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5/23/2018 Integracin Y Optimizacin Monte Carlo
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Integracin yOptimizacin Monte Car
Modelos y SimulacinM&S
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Integracin Monte Carlo
Se conocen como mtodos de Monte Carlo a mtodos ebasados en el muestreo aleatorio y que usan la computacional como tcnica de solucin
La integracin Monte Carlo es un mtodo de integracinque utiliza la simulacin para resolver integrales para las existe una solucin analtica o de forma cerrada.
Funciona mejor que otras tcnicas de solucin numrica de(como el mtodo de Simpson, o la regla trapezoidal) para de mayor dimensin.
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Integracin Monte Carlo
Sea
una funcin y suponga que queremos calcular
Sies una variable aleatoria con densidad , entonces la matemtica de la variable aleatoria es:
Si se tiene disponible una muestra aleatoria de la distribuciestimador insesgado de es la media muestral.
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Estimador Simple de Monte Carlo
Considere el problema de estimar
.
Si, es una muestra aleatoria uniforme(0,1), entonces
1
=
Converge a con probabilidad 1.
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Lmites de Integracin (0,1)Ejem
Calcule el estimador MC de:
y compare su estimador con el valor exacto.
Calculemos el valor exacto: ] 1.Y ahora utilizando MC:
m
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Lmites de Integracin (0,1)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.00 0.11 0.22 0.28 0.36 0.50 0.57 0.67
x
2 0 1 0 0
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Lmites de Integracin (0,1)EjerPropuesto
Calcule el estimador MC de: 1
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Lmites de Integracin Generales
Opcin A: Se realiza un cambio de variables de (a, b) a (0, 1)
La transformacin lineal es:
Substituyendo,
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Lmites de Integracin Generales
Opcin B: Se reemplaza la densidad uniforme (0, 1) con cua
densidad vlida en los lmites de integracin (a, b)
1
Por consiguiente, la integral es veces el valor promedsobre , .
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Lmites de Integracin (,)EjeCalcule el estimador MC de:
y compare su estimador con el valor exacto.
Calculemos el valor exacto: ] .Y ahora utilizando MC:
m
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Algoritmo para Integracin Simpl
Considere el problema de estimar 1. Generar , , iid de una Uniforme , 2. Calcular = 3. Se retorna
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Lmites de Integracin (,)Ejercicio Propuesto
Calcule el estimador MC de: sin 0,2 + 1,1
cos , 3
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Clculo del Error Estndar de La varianza de es donde .Cuando la distribucin de es desconocida, se sustituye por la demprica de la muestra por lo que se puede realizar la siguiente es
1
=
Y el error estndar sera:
1
=
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Intervalo de Confianza paraEstimadores MCEl teorema del lmite central implica que:
Converge a una 0,1 cuando . Este hecho puedepara poner lmites de confianza a las estimaciones realizadas
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Reduccin de la Varianza
Cuando se usa MC, los estimadores obtenidos varansimulacin a otra.
Se desea reducir esta variabilidad para aumentar la conestimador.
Cmo hacerlo?
Incrementar el valor de , el nmero de repeticiones. Utilizar tcnicas de reduccin de varianza.
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Incrementar el Nmero deSimulacionesSi tenemos una cota mxima para el error estndar de , se puedenmero de rplicas necesarias como:
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Integrales MltiplesPara calcular la cantidad
,
Utilizamos el hecho que , , Con , , independientes y uniformes en 0,1 Si , ,
, ,
, , Son muestras independientes de estas variables, podemos estimar
1 , ,
=
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Integrales MltiplesEjemplo
Calcule el estimador de MC de:
, + 0,1 0,1
O ti i i d M t C l B
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Optimizacin de Monte Carlo. Bsqualeatoria pura.
Supongamos que se desea minimizar una funcin como:
Calculando la derivada y hallando las races:
mnimo local mximo local mnimo global
{0, 5/12 ,1}
5.1,5.0con245
3617
4)( 23
4
xxf xxx
0 . 5 0 . 5 1 1 . 5
- 0 . 0 1
0 . 0 1
0 . 0 2
0 . 0 3
0 . 0 4
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Soluciones
Esta es un funcin simple, que puede resolverse a simple visel clculo manual.
Pero no todas las funciones son as, incluso algunas no sonderivables
Y entonces??
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Soluciones
Existen varios algoritmos de optimizacin que me permiten el mnimo o el mximo de una funcin, aunque muchas veca caer en ptimos locales.
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SolucionesLa simulacin brinda otra posibilidad, que permitetambin tratar problemas con funciones no
diferenciables, e incluso buscar directamente ptimoglobales.
Mtodos de Optimizacin de Monte Carlo
(la variante ms sencilla es la Bsqueda Aleatoria Pu
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Bsqueda Aleatoria Pura
Este mtodo se basa en generar los valores de la X aleatoriaevaluando la funcin y comparando el resultado en cada itepara quedarse con el valor de la funcin ms ptima (VerEjemploMonteCarlo.xlsx).
Algoritmo de Bsqueda Aleatoria
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Algoritmo de Bsqueda AleatoriaPura.
Algoritmo para determinar minx[a,b]f(x) con N nmealeatorios
Inicializar i=0;fmin=.
Mientras i
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Ejercicio Propuesto:
1 - 0 . 5 0 . 5 1
- 0 . 2
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
Busque el mnimo global para la funcin en elintervalo [1,1]
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Ejercicio propuesto
Encontrar el mnimo global de la funcin
() 60 900100en el intervalo(1,40)
a) Hgalo generando 30 nmeros aleatoriosb) Hgalo generando 100 nmeros aleatorios.
c) Hgalo generando 500 nmeros aleatorios.
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Ejercicio propuesto
Encontrar el mximo global de la funcin
sin en el intervalo (1,1)
a) Hgalo generando 30 nmeros aleatorios
b) Hgalo generando 100 nmeros aleatorios.
c) Hgalo generando 500 nmeros aleatorios.
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Ejercicio propuesto
Encontrar el mximo global de la funcin
en el intervalo (2,1)
a) Hgalo generando 30 nmeros aleatorios
b) Hgalo generando 100 nmeros aleatorios.
c) Hgalo generando 500 nmeros aleatorios.
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Problemas de OptimizacinCombinatoria
El problema del agente viajero es un problema de
optimizacin combinatoria que tambin puede serresuelto con mtodos de Monte Carlo
Cmo puede con el mtodo de bsqueda aleatoria pur
resolver este tipo de problemas?
Propuesto: Intente hacerlo en Excel
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Ejemplo
Resuelva el problema del agente viajero, partiendo d
la ciudad 1, con la siguiente matriz de distancias
Matriz de distancias entre las 5
ciudades
1 2 3 4 5
1 0 3 3 2 5
2 3 0 2 3 4
3 3 2 0 5 1
4 2 3 5 0 4
5 5 4 1 4 0
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Ejercicio Propuesto
Resuelva el problema del agente viajero, partiendo
del DC, con la siguiente matriz de distancias