Post on 14-Apr-2017
UNIDAD III Los rieLes siempre paraLeLos
Capítulo 1Ángulos determinados entre dos rectasparalelas y una secante .................................. 59
Capítulo 2operaciones entre ángulos determinadospor rectas paralelas ....................................... 67
Capítulo 3aplicaciones de ángulos entrerectas paralelas ............................................... 74
Capítulo 4recordando lo aprendido................................ 82
Capítulo 5Triángulos ................................................. 88
UNIDAD II Todo sobre ángulos
Capítulo 1Identificando y midiendo ángulos .................. 27
Capítulo 2operaciones con ángulos ............................... 34
Capítulo 3solo con enunciados ...................................... 43
Capítulo 4Complemento y suplemento de un ángulo .... 48
Capítulo 5repaso bimestral ........................................... 54
UNIDAD II ConoCiendo a la geometría
Capítulo 1introducción ................................................. 5
Capítulo 2Segmento de recta ........................................ 12
Capítulo 3Punto medio y el segmento de recta ............. 18
Capítulo 4recordando lo aprendido ............................... 23
UNIDAD IV El triángulo dE las bErmudas, ¿vErdad o fantasía?
Capítulo 1líneas notables en el triángulo i ................... 97
Capítulo 2lineas notables en el triángulo ii .................. 105
Capítulo 3repaso bimestral ........................................... 113
índicE
TRILCE
Geometría UNIDAD V CUANDO EL NÚMERO DE LADOS AUMENTA
Capítulo 1Estudiando las figuras de más de tres lados ................................................. 120
Capítulo 2¿Cuál será la suma de ángulos internos ......... 129
Capítulo 3Estudiando las figuras de cuatro lasdos ......... 136
Capítulo 4Conociendo los paralelogramos .................... 144
Capítulo 5Operaciones en el cuadrilátero ...................... 152
UNIDAD VII Región y áRea, ¿lo mismo?
Capítulo 1Perímetro es lo mismo que área .................... 182
Capítulo 2Conociendo las regiones poligonales ............. 190
Capítulo 3Calculando el área de regiones triángulares .. 199
Capítulo 4Calculando el área de diversas regiones ........ 208
UNIDAD VIII eSTUDIANDO LOS SÓLIDOS GeOMÉTRICOS
Capítulo 1Reconociendo los elementos ......................... 215
Capítulo 2¿Area es lo mismo que volumen? .................. 223
Capítulo 3Recordando lo estudiado ............................... 231
UNIDAD VI calculando la suma de los lados
Capítulo 1¿Qué es perímetro? ........................................ 159
Capítulo 2calculando el perímetro de diversas figuras .. 167
Capítulo 3Repaso general .............................................. 175
ApreNDIZAjes esperADos
UNIDAD 1
La base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?¿Qué estudia la Geometría?¿Qué es postulado?
CoNoCIeNDo A lA geometríA
UNIDAD 1
• Reconoceryrelacionarfigurasyelementosgeométricos.
• Identificarelnúmeromáximoymínimodepuntosdecorte.
• Sumaryrestarlongitudesdesegmentosderectaconvaloresyconvariables.
• Ubicaralospuntosmediosdelossegmentosderectaconelusodelcompás.
• Resolverejerciciosdesegmentosconpuntosmediosusandovariables.
CEILTRColegios
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Adiariovemosobjetosdediversasformas,quesiquisiéramosdescribirlostendríamosqueusartérminosgeométricos.
•¿Quédiferenciahayentreuncuboyundado?•¿Esigualcírculoquecircunferencia?
Introducción
En este capítulo aprenderemos:
• Areconocerelementosyfigurasgeométricasenelplano.• Areconocerelementosyfigurasgeométricasespaciales.• Aidentificarygraficarrectasparalelasysecantes.• Aidentificarygraficarplanosparalelosysecantes.• Acontarpuntosdecorteentrerectasyfigurasgeométricasplanas.
5
1
Central: 619-8100 Unidad I
CAPITULO
6CEILTR
Colegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad I
Introducción
Conceptos básicos
Figura geométricaSonlasideasobtenidasapartirdelaformadeunobjeto
Objeto Figura geométrica
esfera
cubo
cilindro
Elementos geométricosSon las ideas geométricas en las cuales no se consideran longitudes o medidas y son los siguientes: El punto Eslaideageométricamáspequeña.Lamarcadeunlápiz,ungranodeazúcar,unresiduodetiza,etc.,nosdanlaideadepunto.Senombraconunaletramayúscula.
A Punto "A" M Punto "M"
La recta Los puntos sucesivos en una misma dirección e ilimitadamente nos representa una recta.
Rectall
Rectaa
a
El plano Es la idea geométrica obtenida a partir de la mayoría de superficies. Todo plano puede obtener completamentefigurasgeométricas.Selenombraconunaletramayúscula.
PlanoRR
7CEILTRColegios
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1División de la GeometríaParaelmejorestudiodelageometríaelementalsedivideen: Geometría plana Estudia a las figuras geométricas contenidas en un solo plano.
PentágonoCircunferencia
Centro Radio
r
Triángulo
Vértices
Cuadrilátero
Lados
Geometría del espacio Estudia a las figuras geométricas tridimensionales o cuyos elementos están contenidos en dos o más
planos.
Cono Prisma Tetraedro
Rayo Es la parte de una recta que tiene un punto de origen y es ilimitado en un solo sentido.
AORayoOA:OA
B
P
RayoPB:PB
a es paralela a b (a // b)
a
b
m y n son secantes"P" es el punto de intersección
m
nP
Rectas secantesDos rectas son secantes si tienen un punto encomún.
Rectas paralelas Dos rectas paralelas son aquellas que no
tienen punto de corte.
Ten en cuenta
8CEILTR
Colegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad I
Introducción
Número de puntos de corte
• Entre dos rectas paralelas y una secante.
"P" y "Q" son planos paralelos (P//Q)
Planos paralelosSon aquellos que no tienen ni un punto en común.
Planos secantesSonaquellasquetienenunarectaencomún.
l
"R"y"Q"sonplanossecantes
leslaintersecciónentre"R"y"Q"
Dos puntos de corte
• Entretresrectassecantes.
Unpuntodecortecomo mínimo
Tres puntos de corte como máximo
9CEILTRColegios
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1
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Graficar un rayo OA en posición horizontal.
2. Graficar un rayo PB en posición vertical.
3. Graficar los rayos MN y MQ en sentidos opuestos. ¿Qué se forma?
4. Graficar tres rectas paralelas y una secante. ¿Cuántos puntos de corte se obtienen?
5. Graficar tres rectas secantes y dar el máximonúmerodepuntosdecorte.
6. Calcular el máximo número de puntos decorte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes.
7. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre un triángulo y tres rectas secantes.
8. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre un cuadrilátero y tres rectas secantes.
9. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre un pentágono y dos rectas secantes.
10.Calcular el número de puntos de corte entreuna circunferencia y seis rectas paralelas.
• Entreunacircunferenciayunarectasecante.• Entreuntriánguloyunarectasecante.
Dos puntos de corte.
Dos puntos de corte
• Entreunacircunferenciaydosrectassecantes.
Tres puntos de corte como
mínimo.
Cinco puntos de corte como máximo.
Comunicación matemática
1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• SegúnEuclides,loselementosgeométricossoncuatro ........................................................ ( )
• LaGeometríasedivideenplanaydelespacio. ................................................................... ( )
2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• Lasrectasparalelastienenunpuntodeintersección. ........................................................... ( )
• Lasrectassecantesnotienenningúnpuntoencomún. ........................................................ ( )
Conceptos básicosAprende más...
10CEILTR
Colegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad I
Introducción
Resolución de problemas
6. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre cinco rectas secantes.
7. Calcular el máximo número de puntos decorte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas secantes.
8. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre seis rectas paralelas y dos rectas secantes.
9. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre una circunferencia y cuatro rectas secantes.
10.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre una circunferencia y cinco rectas secantes.
Aplicación cotidiana• SupongamosqueenelPerúsequiereconstruirlamayorcantidaddecarreterassubterráneasrectilíneasparatreneseléctricos,quefacilitaríanelviajeentrelosdepartamentosmostrados.
Arequipa
Piura
Lima
Ica
Ayacucho
11. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Lima y Ayacucho?
12. ¿CuántascarreterasseformanentreLima,ArequipaeIca?
13. ¿CuántascarreterasseformanentreLima,Ayacucho,IcayArequipa?
14. ¿CuántascarreterasseformanentrePiura,Arequipa,IcayAyacucho?
15. ¿Cuántas carreteras se forman entre los cinco departamentos?
3. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:
• Laintersecciónentredos............................estárepresentadopor..........................recta.
• Elrayotieneun.........................deorigenyesilimitadoenunsolo..................................
rectas-punto-planos-dos-una-sentido-número
4. Graficar un plano "H" y a una circunferencia contenida en "H".
5. Graficar un plano "M" y a dos rectas a y b secantes en "P".
11CEILTRColegios
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1Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentrecincorectasparalelasycuatrorectassecantes.
2. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentreseisrectassecantes.
3. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentresieterectassecantes.
4. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentreseisrectassecantesydosrectasparalelas.
5. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentrecincorectassecantesytresrectasparalelas.
1. Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre tres rectas secantes y una circunferencia.
2. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre ocho rectas paralelas y una circunferencia.
3. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre un triángulo y tres rectas paralelas.
4. Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre un triángulo y una circunferencia.
5. Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre dos rectas secantes y un triángulo.
6. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorte
entre dos rectas secantes y un cuadrilátero. 7. Calcular el máximo número de puntos de
corte entre cuatro rectas secantes y dos rectas paralelas.
8. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?
9. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?
10.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.
11.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corte
entre cinco rectas paralelas y una circunferencia.
12.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre seis rectas paralelas y un triángulo.
13.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre tres rectas secantes y un triángulo.
14.Hallar elmáximonúmerodepuntos de corteentre un cuadrilátero y una circunferencia.
15. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?
Practica en casa
18:10:45
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
12CEILTR
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Saberes previos
segmentos de rectaEn este capítulo aprenderemos:• Aidentificaralsegmentoderectayasumedida.• Arelacionarsegmentosconsecutivosynoconsecutivos.• Asumaryrestarlongitudesdesegmentosconsecutivos.
Podemos mencionar otros tipos de líneas: línea curva y línea quebrada. En nuestro lenguaje común, el término "segmento"significa parte o porción de algo con lo cual lopodemosconjugaratérminosanteriores.
•¿Quélíneasobservas?
• Unidadesdelongitud- Centímetros, metros, kilómetros.
- Pulgadas, pies, yardas, millas.
• Unidaddepeso:.......................
Unidaddetemperatura:.........................
• Ecuacionesdeprimergrado:2x+10=18⇒ x=
3x+x+5=25⇒ x=
CAPITULO 2
En el capítulo anterior, mencionamos a la "línea recta",peronoeselúnicotipodelínea,enlanaturaleza encontramos diversidad de formas así como en nuestro mismo cuerpo.
13
Geometría
Unidad ICEILTRColegios
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Observación
Definición de segmento de recta
Eslapartedeunalínearectaquetieneporextremosadospuntos.Sumedidaestarepresentadaporladistancia entre los extremos del segmento y se expresa en unidades de longitud (centímetros,metros,pulgadas, pies, etc.).
R
S8 cm
• SegmentoRS : RS o SR
• MedidadeRS : mRS=8cm
RS=8cmL
• Cuandonoseconocelamedidadeunsegmento de recta, se usan variables como en el Álgebra.
• También se usan unidades arbitrariasde longitud, es decir, si no son centímetros, pulgadas, etc. se emplea la letra "∝" de unidades. PQ=12cm
12 cm
QP
"x"µ
NM
Puntos colineales Son puntos que pertenecen a una línea recta.
"A", "B" y "C" son puntos colineales por que pertenecen a L y se pueden contar tres segmentos de recta.
A B CL
Segmentos consecutivos Sonsegmentosquetienenunextremocomúnysondedostipos:
A C
B
C
A
B
DSegmentos
no colineales
A B C
A B C D
Segmentoscolineales
Conceptos básicos
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Segmento de recta
Suma y resta entre longitudes de segmentos consecutivos y colineales.
EH=8+14=22cm
8 cm
E F H
14 cm
AD=6+10+14=30cm
6 cm 10 cm
A B C D
14 cm
PQ=36-12=24cm
P Q R12 cm
36 cmLE=23-(13+7)LE=3cm
13 cm
A L E J7 cm
23 cm
MP=a+b
AN=x-y
A
x
Ny
Q
M
a b
N P
1+2+3=6segmentosA B C D
1+2=3segmentosP Q R
1+2+3+4=10segmentos
M EN F Q
L
L
L
Número máximo de segmentos de recta
Suma y resta con variables
Ten en cuenta
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2
Unidad I
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Si:AC=42cmyBC=31cm,calcular"AB".
A B C
2. Si:EH=56uyFH=14u,calcular"EF".
E F H
3. Si:MN=13u;NE=8uyEF=18u,calcular"MF".
M EN F
4. Si:PR=24cm;QS=36cmyQR=100cm,calcular "PS".
P RQ S
5. Si:AC=58cm;BD=76cmyBC=32cm,calcular "AD".
A CB D
6. Si:EH=41u;FN=38uyEN=52u,calcular"FH".
E F NH
7. Si:PT=22u;QU=45uyPU=59u,calcular"QT".
P Q UT
8. Si:EL=120cm;EJ=30cmyKL=70cm,calcular"JK".
E J LK
9. Si: AB= 17,2u; CD= 41,8u y AD= 80u,calcular "BC".
A B DC
10. Si:PT=56cm,calcular"x".
P Q
2x 5x
T
Comunicación matemática
1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• Elsegmentoderectaestáformadopordospuntos ................................................................. ( ) • Elsegmentoderectatieneunacantidadindeterminadadepuntos ......................................... ( )
2. Completar las siguientes proposiciones con los términos del recuadro:
• Lamenor................................entredospuntosestárepresentadoporel................................derecta que los une.
• Dosomássegmentosde................................sellamancolineales,si................................aunamisma recta.
plano - recta - perpendicular - distancia - pertenecen - segmento - secantes.
Conceptos básicosAprende más...
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Segmento de recta
Resolución de problemas
6. En el gráfico: AC= 17 cm; BD= 22 cm yBC=6cm.Calcular"AD".
A CB D
7. Si:PR=19u;QS=26uyQR=4u,calcular"PS".
P RQ S
8. Si:AF=11u;EN=19uyAN=25u,calcular"EF".
A FE N
9. Si:PQ=2x;QE=8u;EF=5xyPF=43u,calcular"x".
P EQ F
10. Si:AB=x+ a ; BC=6x - a yAC=63u,calcular"x".
A B C
11. Si:AB=x;BC=2x;CD=5xyAD=40u,calcular"x".
A B C D
12. Si:PQ=3k;RT=7k;QR=38uyPT=118u,calcular "k".
P Q R T
Aplicación cotidiana• Ungrupodealumnosvandeexcursiónpartiendodeunpunto"A",enunacarreterarecta,siendosu
destino el punto "B". Pero tienen que hacer escala en los puntos "E" y "F". La distancia entre "A" y "F" es de 34 km, la distancia entre "E" y "B" es de 42 km y la distancia entre el punto de partida y el punto de destino es 63 km.
A FE B
13. Calcular la distancia entre "A" y "E".
14. Calcular la distancia entre "E" y "F".
15. Calcular la distancia entre "F" y "B".
3. Completar los siguientes recuadros, de acuerdo a la teoría hecha en clase:
E P Q EQ= ..........+.........
P M N PM= .........–.........
4. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC,talque:AB=2cmyBC=3cm.Luegomide la longitud del segmento AC.(Usarreglacalibradaencentímetros)
5. Usandounareglacalibradaencentímetros,graficarlossegmentosconsecutivosnocolineales:PQ=3cmyQR=5cm.LuegomidelalongituddePR.
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2
Unidad I
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Si:AC=46uyBC-AB=14u,calcular"AB"
A B C
2. Si:PQ=2(QR)yPR=36u,calcular"QR".
P Q R
3. Si: AC +BD=53uyAD=30u,calcular"BC".
A CB D
4. Si:PQ+PR=65cmyQR=3(PQ),calcular"PQ".
P Q R
5. Si:BC=3(AB)yCD=5(AB),calcular"AB".
A B C D
135 cm
1. En una recta, marcar a los puntos consecutivos "A", "B" y "C". ¿Cuántos segmentos como máximosedeterminan?
2. Si:AB=72u,calcular"x".
A E
x 8x
B
3. Si:AC=120cm,calcular"x".
A B
3x 7x
C
4. Si:MQ=124uyNQ=80u,calcular"MN"
QNM
5. Si:EF=20u;MH=30uyMF=16u,calcular"EH".
HM FE
6. Si:PR=16u;QT=23uyQR=9u,calcular"PT".
TQ RP
7. Si : EN=24u;MH=43uyEH=57u,calcular "MN".
HM NE
8. Si:AE=96cm,calcular"x".
A B C D
2x x 4x 5x
E
9. Si:AP=60u,calcular"AB".
A B
2x 8x
P
10. Si:EF=16u;TQ=22uyEQ=53u,calcular"FT".
QF TE
11. Si:PR=21u,calcular"RT".
P Q R
4a 3a 10a
T
12. En el problema anterior, calcular "PT"
13. Si:AL=4x;LE=6xyAJ=24x,calcular"x".
A L E
28 cm
J
14. Si:MT=98u,calcular"x".
M N Q
5x 26u 7x
T
15. ¿Cuántossegmentossecuentancomomáximoen la siguiente figura?
A CB ED
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
18CEILTR
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punto medio del segmentode recta
En este capítulo aprenderemos:
• Aubicarlospuntosmediosdelossegmentos,conociendosusmedidas.• Ausarvariablespararepresentarsegmentoscongruentes.• Ausarelcompásparaubicarelpuntomediodelsegmentoderecta.
CAPITULO
3
En nuestro país, las unidades de longitud más usadas son:
• 1metro = 100centímetros • 1kilómetro = 1000metros
En las carreteras, para señalar las distancias entre las ciudades se usan los kilómetros.
Porejemplo,enNorteAméricaseusan: pulgadas;pies;yardasymillas.
1yarda=3pies1pie=12pulgadas 1milla=1760yardas
Partiendo de que 1 pulgada es aproximadamente 2,54 centímetros, se calcula que 1 milla esaproximadamente1,6kilómetros
19
Geometría
Unidad ICEILTRColegios
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Saberes previos
Conceptos básicos
•
r
B
O
AO:
r:
mAO=mOB
Circunferencia • Trazarconelcompásunacircunferenciade2,5cmderadio.
•AC=.........+.........CD= .........–.........AD=.........+.........CBA D
ya
b
Definición del punto medio de un segmento de recta
Es el punto que pertenece al segmento y tiene igual distancia a los extremos; es decir, que divide alsegmento en dos segmentos congruentes (congruentes: medidas iguales)
Q M
aa
R
A P 19 cm
38 cm
19 cm B
• "P"espuntomediodeAB
• AP es congruente con PB (AP ≅ PB)
• mAP=mPB
• Sinoseconocelamedidaseusanvariablesiguales:QM=MR=a
• "M"espuntomediodeQR
Ubicación del punto medio del segmento usando el compásDado el segmento RGytomandocomocentroacadaextremosetrazancircunferenciasconelmismoradio. Luego se unen los puntos de intersección de las curvas ("E" y "F") y el punto de corte entre RG y EF es el buscado punto medio "M" de RG.
F
GMR
E
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Punto medio y el segmento de recta
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Grafica un segmento de recta AB de 4,2 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usarreglacalibradaencentímetros)
2. Grafica un segmento de recta PQ de 5,7 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usarreglacalibradaencentímetros)
3. Si:AB=15cm;BC=42cmy"M"espuntomedio de BC, calcular "AM".
CB MA
4. Si:PQ=48u;QR=14uy"N"espuntomediode PR, calcular "NQ".
RN QP
5. Si:EF=23u;NG=25uy"F"espuntomediode EN, calcular "EG".
GF NE
6. Si:AB=21uyBC=65u,hallar"MN",si"M"y "N" son puntos medios de AB y BC.
A M B N C
7. Si:AM=79u;MF=31uy"E"y"N"sonpuntosmedios de AM y MF respectivamente, calcular "EN".
FNMEA
8. Si:RB=70u;"A"espuntomediodeRM y "C" es punto medio de MB, calcular "AC".
R Aa ba b
M C B
9. Si:PR=55u,calcular"MN";siendo"M"y"N"puntos medios de PQ y QR.
RNyx yx
QMP
10. Si:EF=118cm,calcular "AB", siendo"A"y"B" puntos medios de EK y KF respectivamente.
FA K BE
Comunicación matemática
1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• Cadasegmentoderectatienesolounpuntomedio ................................................................ ( ) • Elpuntomediodeunsegmentoderectaequidistadelosextremosdedichosegmento .........( )
2. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.
• Dos..........................derectaquetieneniguallongitudsedenominansegmentos.......................... • El..........................mediodeunsegmentoderecta..........................aésteenotrosdossegmentos
congruentes.
iguales-semejantes-congruentes-punto-recta-segmentos-divide-determina
3. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC que miden 3,2 cm y 2,5 cm (usar regla calibrada en centímetros). Luego ubicar a los puntos medios de AB y BC con el uso del compás.
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3
Unidad I
Resolución de problemas
6. Si:AB=31u;BC=75uy"M"espuntomediode AC, calcular "BM".
CB MA
7. Si:EQ=86u;FQ=32uy"N"espuntomediode EF, calcular "NQ".
QN FE
8. Si:MQ=33u;MN=97uy"P"espuntomediode QN, calcular "MP".
NQ PM
9. Si:AC=40u;BD=80uyBC=10u,calcular"MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD respectivamente.
DB CM NA
10. Si:PR=43u;QS=47u;QR=13uy"A"y"B"son puntos medios de PQ y RS, calcular "AB".
SQ RA BP
11. Si:AB=26u;BC=58u;"M"y"N"sonpuntosmedios de AB y BC y además "P" es punto medio de MN, calcular "BP".
CB PM NA
12. Si:PQ=72u;QR=28uy"E","F"y"M"sonpuntos medios de PQ, QR y EF respectivamente, calcular "MQ".
RM QE FP
4. Grafica a los segmentos consecutivos y colineales PQ y QR,talque:PQ=2,8cmyRP=3,6cm(usarregla calibrada en centímetros). ¿Cuánto mide QR y qué observa?
5. Grafica al segmento EF que mide 6 cm y a los segmentos consecutivos no colineales EA y AF de cualquier medida. Luego ubica a los puntos medios de EA y AF con el uso del compás. ¿Cuánto mide elsegmentoderectaqueunedichospuntosmedios?(Usarreglacalibradaencentímetros)
Aplicación cotidiana
• Un edificio está compuesto por siete pisos, tal que el primer pisotiene una altura de 3 metros y el resto de los pisos 2 metros de altura.
13. ¿Qué altura tiene el edificio?
14. ¿Qué altura sube una persona que vive en el cuarto piso?
15. ¿Quéalturasubeunapersonaqueviveenelsextopiso?
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Punto medio y el segmento de recta
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "A","B","C"y"D".Si:AB=CDyAD+BC=16,calcular "BD".
2. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C". Si: AB+ AC= 28, calcular"AM", siendo "M" punto medio de BC.
3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "A","B","C"y"D".Calcular"AD",si:AC=12µ yAD+CD=28µ.
4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A","B","C"y"D".Si: AC+BD=64µ, calcular "PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y CD respectivamente.
5. En una recta se ubican los puntos consecutivos "P","Q","R"y"S".Si"M"espuntomediodePS, PQ+ RS= 17m yQM -MR= 3m,calcular"RS".
1. Si:AC=40cm;BD=60cmyAD=90cm,hallar "BC".
DB CA 2. Si:AB=11cm;BD=28cmy"C"espunto
medio de BD, hallar "AC".
DB CA
3. Si:PM=58;TM=34y"Q"espuntomediodePT, hallar "QM".
MQ TP
4. Si:AC=24;CB=50y"M"espuntomediodeAB, hallar "CM".
BC MA
5. Si:AB=18;BC=32,"M"y"N"sonpuntosmedios de AB y AC , hallar "MN".
CBM NA
6. ¿Cuántos segmentos hay?
QFE TP
7. Si:AB=42;BC=19;CD=64y"M"y"N"son puntos medios de AB y CD, hallar "MN".
DBM C NA
8. Si:AE=26;EF=32;FH=48y"M"espuntomedio de EF, hallar "MH - AM".
HE M FA
9. Si:PE=MT=38;EF=11yPT=127,hallar"FM".
TE F MP
10. Si:AB=7uyBC=19u,hallar"PQ",siendo"P" y "Q" puntos medios de AB y BC.
CP B QA
11. Si:AR=27cm;TQ=32cmyTR=18cm,hallar "AQ".
QT RA
12. Si:EN=48;EM=26y"N"espuntomediodeMF, hallar "EF".
FM NE
13. Si "E" es punto medio de AF y AG= 60u,calcular"x".
A E F G
3xx
14. Si "R" es punto medio de PT y PT = 70u,calcular "PQ".
P Q R T
2x 3x
15. Si "C" es punto medio de ADyAD=160cm,calcular"x".
A B C D
5x 3x
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4
Unidad ICEILTRColegios
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Comunicación matemática
• Darelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones("V"o"F")
1. Por un punto pasan infinitas rectas. ............................................................................ ( ) 2. Por dos puntos solamente pasa una recta .................................................................... ( ) 3. Dos rayos con el mismo origen y en sentidos opuestos forman una recta. .................. ( ) 4. Siunpuntotieneigualdistanciaalosextremosdeunsegmentoderecta,entonceses
necesariamente el punto medio. ................................................................................. ( ) 5. Los puntos que pertenecen a una misma recta se llaman colineales. ........................... ( )
• Completarlassiguientesproposicionescorrectamente,usandolostérminosdelrecuadromostrado:
6. Los elementos ................................... son tres y no tienen ...................................
7. El punto ................................ de un segmento de ........................... pertenece a dicho segmento y ........................ igual distancia a los ................................. del segmento.
8. Dos segmentos de recta son ................................... y colineales si ................................... a una mismarectaytienenun...................................encomún.
extremos-medio-plano-congruentesconsecutivos - geométricos - calculan
punto - pertenecen - tiene - recta - medida
• Completarcorrectamentelosrecuadrosadjuntosacadagráfico:
9.
BC < ...............
CA
B
3 cm
1 cm
10.
AC=...............
CB
3 cm 1 cm
A
Conceptos básicosAprende más...
recordando lo aprendido
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Recordando lo aprendido
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
Resolución de problemas
11.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.
12.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre dos rectas paralelas y tres rectas secantes.
13.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre dos circunferencias y tres rectas paralelas.
14. Si:AB=28u;BC=12uy"P"y"Q"sonpuntosmedios de AC y BC respectivamente, calcular "PQ".
CP B QA
15. Si "M" y "N" son puntos medios de EN y EQ respectivamente, calcular "MN", si además: EQ=60u
QM NE
16. Si:PE=78u;PR=32u;QE=60uy"M"espunto medio de QR,calcular"MR".
ERQ MP
17. Si:AB=DE=x;BC=3x;CD=5xyAE=130u,calcular "AC".
EDB CA
18. Si:AB+AC=96uyBC=54u,calcular"AB"
CBA
19. Si:PQ-QR=31uyPR=59u,calcular"QR".
RQP
20. Si:EQ=80u;PF=140uyEF=170u,calcular"MN", si además "M" y "N" son puntos medios de EP y QF.
FQ NM PE
1. En una recta se marcan los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H". Calcular el máximonúmerodesegmentosdeterminados.
2. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos"A","B"y"C",talque:AC+BC=68uy"M"espunto medio de AB. Calcular "MC".
3. Setienenlospuntoscolineales"P","Q"y"R"(PQ > QR )talque:PQ-QR=18u.Calcular"MQ",siendo "M" punto medio de PR.
4. Setienen10rectassecantes.Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorte.
5. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre12rectasparalelasy10rectassecantes.
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4
Unidad I
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre dos triángulos.
2. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre cuatro rectas secantes.
3. Calcularelmáximonúmerodepuntosdecorteentre cinco rectas secantes.
4. ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo ABC y la circunferencia?
B
CA
5. ¿Cuántos puntos de corte hay entre las circunferencias y las rectas paralelas?
6. Si:AD=58cm,calcular"x".
A B C
x 18 cm 3x
D
7. Si:AB=11u;BC=39uy"M"y"N"sonpuntosmedios de AB y BC respectivamente, calcular "MN"
A M B N C
8. Si:PF=59uyEF=21u,calcular"MF",siendo"M" el punto medio de PE.
P M E F
9. Si:AD=48uyBC=15u,calcular:a+b
A B C D
a b
10. Si:AB=12u;BC=10u;CD=18uy"M"espunto medio de BD, calcular "AM".
A B C DM
11. Si:AM=38u;MP=54u;PQ=22uy"N"espunto medio de AQ, calcular "NP".
A M N QP
12. Si:AD=72u,calcular"y"
A B C
y 16u 7y
D
13. Si:AC+AB=72uyBC=50u,calcular"AB"
A CB
14. Si:QR-PQ=16uyPR=60u,calcular"PQ"
P RQ
15. Si:AB=24u;BC=30uy"M"y"N"sonpuntosmedios de AB y BC respectivamente, calcular "MN"
A B CM N
ApreNDIZAjes esperADos
UNIDAD 1
Existentressistemasdemediciónangularyelsistemaqueusaremoseselsexagesimal.Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia.
¿Cómo se mide un ángulo?
toDo sobre áNgUlos
UNIDAD 2
• Usodeltransportadorycompásparalamedidaangularytrazodelabisectriz.
• Resolverejerciciossinusareltransportador.
• Relacionar ángulosde acuerdo a sumedida, tomandocomo referencia al ángulo recto y alángulo llano.
• Resolucióndeproblemasgráficosconvariablesyecuacionessobreángulosconsecutivos.
• Interpretarenunciadosparalaelaboracióndegráficossobresegmentosyángulos.
• Elaborarpropiedadesapartirdeejerciciosnuméricos.
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Identificando y midiendo ángulos
Antigüamente;al tomarcomobase ladivisióndelañoen360díassedividióalcírculoen360partes,dandocomoorigenalsistemasexagesimalpara lamediciónangular,queposteriormentesirviópara laelaboracióndelreloj.Las antiguas civilizaciones de Mesopotamia observaron que el Sol parecía desplazarse hacia el Oeste en el firmamento de una manera regular, con el paso de los días. Este era un descubrimiento sofisticado: primero crearon un mapa de las estrellas, luego observaron que cada día el Sol salía y se ponía en un intervalo breve;perodiscernible,contraelfondodelasestrellasparacompletaruncircuitocompletodetodoelcampo de estrellas.LosegipciossabíanqueelSoltardabaaproximadamente360días,poresofuequesedividióelcírculoen 360º donde "cada grado representaba la distancia recorrida por el Sol contra el fondo de estrellas en un día". Sin embargo, los egipcios sabían que el año verdadero tenía 365 días y no 360, el asunto se complicaba más por el uso de un calendario de 12 meses de 30 días sin añadirles nada.Hasta los avances de la Aritmética, el año oficial egipcio duraba 360 días y simplemente se declaraban que losrestantescinconoexistían,almenosoficialmente.Esteperiodoeradedicadoafestejosybanquetesconanimales especialmente sacrificados para este periodo.
¿Por qué una vuelta mide 360º?
1º:ungradosexagesimal
360º1º
12
6
11
5
101º
4
9 3
8
2
7
1
En este capítulo aprenderemos:
• Adiferenciarentreángulo,medidaangularyregiónangular.• Aclasificaralosángulosdeacuerdoasumedida.• Ausareltransportadorparagraficary/omedirángulos.• Atrazarlabisectrizdeunánguloconelusodelcompásyconelusodeltransportador.
CAPITULO
27
1
Central: 619-8100 Unidad II
28
Identificando y midiendo ángulos
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Clasificación de ángulos
Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.
θº 0º<θº<90º
Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares
A
O B
m AOB=90º
OA OB
Los rayos OA y OB son
perpendiculares
Observación
Saberes previos
Conceptos básicos
•O A
OA es un .............................
• Algunasletrasgriegas:
α = Alpha β = Beta θ = Tetha
• Dosrayosopuestosconelmismoorigenformanuna ........................................
AO
B
Definición de ánguloEl ángulo es la reunión de dos rayos a través de su origen. La medida del ángulo está dado por la abertura entre sus lados.
αº
A
B
O Regiónangular
Vértice : OLados : OA y OBMedida : αº
Elementos
Ángulo AOB : AOB; BOA;AOB;BOA.
Medida del AOB: m AOB=αºNotación
29
1
Unidad IICentral: 619-8100
Clasificación de ángulos
Ángulo agudo Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.
θº 0º<θº<90º
Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares
A
O B
m AOB=90º
OA OB
Observación
Los rayos OA y OB son
perpendiculares
Ángulo obtuso Se denomina así a los ángulos que sus medidas varían entre 90º y 180º.
αº 90º<αº<180º
Ángulo llano Es el ángulo que mide 180º, es decir, que sus lados están en sentidos opuestos.
m AOB=180ºA BO
180ºRecta
Ángulo no convexo Es aquel cuya medida varía entre 180º y 360º.
180º<βº<360º
βº
O
M N
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Identificando y midiendo ángulos
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Uso del transportador
Se ubica el transportador coincidiendo el vértice del ángulo con el centro del transportador y a uno de los lados con uno de los ceros y el otro lado señala el valor del ángulo.
110º
O M
F
E
• Con cualquier abertura se traza elcompás obteniéndose los puntos "E" y "F" .
• Luego, tomando como centros aestos puntos "E" y "F", se trazan circunferencias con el mismo radio;obteniéndose el punto "M".
• Finalmente,elrayoOMeslabisectrizdel ángulo.
1. Mide los siguientes ángulos mostrados y clasifícalos.
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1
Unidad II
Conceptos básicos Aprende más...
2. Trazar una recta a perpendicular a la recta mostrada L y que pase por el punto "E".
EL
3. Medir los siguientes ángulos y clasifícalos.
4. Traza la bisectriz del siguiente ángulo con el uso del compás.
5. Traza la bisectriz del ángulo mostrado.
6. Grafica un ángulo de 120º y traza su bisectriz con el transportador.
7. Grafica un ángulo de 70º y traza su bisectriz con el transportador.
8. Grafica un ángulo de 60º y traza su bisectriz con el uso del transportador.
9. Grafica un ángulo de 140º y traza su bisectriz con el uso del transportador.
10. Grafica un ángulo de 200º y traza su bisectriz con el uso del transportador.
Comunicación matemática
1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• Elángulodeunavueltamide360º .................................................................................... ( )
• Elángulollano mide 90º ................................................................................................... ( )
2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.
• La...................................deunángulodivideaésteen...................................iguales.
• Dosángulos que ................................... igual medida se llaman ángulos ...................................
rayo - recta - congruentes - iguales - tienen - bisectriz - medidas - ángulos
3. Grafica los ángulos congruentes AOB y PMQ que miden 80º.
4. Grafica los ángulos congruentes MON y APB que miden 130º.
5. Grafica el ángulo AOB, tal que: m AOB=230º.
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Identificando y midiendo ángulos
Resolución de problemas
6. Medir los ángulos internos "A", "B" y "C" usando el transportador.
AC
B
7. Medir los ángulos en los vértices "A", "B", "C" y "D" usando el transportador.
DA
BC
8. Medir los: AOB; BOC y AOC usando el transportador.
O C
BA
9. Medir los: AOB; BOC; COD y AOD usando el transportador.
A
D C
BO
10. Medir los: AOB; BOC y COD usando el transportador.
C
B
DO
A
Recta
11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB=100ºym BOC=60º.¿CuántomideelánguloAOC?(Usareltransportador)
12. Graficar los ángulos consecutivos PQM y MQN tal que: m PQM=70ºym MQN=50º.¿CuántomideelánguloPQN?(Usareltransportador)
13.Usandoelcompás,trazarlabisectrizdelánguloAOB. Luego ubicar a un punto "P" de dicha bisectriz y medir las distancias de "P" a los lados OA y OB
O
A
B
Aplicación cotidiana• Lasagujasdelreloj(horarioyminutero)sonobservadasporAnita
que entusiasmada con el tema de ángulos encuentra que:
14.Alescucharlacampanitadelrelojsiendolas8a.menpunto,lasagujasformanunángulode:
15. Luegodedoshorasvuelveaescucharlacampanitaylasagujasdelrelojformanunángulode:
http
://es
.123
rf.co
m
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1
Unidad II
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Graficarunángulonoconvexode240ºyluegotrazarsubisectrizusandoeltransportador.
2. Graficarunángulonoconvexocualquierayluegotrazarsubisectrizconelusodelcompás.
3. Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 120º y 100º respectivamente. Luego trazar la bisectriz OM del ángulo AOC.
4. En el problema anterior, calcular: m MOB.
5. Trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC, usando el compás. Luego mide el ángulo formado por dichas bisectrices.
A O C
B
• Graficaryclasificaralossiguientesángulos(usael transportador)
1. 35º 2. 65º 3. 104º
4. 170º
5. 28º
6. 126º
7. 58º 8. 220º
• GraficaralosángulosconsecutivosAOByBOC.Luego, calcular m AOC.(Usaeltransportador)
9. m AOB=30ºym BOC=60º
10. m AOB=40ºym BOC=80º
11. m AOB=20ºym BOC=70º
12. m AOB=80ºym BOC=70º
13. m AOB=110ºym BOC=90º
14. m AOB=130ºym BOC=80º 15. m AOB=100ºym BOC=50º
Geometría
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Ordenamiento lineal y circular
Se cree que el alfabeto griego deriva de una variante del fenicio, introducido en Grecia por mercaderes de esa nacionalidad. El fenicio, como los alfabetos semíticos posteriores, no empleaba signos para registrar las vocales; para salvar esta dificultad,que lo hacía incompleto para la transcripción de la lengua griega, los griegos adaptaron algunos signos utilizados en fenicio para indicar aspiración para representar las vocales. Este aporte puede considerarse fundamental; la inmensa mayoría de
los alfabetos que incluyen signos vocálicos se derivan de la aportación original griega. Además de las vocales, el griego añadió tres letras nuevasalfinaldelalfabeto:fiyji,pararepresentar sonidos aspirados que no existíanenfenicio,ypsi.
En el Álgebra se usan variables como "x", "y" y "z" para señalar valoresnuméricos, en general trabajandobásicamente con las operaciones.En Geometría para señalar valores angulares no conocidos se utilizan
letras griegas como: "α";"β";"θ" y "δ";
etc
operaciones con ángulos
En este capítulo aprenderemos:
• A relacionar ángulos por sus lados• A graficar ángulos sin el uso del transportador comparando al ángulo recto y ángulo llano.• A sumar y restar medidas de ángulos consecutivos.
2
A α alfa N ν niB β beta Ξ ξ xir γ gamma O o ómicron∆ δ delta ∏ π piE ε épsilon P p roZ ζ dseta ∑ σ sigmaH η eta T τ tauΘ θ zeta ϒ υ ipsilonI ι iota Φ ϕ fiK κ kappa X χ jiΛ λ lambda Ψ ψ psiM µ mi Ω ω omega
Geometría
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Saberes previos
Conceptos básicos
• Rectas .................................................
• Rectas ..................................................
• Unavueltamide ..................................
• ElánguloPOQmide ............................
P
QO
• ElángulollanoAOBmide.................... OA B
Ángulos opuestos por el vérticeSon los ángulos que se forman al trazar dos rectas secantes.
M αº
αº
N
F
E
AVértice
Los ángulos MAN y EAF son opuestos por el vértice
m MAN=m EAF=αº
θº
B
P Q
A C
Vértice
θº
Los ángulos PBQ y ABC son opuestos por el vértice
m PBQ=m ABC=θº
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Operaciones con ángulos
Ángulos consecutivosSondos,tresomásángulosquetienenelmismovérticeyunladoencomúnrespectivamente.
En el gráfico:
m AOC=40º+60º=100º40º 60º
O
C
B
A
AOB y BOC son consecutivos o adyacentes
En el gráfico:
m POR=50º+70º=120ºm QOS=70º+20º=90º
O
SQ
R
20º70º
50º
P
POQ;QORyROSsonconsecutivos
En el gráfico:
m POR=35º+65º=100ºm ROS=180º-100º=80ºO S
Q
R
65º
35ºP
Recta
POQ;QORyROSsonconsecutivos.
Suma y resta de ángulos consecutivos usando variables.
B
βºαºA
C
O
yº
yº=αº+βº
βº
αº
αº+βº=90º
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2
Unidad II
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
xº=βº–θº
Oθº
βºxº
A
B
C
m AOB=180º-θº
A O C
B180º–θº
θº
xº
90º–xº
Q
RO
P
m QOR=90º-xº
O
αºβº
θº
αº+βº+θº=180º αº+βº+θº+ωº=360º
ωº βº
αº
θº
1. Calcular"xº",si:m AOF=18º
O
E
B
FA
2xº
xº
2. Si: m EOF=130º;m EON=100ºyOM es
bisectriz del ángulo NOF, calcular: m EOM
O
M
F
N
E
3. Si OM es bisectriz del ángulo AOB y m BOC=32º,calcular:m MOC.
COA
M
B
4. Si: m MOA=48ºym MOQ=142º,calcular:m NOQ, si OA es bisectriz del ángulo MON
QO
AM
N
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Operaciones con ángulos
Conceptos básicosAprende más...
5. Calcular"xº"
4xº
xº
6. Si: m AOB= 38º;m BOC= 72º yOM es bisectriz del ángulo AOC, calcular "θº".
O
A
B
θº
M
C
7. Si: m AOB=28º;m BOC=102ºyON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON
O
AB N
C
8. Si: m EOF=αº y m FOH=5αº, calcular "αº"
F
E O H
9. Calcular "αº".
αº8αº
10. Calcular "αº".
80º 4αºαº
Comunicación matemática
1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• Lamedidadeunángulollanoeseldobledelamedidadeunángulorecto. ........................ ( ) • Labisectrizdeunánguloesunrayoquedivideenmedidasigualesadichoángulo. ............ ( )
2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:
• Dosángulos.......................................... por el vértice, tienen sus .......................................... en sentidos opuestos y sus medidas son ...........................................
• Dosrectassecantesy..........................................formancuatroángulos......................................consecutivos.
perpendiculares - paralelas - llanos - rectos - opuestos - iguales - consecutivos - lados - ángulos
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2
Unidad II
Completarlasrelaciones,segúnlosgráficos:
3.
m AOE=........− ........
A O
βº
EB
4.
m FOM=........− ........
E O M
F
αº
5.
αº+βº+θº+ωº=........
θº
βºαº
ωº
Resolución de problemas
6. Si: m COD=23º,calcular:m AOB.
A O
C
B
D
7. Si: m AOC= 74º; m BOC= 22º yOM es bisectriz del ángulo AOB, calcular: m MOC.
A
M
BO
C
8. Si: m AOB=42º; m BOC=90º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON.
O
A
B N
C
9. Calcular "αº"
2αº
4αº
3αº
αº
A B
C
D
O
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Operaciones con ángulos
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
10.Calcular"xº",si:m AOD=148º.
A
O
C
B
Dxº68º3xº
11. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular: m BOC
A
M
BC
N
26ºDO
34º
12. OM y ON son bisectrices de AOt B y COt D. Si: m AOB=36º,calcular:m MON
A
B
M
C
N100º
DO
13. Si OE y OF son bisectrices de AOt C y BOt C, calcular: m EOF
A
FB
E
30ºC
O
Aplicación cotidiana• Una puerta metálica levadiza de la cochera de una casa
está decorada y asegurada por varillas que forman ángulos consecutivos congruentes.
14. ¿Cuántos ángulos consecutivos, congruentes y menores se han formado?
15. ¿Cuánto mide cada ángulo menor?
1. Si: m BOC=80º;OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular la m MON.
DA
M
BC
N
O
2. Calcular"xº",si:m AOC+m BOD=130º.
xº
A B
C
DO
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2
Unidad II
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
3. SetienedosángulosconsecutivosPOQyQOR.Se traza OM bisectriz del ángulo POQ.
Si: m POR + m QOR =140º, calcular lam MOR.
4. Si: m AOB - m BOC = 70º, calcular lam MOB. Además OM es bisectriz del ángulo AOC.
B
CM
A O
5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo AOB mide 50º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOC.
1. Si: m AOB=20°ym AOC=100°,calcule:m BOC.
B C
O
A
2. Si: m AOD=120º,m BOC=70ºym COD=30º,calcule: m AOB.
OA
B
C D
3. Calcule "α°"
32º αº
4. Calcule"x°"
4xºxº
5. Calcule"x°",si:m AOD=110°.
50º2xºxº
O
A
BC
D
6. Calcule"x°"
120º3xºxº
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Operaciones con ángulos
7. Si: m AOC=120°, m BOC=20° y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule: m MOC.
C
O
BM
A
8. Si: m POQ=100°, m QOR=40° y OM es bisectrizdelánguloPOR,calcule:m MOQ.
P
M Q
O
R
9. Si OM es bisectriz del ángulo AOC y ON es bisectriz del ángulo BOC, calcule: m MON, si además: m BOC=40º.
A
M B NC
O
10. Si: m AOB=36°,OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcule: m MON.
A O D
N
C
BM
11. Calcular: m BOC.
A
B C
D
5xº3xº
2xº
O8xº
12.Calcule "xº", si: m AOC=158º y OM es bisectriz del ángulo BOC
64ºxº
A
BM
C
O
13. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "θ°".
O
A
M
48º θº
5θº B
C
14. Calcule "β°"
A
BC
38ºβº
64ºRecta
DO
15. Si: m AOB=30°ym BOC=80º y además OM es bisectriz del AOt C, calcule m BOM.
O
A
BM
C
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Conceptos básicos
3
43
¿Qué es generalizar?
¿Qué es para ti una fórmula?
12
3n
........
"n" puntos segmentos( )n n2
1-1
23
3 puntos 3 segmentos 4 puntos 6 segmentos
12
34
En la Aritmética, estudiamosalosnúmeroshaciendooperacionesqueresuelvenproblemasdiversosdelavida cotidiana como compra, venta, edades, etc.
En el Álgebra, el concepto de cantidad es mucho más amplio utilizando letras para representar a las cantidadesconocidasydesconocidas.Unafórmulaalgebraicasurgejustamentedelageneralizaciónqueimplica la representación de cantidades por letras.
En nuestro curso de Geometría, empleamos claramente estos conceptos básicos y en estos dos capítulos es
importante entenderlo y dominarlo paraaplicarloencapítulosmáscomplejos.
solo con enunciadosEn este capítulo aprenderemos:• A interpretar un enunciado con términos geométricos de segmentos de recta y ángulos.
• Agraficarproblemasparasuresoluciónconociendosusvaloresousandovariables.
• Arepresentarmedianteunaecuaciónlasumayrestadesegmentosyángulos.
• "Q"espuntomediodeAN
A Q N
a a
• Puntos y segmentos consecutivos ycolineales.
A B C
ayb
D
AB =a – bAD=a+y
Recuerda que...
44
Solo con enunciados
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•
• Sumayrestadeángulosconsecutivos.
m AOB=θº - βºm AOD=θº+αº
O
A B C
βº
θº
αº
D
E
F
A
αºαºO
OF es bisectriz del ángulo AOE
1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que:AC=25u.Calcular lalongitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC.
Resolución: Se ubican arbitrariamente a los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Como no se
conocen los valores de AB y BC se ponen letras.
A M B
25uN C
a a b b
• Delgráfico:2a+2b=25u,simplificando:a+b=12,5u
• Nospiden:MN=a+b ∴MN=12,5u
Ejemplos
2. SetienendosángulosconsecutivosAOByBOC;talque:m AOC=128º.Calcular lamedidadelángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y BOC.
Resolución:
O
P
A
Bxº
Q
αºθºθº
αº
C
• SetrazanlasbisectricesOP y OQ,siendoelánguloPOQelpedidoenelejercicio. • Sumandoángulosconsecutivos: 2θº+ 2αº= m AOC 2θº+ 2αº= 128º θº + αº = 64º • Finalmente:m POQ=xºydelgráfico: xº= αº + θº ∴xº= 64º
Recuerda que...
45
3
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Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Conceptos básicosAprende más...
1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A";"B"y"C"talque:AB=32uyAC=46u.Calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC.
2. Setienenlospuntoscolineales"P";"Q"y"R",talque:PQ=56uyQR=38u.Calcular"MQ",siendo "M" el punto medio de PR.
3. AE y EF son segmentos colineales y consecutivos tal que: AE=36u y AF=78u. Calcular "MN",siendo "M" y "N" puntos medios de AE y EF respectivamente.
4. PQ y QR son segmentos colineales y consecutivostalque:PQ=84uyQR=62u.Calcular "EQ", siendo "E" el punto medio de PR.
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A","B","C"y"D"talque:AB=20u;BC=16uyCD=34u.Calcular"MN",siendo"M"y"N"puntos medios de AB y CD respectivamente.
6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB=76ºym BOC=48º.Calcularm BOM, siendo OM bisectriz del AOt C.
7. SetienenlosángulosconsecutivosPOQyQOR,tal que: m POR=140ºym POQ=110º.Calcularm POE, siendo OE bisectriz del QOR.
8. Dados los ángulos consecutivosAOB;BOCyCOD, tal que: m AOB=m BOC=m COD y m AOD=144º.Calcular:m BOD.
9. DadoslosángulosconsecutivosPOQyQOR,tal que: m POQ=2m QORym POR=126º.Calcular: m QOR.
10. Dados los ángulos consecutivos MON y NOE, tal que: m MON=3m NOE y m MOE=128º.Calcular: m NOE.
Comunicación matemática
1. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:
• Dos segmentos de ..................................... y dos ángulos se ..................................... congruentes si tienen sus ..................................... iguales respectivamente.
• La menor ..................................... entre dos puntos en el espacio está representado por la ..................................... del segmento de recta que ..................................... a dichos puntos.
distancia - medidas - recta - punto une - plano - denominan - longitud
2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• El ángulo de una vuelta mide 360º ...................................................................................... ( ) • Elángulonoconvexoesmayorde90ºymenorque180º ................................................... ( ) • Los ángulos opuestos por el vértice suman 180º .................................................................. ( )
3. Trazar dos rectas perpendiculares y luego las rectas bisectrices de los ángulos rectos formados con el transportador. ¿Qué observas?
4. Graficar un ángulo agudo cualquiera, luego con el uso del compás traza su bisectriz. Mide las distancias de un punto cualquiera de la bisectriz hacia los lados del ángulo. ¿Qué observas?
5. Grafica un segmento de recta de cualquier longitud, luego ubica a su punto medio con el uso del compás. ¿Qué se obtiene al dividir la longitud de uno de los segmentos obtenidos entre la longitud del segmento inicial?
46
Solo con enunciados
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Conceptos básicos¡Tú puedes!
Resolución de problemas
6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos"A","B"y"C"talque:AB=86uyBC=58u.Siendo"M"puntomediodeAC, calcular "BM".
7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P", "Q" y "R" tal que: PR=68uyPQ=22u.Calcularladistanciaentre"P"yelpunto medio de QR.
8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y"D"talque:AB=18u,BC=24uyCD=30u.Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.
9. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D"talque:AC=36u,BD=48uyBC=10u.Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.
10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m AOB=68º ym AOC=138º.Calcular la medida del ángulo formado por OA y la bisectriz del ángulo BOC.
11. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QORquemiden100ºy50ºrespectivamente.Calcular el ángulo formado por OQ y la bisectrizdelánguloPOR.
12. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que suman 180º. Si: m AOB=38ºym COD=76º,calcular:m BOC.
13. Enelejercicioanterior,calcularlamedidadelángulo formado por las bisectrices de AOt B y COt D.
Aplicación cotidiana
• Alejandritaesaficionadaalacarpinteríayaqueayudaasupapáenlaelaboracióndeunmuebleparasucuarto.ElpapálediceaAlejandritaquecorteconunasierralamaderamostradade2metrosdelongitudentrespartes,talquelamenorpartemida40cmylamayorparteexcedaalaparteintermediaen20cm.
1. Setienenlospuntoscolineales"A","B","C"y"D"talque:AC=42u;BD=78uyCD=3(AB).Calcular "AB".
2. Setienenlospuntoscolineales"P","Q","R"y"S"talque:PR+QS=124u.Calcular:PS+QR.
3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m BOC - m AOB=48º.Calcularlamedidadel ángulo formado por OB y la bisectriz del ángulo AOC
4. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB=90º.Calcularlamedidadelánguloformado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC.
5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que forman un ángulo llano. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD. Además: OB OC.
14. ¿CuántoscortesrealizaAlejandrita?
15. ¿Cuánto miden las otras dos partes?
2 metros
47
3
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Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si:AC=21u;BD=28uyAD=30u,calcular "BC".
2. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D". Si:AC=19u;BD=24uyAD=27u,calcular "BC".
3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R","S"y"T".Si:PQ=QR;RS=ST;PR=12uyRT=20u,calcular"QS".
4. Calcular "PM", siendo "M" punto medio de QR.
P
18u
22u30u
RQ S
5. Calcular"x",si:AM=MD;AC=5myAD=16m.
A C M D
x
6. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos "P","Q","R"y"S"talque"Q"espuntomediodePR.Si:PR=30myRS=10m,hallar"QS".
7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "P","Q","R"y"S",talque:PR=10m;QS=12myQR=4m.Calcular"MN",siendo"M"y"N"puntos medios de PQ y RS.
8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D".Si:AB=BC;AC=CDyAD=48u,calcular"BC".
9. Del gráfico mostrado, calcular "MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AC y BD respectivamente.
18u12u 8u
A CB D
10.Calcular"xº".
2xº40º
11.Calcular"xº".
3xº 2xº
12.Calcular"xº".
3xº+5º 4xº-10º
13.Calcular"xº".
2xº-15º 2xº+15º
60º
14.Calcular"xº".
2xº-10º 3xº+10º
15.Calcular"xº".
4xº
AB
Cxº+10º
O
Geometría
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Complemento y suplemento de un ángulo
Complemento y suplemento de un ángulo
En este capítulo aprenderemos:
• A comparar la medida de un ángulo con el ángulo recto y el ángulo llano.• Arelacionargráficamenteyalgebraicamenteelcomplementoysuplementodeun
ángulo.• Aidentificaradosánguloscomplementariosysuplementarios.
Torre de PisaLatorredePisa(Italia)seconstruyóverticalmente,
pero por lo débil de los cimientos de la torre
se produjo una ligera inclinación dejando
la torre en tres pisos. Después de 100 años
aproximadamente se reinició la construcción
de los cuatro pisos restantes con la finalidad de
corregir la inclinación pero la torre se inclinó
más.
Desdeel2001sereabrióelaccesoalpúblico
yaquenoexisteriesgoalguno.
Actualmente se hacen edificaciones con
inclinaciones gracias a la tecnología, lo cual le
da un aspecto de modernidad.
• ¿Qué ángulo está inclinada la torre de Pisa?
• ¿La inclinación de la torre de Pisa fue adrede?
http
://w
ww
.via
jesm
ag.c
om
CAPITULO 4
Geometría
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Conceptos básicos
Saberes previos
• ElángulorectoAOBmide......................O
A
B
• Unarectasegraficaidénticamenteaunángulo 180º
• 5–[12+(8-2)]=...........................................
16–[24–(12–5)]=...........................................
2x–[6x+10x–(6x–3x)]=...........................................
18a–[12a–3(4a–a)]=...........................................
.............................................
Definición de ángulos complementariosSon aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 90º.
O
A
αº
B
E
H
F
θºαº+θº=90º
Los ángulos AOB y EFH son complementarios.
Definición de ángulos suplementariosSon aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 180º.
Φº+ωº=180º
P
ωº
R
Q
Φº
N
M
O
LosángulosMONyRPQsonsuplementarios
CAPITULO
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Complemento y suplemento de un ángulo
Complemento de un ánguloEs el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 90º
Complementode30º=90º-30ºComplementode30º=60º
C30º=60º
30º
Complementode50º=90º-50ºComplementode50º=40º
C50º=40º
50º
θºCθº
Complemento de "θº":Cθº=90º–θº
Suplemento de un ángulo
Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 180º.
Suplementode40º=180º-40ºSuplementode40º=140º
S40º=140º
40º
Suplementode60º=180º-60ºSuplementode60º=120º
S60º=120º
60º
Suplementode100º=180º-100ºSuplementode100º=80º
S100º=80º
100º
Suplementode130º=180º-130ºSuplementode130º=50º
S130º=50º
130º
Suplemento de ωº=Sωº=180º-ωº
ωºSωº
Los ángulos de referencia son los de 90º y 180º de tal manera que al conocer un ángulo
agudo u obtuso se pueden relacionar con dichos ángulos.
Ten en cuenta
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4
Unidad II
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Para combinar operaciones con el complemento y suplemento de un ángulo se usan términos prácticoscomoporejemplo:
1. Si nos piden: • Calcularelcomplementode40ºyluegoelsuplementodelresultado.
La solución es: C40º=90º-40º=50º
S50º=180º-50º=130º
Respuesta:130º
• En forma práctica: Calcular el suplemento del complemento de 40º.
La solución es: SC40º=180º-(90º-40º)
SC40º=180º-50º
∴ SC40º=130º
2. Si nos piden: • Calcularelcomplementodelresultadodelsuplementode110º.
La solución es: S110º=180º-110º=70º
C70º=90º-70º=20º
Respuesta:20º
• En forma práctica: CS110º=90º-(180º-110º)
CS110º=90º-70º
CS110º=20º
1. Calcular el complemento de 53º.
2. Calcular el suplemento de 81º.
3. Calcular la suma entre el complemento de 10º y el suplemento de 100º.
4. Calcular la suma entre el complemento de 30º y el suplemento de 70º.
5. Calcular la diferencia entre el suplemento de 70º y el complemento de 50º.
6. Calcular la diferencia entre el suplemento de 50º y el complemento de 50º.
7. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 60º.
8. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 80º.
9. Calcular el complemento del suplemento de 125º.
10. Calcular el suplemento del complemento de 75º.
Ten en cuenta
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Complemento y suplemento de un ángulo
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• Dos ángulos complementarios tienen que ser consecutivos ................................................. ( ) • Tresángulosquemiden30º;40ºy110ºsonsuplementarios ............................................... ( )
2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, con los términos del recuadro mostrado:
• Para que un ángulo tenga ................................., tiene que ser menor o ................................. a 90º y para que un ................................. tenga suplemento ................................. que ser ................................. o igual a 180º.
• El complemento de un ángulo ................................. es cero y el ................................. de un ángulo llano también es .................................
ángulo - recto - suplemento - complemento consecutivos - cero - igual - tiene - mayor
menor - llano - centro
3. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios.
4. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios.
5. Completarlosrecuadros,segúnlosgráficos:
θº
...... − ......
...... − ......
αº
Resolución de problemas
6. Calcular el complemento del suplemento de 124º.
7. Calcular el suplemento del complemento de 72º.
8. Calcular la suma entre el suplemento y el complemento de 68º.
9. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 57º.
10. Calcular la diferencia entre el complemento de 14º y el suplemento de 158º.
11. Calcular el suplemento del suplemento de 131º.
12. Calcular la medida de un ángulo, si su complemento es 35º.
13. Calcular la medida de un ángulo, si su suplemento es 128º.
14. Si "xº" es la medida de un ángulo y elcomplementode"xº"es39º,calcular"xº".
15. Si "θº" es la medida de un ángulo y el suplemento de "θº" es 63º, calcular "θº".
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4
Unidad II
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Sielcomplementode"xº"esigualaldoblede"xº",calcular"xº".
2. Si el suplemento de "θº" es el cuádruple de "θº", calcular "2θº".
3. Calcular la medida de un ángulo, si la suma de su complemento y su suplemento es 200º.
4. Si el suplemento de un ángulo es el cuádruple de su complemento, calcular la medida de dicho ángulo.
1. Calcular el complemento de 26º.
2. Calcular el suplemento de 83º.
3. Calcular el complemento de 72º.
4. Calcular el suplemento de 100º más el complemento de 50º.
5. Calcular el suplemento de 80º menos el complemento de 60º.
6. Calcular el complemento de 70º más el suplemento de 130º.
7. Calcular el complemento del suplemento de 170º.
8. Calcular el complemento del suplemento de 118º.
9. Calcular el complemento del complemento de 39º.
10. Calcular el suplemento del suplemento de 111º.
11. Calcular el complemento del complemento de 83º.
12. Calcular el suplemento del suplemento de 141º. 13. Calcular la suma del complemento y el
suplemento de 25º. 14. Calcular la diferencia entre el suplemento y el
complemento de 65º.
15. Calcular la diferencia entre el suplemento y el complemento de 45º
Geometría
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Ordenamiento lineal y circular
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
repaso bimestral
1. Si:BC=3(AB)yAC=72u,calcular"AB".
A B C
2. Si:PQ=5(QR)yPR=54u,calcular"QR".
P Q R
3. Si: AB=36u; BC=42u y CD=54u, calcular"MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB y CD.
A C DB
4. Calcular "αº"
42ºαº2αº
5. Calcular "xº".
5xº-26º 2xº+19º
6. Calcular "2θº"
74º3θº
θº
7. Si: m AOC = 104º; m BOD = 118º ym BOC=60º,calcular:m MON. (OM y ONson bisectrices de los ángulos AOB y COD.)
O
D
CB
A
8. Calcular el suplemento del complemento de 70º más el complemento de 60º.
9. Calcular el complemento del suplemento de 160º más el suplemento de 95º.
10. Calcular el complemento del suplemento de 115º menos el complemento de 85º.
Comunicación matemática
1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• El complemento de 100º es -10º .......................................................................................... ( ) • El suplemento de 200º es -20º .............................................................................................. ( ) • El suplemento de 300º es 60º ............................................................................................... ( ) • Losángulosquemiden20º;30ºy40ºsonconsecutivos ...................................................... ( )
5
Geometría
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Resolución de problemas
6. Se tienen los puntos colineales "A", "B" y "C" talque:BC=AB+12uyAC=32u.Calcular"AB".
7. Setienenlospuntoscolineales"P","Q","R"y"S"talque:PQ=6u;QR=14uyRS=36u.Calcular "QM", si "M" es punto medio de PS.
8. Se tienen los ángulos consecutivos y suplementarios AOB y BOC tal que: m BOC=2m AOB. Calcular: m AOB.
9. Se tienen los ángulos consecutivos y complementarios AOB y BOC tal que: m AOB=4m BOC. Calcular: m BOC.
10. Calcular la diferencia entre el suplemento del complemento de 65º y el complemento de 55º.
11. Calcular la diferencia entre el complemento del suplemento de 98º y el complemento de 86º.
12. Si el suplemento de un ángulo es igual a 116º, calcular el complemento de dicho ángulo.
13.Calcularelmáximonúmerodesegmentosquese determinan en una recta al ubicar 21 puntos.
2. Completar las siguientes relaciones gráficas:
x
yA B C
BC=......− ...... m MOE=.......− .......
αº
θº
N
E
M
m AOB=........− ........
2ωº A
C
B
3. Graficar dos ángulos opuestos por el vértice agudos.
4. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios, tal que uno de ellos mida 50º.
5. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios, tal que uno de ellos mida 105º.
O
O
Aplicación cotidiana• EnunencuentrodefútboleldelanteroWaldylanzaunbalóndelargadistanciaalarqueroRonaldo;
pero antes de llegar al arco, el balón da un rebote de tal manera que el ángulo del trayecto del balón antes del rebote con el campo es el triple del ángulo del trayecto de rebote con el campo y el ángulo que forman estas trayectorias mide 105º.
http
://w
ww
.futb
olre
d.co
m
14. Calcular las medidas de los ángulos mencionados.
15. Calcular el complemento del menor de los ángulos anteriores.
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Repaso bimestral
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. En ACseubicaelpunto"B",talque:AB-BC=10u.Calcular la distancia de "B" al punto medio de AC. (AB>BC)
2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "G","M","A"y"B".Calcular"GB",si:GA=20uyGB+AB=50u.
3. Calcular"xº",si:βº=20º.
xº
2βºβº
4. Si: m AOC + m BOD = 250º, calcular lam BOC.
OA D
C
B
5. Si el suplemento del suplemento del suplemento del complemento del complemento de un ángulo es 80º, calcular la medida de dicho ángulo.
1. Calcular"x",si:AB=52.
EA F B
x 12 3x
2. Si:PM=33;MN=45yPQ=98,calcular"NQ".
MP N Q
3. Calcular"x".
EA F D
17 x
78
49
4. Si: AB= 14; BC= 16 y CD= 26, calcular"MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y CD.
M B CA N D
5. Si: m AOC=148ºym BOC=82º,calcularel complemento del ángulo AOB.
B
CO
A
6. Si: m AOB=42º,m BOC=104ºyOM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
MB
CO
A
7. Calcular"xº".
xº3xº2xº4xº
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5
Unidad II
8. Calcular el complemento de "αº".
CB
DA
O
2αº 100º αº
139º
9. Calcular el complemento de 16º más el suple-mento de 128º.
10. Si:AQ=48cm;NP=72cmyAP=96cm,
calcular "NQ".
N Q PA
11.Calcular"MN",si:AB=18;BC=40y"M"y"N"son puntos medios de AB y AC.
M B NA C
12.Calcular"BE",si:AC=18.
B CA
x 2x 4x
E
13. Si: m AOB=46º;m BOC=72ºyOM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
BM
CO
A
14. Calcular el suplemento de "αº".
48º
2αº
αº
15. Si: m AOB=44º;OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y AOC, calcular: m MON.
C
N
O
BMA
Central: 619-8100
geometría
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ApreNDIZAjes esperADos
UNIDAD 1
La base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?¿Qué estudia la Geometría?¿Qué es postulado?
CoNoCIeNDo A lA geometríA
UNIDAD 1
• Reconoceryrelacionarfigurasyelementosgeométricos.
• Identificarelnúmeromáximoymínimodepuntosdecorte.
• Sumaryrestarlongitudesdesegmentosderectaconvaloresyconvariables.
• Ubicaralospuntosmediosdelossegmentosderectaconelusodelcompás.
• Resolverejerciciosdesegmentosconpuntosmediosusandovariables.
Central: 619-8100
geometría
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1ángulos determinados entre
dos rectas paralelas y una secante
En este capítulo aprenderemos:• Adefinirygraficardosrectasparalelas.• Areconocerlosángulosalternosinternosentredosrectasparalelas.• Aplantearlaspropiedadescorrespondientesalosángulosalternosinternos.• Areconocerlosánguloscorrespondientesdeterminadosentredosrectasparalelas.• Aplantearlaspropiedadesrelacionadasalosánguloscorrespondientes.• Adesarrollardiversosproblemas.
El PartenónEl diseño del Partenón estuvo condicionado inicialmente para albergar la imagen de oro y marfil de Atenea Parthenos, esculpida por Fidias. La colosal estatua de doce metros de altura precisaba de una inmensa cella de más de 18 metros de anchura, dividida en tres naves mediante una doble columnata conformada por dos órdenes superpuestos de estilo dórico. La nave central medía diez metros de anchura. Dentro de la cella del lado este, la columnata se dispuso en forma de "U"yestabacompuestapornuevecolumnas con un entrepaño entre cada una de ellas, en los lados largos de la "U". Tres columnascon dos entrepaños formaban el lado corto.En la zona oeste, al fondo del interior de la columnata de cuatro columnas,existíaelbasamentodela estatua, para el culto a Atenea Parthenos con un amplio estanque, poco profundo, que producía un efecto de brillo mediante el agua frente a ésta. Ambas cellas estaban cerradas por puertas de bronce.La cella del este estaba dedicada a Atenea Polías (protectora de la ciudad), y la cella del oeste estaba dedicada a Atenea Párthenos, "la virgen", por lo cual todo el edificio acabó siendo conocido como el Partenón.LadecoraciónescultóricadelPartenónesunacombinaciónúnicadelasmetopas(esculpidasenaltorrelieveextendiéndoseporloscuatroladosexternosdeltemplo),lostímpanos(rellenandolosespaciostriangularesde cada frontón) y un friso (esculpido enbajorrelieve abarcando el perímetro exterior de la cella). Enellos se representan varias escenas de la mitología griega. Además, las diversas partes del templo estaban pintadasdecoloresvivos.ElPartenónes,sinduda,elmáximoexponentedelordendórico,comosepuedeapreciar en el diseño del friso o sus columnas. • Desdelaantigüedadyaseconocíaelconceptodeparalelismo,¿lascolumnasdelPartenónson
paralelas?
http://oyukimacias.files.w
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CAPITULO
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Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante
Conceptos básicos
Saberes previos
• Ángulos opuestos por el vértice • Ángulos suplementarios
αº θº
αº+θº=180º
αºαº
L1 L2
• En la bisectriz:
θºθº
A
O B
bisectriz delBAOB
• En un triángulo:
αº
θº
βº
αº+θº+βº=180º
También:
Rectas paralelasDosrectassonparalelassiestánenunmismoplanoyno tienenpuntosencomún,esdecirno tienenpuntos de corte.
Se lee: "La recta L1 es paralela a la recta L2".
L1
L2
Gráfico:
Notación:
!
!L1 //
!
!L2
αº
βºL2
L3
L1
•
!
!L1 //
!
!L2.
•
!
!L3 es la recta secante a
!
!L1 y
!
!L2
• "αº" y "βº" son las medidas de los ángulos alternos internos.
αº=βº
Entonces:
fº
θºL2
L3
L1
θº=fº
Entonces:•
!
!L1 //
!
!L2
Ángulos alternos internosSon los pares de ángulos que se encuentran entre dos rectas paralelas y en lados diferentes de la recta secante.
Central: 619-8100 61Unidad III
1
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Ángulos correspondientesSon los pares de ángulos que se encuentran a un mismo lado de la recta secante y a un mismo lado de cada recta paralela.
αº=βº
Entonces:L1
L2
L3αº
βº
•
!
!L1 //
!
!L2
•
!
!L3 es la recta secante a
!
!L1 y
!
!L2
• "αº" y "βº" son las medidas de los ángulos correspondientes.
También:θº
fº•
!
!L1 //
!
!L2 θº=fº
Entonces:
L1
L2
L3
1. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2
L1
L2
72º
αº+10º
2. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2
62º
θº+5º
L1
L2
3. Si:
!
!L1 //
!
!L2, calcular "θº"
L1
L2
θº+20º
142º
4. Si:
!
!L1 //
!
!L2, calcular "θº"
L1
L2
135º
θº+40º
5. Si:
!
!L1 //
!
!L2, calcular "αº"
L1
L2
48º
2αº+10º
6. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
140º
7θº
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Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante
Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática1. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)lassiguientesproposiciones.
• Lasrectasparalelassonaquellasquealserprolongadasnotienenningúnpunto encomún ............................................................................................... ( ) • Enelgráfico:(L1 // L2)
L1
L2
αº
θº
Se muestran dos ángulos alternos internos. ................................................................ ( )
• Dosrectasparalelas
!
!L1 y
!
!L2 se denotan como:
!
!L1 //
!
!L2 .............................................. ( )
2. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico:
αº=..........
L1
L2
αº
θº
• Si:
!
!L1 //
!
!L2
• Si:
!
!L1 //
!
!L2
L1 L2
aºbº
aº=..........
7. Si:
!
!L1 //
!
!L2, calcular "αº"
L1L2
3αº54º
8. Si:
!
!a //
!
!b, calcular "αº"
ab
94º
4αº+10º
9. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2
L1L2
5θº145º
10.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2
L1
L2
154º
xº+35º
Central: 619-8100 63Unidad III
13. Grafica haciendo uso de la regla:
• Dosrectashorizontalesparalelas
!
!L1 y
!
!L2 y una recta secante a ellas oblicua
!
!L3.
4. Relacionamedianteflechas,si:
!
!L1 //
!
!L2
L1
L2
αº
θº
L1
L2
βº
ωº
•Ánguloscorrespondientes
•Ángulosalternosinternos
5. De acuerdo al gráfico, plantea la ecuación.
• Si:
!
!L1 //
!
!L2
L1
L2
θº
αº
Ecuación: αº+..........=...........
Resolución de problemas
6. Si:
!
!L1 //
!
!L2, calcular "θº"
L2
L1
145º
5θº+10º
7. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L13θº+10º
L2
76º
8. Si:
!
!L1 //
!
!L2,calcular"xº"
L1 L2
xº+5º78º
9. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2
L1
L2
138º
xº+35º
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Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Aplicación cotidiana
El solLos rayos solares del sol emiten haces de luz como lo muestra la figura. El "haz 1" es paralelo al "haz 2" y forman los ángulos mostrados "αº";"βº" y "θº"
14. Si un alumno observa que: αº=46º,calcular"βº".
15. Con las condiciones anteriores, calcular "θº".
1. Si:
!
!L1 //
!
!L2, calcular "θº".
L1
L2
2θº
58º
2. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
xº50º
65º
3. Si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3,calcular"xº"
L1
L2
L3
70º
45º xº
4. Si:
!
!L1 //
!
!L2,calcular"xº".
L1
L2
72º
xº
60º
10.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
124º
2xº+10ºL2
L1
11. Calcular "αº", si:
!
!m //
!
!n
m
n3αº
70º–2αº
12.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
4xº
132º
13. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1 L2
135º 3θº
αº βº θº
haz "1" haz "2"
Central: 619-8100 65Unidad III
1
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
75º
xº
2. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
120º
3xºL2
L1
3. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
3θº
72º
4. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
45º
3θº
5. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
150º
3xº
a
b
6. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1 L2
66º6θº
7. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
5αº+30º
145º
8. Calcular "βº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1 L2
65º 5βº+20º
5. Si:
!
!L1 //
!
!L2 , calcular "θº".
L1
L2
120º
40º θº
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Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante
9. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1L2
3θº+27º
162º
10. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L13αº+mº
171º+mº
11. Calcular "βº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1 L2
nº+5βº
70º+nº
12.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
146º
xº
13. Calcular "yº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
108º
4yº
14.Calcular"xº",si:
!
!m //
!
!n .
3xº–1º
n
m
71º
15. Si:
!
!a //
!
!b , calcular "θº".
2θº–1º
139ºa
b
...................................................... ( )
Central: 619-8100
geometría
67www.trilce.edu.pe
geometría
67
operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas
En este capítulo aprenderemos:• Aaplicarlaspropiedadesdadasaángulosalternosinternos.• Aaplicarlaspropiedadesdadasaánguloscorrespondientes.• Adesarrollardiversosproblemassobreángulosdeterminadosporrectasparalelas.
• Enlasvallasmostradas,¿observarásobjetosparalelos?
Postes paralelosLa valla es un elemento superficial vertical que se utiliza para delimitar terrenos y protegerlos contra intrusos. Suelen ser de madera o metálicas.Las vallas se colocan alrededor deunterrenoojardínytienenlafunción de impedir la entrada al mismo o de proteger la intimidad de sus habitantes. Las vallas se instalan en granjas, terrenosagrícolas o en otros espacios privados como, por ejemplo,los jardines de las viviendasunifamiliares.Unavallaclásicaestáformadaporuna serie de tablones o estacas de madera colocados en vertical y terminados en punta o de forma redondeada. Los tablones se clavan al terreno y se unen por medio de otras tablas horizontales que se clavan a las anteriores. Existen también vallas metálicasque consisten en una malla de alambre, denominada alambrada. También se encuentran vallas confeccionadas con materiales naturales como cañas o brezo. En este caso, las piezas se trenzan con alambre conformando una superficie tupida.
CAPITULO
2
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Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Saberes previos
• Ángulosopuestosporelvértice
αº αº
• Ángulosalternosinternos
Si:
!
!a //
!
!b .
θº
θº
a
b
• Ángulosconsecutivosysuplementarios
βºαº
αº+βº=180º
• Ánguloscorrespondientes
Si:
!
!m //
!
!n .
θº
θº
m
n
1. Si:
!
!L1 //
!
!L2, calcular "θº".
144º
3θº
L1
L2
2. Si:
!
!L1 //
!
!L2,calcular"xº".
L1
L2
126º
9xº
3. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
xº+40º
35º
4. Si:
!
!a //
!
!b , calcular "θº".
4θºa
b20º
Central: 619-8100 69Unidad III
2
Conceptos básicos Aprende más...
5. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1 L2
5αº 60º
6. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
xº
40º
65ºL1
L3
L2
7. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
xº
42º
L1
L3
L2
48º
8. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1 L3L2
xº
62º 58º
9. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1L3L2
xº35º125º
10. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
θº
L1
L3
L2
135º
52º
Comunicación matemática
1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico:
αº+......=.......
L1
L2
βº
αº
• Si:
!
!L1 //
!
!L2.
• Si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
xº=.....+.....xº
βº
L1
L3
L2
αº
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Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas
Resolución de problemas
6. Calcular "θº", si:
!
!a //
!
!b .
3θº
126º
a
b
7. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
3θº+70º
5θº+40ºL1
L2
2. Plantea la ecuación correcta de acuerdo al gráfico, en términos de "αº";"βº" y "θº" (
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3)
Ecuación: ......=.........+.........
L1 L3L2
θº
αº βº
3. Graficar haciendo uso de la regla:
• Tresrectasparalelasverticales
!
!a ;
!
!b y
!
!c .
4. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.
a
bαº
θº
• Enelgráfico,donde:
!
!a //
!
!b
Tenemos que: αº=θº ................. ( )
θº
yº
xº a
b
c
• Enelgráfico,donde:
!
!a //
!
!b //
!
!c
Tenemos que: θº=xº–yº...............()
5. Completa el gráfico, de acuerdo al enunciado. • Unirmediantesegmentoslospuntos"A";"B"y"C".
L1
L3
L2A
B
C
Central: 619-8100 71Unidad III
2
Aplicación cotidianaLa reja de la ventanaPor seguridad Julio coloca rejas en la ventana del frontis de sucasacomolomuestralafigura.Sitodaslasrejashorizontalessonparalelasentresíylasrejasoblicuastambiénsonparalelasentresí.
Calcular:
14. ¿Cuál es la relación que cumple "αº" y "βº" de acuerdo a las condiciones dadas?
15. ¿Qué relación cumple "αº" y "θº" de acuerdo a las condiciones brindadas?
αº θº
βº
8. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1 L2
6θº2θº–20º
9. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b //
!
!c .
xº
53º
28ºa
b
c
10.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1 L3L2
120ºxº 62º
11.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1
L3
L2
xº
51º
38º
12.Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b //
!
!c .
xº
a
c
b
134º
128º
13.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1
L3
L2
xº
138º
62º
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Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1. Si:
!
!a //
!
!b ,calcular"xº".
2θº 50º
xº θº
a
b
2. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
150º
120º
xº
L1
L2
3. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
70º
L1
L2
125º
xº
4. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
xº
23º
58º
5. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
βºβº
αºαºxº
1. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
2xº
50º
L1
L2
2. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
50º
xº
3. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L162º
xº
4. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
126º
xº
Central: 619-8100 73Unidad III
25. Calcular "αº", si:
!
!a //
!
!b .
129º
a b
3αº
6. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b //
!
!c .
xº
a
c
b
43º
22º
7. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1L3L2
θº72º
141º
8. Calcular"xº",si:!
!L1 //
!!L2 //
!!L3.
L1
L3
L2
xº
120º
135º
9. Si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3, calcular "θº".
θº L1
L3
L2
64º
10. En la figura, calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1 2θº
34º
11. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L2
L3
L1
82º
αº
132º
12. Calcular "αº", si:
!
!a //
!
!b //
!
!c .
a
c
b
25º
αº
93º
13. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
100º
αº
40º
L2
L3
L1
14. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1
L3
L2
θº
62º
15.Calcular"xº+yº",si:
!
!a //
!
!b //
!
!c
a
c
b
yº
xº130º
34º
Geometría
CEILTRColegios
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3
Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas
En este capítulo aprenderemos:• Areconocerlosángulosalternosinternosdadosentredosrectasparalelas.• Aaplicarlaspropiedadesdadasalosángulosalternosinternos.• Areconocerlosánguloscorrespondientesentredosrectasparalelas.• Aaplicarlaspropiedadesdadasenlosánguloscorrespondientes.• Aconocernuevaspropiedadesydesarrollardiversosproblemas.
• ¿Elconceptodeparalelismoseusabaparalaconstruccióndetemplos?
Los cuatro postesEl templo pudiera haber tenido origen en el Megaron, sala rectangular precedida por un pórtico de columnas (stylos),existenteenlacasaMicénicayqueeralahabitaciónmásimportantedelacasagriegaysantuariode los dioses familiares, tal como lo describe Vitrubio. En las invasiones y guerras, los ganadores derruían el palacio del rey vencido, pero respetaban el Megaron puesto que era la casa del dios de la región. Así, el templo más antiguo era el In-antis, quetiene todo el aspecto de ser una habitación que ha perdido la casa que tenía alrededor.Son construcciones arquitrabadas que se alzan sobre una plataforma con gradas (krepis o krepidoma), llamándose estilóbato al últimoescalón. La planta definitiva del templo griego constaba de un local llamado cella, un espacio interior, de forma rectangular, que constituye el núcleo de laconstrucción. Tiene una sola abertura, la puerta, sin ventanas. A veces el templo tiene dos cellas, con las puertas en las fachadas principales, las más cortas, y en este caso cada cella suele estar dedicada a una divinidad distinta.
3
CAPITULO
Geometría
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 75Unidad III
Conceptos básicos
Saberes previos
L1
L2
d d
L1 // L2
• Rectasparalelas
θº
θº
• Ángulosopuestosporelvértice
βºαº
αº +βº =90º
• Ánguloscomplementarios
• Ángulosconsecutivosysuplementarios
αº βº
αº +βº =180º
• Si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3,calcular"xº"entérminosde"aº"y"bº".
L1
L3
L2
aº
bº
xº
Resolución:
L1
L3
L2
aº
aº
bº
bº
xº
xº=aº+bº
• Trasladamoslosángulosalternosinternos(ángulos de igual medida) "aº" y "bº"
• Poradicióndeángulos:
Recuerda que...
CEILTRColegios
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Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
• En general:
xº
L1
L2bº
aº Si:
!
!L1 //
!
!L2
Entonces: xº=aº+bº
1. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
5θº+10º
4θº+60º
2. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
4θº+5º
65º
3. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
a
b
58º
2xº
4. En la figura , calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
9θº
72º
5. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b //
!
!m.
xº
30º
45º
a
m
b
6. Calcular "αº", si:
!
!m //
!
!n .
m
n
63º
7αº
Recuerda que...
CEILTRColegios
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3
Conceptos básicosAprende más...
7. Calcular "θº", si:
!
!a //
!
!b .
5θº+20º
75º
a
b
8. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
xº
L1
L2
38º
45º
9. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
46º
αº
10.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
148º
xº
Comunicación matemática
1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico.
αº +.....=......
βº
αº+θºa
b
• Si:
!
!a //
!
!b . • Si:
!
!m //
!
!n .
zº
xº+yº m
n
zº =.....+......
2. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda,enlossiguientesenunciados.
• Enelgráfico:
L1
L2
αº
βº
xº
Tenemosque:xº=αº+βº, si:
!
!L1 //
!
!L2 ............................................................................ ( )
• Enlosángulosopuestosporelvértice,lasmedidasdelosángulossondiferentes ......... ( )
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Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas
Resolución de problemas
6. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
5αº
65º
7. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
3xº+20º
xº+80º
8. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
80º
5θº+15º
9. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
5xº
xº
a
b
3. Completaelgráfico,segúnelenunciado:
• Unemediantesegmentosderectalospuntos"A"con"B"y"A"con"C".
A
B C
4. Relacionaconflechas,si:
!
!a //
!
!b .
a
bαº
αº•Ánguloscorrespondientes
•Ángulosalternosinternos
θºθº
a b
5. Plantealaecuacióndeacuerdoalgráfico,entérminosde"xº";"yº"y"zº"
Si:
!
!a //
!
!b
a
b
xº+zº
yº Ecuación: .........................=.........
CEILTRColegios
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3
Conceptos básicos¡Tú puedes!
10.Calcular"xº",si:
!
!m //
!
!n //
!
!r .
xº
70º
65º
m
n
r
11.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
4xº+5º
65º
12.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
xº
62º
65º
13.Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
100º
48º
xº
a
b
Aplicación cotidiana
El vaso de agua
Unvasocontieneaguahastaciertamedida.Unalumno lo inclina 40º como muestra la figura y se originan los ángulos "αº" y "βº".
14. Calcular la medida del ángulo "αº".
15. Calcular la medida del ángulo "βº".
40º βº
αº
1. Si:
!
!a //
!
!b ,calcular"xº".
xº
a
b
130º+mº
150º–mº
2. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1
L3
L2
2θº
xº
8θº
CEILTRColegios
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Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1 48º
6θº
2. Calcular "αº", si:
!
!a //
!
!b .
55º
5αº
a
b
3. Calcular "θº", si:
!
!a //
!
!b .
2θº
58º
a
b
4. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
5αº
60º
5. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L12αº
80º
6. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2L1
5xº+20º
60º
3. Calcular "βº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2θº θº
βº60º
25º
4. Calcular"mº–nº",si:
!
!a //
!
!b
120º
nº
mºa
b
5. Calcular "xº+yº", si: αº+βº=50º y además:!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
yºαºαº
xºβºβº
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37. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
140º
7xº
8. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1 3xº
75º
9. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2L1
3xº–10º
50º
10. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
75º
7θº+5º
11.Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
a
b65º
40º
xº
12. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
60º
L1
L2
33º
αº
13. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1 L2
αº
114º150º
14.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
75º
80º
xº
15. Calcular "αº+θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
130º
40º 60º
2αº
αº
θº
Geometría
CEILTRColegios
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4
Saberes previos
recordando lo aprendidoEn este capítulo aprenderemos:
• Areconocerlaspropiedadesaprendidasanteriormente.• Adiferenciarlostiposdeproblemaspararesolverlosdemaneraadecuada.• A aplicar las propiedades ya sea en los ángulos correspondientes o en
alternos internos, etc.
Carpintería metálica
Carpintería metálica se denomina al taller, al oficio y al producto elaborado del carpintero que emplea metales para la fabricación de muebles, puertas, ventanas, accesorios, etc.Se conoce como empresas de carpintería metálica a las que utilizan profesionales que se dedican a la fabricación y comercialización de productos metálicos, como acero y aluminio, para los mercados de la construcción, industria y decoración, así como la gama de productos orientada al cerramiento integral de la vivienda: puertas, ventanas, persianas laminadas, extrusionadas,deseguridad,cajonesderegistrolaminados,extrusionados,yderoturadepuentetérmico, contraventanas de lamas orientables, mosquiteras,accesoriosdeaccionamiento,rejasdehierroyforjadoartístico,etc.
• En el gráfico, ¿puedes observar líneasparalelas?
θº θº
• Ángulosopuestosporelvértice
αºβº
αº +βº =180º
• Ángulosconsecutivossuplementarios
αº
βº
αº+βº=90º
• Ángulosconsecutivoscomplementarios
CAPITULO 4
Geometría
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Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L260º
2xº+10º
2. Calcular "θº", si:
!
!a //
!
!b .
8θº
152º
a
b
3. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
7xº
63º
4. Calcular"xº",si:
!
!m //
!
!n .
m
n
14xº
70º
5. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
αº
157º
6. Calcular "βº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
61º
βº
7. Calcular "θº", si:
!
!a //
!
!b .
θº
152º
a b
8. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L2
L3
L1
xº
42º
53º
9. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b //
!
!c .
xº
50º
60º
a
b
c
10.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
xº
34º
125º
CEILTRColegios
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Recordando lo aprendido
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico:
L2
L1
xº
yº
xº+......=........
• Si:
!
!L1 //
!
!L2
xº=......+.....
a
bxº
yº+zº
• Si:
!
!a //
!
!b
2. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F),segúncorrespondaenlossiguientesenunciados.
• Enlosánguloscorrespondientes,susmedidassondediferentemedida .........................( ) • Enlosángulosalternosinternos,susmedidassuman180º ............................................( )
3. Compararlacolumna"A"conlacolumna"B",usandolossignos">";"<"ó"=".
Columna A Signo Columna B
θºαº
"αº+θº"
Si: !
!a //
!
!b .
θº
ωº
a
b
"θº+ωº"
4. Nombra cada figura:
m
n
θº
θº
5. Indicarquerectassonparalelasentresí:
L2
L3
L4
L145º
45º
• ...............................................................
• ...............................................................
CEILTRColegios
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4Resolución de problemas
6. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L23xº–1º
71º
7. Calcular "βº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2L1
78º
4βº–2º
8. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
56º
5xº–4º
a
b
9. Calcular"xº",si:!
!m //
!!n .
m
n
3xº
15º–2xº
10. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
132º
2θº
11. Si:
!
!m //
!
!n , calcular "αº".
m
n2αº
58º
12. Calcular "βº", si:
!
!a //
!
!b .
4βº5βº
a b
13. Calcular "θº", si: !
!L1 //
!!L2.
L1L2
168º152ºθº
Aplicación cotidiana
El posteUn alumno está ubicado en la posición indicada. Al serencendido el poste emite un haz de luz como se indica en la figura, originando los ángulos "αº" y "βº". Dato: PQ // BC.
14. Si: m BABC=62º,calcularlamedidadelángulo"βº".
15. ¿Cuál será la medida de "αº"?
βº
P
Q C
B
Haz de luz
αº
A
CEILTRColegios
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Recordando lo aprendido
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1. Si:
!
!L1 //
!
!L2 y
!
!L3 //
!
!L4, calcular "θº".
L1
L2L4L3
4θº6θº
2. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b //
!
!c .
72º
xºθº2θº
a
b
c
3. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1 L2
60º
xº
4θºθº
4. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
a
b
θº
2θº
2αºxº
αº
5. Si:
!
!L1 //
!
!L2,calcular"xº".
L1 L2
xº
126ºθº αº
2θº 2αº
1. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
5αº
65º
2. Calcular "θº", si:
!
!a //
!
!b .
a
b
24º
12θº
3. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
16xº
80º
4. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
139º
θº
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 87Unidad III
45. Calcular "θº", si:
!
!a //
!
!b .
a
bθº
137º
6. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L2
L3
L1
xº
60º
135º
7. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b //
!
!c .
b
c
a
xº
50º
80º
8. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1
2θº–110º
θº
9. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1αº
32º
85º
10. Calcular "θº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
60º
4θº
11. Calcular "θº+αº", si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1
L2
L3 θº
αº
55º
12. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L3
L2
L1142º
125º
αº
13.Calcular"xº",si:αº+βº=85ºy!
!L1 //
!!L2.
L1
L2
βº
αº
xº
14.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
60º
xº θº2θº
L2
L3
L1
15.Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L2
L1θºθº
αºαº
35º xº
Geometría
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-810088
5triángulos
En este capítulo aprenderemos:• Adefinirygraficaruntriángulo.• Aconocerlaclasificacióndelostriángulos.• Areconocerloselementosdeuntriángulo.• Aidentificaryaplicarlaspropiedadesfundamentaleseneltriángulo.• Areconocerladiferenciaentreángulosinternosyexternosdeltriángulo.
• Losvelerossonembarcacionesparausorecreativoydeportivo,ensuestructura.¿Puedes observaralgúntriángulo?
El veleroLos egipcios fueron los primeros constructores de barcos de vela de los que se tiene noticia. Hace al menos cinco mil años que los fabricaban para navegar por el Nilo y más tarde por el Mediterráneo.Las embarcaciones de vela fueron los primeros medios de transporte a través de largas distancias de agua (ríos, lagos, mares). Actualmente tienen un uso de carácter recreativo, deportivo o educativo. Sin embargo, en algunas zonas del Océano Índico siguen utilizándose con un sentido comercial.Las embarcaciones de vela también tuvieron un uso militar, especialmente en naciones con un fuerte desarrollo colonial transoceánico (Inglaterra, España,Holanda, Francia), hasta el siglo XIX.Hay muchos tipos, pero todas tienen ciertas cosas básicas en común.Todaslasembarcacionesdevelatienenuncascoprotegidoporlaquilla,aparejo,almenosunmástil para soportar las velas y una orza para no derivar y compensar la fuerza lateral del viento.
CAPITULO
5
Geometría
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 89Unidad III
Conceptos básicos
Saberes previos
L1
L2
θº θº
• Ángulosopuestosporelvértice.
• Ángulosalternosinternos(
!
!a //
!
!b ) • Ánguloscorrespondientes(
!
!m //
!
!n )
• Ángulosconsecutivosysuplementarios.
αº θº
αº+θº=180º
θº
θº
a
b αº
αº m
n
DefiniciónUn triánguloesaquella figurageométrica formadapor launiónde trespuntosnocolinealesmediantesegmentos de recta.
Clasificación El triángulo se clasifica de acuerdo a las longitudes de los lados y a la medida de sus ángulos interiores.
De acuerdo a sus lados
Triángulo escaleno
Tiene lados de diferentesmedidas
Triángulo isósceles
Tiene dos lados de igual medida
θº θºbase
Triángulo equilátero
Presenta sus tres lados de igual medida.
60º
60º 60º
βº
αº θºA
B
C
Elementos:
• Vértices:A;B;C
• Lados:AB;BC;AC.
• Medidadeángulosinternos:αº;βº;θº.
Notación: triángulo ABC ( ABC)
CEILTRColegios
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Triángulos
De acuerdo a sus ángulos
βº
αº θº
Triángulo acutángulo
Todos sus ángulos internos son agudos
θº
Triángulo obtusángulo
Unángulointernoesobtuso
θº
αº
Triángulo rectángulo
Unángulointernoesrecto
βº
αº θº
αº+βº+θº=180º
Ángulos determinados
Propiedades fundamentales Suma de ángulos internos: La suma de medidas de los ángulos internos en todo triángulo es 180º.
Medida del ángulo exterior: Entodotriángulo,lamedidadeunánguloexterioresigualalasumadelas medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.
zº
yº
xºαº
βº
θº
Medida de los ángulos:
• Internos:αº;βº;θº
• Externos:xº;yº;zº
xº=βº+θº
βº
θºxº
zº=αº+βº
βº
αº
zº
También:
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 91Unidad III
5Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Calcular"xº"yclasificaeltriánguloPQR.
85º
76º xºP
Q
R
2. Calcular "θº".
62º
20º
θº
3. Calcular "fº" y clasifica el triángulo ABC.
fº 33ºA
B
C
4. Calcular "βº"
24º 32º
βº
5. Calcular"xº"yclasificaeltriánguloABC.
xº
124º
A
B
C
6. Calcular "βº".
32º 48º
2βº
7. Calcular "θº"yclasificaeltriánguloPQR.
θº 48º
102º
P
Q
R
8. Calcular"xº"yclasificaeltriánguloABC.
3xº xº
80º
A
B
C
9. Calcular "fº",si:AB=BC.
34º
fº
A
B
C
10.Calcular"xº"
5xº
14xº
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-810092
Triángulos
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorrespondaenlossiguientesenunciados.
• Eltriánguloeslafigurageométricaqueresultadelaunióndetrespuntosconsecutivos ....( ) • Enunvértice,unángulointerioryunánguloexteriorsuman180º ...................................( )
2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico:
xº
αº βº
xº=....+....
θº αº
αº=........
αº θº
βº
αº+....+....=.......
3. Relacionamedianteflechas.
Triánguloequilátero
80º
60º 40º
••
Triánguloacutángulo••
Triánguloisósceles
60º
60º 60º••
4. Grafica haciendo uso de la regla:
• EltriángulorectánguloPQRtalque:mBQ=90º.
• EltriánguloisóscelesABC,debaseAC,donde:AB=BC.
5. Completa el gráfico:
• Haciendousodelaregla,unemediantesegmentosderectalospuntosnoconsecutivos"P";"Q"y"S".
¿Qué figura resulta?
....................................
Q
P S
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 93Unidad III
5Resolución de problemas
6. Calcular "θº" y clasifica el triángulo ABC.
2θº 45º
3θº
A
B
C
7. Calcular"xº"
xº
4xº
130º
8. Calcular"xº",si:AB=AC
24ºxº
A
B
C
9. Calcular "θº"yclasificaeltriánguloEDU.
θº20º
18º
E D
U
10.Calcular"xº"
40º
20º
xº15º
11.Calcular"xº"
32º
118º xº
85º
12. Calcular "θº" y clasifica el triángulo
θº θº
2θº
13.Calcular"xº"30
º
50º 60º
xº
Aplicación cotidiana
El globo aerostático
Ungloboaerostáticoseencuentrasuspendidocomosemuestraenelgráfico y es sostenido por tres cables: AP;PB y PC.
14. Si la mBBPC=20º,calcular:mBAPB.
15. El triángulo formado por los cables AP;PB y el suelo AB, ¿qué clase de triángulo es?
P
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www.trilce.edu.pe Central: 619-810094
Triángulos
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. De la figura, calcular "αº+βº"
βº
3βº
2αº
3αº40º
2. Calcular"xº".
2xº
5xº
6xº
3. Calcular"xº".
2xº
125º
xº
100º
4. Calcular"xº",si:
!
!L // AC.
70º130º
xº
A
B
C
L
5. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2
θº θº θº
30ºxº
L1
L2
120º
1. Calcular "θº" y clasifica el triángulo ABC.
132º
40ºθºA
B
C
2. Calcular "αº".
60º
50º
αº
3. Calcular"xº"yclasificaeltriánguloPQR
82º
73º xºP
Q
R
4. Calcular "θº" y clasifica el triángulo
θº
Conceptos básicos¡Tú puedes!
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 95Unidad III
55. Calcular "θº".
62º50º
54ºθº
6. Calcular"xº"yclasificaeltriángulo.
54º
4xº 2xº
7. Calcular"xº"
135º
3xº
2xº
8. Calcular"xº"yclasificaeltriánguloABC.
xº
40ºA
B
C
9. Calcular "θº".
38º
41º
50º θº
10. Calcular "αº".
4αº αº
46º 44º
11.Calcular"xº".
30º
125º
82º
xº
12.Calcular"xº"yclasificaeltriánguloPQR.
xº2xº
3xº
P
Q
R
13.Calcular"xº",si:AB=BC.
30º40º
xº
A
B
CP
Q
14.Calcular"xº"yclasificaeltriánguloABC.
xº
A
B
CM
15.Calcular"xº".
54º
xº
Central: 619-8100
geometría
97www.trilce.edu.pe
ApreNDIZAjes esperADos
UNIDAD 1
Existentressistemasdemediciónangularyelsistemaqueusaremoseselsexagesimal.Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia.
¿Cómo se mide un ángulo?
toDo sobre áNgUlos
UNIDAD 2
• Usodeltransportadorycompásparalamedidaangularytrazodelabisectriz.
• Resolverejerciciossinusareltransportador.
• Relacionar ángulosde acuerdo a sumedida, tomandocomo referencia al ángulo recto y alángulo llano.
• Resolucióndeproblemasgráficosconvariablesyecuacionessobreángulosconsecutivos.
• Interpretarenunciadosparalaelaboracióndegráficossobresegmentosyángulos.
• Elaborarpropiedadesapartirdeejerciciosnuméricos.
Central: 619-8100
geometría
97www.trilce.edu.pe
1líneas notables en el triángulo I
En este capítulo aprenderemos:• Adefinirygraficarlabisectrizeneltriángulo.• Adefinirygraficarlamedianaeneltriángulo• Areconocerladiferenciaentrelabisectrizylamedianaeneltriángulo.• Adesarrollardiversosproblemas.
• Hayconstruccionesquepresentanestructurastriangulares,unejemploeslacabañamostradaenel gráfico.
En uso moderno, una cabaña es una vivienda, típicamente en un área rural, o semi-rural fabricada con materiales humildes (aunque hay viviendas de estilo de cabaña en las ciudades).OriginalmenteenlaEdadMedia,lascabañasalbergaronatrabajadoresagrícolasyasusfamilias.Así,lascabañas eran unidades campesinas más pequeñas. En un período temprano, una referencia documental a una cabaña significaría habitualmente no una vivienda independiente pequeña como hoy, sino una viviendayunagranjacompletas (noobstante,pequeñas).Asíen laEdadMedia, lapalabracabaña (lat cotagium) parece haber significado no solo una vivienda, sino al menos una vivienda (domus) y un granero (grangia), así como, generalmente, un terreno vallado de tierra cerrado por una puerta (portum). Algunos ejemplosdeestosepuedenencontrarenlosrollosdelosjuzgadosdelsigloXV.Laviviendadetipocabañaacuñó el nombre latino: domum dicti cotagii, mientras que el granero de la cabaña fue llamado grangia dicti cotagii.
Casa triangular CAPITULO
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-810098
Líneas notables en el triángulo I
Saberes previos
Conceptos básicos
θºαº
αº+θº=180º
αº+βº+θº=180º
αº
βº
θº
• Labisectriz: • Ángulossuplementarios:
• Eneltriángulo: • Puntomediodelsegmento:
a a
A P B
"P": Punto medio del segmento AB
A
O B
Bisectriz delángulo AOBθº
θº
MedianaEselsegmentoderectaquetieneporextremosaunvérticeyalpuntomediodelladoopuestodedichovértice.
Bisectriz Bisectriz interior: Es el segmento que divide a un ángulo interno en medidas iguales.
A
B
CP
θº θºBP: Bisectriz del triángulo
ABC relativa a AC.
P
Q
N
Rαº
αº
PN: Bisectriz del triángulo PQRrelativaaQR.
A
B
CM
BM: Mediana del triángulo ABC relativa a AC.
P
Q
N
R
PN: Mediana del triángulo PQRrelativaaQR.
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 99Unidad IV
1
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Bisectriz exterior:Eselsegmentoquedivideaunánguloexternoenmedidasiguales.
BE: Bisectriz exterior del triánguloABC relativa a AC.
αº
αº
A
B
C E RS:Bisectrizexteriordeltriángulo PQRrelativaaPQ.
P
Q
R
S
βºβº
1. Si BNesmedianayNC=13cm,calcular"x".
A
B
CN2x–1
2. Si PEesmedianayQE=12cm,calcular"x".
P
Q
R
E2x–4
3. Si CMesmedianayAB=18cm,calcular"y".
A
B
C
M
3y–3
4. Si CE es bisectriz interior, calcular "θº".
A
C
BE80º
θº
30º
5. Calcular"xº",siPS es bisectriz interior.
P
Q
R
S
xº 40º
80º
6. Calcular "θº", si BR es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
60º θº
A
B
C R
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100100
Líneas notables en el triángulo I
Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico:
P
Q
S R
θº αº
θº=...........
• QS: bisectriz interior
A
B
C
M
x
y
x=...........
• AM: mediana
2. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorrespondaenlossiguientesenunciados.
• Lamedianarelativaaunladodivideadicholadoendospartesiguales ..........................( ) • Labisectrizexteriordividealánguloexteriorentrespartesdeigualmedida ...............................( )
3. Relacionamedianteflechas:
• Bisectriz interior
• θº
θº
• Mediana •
• Bisectriz exterior
•αº
αº
7. Calcular "βº", si BM es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
A
B
C M
80º
βº
8. Calcular "xº", siQS es bisectriz exterior deltriánguloPQR.
P
Q
R S40º 62º
xº
9. Calcular "αº", si QF es bisectriz interior del triánguloPQR.
42º αº 88ºP
Q
RF
10. Calcular "βº", si RS es bisectriz exterior deltriánguloPQR.
R30ºP
Q
S
βº
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 101Unidad IV
14. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro.
• La.......................dividealladoopuestoen..............................iguales. • La..................................dividealángulo..................................endosángulosdeigual
medida.
dospartes-bisectrizexterior-mediana-externo
5. Grafica haciendo uso de la regla:
• EltriánguloABCytrazalamedianaCE relativa al lado AB.
• EltriánguloPQRytrazalabisectrizinteriorPE relativa al lado QR.
Resolución de problemas
6. Si QNesmediana,calcular"y",si:NP=18.
E
P
Q
Ny+24
7. Calcular "θº", si BN es bisectriz interior.
A
B
CN
75ºθº+20º
8. Calcular "βº", si MN es bisectriz exterior deltriángulo ATM.
40ºA
T
M
N
βº
100º
9. Calcular"x",siAM es mediana.
A
B
C
M3x+1
13
10.Calcular"xº",siBF es bisectriz interior.
35º 65ºA
B
CF
xº
11.Calcular "xº", si RE es bisectriz exterior deltriánguloARQ.
35º 95º xºA
R
Q E
12. Calcular "θº", si QF es bisectriz interior.
P
Q
F R30º 80ºθº
13.Calcular "xº", si CP es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
54ºA
B
C
P
86º
xº
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100102
Líneas notables en el triángulo I
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Aplicación cotidianaTiro al blancoRubén,JulioyEduardoestánpracticandotiroalblanco,paralocualse colocan de manera alineada sobre la línea AC.RubényEduardoseencuentranenlosextremos"A"y"C".
14. SiladistanciaentreRubényEduardoesde14myseobservaque en el triángulo AMC, MBesmediana,calcular"x".
15. Julio desea calcular la mBAMC y observa que mBAMB=50ºyMB es bisectriz interior del triángulo AMC. A
B
C
x+6
M
1. Si AE y CF son bisectrices interiores, calcular "θº".
A
B
θºC
EF
70º
2. Calcular "BC", si AM es mediana.
A
B
C
M
x2+16
8x
3. Calcular "xº", si BE es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
xº
60º
155º
A
B
C E
4. Calcular "AM", si BM es mediana y el perímetro del triángulo ABC es 28 m.
A
B
CM
7 m 9 m
5. Calcular "θº", si AP es bisectriz interior.
A
B
C
P
θº
72º
35º
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 103Unidad IV
1Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Calcular "AC", si BM es mediana.
A
B C
M6 cm
2. Calcular"xº",siBM es bisectriz interior.
A
B
CM
2xº
30º–xº
3. Calcular "θº", si BE es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
θº
A
B
CE
80º
4. Calcular"PR",siQS es mediana.
P
Q
RS12
5. Calcular "αº", si BM es bisectriz interior.
A
B
CM
82º 30º
αº
6. Calcular "βº", si UM es bisectriz exterior deltriánguloEDU.
82º βºE
D
M
U
7. Calcular "θº", si QS es bisectriz interior.
70º
50º
θºP
Q
RS
8. Calcular "αº", si BM es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
50ºαº
A
B
C M
9. Si AE es bisectriz interior, calcular "θº".
A
B
E
C
θº75º
25º
10. Si AE es bisectriz interior, calcular "θº".
32º θºA
B
C
E
Central: 619-8100
geometría
105www.trilce.edu.peCEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100104
Líneas notables en el triángulo I
11. Calcular "θº", si BP es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
θº
35º 85ºA
B
C P
12.Calcular"x",siBMesmedianayAM+AC=42cm.
A
B
CMx
13. Calcular "θº", si AP es bisectriz interior.
A
B
P
C
θº
60º
32º
14.Calcular "xº", si BM es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
60º 80º xºA
B
C M
15. Calcular "θº", si BP es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
θº32ºA
B
C P
Central: 619-8100
geometría
105www.trilce.edu.pe
2
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100
líneas notables en el triángulo II
En este capítulo aprenderemos:• Adefinirygraficarlaalturaeneltriángulo.• Adefinirygraficarlamediatrizeneltriángulo• Areconocerladiferenciaentrelaalturaylamediatriz.• Adesarrollardiversosproblemas.
• EnlaestructuradelpuenteCentenariodePanamá,seobservaunasimetríaenlaestructura.
El puente Centenario El puente Centenario es el segundo puente permanente en cruzar el canal de Panamá, el primer puente fue el "Puente de las Américas". Otros puentes de menor tamaño fueron construidos en las compuertas delasesclusasdeMirafloresyGatún,peroestospuentessolosepuedenusarcuandolaspuertasdelascompuertas están cerradas y además tienen un límite de capacidad muy estricto.El puente Centenario se ubica a 15 kilómetros (9 millas) al norte del "Puente de las Américas" y cruza el Corte Gaillard cerca de las esclusas de Pedro Miguel. Las nuevas secciones de la autopista que conectan a Arraijáncon el este a Cerro Patacón en la vía este del puente, alivian significativamente la congestión con el "Puente de las Américas".El puente tiene un diseño atirantado con un largo total de 1 052 m (3 451 pies) su arco principal mide 320 m (1 050 pies) y con una elevación de 80 metros (262 pies) sobre el canal de Panamá permitiendo que los grandes buques pasen por debajo de este. El puenteesta apoyado por dos torres de 184 m (604 pies) de alto. Tiene la capacidad de albergar 6 carriles de tráfico a través del canal.
El puente fue diseñado para soportar los temblores los cuales son registrados con frecuencia en la zona del canal.La torre oeste del puente fue construida con 50 metros tierra adentro para permitir la ampliación del canal de Panamá.
CAPITULO
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100106
Líneas notables en el triángulo II
Conceptos básicos
Saberes previos
L1
L2
αº θº
βº
αº+βº+θº=180º
• Rectasperpendiculares: • Distanciadeunpuntoaunarecta:
• Puntomedio: • Eneltriángulo:
P
L
d"d": distancia de "P" a
!
!L
P
A
Bm
m
"P": punto medio del segmento AB
• Enlafigura:
A
P
B
El punto "P" equidista de los puntos "A" y "B"
AlturaEs el segmento trazado desde un vértice en forma perpendicular al lado opuesto de un triángulo.
En el triángulo acutángulo
A
B
CH
BH: altura del triángulo ABC relativa a AC.
En el triángulo obtusángulo
A
B
CH
BH: altura del triángulo ABC relativa a AC.
En el triángulo rectángulo
A
B
C
AB: altura del triángulo ABC relativa a AC.
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 107Unidad IV
2
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
MediatrizEs la recta perpendicular en el punto medio de un segmento de recta.
L
A B
!
!L : mediatriz de AB
P
Q
m
!
!m: mediatriz de PQ.
Mediatriz en el triángulo:
A
B
C
L
!
!L : mediatriz del lado AC.
Q
P R
m
!
!m: mediatriz del lado PQ.
!
!n : mediatriz relativa al lado BC del triángulo ABC.
A
B
Cn
1. Calcular"xº",siBQ es altura.
A
B
CQ
xº
30º
2. Calcular "θº", si BH es altura.
30º
10º
θº
A
B
CH
3. Calcular"x",si
!
!L es mediatriz de AByAB=12cm.
A B
CL
x
4. Calcular "θº", si
!
!m es mediatriz de PF.
P
E
F
m
θº
65º
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100108
Líneas notables en el triángulo II
Conceptos básicos Aprende más...
5. Calcular "αº", si
!
!L es mediatriz de PR.
P R
LQ
60º
100ºαº
6. Calcular "θº", si AH es altura.
A
B
C
H
θº 45º
7. Calcular "αº", si
!
!L es mediatriz de AC.
A
B
C
L
95º
60º
αº
8. Calcular "θº", si QP es la altura relativa a PR.
θº
32ºP
Q
R
9. Calcular"x",si
!
!L es mediatriz de BCyBC=22cm.
A
B
CL
3x–1
10. Calcular "θº", si
!
!L es mediatriz de BC.
30º θº
25º
A
B
C
L
Comunicación matemática1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico.
x=............
L
P
Q
x
y
•
!
!L : mediatriz de PQ.
xº=..........
A
B
C
H
xº
• AH: altura
2. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorrespondaenlossiguientesenunciados:
• Laalturaesunarectaquedividealladoopuestoendospartesiguales .............................. ( ) • Lamediatrizenuntriánguloequiláterocoincideconlaaltura ........................................... ( )
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 109Unidad IV
23. Relacionamedianteflechas.
Bisectriz interior • •
Mediatrizθºθº
• •
Altura • •
4. Completar los siguientes enunciados con las palabras del recuadro.
•La..........................esla........................perpendicularaun..........................ensupuntomedio.
•La.......................essiempreperpendicularallado..............................
altura - mediatriz - recta - lado - opuesto
5. Grafica haciendo uso de la regla.
• EneltriánguloABCmostrado,trazalamediatrizrelativaaAB.
A
B
C
Resolución de problemas
6. Calcular "αº+βº", si BH es altura.
αº60º
70º βºA
B
CH
7. Calcular "αº", si BH es altura.
A
B
CH
45º
15º
αº
8. Calcular"x",si
!
!L es mediatriz de AC.
A
B
C
L
2x+1 13
9. Calcular "θº", si BH es altura.
A
B
C
θº
35ºH
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100110
Líneas notables en el triángulo II
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
Aplicación cotidiana
El puente
Unpuenteessujetadomediantecablesenlospuntos"A";"B";"C";"D";"E"y"F";paradarlemayorestabilidad.Dato:AB=BC=CQ=QD=DE=EF.
14. Sielcable:AP=15kmyPF=3x–6,calcular"x".
15.UningenieroobservaquemBQPD=20º.Calcular"θº".
1. Calcular"xº",si
!
!L es mediatriz de AC:
2θº
θºA
B
P
C
L
60º
xº
2. Calcular "θº", si BH es altura.
A
B
CH
θº
5θº–80º
10. Calcular "αº", si
!
!L es mediatriz de PR.
P
Q
R
L
65º
αº
11. Calcular "θº", si
!
!m es mediatriz de BC.
70º
80º
A
B
C
m
θº
12.Calcular"xº",siBH es altura.
A
B
CH62º
xº
13. Calcular "θº", si
!
!n es mediatriz de BC.
5θº
3θº
θºA
B
C
n
A B D E F
P
QθºC
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2
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Calcular "θº", si BH es altura.
A
B
CH
θº
50º
2. Calcular "αº", si CP es altura.
A
B
C
P 70º
αº
3. Calcular "θº", si BH es altura.
A
B
CH
θº
55º
4. Calcular"xº",si!
!L es mediatriz de PR.
P
Q
R
L
75º
80º
xº
5. Calcular "θº", si
!
!n es mediatriz de QR.
Q
P R
n
θº 25º
6. Calcular"x",si
!
!L es mediatriz de AB y además
AB=14cmyAP=2x –1.
A
B
P
C
L
3. Calcular el ángulo formado por AH y CP.
30º
40º
A
B CH
P
4. Calcular"x",si
!
!L es mediatriz de AC
A
B
C
L
3αº αº
P80º
xº
5. Si
!
!m y
!
!n son mediatrices de BC y AC, calcular
"xº".
A
B
C
120º
130º
xº
n
m
Central: 619-8100
geometría
113www.trilce.edu.peCEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100112
Líneas notables en el triángulo II
7. Calcular "θº", si
!
!m es mediatriz de CB.
40º θº
15º
A
B
C
m
8. Calcular "θº", si QH es altura.
θº
36º
P
Q R
H
9. Calcular"xº",siFM es altura.
A
M
F
E
42º 36ºxº
10.Calcular"xº",si
!
!n es mediatriz de AB.
A
Bn
Cxº
54º
68º
11.Calcular"xº–yº",siAH es altura.
A
E
H
N
yºxº
80º
70º
12. Calcular "θº", si
!
!L es mediatriz de AC.
25º
100ºθº
A
B
C
L
13. Calcular "θº", si BH y AP son alturas.
A
BP
CH
3θºθº
14. Calcular "θº", si BH y CP son alturas.
AC
B
H
Pθº
45º30º
15.Calcular"xº",si
!
!L es mediatriz de AB.
30º
32º
A
B
C
L
xº
Central: 619-8100
geometría
113www.trilce.edu.pe
3
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• Enelgráficomostrado,¿puedesobservartriángulos?
PitágorasnacióenlaisladeSamosenelaño582a.C.SiendomuyjovenviajóaMesopotamiayEgipto(también, fue enviado por su tío, Zoilo, a Mitilene a estudiar con Ferécides de Siros y tal vez con su padre, BadiodeSiros).TrasregresaraSamos,finalizósusestudios,segúnDiógenesLaercioconHermodamasdeSamos y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la Magna Grecia, en Crotona alrededor del 525 a. C., en el surdeItalia,dondefundósusegundaescuela.Lasdoctrinasdeestecentroculturaleranregidasporreglasmuyestrictasdeconducta.Suescuela(aunquerigurosamenteesotérica)estabaabiertaahombresymujeresindistintamente,ylaconductadiscriminatoriaestabaprohibida(exceptoimpartirconocimientoalosnoiniciados). Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras serexpulsadosporlospobladoresdeCrotona,lospitagóricosseexiliaronenTarentodondesefundósutercera escuela.Poco se sabe de la niñez de Pitágoras. Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias exceptoladescripcióndeunamarcadenacimientollamativaquePitágorasteníaenelmuslo.Esprobableque tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos, entre sus profesores, que debieron dehaber influidoaPitágorasensu juventud.Elesfuerzoparaelevarsea lageneralidaddeun teoremamatemáticoapartirde sucumplimientoencasosparticularesejemplificaelmétodopitagóricopara lapurificaciónyperfeccióndelalma,queenseñabaaconocerelmundocomoarmonía;envirtuddeésta,eluniversoerauncosmos,esdecir,unconjuntoordenadoenelqueloscuerposcelestesguardabanunadisposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientesalosintervalosdelaoctavamusical.Enunsentidosensible,laarmoníaeramusical;perosunaturalezainteligibleeradetiponumérico,ysitodoeraarmonía,elnúmeroresultabaserlaclavedetodas las cosas.
Pitágoras
CAPITULO repaso bimestral
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100114
Repaso bimestral
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Calcular "βº", si:
!
!L1 //
!
!L2 .
