Facilitador: Ing. Álvaro Fernando Alvizo CruzObjetivo: Utilización de software matemático para comprobación de cálculos y hacer mas comprensivos los temas de geometría analítica.

Duración: 40 horas en 5 sesiones de 8 horas c/u.

Álgebra Geometría

Geometría Analítica

Geometría Euclidiana

Geometría Sintética

Geometría Cartesiana

Geometría Analítica

O

III

III IV

X

Y

P(x, y)

abscisa

ordenada

ACTIVIDAD 1:ACTIVIDAD 1:Indica cuales son las coordenadas de los siguientes puntos.

Localizar los siguientes puntos en el plano cartesiano en el cuaderno y después utilizar software.A(2,3) G(13,4)B(3,5) H(6,7) C(-10,3) I(-1,-4)D(8,9) J(-3,-6) E(12,-3) K(2,-8)F(12,4) L(3,6)

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación en la siguiente figura.

X

Y

X

Y

En un sistema de coordenadas cartesianas, situar los siguientes puntos y calcular sus distancias respectivas.A(3,7) Y B(17,5)C(0,-9) Y D(9,0)E(-2,2) Y F(-11,7)G(-4,-6) Y H(-2,-1)

Ubicar los puntos en el software para corroborar resultados:

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

Encontrar las coordenadas del punto P que divide al segmento determinado por A(8,2) y B(-5,7) en la razón 3/4.

1)  Obtenga las coordenadas del punto P que divide al segmento cuyos extremos son   A(-2,-4) y B(1,4)  en la razón  AP/PB=1/6.

2) Hallar las coordenadas del punto P que divide el segmento AB en la razón AP/PB=2, donde A(1,2) y B(4,5). (Escriba la razón r como 2/1)

3) Dados los puntos A(-5,-4) y B(-1,2), determine el punto P1  que divide el segmento de recta AB en la razón AP1/P1B=1/2, encontrar el punto P2 que divide ese mismo segmento en la razón AP2/P2B=2.

Encontrar la relación en el software.

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

X

Y

es el punto medio de y donde:

Encontrar el punto medio de los siguientes segmentos.A(3,4) y B(7,7)C(2,1) y D(5,4)E(4,3) y F(8,5)G(3,2) y H(6,8)I(-2,3) y J(5,8)

Para definir las coordenadas polares en el plano necesitamos un punto al que llamaremos origen y una línea a la que llamaremos eje polar.

El ángulo polar θ de un punto P, P ≠ origen es el ángulo que hay entre el eje polar y la línea que une el origen con el punto P. Los valores positivos del ángulo indican ángulos medidos en sentido antihorario desde el eje polar.

A partir del triángulo rectángulo que se ve en la figura se establecen las siguientes relaciones entre las coordenadas cartesianas (x,y) y las coordenadas polares (r,θ). Se supone que el origen de las coordenadas polares coincide con el de las cartesianas y que además el eje polar es el eje X.

Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):r2 = 122 + 52

r = √ (122 + 52)r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13Usa la función tangente para calcular el ángulo:tan( θ ) = 5 / 12θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

Convertir de coodernadas cartesianas a polares los siguentes puntos.A(2,4)B(3,8)C(4,5)D(8,9)E(5,6)

Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

Usamos la función coseno para x:

cos( 23 °) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos:

x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98

   

Usamos la función seno para y:

sin( 23 °) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos:

y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

Convertir de coordenadas polares a cartesianas.A(7,23º)B(5,34º)C(5,35º)D(8,54º)E(7,38º)

La pendiente entre dos puntos:P1(x1,y1) y p2(x2,y2)Se obtiene mediante la siguiente formula:

y2 – y1

x2 – x1

m =

La pendiente es igual ala tangente la que permite calcular el ángulo que tiene la recta con el eje x.

X

Y

Calcular la pendiente de los siguientes puntos y su inclinacion. A(3,4) y B(7,7)C(2,1) y D(5,4)E(4,3) y F(8,5)G(3,2) y H(6,8)I(-2,3) y J(5,8)

35

36

OBJETIVO FUNDAMENTAL Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la ecuación de la recta, sistemas de ecuaciones lineales, semejanzas de figuras planas y nociones de probabilidad, iniciándose en el reconocimiento y aplicación de modelos matemáticos.

CONTENIDOS MINIMOS OBLIGATORIOS • Ecuación de la recta. • Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las ordenadas. • Condición de paralelismo y perpendicularidad.

Objetivos de Aprendizaje 1) Reconocer la expresión algebraica y la gráfica de la ecuación de la recta.

2) Identificar e interpretar los parámetros de pendiente e intercepto con el eje de las ordenadas tanto en la forma y = mx como en ax + by + c=0 de la ecuación de la recta.

3) Reconocer la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas en las respectivas gráficas.

4) Analizar las posiciones relativas que pueden tener dos rectas en el plano.

5) Establecer las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre rectas.

6) Resolver problemas que se pueden modelar usando la ecuación de la recta.

