GEOMETRIA

ANALITICA• LA PARABOLA

• LA RECTA

• LA ELIPSE

• LA CIRCUNFERENCIA

MARIANO MELGAR

PROFESORA :CARRION NIN

ALUMNO: Jefferson Pastor

Alvarez Morales

GRADO 5 “B”

AREA: MATEMATICA

2012

INTRODUCCIÓN

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Descartes le dio impulso a la geometría analítica. Lonovedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática.

Ecuaciones de la recta en el

plano Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en

el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos,

el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una

constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen

es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la Función

lineal de la forma:

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre

de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos

distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de

los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son

perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de

cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para

todos los reales).

Tenemos pues tres casos:

Rectas oblicuas.Rectas

horizontales.Rectas verticales.

Tómese sobre la recta los puntos P1(x1,

y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los

puntos P1,P2 y P3 sobre el eje x, se

obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.

Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y

OP3P’3 son semejantes; se tiene que:

Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y)

sobre l, ó y = mx (1)

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTAConsidere la recta l que pasa por el

origen 0 y forma un ángulo de

inclinación con el eje x (fig. 4.6.)

Fig. 4.6

Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadasP’’(x, Y), Y y.Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx

Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo. Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que: Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b. Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en

términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un

Punto Y De Pendiente Conocida

Considere la recta l que pasa por un

punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m

también es conocida.

Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:

y = mx + b (1)

Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:

y1 = mx1 + b (2)

Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente

m Y Su Intercepto b Con El Eje y

Considere una recta l de la que se

conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.)

fig. 4.7.

Ecuación de la recta que pasa por dos

puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y

P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente.

Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que

y – y1 = m1 (x – x1) (1)

representa la ecuación de dicha recta.

Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.

LAECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIA

Escribir la ecuación de las cirunferencias

De centro C(1,1) y radio r=3

De centro C (0, 0) y radio r=2

Recta Tangente a una circunferencia

Si desde un punto P(x,y) trazamos una rectat, será tangente a una circunferenciacuando la distancia del centro de la rectacoincida con el radio.

LA CIRCUNFERENCIA

La recta es tangente si: d(C,t)=radio

La recta se llama exterior si: d(C,r)>radio

La recta se llama secante si: d(C,s)< radio

la intersecan dos puntos A y B.

LA CIRCUNFERENCIA -

ejercicios

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con

el origen de coordenadas la ecuación queda

reducida a:

Escribir la ecuación de la circunferencia de

centro (3, 4) y radio 2.

Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 -

2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

La Parábola

Ecuación reducida de una

parábola.

Ecuación de la Parábola fuera

del origen

LA ELIPSE Una elipse es el lugar geométrico de los

puntos P (x,y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos)es constante.

Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F’, los datos, si se mantienen el segmento tirante y se va girando se obtiene el gráfico de la elipse.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA

ELIPSE.

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA

ELIPSE.

Elipse - ejemplos

Elipse - excentricidad

Elipse - excentricidad

Mide el grado de achatamiento de la

elipse:

Elipse – cambio de centro