Inducción Matemática

Objetivos • Explicar con sus propias palabras los axiomas de

Peano.• Dada una propiedad de los números naturales,

demostrarla aplicando el Teorema de Inducción.

Subtemas1.Proceso de deducción.2.Proceso de inducción.3. Axiomas de Peano.4. Teorema de Inducción.5. Demostraciones utilizando el teorema de Inducción.

Proceso deductivo e inductivo

Caso General

Caso Particul

ar

Caso Particula

r

Caso General

Proceso de Deducción

Proceso de Inducción

Ejemplo 1: Dada las siguientes proposiciones analícelas e identifique su certeza o valor de verdad

•A: «Todos los estudiantes del Liceo Naval son guayaquileños»

•B: «La estudiante Murillo es guayaquileña»

•C: «Todos los estudiantes del Liceo Naval son menores de 20 años»

•D: «El estudiante Macías tiene 17 años»

Ejemplo 2: Dada las siguientes proposiciones, identifique su valor de verdad.

• a: Todos los números enteros pares son divisibles para 2

• b: 86 es divisible para 2• c: d: 2 es divisible para 2

AXIOMAS DE PEANO•A) 1 es natural•B) Si n es un número natural, entonces n+1

también es un numero natural (llamado el sucesor de n).

•C) 1 no es sucesor de número natural alguno, ya que es el primer elemento del conjunto.

•D) Si los sucesores de dos números naturales n y m son iguales, entonces n y m son números naturales iguales.

•E) Si un conjunto de números contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos, entonces contiene a todos los números naturales.

Nomenclatura a usar para las proposiciones en inducción matemática• Caso base

• Caso general

Teorema de inducción Si es una propiedad sobre el conjunto de los números naturales , tal que:

(Caso inductivo o general)

Entonces, es decir,

Actividad en clase N° 01Demostraciones usando el teorema de inducciónDemostrar que para todo número natural n se cumple con las siguientes propiedades:1. 2. 3. 4. 5. es divisible para 2

1 .𝑝 (𝑛) :1+3+5+…+ (2𝑛−1 )=𝑛2

2.𝑝 (𝑛 ):2+4+6+…+(2𝑛)=𝑛(𝑛+1)

3.

4.

5. es divisible para 2

6. es divisible para 3

7. 2

Deber N° ?•Demuestre las siguientes propiedades

usando el teorema de inducción matemática

1. 2

•8. •9. •10. 2

Binomio de Newton