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Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

yEjemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta.

Grafiquemos L en el plano cartesiano:Tabla de valores Gráfico X Y (x, y)

2 2 (2, 2)

1 3 (1, 3)

0 4 (0, 4)

-1 5 (-1, 5)

Observaciones:1. A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde

gráficamente una recta. Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto

que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

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Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0

Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal.

Ecuación General 2x – y- 1 = 0

Despejemos “y” en términos de “x”

- y = - 2x + 1

Si dividimos la igualdad por -1 para que el coeficiente de y no sea negativo

-Y = -2x + 1 / : - 1

Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta.

Donde: m = 2 n= -1Importante

Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta

donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x)

y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

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Hagamos una gráfica más acabada utilizando el programa grahpmática:

En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0, -1)

x

y

1 2 31

1

2

Pero ¿Qué son m y n ?

40

¿Qué es la Pendiente en una recta?

¿Para qué sirve la Pendiente de una recta?

Veamos las siguientes imágenes:

41

En estas imágenes encontramos algo común……es un concepto matemático que permite modelar situaciones de la vida real.

Aterrizaje de un avión

42

43

44

45

46

X

Y

47

Ejemplo: Para obtener la pendiente de la recta de ecuación x + y = 4

despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:

Ecuación x + y =4

Despejemos y y = -x + 4

m = -1 pendiente negativa la recta forma un ángulo obtuso con el eje x ( mide más de 90º)

n= 4 la recta corta al eje y en 4, en el punto (0,4)

x

y

48

Ejemplo 2: Sea L2 : 4x - 2y = 8 despejamos la variable “y” en función de la variable “x” así:

Ecuación 4x -2y - 4 =0

Despejemos y -2y = -4x + 4

Multipliquemos 2y = 4x - 4

Dividimos por 2 y = 4 x - 4

2 2

y= 2x - 2

m=2 n= -2

La pendiente es positiva por lo tanto la recta forma un ángulo agudo (mide menos de 90º) con el eje x.

La recta corta al eje y en -2 , en el punto (0,-2)

x

y

49

m>0 m<0

Si b= 0 entonces m y n no existen si a= 0 entonces m=o

x

y

x

y

x

y

x

y

50

Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos del plano que pertenezcan a la recta.

Por ejemplo:Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta Usaremos la ecuación

x - x y - y

m12

12

donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.

Por lo tanto remplazando tenemos:

Luego la pendiente m = -1m = = = = -1

12

12

xx

yy

21

25

3

3

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y

51

¿Qué pasaría si en este resbalín los dos lados no fueran paralelos?

Los lados de este aparato son paralelos es decir describen segmentos de recta que son paralelos.

52

Y ¿SI LOS LADOS DE ESTA PASARELA NO FUERAN Y ¿SI LOS LADOS DE ESTA PASARELA NO FUERAN PARALELOS?PARALELOS?

No puede haber un lado que no sea paralelo al otro no cumpliría la función para el cual están hechas, que es el facilitar el acceso a los discapacitados a un edificio

Veamos a continuación las distintas posiciones que pueden adoptar dos rectas.

53

Dos rectas L1 y L2 en el plano pueden adoptar 3 posiciones:a) Que sean Paralelas b) Que se intercepten

c) Que sean Coincidentes

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

L

x

y

54

Dos rectas L1 y L2 son paralelas si sus pendientes son iguales:Es decir:

Sea L1: recta de ecuación y = m1x + n L2: recta de ecuación y = m2 x + n L1 // L 2 si m1 = m2

x1 x2

y1

y2

L

x2 – x1

y2 – y1

x

y

L2

55

Grafiquemos las rectas de ecuacionesy = x y = x – 2 y = x + 1 y = x - 3 En el mismo plano cartesiano

56

Dos rectas que se cortan en un punto cualquiera se llaman rectas secantes, pero si además de cortarse en un punto, ambas rectas forman un ángulo recto ( de 90º), se dice que son perpendiculares.

si L1 es una recta de ecuación y=m1 x + n

L2 es una recta de ecuación

y= m2x +n

L1 ┴ L2 si m1 • m2

= -1

x1 x2

y1

y2

L

x2 – x1

y2 – y1

x

y

L1

57

Grafiquemos las rectas de ecuacionesy = 4x + 3y = - ¼ x + 1 En el mismo plano cartesiano

58

Rectas Coincidentes

Rectas coincidentes: Si L1 y L2 son coincidentes entonces sus pendientes m1 y m2 son iguales y su intercepto con el eje de ordenadas “n” en ambas rectas son iguales es decir las rectas coinciden punto a punto.

Si L1: y = m1 x + n1 L2: y = m2 x + n2

L1 y L2 son coincidentes entonces m1 = m2 y n1 = n2 L1 y L2 son la misma recta.

x1 x2

y1

y2

L1

x

y

L2

Forma punto – pendiente:

Forma Pendiente – Intersección

Forma Simétrica

Sea la ecuación de una recta y un punto que NO pertenece a ella, entonces: