al reemplazar , se obtiene: 3A = , 0C = , 5D = − y 0E =
Reemplazando los valores obtenidos e integrando
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )
4 3
2 222 2
22 2
22 2
2 6 31 11 1 1
1 0 5 031 1 1
13 51 1 1
x x x A Bx C Dx Edx dxx xx x x
x xdx
x x x
x xdx dx dxx x x
⎛ ⎞− − + + +⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ ++ + +⎝ ⎠
⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
= − −+ + +
∫ ∫∫∫ ∫ ∫
( )( )
( )4 3 12 2
22
2 6 3 1 53ln 1 ln 1 12 21 1
x x x dx x x x Cx x
−− − += + − + + + +
+ +∫
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
47
Ejercicios Propuestos 1.6 Encuentre las antiderivadas de:
1. ( ) ( )∫ +− 31 xxdx
2. ( )∫ −−
−
xxx
dxx
2
2423
3. ( ) ( ) ( )∫ +++ 2321 xxx
dxx
4. ( )∫ ++
−
xxx
dxx
23
223
2
5. ( )( )( )∫ +−
−+ dxxx
xx
432
102
2
6. ∫ −+−
+− dxxxx
xx
1
1423
2
7. ∫ −+ 22
3
xx
dxx
8. ( ) ( )∫ +−+− 6544 22 xxxx
dx
9. ( ) ( )∫ +++
− dxxxx
x
221
1322
10. ∫ +
−−+ dxxx
xxx
9
9993
235
11. ∫ −dx
x 1
44
12. ( )( )( )∫ +++
++ dxxxx
xx
222
2322
2
13. ( )∫ +
dxx
x22
5
4
14. ( )∫ +
++ dxxx
xx22
2
2
824
15. ( ) ( )∫ +−
+− dxxx
xx
11
3422
2
16. ∫ −
− dxxx
x3
3
41
17. ∫ −+ 6coscos
sen2 xx
dxx
18. ∫ +− 13sec
sec2
2
ttant
dtt
19. ( )∫ + xxdx
sencos2
20. ∫ +++ 6321xxx
eee
dx
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
48
1.2.3.7 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS
CASO I. Integrales del tipo ( )∫ dxxxR cos,sen
Se recomienda la siguiente sustitución tx =2tg de donde
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=
+
−=
+=
dtt
dx
ttx
ttx
2
2
2
2
1211cos
12sen
Ejemplo
Calcular ∫ ++dx
xx cossen11
SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando:
( )
C
Ct
dtt
dtt
dtt
dtt
tttt
dtt
tt
tt
dxxx
x ++=
++=
+=
+=
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+
−+++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+
−+
++
=++
∫∫∫∫∫∫
2
2
2
22
2
2
2
2
tg1ln
1ln
11
122
222
12
1121
1
12
11
121
1cossen1
1
CASO II. Integrales donde se cumple que:
( ) ( )∫ ∫=−− dxxxRdxxxR cos,sencos,sen
Se recomienda usar la sustitución tx =tg de donde
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+=
+=
+=
2
2
2
1
1
1cos
1sen
tdtdx
tx
t
tx
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
49
Ejemplo
Calcular ∫ +dx
x2sen11
SOLUCIÓN: Reemplazando y simplificando:
( )( )( ) Cx
Ct
dtt
dtt
t
dt
t
tt
t
dt
t
t
t
dt
t
t
dxx
+=
+=
+=
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+
++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
=+
∫∫∫∫
∫∫
tg2arctg2
1
2arctg2
121
1
21
1
1
1
1
1
1
11
1
1
11
1
sen1
1
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
Ejercicios Propuestos 1.7
Encuentre las antiderivadas de:
1. ∫ ++ 5cossen2 xxdx
2. ∫ + xxdx
cos4sen3
3. ∫ −dx
xx cos4sen31
4. ∫ +dx
xsen
xsen2
2
1
5. ∫ + xxdx
tgsen
6. dxxxxx∫ ++−+
1cossin1cossin
7. dxxx
xx∫ ++−
1cossincos2sin
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
50
Misceláneos
Encuentre las antiderivadas de:
1. ∫ +
− dxxx
x
4
13
2. ∫ − dxx
x3
2 1
3. ∫ + dxxx 923
4. ( )∫ − dxexx x22 23
5. ∫ xdxx 2cos2sen 53
6. ( )( )∫ +−
− dxxx
x
11
622
7. ∫ −dx
xx2cos9
cos2
8. ( )∫ −+− dxexx x22 35
9. ∫ ++dx
ee
exx
x
142
10. ( )∫ dxx
xsenh
11. ( )( )∫ −++
+ dxxxx
x
154
12
12. ∫ − dxx
x21
13. ∫ xdxx cos2sen2
14. ∫ dxx
x2cos
cos
15. ∫ xdxx 7cos3cos
16. ( ) ( )∫ ++−
+− dxxxx
xx
322
45322
2
17. ( )∫ +dx
xx
x
1coscos
sen2
18. ∫ + dxx
x 12
19. ( )∫ −
dxx
x23
20. ∫ +dx
x
x
252
3
21. ∫ ++dx
xx
x
54
324
22. ∫ arctgxdxx2
23. ∫ − dxx
x241
24. ∫ xdxe x sen2
25. ∫ − dxx
xcos
sen1
26. ∫ +dx
ee
exx
x
422
27. ∫ dxxxln
28. ∫ + dxxx 12
29. ∫ − dxex x23
30. ∫ +dx
xx ln11
31. ∫ −−
− dxxxx
x
32
1223
32. ∫ +−+
+−−+ dxxxx
xxxx
35
745323
234
33. ( )∫ + 33 1 xxxdx
34. ∫ +− dx
xx
1322
35. ( )∫ − xdxx 2cos13
36. ( )∫ + dxx 32ln
37. ∫ +−
+ dxxx
x
23
322
38. ( )∫ +
− dxxx
x
4
12
3
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
51
39. ∫ +− dx
xxx
cossen1
40. ∫ + xxxdxcos2sen
sen2
41. ∫ −
+−+ dxx
xxe xar
2
2sen
1
243
42. ∫ − dxx
x2
2 4
43. ∫ xdxx 2cossen2
44. ∫ +dx
xx41
45. ∫ ++ xsenxdx
cos1
46. ( )∫ +− xdxxx ln523 2
47. ∫ +
+ dxe
ex
x
1
13
48. ( )∫ + xdxx 532 2
49. ∫ +dx
x
x
48
3
50. ( )∫ +− dxarctgxxx 346 2
51. ∫ dxx
x4
4
cos
sen
52. ∫ +− dx
xxxx
cossen3sencos2
53. ∫ dxxcos
54. ∫ −dx
x
x
13
55. ∫ +
− dxxx
x41
3
56. ∫ +
−+− dxxx
xxx24
23 1235
57. ∫ +dx
xxx
x2ln4
ln
58. ( )∫ −dx
x
x6
329
59. ( )( )∫ −++
+ dxxxx
x
12´2
372
60. ∫ +
+ dxxx
x
4
323
61. ∫ +dx
e
ex
x
1
2
62. ∫ +
+ dxx
x21
1
63. ∫ −dx
x
x2
2
1
64. ∫ +
− dxx
xx
1
23
2
65. ( )∫ + dxx
x2
2 23
16
66. ∫ ++− dx
xxxx1cossen
sen4cos3
67. ∫ − dxx
xxcos
cos4tg3 2
68. ( )∫ +dx
xx ln31
69. ∫ − xx
dx3
70. ∫ ++
− dxxx
x
963
522
71. 2 arcsenx xdx∫
72. ∫ xx
dx3cossen
73. ∫ ++ xx
dxx2cossen1
cos
74. ∫ + dxx1
75. ( )( )∫ +++ 221 2 xxx
dx
76. dxe
eex
xx
∫ +
+
5
34
24
77. xdxxx 2cos3cos2sin∫
78. dxxx
x∫ + 3
MOISES VILLENA MUÑOZ Cap. 1 La integral Indefinida
52
79. ( )∫ + 2cossin xx
dx
80. ∫ + xxdx
csccot
81. 1ln1
xx dxx
−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠∫
82. 3
2
sin cos1 cos
x xdxx+∫
83. ( )2sin2x x
dx+∫
84. 1 xe dx+∫
85. 3 2
cossin 2sin sin
xdxx x x− +∫
86. ( )22 1
dx
x +∫
87. ( ) ( )13 2sin 4 cos 4x x∫
88. 4cos2
x dxππ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∫
89. 3 sinsecsec
xx e dxx+∫
90. ( )arctan 2
21 4
te dtt+∫
91. 2 2
2 2
x x
x x
e e dxe e
−
−
−+∫
92. ( )
( )
2
4
3 cos sin
csc 7 sin
x x x x
x x x
− +
−∫
93. ( )
( )
tan 4
2
51 sin 4
x
dxx−∫
94. ( )
sec tan2
1 1 cos 22 2
x
x
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+∫
95. ( )( )3csc log
3
xdx
x∫
96. ( )2ln csc lnx xdx
x∫
97. ( ) ( )25 11 xx e dx++∫
98. ( )32 sinx xe e dx∫
99. ( )( )
5
1
cos ln1
x xdx
x x −
+
+∫
100. ∫ +− 224
3
xx
dxx
101. ∫ ++ 23 48
11
xx
dxx