L1
L2
10βº
70º
2. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
a
b
35º
2xº–1º
3. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L2
L3
L1
xº
50º
62º
4. Calcular"xº".
3xº
54º
5. Calcular"xº"
xº
80º
112º
6. Calcular "θº", si BE es bisectriz interior.
A
B
CE
θº
82º 40º
7. Calcular "θº", si QM es bisectriz exterior deltriánguloPQR.
62º
P
Q
R M
θº
8. Calcular"x",siBM es mediana.
A
B
CM3x–4 11
9. Calcular "αº", si QS es altura.
P
Q
R41º
S
αº
10. Calcular "θº", si
!
!n es mediatriz de AC.
A
B
C
n42º
60ºθº
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 115Unidad IV
3Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática
1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico.
θº
αº xº
xº=.....+.....
αº θº
αº+θº=........
θºωºA
B
C
M
θº=...........
AM: bisectriz
2. Indicarsiesverdadero(V)ofalso(F)segúncorrespondaenlossiguientesenunciados.
• Enuntriángulorectángulo,lasumadesusángulosagudoses90º .................................. ( ) • Lamediatrizesunarectaperpendicularenelpuntomediodeunsegmento .................. ( )
3. Relacionamedianteflechas.
Ángulos alternosinternos• •
θº
θºMediatriz• •
Altura• •
4. Completa los enunciados.
• Eltriánguloquetienesustresladosdeigualmedidasellama ......................................... • Eltriánguloquepresentaunánguloobtusosellama .......................................................
5. Grafique haciendo uso de la regla.
• TracelaalturaBH y la mediana BM, luego sombrea el triángulo HBM.
A
B
C
• TrazalamediatrizrelativaaAC y que corta a BC en "Q", sombrea el triángulo ABQ.
A
B
C
116
Repaso bimestral
CEILTRColegios
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Resolución de problemas
6. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
150º
3xº
7. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
85º 5xº–15º
a b
8. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L1 L3L2
xº
60º
140º
9. Calcular "yº".
40º
120ºyº
10.Calcular"xº"
80º70º
xº60º
11.Calcular"x",siAM es mediana.
A
B
C
M
3x+10
5x–4
12. Calcular "αº", si BP es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
48º112º
αº
A
B
CP
13. Calcular "θº", si
!
!m es mediatriz de BC.
12º
30º θºA
B
C m
Aplicación cotidiana
El helicóptero
Unhelicópterodereconocimientotratadedetectarlos cuarteles de abastecimiento de las tropas enemigas. Al ser detectado por los radares del enemigo, el cañón "A" y el cañón "B" le disparan misiles con ángulos de inclinación "αº" y "βº";comosemuestraenlafigura.
14. Si en un determinado momento: αº=54º yβº=67º,sepidecalcular:mBAHB.
15. Para las condiciones anteriores, un observador desea calcular la mBBHP.
αº βºA BP
H
117Unidad IV
3
Central: 619-8100
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Calcular"xº",si:
!
!a //
!
!b .
a
b
2xº
3xº
3xº
xº
2. Calcular"xº",si:a+b=270º.
xº
aº
bº
3. Si
!
!m es mediatriz de AC y AS es bisectriz
interior, calcular: mBABC.
A
B
C
S 130º
60º
m
4. Calcular"xº"
62º
θºθº
αºαº
xºA
B
C
5. Calcular "AB", si
!
!m es mediatriz de AC y
además:PC=13cm.
A
B
P
C
m
αº
2αº
1. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2.
42º
3xº+6º
L1
L2
2. Calcular "αº", si:
!
!L1 //
!
!L2.
L1
L2
143º
αº
3. Calcular"xº",si:
!
!L1 //
!
!L2 //
!
!L3.
L2
L3
L1
xº120º
132º
4. Calcular "αº".
80º
αº+30º αº+16º
118
Repaso bimestral
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5. Calcular "θº".
62º
θº
6. Calcular "θº"
85º
60º 45º
θº
7. Calcular "αº", si CH es altura.
86º αºA
B
C
H
8. Calcular"x",siBM es mediana.
A
B
CM2x–4 18
9. Calcular "y", si QS es mediana.
Q
P
R
S30
y2–6
10. Calcular "θº", si BP es bisectriz exterior deltriángulo ABC.
A
B
C P
θº
60º 80º
11. Calcular "βº", si RM es bisectriz exterior deltriánguloPQR.
P
Q
R
M
40ºβº
12. Calcular "θº", si
!
!L es mediatriz de AC.
A
B
C
L
60º
θº
13. Calcular "βº".
42º
65º
βº
14. Calcular "θº".
P
Q
M R
40º
θº
15. Enlafigura,calcular"xº".
P
Q
36º
xºA
B
C
ApreNDIZAjes esperADos
UNIDAD 1
La base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?¿Qué estudia la Geometría?¿Qué es postulado?
CoNoCIeNDo A lA geometríA
UNIDAD 1
• Reconoceryrelacionarfigurasyelementosgeométricos.
• Identificarelnúmeromáximoymínimodepuntosdecorte.
• Sumaryrestarlongitudesdesegmentosderectaconvaloresyconvariables.
• Ubicaralospuntosmediosdelossegmentosderectaconelusodelcompás.
• Resolverejerciciosdesegmentosconpuntosmediosusandovariables.
Geometría
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100120
Ordenamiento lineal y circular1
• Tangrandes fueronlos incasquelodemostraronensuarquitectura.¿Observasalgúnpolígonoenlafigura?Piedradelosdoceángulos,enlacalleHatumRumiyoc,Cusco
estudiando las figuras de más de tres lados
En este capítulo aprenderemos a:
• Definireidentificaralpolígonoysuclasificación.• Reconocerloselementosdelpolígono.• Graficaralpolígonoconsusrespectivoselementos.
http
://co
ndor
2008
.wik
ispa
ces.
com
La arquitectura desarrollada en el incario se caracteriza por la sencillez de sus formas, su solidez, susimetríayporbuscarquesusconstruccionesarmonicenelpaisaje.Adiferenciadesociedadescosteñas,comolaChimú,losincasutilizaronunadecoraciónbastantesobria.Elprincipalmaterial
utilizadofuelapiedra,enlasconstruccionesmássimpleseracolocadasintallar,noasíenlasmáscomplejase importantes. Los constructores incas desarrollaron técnicas para levantar muros enormes, verdaderos mosaicosformadosporbloquesdepiedratalladaqueencajabanperfectamente,sinqueentreellospudierapasar ni un alfiler. Muchas veces esos bloques eran tan grandes que resulta difícil imaginar su colocación, lasmejoresmuestras de esta habilidad se encuentran en la zona del Cusco. Se sabe que losmejorestalladores de piedra eran collas, provenientes del Altiplano y que muchos de ellos fueron llevados al Cusco para servir al estado.
La arquitectura en el Incanato
1
Geometría
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 121Unidad V
Conceptos básicos
Saberes previos
A B
C
D
• Puntosnocolineales
"A";"B";"C"y"D"sonpuntosnocolineales
A
B
C
Lado Lado
Lado
"A";"B"y"C":vértices
• Eneltriángulo
A
B
• Menordistanciaentredospuntos
θºαº
• Dosángulossuplementarios
αº+θº=180º
A
B
C
D
E
Regióninterior
Elementos
• Vértices:"A";"B";"C";"D";"E"• Lados : AB;BC;CD;DE;AE
Notación: Polígono ABCDE.
Definición
Polígono es aquella figura geométrica que se forma al unir tres o más puntos no colineales de un mismo plano mediante segmentos de recta.
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Estudiando las figuras de más de tres lados
• Diagonales:AC;BD;...
• Medidadeángulosinternos:"αº";"βº";"θº";"ωº";"fº"
• Medidadeángulosexternos:e1;e2;e3;e4;e5
A
B
C
D
Ee1
e2
e3
e4
e5
βº
αº
θº
fº
ωº
• 1B interior+1Bexterior=180º
Ejemplo:
αº+e1=180º ωº+e4=180º
Elementos asociados
Clasificación
Según su región interior
Polígonoconvexo Polígononoconvexo
Según las medidas de sus elementos
Polígono equilátero: Es aquel polígono que tiene todos sus lados de igual medida.
Polígonoequiláteronoconvexo Polígonoequiláteroconvexo
Polígono equiángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos internos de igual medida.
θº
θº θº
θº
θºθº
Ten en cuenta
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1
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Númerodelados Nombre
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9 Nonágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Polígono regular: Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez.
Cuadrado
60º
60º 60º
Triángulo equilátero
Según su número de lados
1. Segúnsuregiónynúmerodelados,nombraelpolígono mostrado.
A
B
C
D
E
2. Segúnsunúmerodelados,nombraelpolígonomostrado.
A
B
C D
E
G
F
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Estudiando las figuras de más de tres lados
3. En la figura, traza las diagonales AD y AC.
A
B
C D
E
4. En la figura, traza todas las diagonales del polígono. ¿Cuántas son?
AB
C
D E
F
5. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "B".
A
B
C
D
E
F
6. Segúnsunúmerodeladosyregión,nombraelpolígono mostrado.
A
B CD
E F
7. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "P".
A
B
CD E
P
8. Según su número de lados y región, nombrael polígono mostrado y traza cuatro de sus diagonales.
A
B C
D E
H
F G
9. En la figura, se han trazado dos de sus diagonales, ¿cuántas faltan trazar?
AB
C
DE
F
10. Segúnsuregiónynúmerodelados,nombraelpolígono mostrado.
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 125Unidad V
1Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática
1. Nombra los elementos del siguiente polígono:
A
B
C
D
Eαº
βº ωº
fº
θº • Vértices:........................................
• Lados:...........................................
• Ángulosinternos:...........................
2. Nombralospolígonosmostrados,segúnsunúmerodelados:
................................................... .........................
3. Identificaalpolígonoconvexoyalnoconvexo.
.............................................. ..............................................
4. Traza las diagonales del siguiente polígono:
A
B
CD
5. Indicaelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:
• Untriánguloesunpolígonoconvexo ............................................................................... ( )
• Uncuadradoesunpolígononoconvexo ........................................................................ ( )
• Unadiagonalesunsegmentoqueunedosvérticesnoconsecutivosdeunpolígono ....... ( )
• Untriánguloequiláteroesunpolígonoregular ................................................................. ( )
• Lospolígonos,deacuerdoasuregión,puedenserconvexosonoconvexo ..................... ( )
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Estudiando las figuras de más de tres lados
Resolución de problemas
6. Según su región, nombra los polígonosmostrados.
A
BC
A
B C
DE
F
7. Según su número de lados, nombra lospolígonos mostrados.
A
B
CD
8. GraficaunheptágonoconvexoABCDEFGytrazatodas las diagonales posibles del vértice "A".
9. Graficaunpentágononoconvexoy trazadosde sus diagonales.
10.Graficaun cuadrilátero convexo y traza todassus diagonales.
11. Según su número de lados, nombra lospolígonos mostrados.
12. Traza las diagonales del vértice "P".
A
B C
D
P
13. Traza las diagonales de los vértices "A" y "B".
A
B
C
D
E
Aplicación cotidiana
Cercando el terreno
Eduardocompróun terrenode formahexagonalequilátera,comosemuestra en la figura.
14. SielladoAF=10m,calculaelperímetrodelterrenodeEduardo.
15. Si Eduardo coloca estacas como en la figura mostrada y cerca su terreno con un cerco metálico, ¿cuánto gastará en dicho cerco, si el costo por metro es de S/. 20?
A
B
C
D
E
F
10 m
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 127Unidad V
1
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Grafica un endecágono.
2. Segúnsunúmerodeladosyregión,nombraelpolígono mostrado.
3. ¿Cuántas diagonales faltan trazar en la figura?
A
B
C
D E
F
G
4. Grafica un dodecágono.
5. Si el polígono mostrado es equilátero y su perímetroes"13x+18",calcula"x".
x+3
1. Nombra el polígono, de acuerdo a su región.
2. Nombraelpolígono,deacuerdoasunúmerode lados.
3. Grafica las diagonales del vértice "P".
P
4. En la figura, traza todas las diagonales de los vértices"Q"y"R".¿Cuántasson?
R
Q
5. En la figura, grafica todas las diagonales trazadas desde "P".
P
6. Graficaun cuadrilátero convexo y traza todassus diagonales.
Central: 619-8100
geometría
129www.trilce.edu.peCEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100128
Estudiando las figuras de más de tres lados
7. En la figura, ¿cuántas diagonales faltan trazar?
8. ¿Cómo se llama el polígono mostrado, de acuerdoasunúmerodelados?
9. Graficaunpentágonoconvexoydesdeunodesus vértices traza todas las diagonales posibles.
10.Graficaunpentágononoconvexoytrazatodassus diagonales.
11.Grafica un hexágono convexo y traza desdedos vértices consecutivos todas las diagonales posibles.
12. ¿Cómo se llama el polígono de 20 lados?
13. ¿Quépolígonossonconvexos?
I) II)
III) IV)
14.Graficaunheptágonoconvexoytrazatodassusdiagonales desde un solo vértice.
15.Grafica un octógono convexo en el que unángulo interno mida 120º.
Central: 619-8100
geometría
129www.trilce.edu.pe
2
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• Maquetadeunacúpulageodésica.¿Observasalgúnpolígonoenlafigura?
¿Cuál será la suma de ángulos internos?
En este capítulo aprenderemos a:
• Calcularlasumadeángulosinternosusandolasdiagonalesdelpolígono.• Mencionaryaplicarlapropiedaddelasumadeángulosinternos.• Desarrollardiversosproblemassobrelapropiedaddesumadeángulosinternos.
Lascarasdeunacúpulageodésicapuedensertriángulos,hexágonosocualquierotropolígono.Losvértices deben coincidir todos con la superficie de una esfera o un elipsoide (si los vértices no quedan enlasuperficie,lacúpulayanoesgeodésica).Elnúmerodevecesquelasaristasdelicosaedroo
dodecaedro son subdivididas, dando lugar a triángulos más pequeños, se llama frecuencia de la esfera o cúpulageodésica.ParalaesferageodésicasecumpleelteoremadepoliedrosdeEuler,queindica:
C+V−A=2Lascúpulasgeodésicas,adiferenciade lascúpulasconformadasporcelosías tridimensionales,puedensufrir pandeo global sin que ninguna de las barras comprimidas que las forman haya sufrido pandeo local.Eso implica que un cálculo como estructura lineal convencional, y comprobación posterior de pandeo local, puede no ser adecuado en muchos casos, y para grandes luces se requiere de un cálculo no-lineal, con el fin de determinar sus cargas críticas y asegurarse de que no se producen fenómenos de inestabilidad elástica.
http
://bi
oant
u.ni
ng.c
om
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100130
¿Cuál será la suma de ángulos internos?
Conceptos básicos
Saberes previos
A
B
CD
E
αºθº
αº+θº=180º
• Eneltriángulo
• Diagonaldeunpolígono
• Enelgráfico
AC y AD : Diagonales trazadas del vértice "A"
αº+βº+θº=180º
αº
βº
θºA
B
C
En todo polígono
Númerodelados=Númerodevértices=n
A
B
C
D
Númerodelados=4
Númerodevértices=4
⇒ n=4
A
B
C D
E
F
Númerodelados=6
Númerodevértices=6
⇒ n=6
A
B
C
D E
F
G
H
Númerodelados=8
Númerodevértices=8
⇒ n=8
EjEm
plo
EjEm
plo
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 131Unidad V
2
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Suma de ángulos internos (Si)
αº θº
βº
mº
nº
pº
Si=180º×2=360º
En el cuadrilátero
αº
βº
θº yºzº
xºmº pº
nº
Si=180º×3=540º
En el pentágono
Si=180º×4=720º
En el hexágono
En un polígono de "n" lados
Si=180º(n–2)
1. En la figura, traza las diagonales del vértice "A". ¿Cuántos triángulos se forman?
A
B
C
D
E
2. En la figura, traza todas las diagonales del vértice "P". ¿Cuántos triángulos se forman?
P
3. Traza todas las diagonales del vértice "B" y calcula la suma de ángulos internos del polígono.
A
B
C
DE
F
4. Trazatodaslasdiagonalesdelvértice"R".
R
5. Calcula la suma de ángulos internos del polígono.
A
BC
D
E
6. Calcula la suma de ángulos internos del nonágono.
7. Calcula la suma de ángulos internos del pentadecágono.
8. Calcula la suma de ángulos internos del icoságono.
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¿Cuál será la suma de ángulos internos?
Conceptos básicos Aprende más...
9. En la figura, calcula la suma de ángulos internos del polígono.
10. Enlafigura,calcula"xº"
A
B
C
D
E
xº
xº
100º
120º
120º
Comunicación matemática
1. En las figuras, trazando diagonales desde un vértice, ¿cuántos triángulos se forman en cada caso?
Númerodetriángulos
Númerodetriángulos
2. Completa de acuerdo con el enunciado.
• Pentágono n=
• Octógono n=
• Pentadecágono n=
• Icoságono n=
3. ¿Cuántos vértices tienen las figuras mostradas?
Númerodevértices =
Númerodevértices =
Númerodevértices =
4. Completa en cada caso, la suma de ángulos internos (Si).
• Pentágono Si=
• Dodecágono Si=
• Cuadrilátero Si=
• Heptágono Si=
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25. Completa en cada caso:
•
αº
βº
θº
αº+βº+θº=
• Entodopolígono: Si=180º( – ) donde: "Si" es la suma de ángulos internos.
Resolución de problemas
6. En la figura, traza las diagonales del vértice "P". ¿Cuántos triángulos se forman?
P
7. En la figura, traza las diagonales del vértice "R"ycalcula la sumadeángulos internosdelpolígono.
R
8. Calcula la suma de ángulos internos de un polígono de trece lados.
9. Calculaelnúmerodeladosdelpolígonocuyosángulos internos suman 900º.
10.Calcula el número de vértices del polígonocuyos ángulos internos suman 1 260º.
11.Calculaelnúmerodeladosdelpolígonocuyosángulos internos suman 2 520º.
12. En el gráfico, calcula "αº".
40ºαº
αº
αºαº
A
B
CD
E
13. Enlafigura,calcula"xº".
A
B
C
D E
F
G
xº
xº
xº
xº 140º
100º
120º
Aplicación cotidiana
La ronda
Unosniñosestánsujetandocuerdas,comosemuestraen la figura regularABCDEF.
14. SiAF=4m,calculalalongitudtotaldelacuerdausadaenestejuego.
15. Calcula el ángulo formado por el niño que está en la posición "D".A
B
C
D E
F
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¿Cuál será la suma de ángulos internos?
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1. Enlafigura,calcula"xº".
xº
xº
xº
120º
120º
2. Enelgráfico,calcula"xº",si:αº+θº=180º
xº
xº
xº
αº
θº
3. Calcula la suma de ángulos internos del polígono mostrado.
4. Enlafigura,calcula"xº"
xº
xº
xº60º
70º
50º
5. Enelgráfico,calcula"mº+nº"
A
B
C D
E
F
140º
mº nº
130º 110º
120º
θºθºαº αº
1. En la figura, al trazar las diagonales del vértice "A", ¿cuántos triángulos se forman?
A
2. En la figura, trazando las diagonales del vértice "P", ¿cuántos triángulos se forman?
P
3. Trazalasdiagonalesdelvértice"R"ycalculalasuma de ángulos internos del polígono.
R
4. Calcula la suma de ángulos internos del octógono.
5. Calcula la suma de ángulos internos del decágono.
6. Calcula la suma de ángulos internos del endecágono.
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27. Calcula la suma de ángulos internos del
polígono de catorce vértices.
8. Calcula la suma de ángulos internos del polígono de dieciocho lados.
9. Calcula la suma de ángulos internos del polígono mostrado.
10. Si la suma de ángulos internos de un polígono es5400º,calculaelnúmerodelados.
11.Calculaelnúmerodeladosdelpolígonocuyosángulos internos suman 4 320º.
12.Calcula el número de vértices del polígonocuyos ángulos internos suman 2 160º.
13. Enlafigura,calcula"xº".
xº
2xºxº
xº
140º
A
B
C
D
E
14. Enlafigura,calcula"xº".
2xº xº
xº 150º
100º
15.Calcula el número de lados de un polígono,sielnúmerodeladosmáslasumadeángulosinternos es 364.
Geometría
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Ordenamiento lineal y circular3
• Lasvelasdemuchasembarcaciones,enlaantigüedad,presentabanformastrapezoidales.¿Observasalguna vela con dicha forma?
estudiando las figuras de cuatro lados
En este capítulo aprenderemos a:
• Definiruncuadrilátero.• Reconocerydiferenciaruntrapezoideyuntrapecio.• Graficaruntrapecioyuntrapezoide.• Reconoceryaplicarlaspropiedadesenuntrapezoideyuntrapecio.
Elvelerodemástilesaltosogranveleroesunbarcotradicionalequipadoconvelamenyaparejosaptospara la navegación propulsada por el viento. Entre estos populares barcos de mástil alto se encuentran las goletas, brics (tipo bergantín con velas trapeciales, además de la mesana, que tiene velas alineadas
proa-popa), fragatas y bergantines.Losaparejostradicionalesdeestetipodebarcospuedenincluirvelascuadradasyvelasaúricasconmástilygaviaseparados.Estosaparejossonporlogeneralmáscomplejosquelosencontradosenlosbarcosdevela modernos, los cuales utilizan materiales contemporáneos, como el aluminio y acero, que les permiten tener mástiles más altos y ligeros, con menos pero más versátiles velas.El término "velero de mástil alto" se popularizó a partir de la segunda mitad del siglo XX con el desarrollo de las carreras de veleros de mástiles altos.
http
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.pla
tafo
rmaa
rqui
tect
ura.
cl
3
Geometría
CEILTRColegios
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Conceptos básicos
Saberes previos
A
BC
D
Cuadriláteroconvexo
P
Q
S R
Cuadriláteronoconvexo
αº
βºθº
fºA
BC
D
αº+βº+θº+fº=360º
Definición El cuadrilátero es el polígono de cuatro lados.
Tipos de cuadriláteros convexos
Trapezoide Es el cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
αºθº
αº+θº=180º
• Enlafigura
αº
θº
L1
L2
αº+θº=180º
• Enelgráfico(L1 // L2)
d
L1
L2
• Distanciaentrerectas(L1 // L2) • Triánguloisósceles
θº θº
Base
d : distancia entre "L1" y "L2"
138CEILTR
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Estudiando las figuras de cuatro lados
A
B C
D
Base menor
Altura
Lado lateral
Base mayor
• BC // AD
A
B C
D
a bEn la figura:
• BC // AD
• a≠ b
Trapecios Es el cuadrilátero que tiene solo un par de lados opuestos paralelos, a los que se les llama bases.
Clasificación de trapecios Trapecio escaleno Es aquel que tiene sus lados laterales de diferente longitud.
En la figura:
• BC // AD
A
B C
D
a a
αº αº
θºθº
En la figura:
• BC // AD
A
B C
D
Trapecio isósceles Es aquel que tiene sus lados laterales de igual medida.
Trapecio rectángulo Es aquel que tiene dos de sus ángulos interiores consecutivos rectos.
En la figura:
• BC // AD
A
B C
D
βº
αº fº
θº
αº+βº=180º θº+fº=180º
Propiedad de todo trapecio
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3Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Enlafigura,calcula"xº".
A
BC
D
3xº4xº
2xº xº
2. Enlafigura,calcula"xº".
xº
140º
60º
3. En el trapecio ABCD (BC // AD),calcula"xº".
A
B C
D
xº
80º
4. En el trapecio ABCD (BC // AD),calcula"xº".
A
B C
D
5xº
4xº
5. Eneltrapecioisósceles(AB=CD),calcula"xº".
A
B C
D
xº
65º
6. Eneltrapeciorectángulo,calcula"xº".
A
B C
D
110º
xº+10º
7. En la figura (AB // CD),calcula"xº".
A
B
C
D78º
xº
8. Eneltrapezoide,calcula"xº".
xº
85º 75º
9. En el trapezoide, calcula "θº".
60º 80º
θº
10. En la figura, calcula "αº".
80º
140º
αº
140CEILTR
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Estudiando las figuras de cuatro lados
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1. Completa, dependiendo de cada gráfico.
βº
αº
θº
fº
αº+βº+θº+fº=
αº
θºA
B C
D
αº+ =
Si: BC // AD
βº
θºA
B C
D
βº+ =
Si: BC // AD
2. Para el trapecio mostrado (BC // AD),marca"V"o"F"segúncorresponda:
θºβº
αº fºA
B C
D
• BC y AD son las bases ............................................................................................... ( ) • AAB se le llama lado lateral ...................................................................................... ( ) • Enlafigura:αº+θº=180º .......................................................................................... ( ) • Enlafigura:αº=fº ..................................................................................................... ( )
3. En el trapecio mostrado, completa los elementos de la figura:
A
B C
D
4. GraficauntrapezoideconvexoABCDytrazatodassusdiagonales.
5. Marca"V"o"F",segúncorresponda:
• Untrapezoideesuncuadriláteroquenopresentaladosopuestosparalelos ............... ( ) • Lasumadeángulosinternosdeuntrapezoidees360º ............................................... ( )
• En la figura: αº
θº αº+θº=90º .............................................................................. ( ) • Lostrapezoidessonuntipodetrapecios .................................................................... ( )
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3Resolución de problemas
6. Enlafigura,calcula"xº".
xºxº
80º 70ºA
BC
D
7. Enlafigura,calcula"xº".
xº
130º
xºA
BC
D
8. En la figura, calcula "θº",si:AB=CD.
A
B C
D
2θº+20º
θº+40º
9. Si: BC // AD,calcula"xº".
A
B C
D
xº+40º
xº+10º
10. En la figura, calcula "αº".
3αº
2αº
11.Delafigura,calcula"xº".
10xº12xº
6xº 8xº
12. Enlafigura,calcula"xº".
20º
50º
120º xº
13. En la figura (CD // AB),calcula"xº+yº".
2xº4xº
3yº6yº
A
B
C
D
Aplicación cotidiana
La repisa
Unfloreroestáapoyadoenunarepisadeformatrapecial.(BC // AD).
14. Si: βº=2αº, calcula "αº".
15. Si:AB=CD,calcula"θº".
αº
βº θº
A
B C
DBase mayor
Base menor
142CEILTR
Colegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100
Estudiando las figuras de cuatro lados
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1. Calcula"xº".
xº 70º
130º
65º
2. Si: BC // AD,calcula"xº".
A
B C
D
xº
αºαº
θºθº
3. Calcula"xº".
50º
2xº 3xº
70º
4. Enlafigura,calcula"xº".
140º
αºαº θº
θºxº
5. Enelgráfico,calcula"xº".
xº130º
60º 70º
A
BC
DE
FG
H
1. Calcula"xº".
xº
80º 85º
2. Calcula"xº",si:AB // CD.
D
A B
C
120º
xº
3. En el trapecio isósceles, calcula "θº".
3θº
θº
4. Enlafigura,calcula"xº".
125º
5xº
5. Enlafigura,calcula"xº".
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3
xº85º
120º
6. En la figura, calcula "θº"
135º
θº
7. En la figura, calcula "θº".
145º
85º
θº
80º
8. Enlafigura,calcula"xº".
138º
82º xº
9. Eneltrapecioisósceles,calcula"xº".
3xº
xº
10. En la figura, calcula "θº" (BC // AD).
5θº
4θºA
B C
D
11.Calcula"xº".
140º
60º
70º
xº
12. Calcula "θº".
4θº
2θº
13.Calcula"xº".
2xº
45º xº
14. Eneltrapecio,calcula"xº"(AB // CD).
D
A B
C
125º
5xº
15. En la figura, calcula "θº".
6θº
2θº 4θº
3θº
Geometría
CEILTRColegios
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4
• Muchosjardinespresentanformasrectangulares–JardinesdeBahai-Israel
Conociendo los paralelogramos
En este capítulo aprenderemos a:
• Definirdemaneracorrectaunparalelogramo.• Conoceryaplicarlaspropiedadesbásicasdetodoparalelogramo.• Reconocerlosdiferentestiposdeparalelogramos.• Graficarcorrectamentecualquiertipodeparalelogramo.
Unjardín(delfrancésjardín, huerto), es una zona del terreno donde se cultivan especies vegetales, con posible añadidura de otros elementos como fuentes o esculturas, para el placer de los sentidos. En castellano se llamaba antiguamente "huerto de flor" para distinguirlo del huerto donde se
cultivan hortalizas. La adopción de la palabra francesa hizo más fácil la distinción entre uno y otro vocablo.Hacerestoshuertossinfinalidadeconómica,únicamenteporgoceestético,arrastraunalargatradición,yya eran famosos los Jardines colgantes de Babilonia, considerados como una de las maravillas del mundo antiguo,loquedenotaqueestosespaciosdeociotienendesdeentoncesunalargatradición,olosjardinesde Bahai, que demuestran perfección en sus formas tanto rombales como rectangulares.
http
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tech
nion
.ac.
il
4
Geometría
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Saberes previos
Conceptos básicos
αº
θºL1
L2
• Enelgráfico:(L1 // L2) • Entodotriángulo
• Enlafigura • Enuncuadriláteroconvexo
αº
βº
θº
αº+θº=180º
xº=αº+θº
αº+βº+θº=180º
αº+βº+θº+fº=360º
αº
θº
xº
θº
fºαº
βº
Paralelogramos Definición Es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.
En la figura: AB // CD y BC // AD
A
B C
D
Propiedades • Entodoparalelogramo,losladosopuestossonparaleloseiguales.
En la figura: AB // CD y AD // BC
A
B C
D
a a
b
b
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Conociendo los parelelogramos
• Entodoparalelogramo,losángulosopuestossondeigualmedida.
Además:
A
B C
D
αº
αºθº
θº En la figura: AB // CD y AD // BC
αº+θº=180º
Clasificación de paralelogramos Cuadrado Es el paralelogramo de lados y ángulos de medidas iguales.
a
a a
a
A
B C
D
Rombo Es el paralelogramo cuyos lados son de igual medida.
Rectángulo Es el paralelogramo cuyos ángulos internos miden 90º y sus lados son de diferente medida.
Romboide Es el paralelogramo cuyos lados consecutivos son diferentes y cuyos ángulos internos no miden 90º.
a
a a
a
A
B C
Dαº
αºβº
βº
b
a
A
B C
D
A
B C
D
αº
αº θº
θº
b
a
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 147Unidad V
4
Conceptos básicos Aprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. SiABCDesunparalelogramo,calcula"x".
A
B C
D
17
2x+3
2. SiABCDesunparalelogramo,calcula"xº".
A
B C
D2xº–30º
xº+20º
3. Grafica un cuadrado ABCD de lado 3 cm.
4. GraficaunrectánguloABCD,donde:AB=3cmyBC=5cm.
5. EnelromboABCDmostrado,calcula"x".
A
B C
D
2x+40
4x–10
6. En el gráfico, ABCD es un romboide, calcula "xº"
A
B C
D3xº+20º
2xº
7. EnelcuadradoABCD,calcula"x".
4x–18
2x+10
A
B C
D
8. Grafica el romboide ABCD, tal que: m ABC=120º; AB=3cmyBC=5cm.
9. Grafica un rombo ABCD cuyo lado mida 5 cm y uno de sus ángulos, 40º.
10. EnelromboideABCD,calcula"xº".
A
B C
Dxº
70º
Comunicación matemática
1. De acuerdo con el gráfico mostrado, completa la relación correcta.
A
B
x
yC
D
x=
Rombo
a
a
xº=
Cuadrado
x m
x=
Rectángulo
A
B C
Dαº
θº
αº+=
Romboide
xº
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Conociendo los parelelogramos
2. Marcaverdadero(V)ofalso(F),segúncorresponda:
• Elromboeselparalelogramoquetienetodossusángulosinternosiguales................... ( )
• Elcuadradopresentatodossusángulosinternosdeigualmedida ................................. ( )
• Entodoparalelogramo,susángulosopuestossondeigualmedida ................................ ( )
• Elromboideesunparalelogramoequilátero .................................................................. ( )
3. Grafica, de acuerdo con el enunciado:
• UnromboideABCD,talque:AB=3,5cmyAD=5cm.
• UnrectánguloABCD,talque:AB=3cmyBC=6cm.
4. Completa el gráfico, de acuerdo con el enunciado.
• EnelcuadradoPQRS,trazalasdiagonales PR y QS.
• EnelromboideABCD,trazalasdiagonales AC y BD.
A
B C
D P
Q R
S
5. Relacionaconlíneas:
•a
a
• Rectángulo
•a
b
θº
θº
αº
αº • Cuadrado
• b
a
• Romboide
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4Resolución de problemas
6. En el romboide ABCD, calcula su perímetro.
A
B C
D
5
6
7. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcula "θº".
A
B C
D65º θº+25º
8. En el gráfico, PQRS es un paralelogramo.Calcula "θº".
P
Q R
S
70ºθº
θº
9. Enlafigura,ABCDesunromboide.Calcula"x".
A
B C
D
6
11
3y
x+y
10.GraficaelromboABCD,donde:AD=6cm.
11. GraficaelcuadradoABCD,talque:AB=6cm.
12.GraficaelrectánguloPQRS,talque:RS=4cmyQR=5cm,ytrazalasdiagonales.
13. En la figura, calcula "θº", si PQRS es unromboide.
P
Q R
S
2θº3θº
Aplicación cotidiana
La pizarra
A
P
BQ
CR
DS
Borde de aluminio
150 cm
400 cm
En el colegio Trilce hay una pizarra ABCD, cuyas longitudes están mostradas (en cm) y presenta un borde de aluminio de espesor constante de 5 cm. Calcula:
14. El perímetro de la pizarra ABCD.
15. ElperímetrodelafigurainternaPQRS.
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Conociendo los parelelogramos
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1. En el romboide ABCD, calcula "θº", si: AM=MN.
A
B C
D
M 80º
θºN
2. SiABCDesunromboide,calcula"x".
A
B C
D
70º
55º
x
6
5
E
3. En el paralelogramo ABCD, calcula "BP".
A
B C
D
αºαº
12
x
7
P
4. Calcula la medida del lado menor de un rectángulo, si es 5 cm menor que el lado mayor y además su perímetro es 50 cm.
5. Enlafigura,PQRSesunromboidedeperímetro40cm.Calcula"QR".
P
Q R
S3x
x
1. Calcula"x",siABCDesunromboide.
A
B C
D
2x–1 13
2. SiABCDesunparalelogramo,calcula"xº".
A
B C
D
3xº–20º
100º
3. SiPQRSesunrombo,calcula"x".
P
Q R
S
3x
21
4. SiPQRSesuncuadrado,calcula"x".
30–x
x–10
Q R
P S
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 151Unidad V
45. Calcula "θº" en el romboide ABCD.
30º–θºA
B C
D
θº
6. GraficaelromboPQRS,talque:PQ=3cm.
7. Grafica el romboide PQRS, tal que: m PQR=130º,PQ=4cmyQR=7cm.
8. Calcula"xº"enelparalelogramoABCD.
A
B C
D
xº65º
9. Calcula"x"enelrectánguloABCD.
3x–10 x+30
A
B C
D
10. Calcula "αº"enelcuadradoPQRS.
Q R
P S9αº
11.GraficaunromboidePQRS,talquem R=65º,QR=6cmyRS=4cm.
12. EnelromboABCD,calcula"x".
A
B C
D
3x+14
4x–1
13.Calcula"xº"enelromboidePQRS.
2xº
130º
P
Q R
S
14. En la figura, calcula "xº", si PQRS es unromboide.
75º
P
Q R
Sxº
M
15. En la figura, calcula "xº", si ABCD es unromboide.
A
B C
D
20º
xº
Geometría
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Ordenamiento lineal y circular5
• Enlaparteexternadeestacúpula,¿observasalgunaformarectangular?
operaciones en el cuadriláteroEn este capítulo aprenderemos a:
• Reconocerlasdiferentescaracterísticasypropiedadesdeloscuadriláteros.• Aplicarlaspropiedadesvistasenloscuadriláterosadiferentesproblemas.• Graficarcorrectamenteuncuadriláteroconsusrespectivoselementos.
LaDeutscherWerkbund(Federaciónalemanadel trabajo) fueelprimermovimientoarquitectónicorelacionado con el expresionismo producido enAlemania. Fundada enMúnich, el 9 de octubrede1907,porHermannMuthesius,FriedrichNaumannyKarlSchmidt,incorporóposteriormentea
figurascomoWalterGropius,BrunoTaut,HansPoelzig,PeterBehrens,TheodorFischer,JosefHoffmann,WilhelmKreis,AdelbertNiemeyeryRichardRiemerschmidt.Herederadel Jugendstil y de la Sezession vienesa, e inspirada en el movimiento Arts & Crafts,suobjetivoeralaintegracióndearquitectura,industriayartesaníaa travésdel trabajoprofesional, laeducacióny lapublicidad,asícomointroducireldiseñoarquitectónico en la modernidad y conferirle un carácter industrial. Las principales características del movimiento fueron: el uso de nuevos materiales, como el vidrio y el acero, y la importancia del diseño industrialyelfuncionalismodecorativo,comolosusadosenlasestructurasdelascúpulas.
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5
Geometría
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Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Segúnlafigura,calcula"θº".
130º
80ºθº
2. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "αº".
A B
CD2αº
100º
3. EnelromboidePQRS,calcula"θº".
P
Q R
S
120º
3θº
4. Delafigura,calcula"xº".
4xº
2xº
5. En el trapecio rectángulo, calcula "θº".
4θº
60º
6. SiABCDesunparalelogramo,calcula"x+y".
2y
3x
18
15
A
B C
D
7. En el rectángulo ABCD mostrado, de perímetro 120 cm, calcula "BC".
x
4xA
B C
D
8. Eneltrapecioisósceles,calcula"xº".
DA
B C110º
2xº
9. En el romboide ABCD mostrado, calcula "θº".
A
B C
D
74ºθº
10. En la figura, calcula "θº".
100º
θº
θº 80º
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Operaciones en el cuadrilátero
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1. Nombra cada tipo de trapecio mostrado.
θº θº
2. Nombra cada paralelogramo mostrado.
a
a
a
b
a
a
a
a
3. Completa cada relación, de acuerdo con:
A
B C
D
θº
αº
Si: BC // AD
αº+= αº=
Si: AB // CD y BC // AD
αº
θº
A
B C
D
4. Marcaverdadero(V)ofalso(F),segúncorresponda.
• Unromboideesunparalelogramoequilátero .............................................................( ) • Enuntrapezoideconvexo,lasumadesusángulosinternoses540º ...........................( ) • Unromboesunparalelogramodeladosiguales ........................................................( ) • Entodocuadrilátero,lasumadeángulosinternoses360º ..........................................( )
5. Grafica,segúnelenunciado.
• UntrapezoideconvexoPQRS.
• UnrectánguloABCD,talque:AB=2cmyBC=3cm.
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 155Unidad V
5Resolución de problemas
6. Si ABCD es un cuadrado y CPD es un triángulo equilátero, calcula "θº".
A
B C
D
P
θº
7. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "xº"(AB // CD)
A
BC
D
4xº
2xº
8. EnelromboABCDmostrado,calcula"x".
A
B C
D3x+10
4x–1
9. En la figura, ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero. Calcula "θº".
A
B C
D
θº
P
10. Si ABCD es un rectángulo y CPD es un triángulo equilátero,calcula"xº".
A
B C
D
Pxº
11. En el romboide ABCD mostrado, calcula "θº".
A
B C
D
3θº
6θº
12. En la figura, ABCD es un trapecio (BC // AD) y ADResuntriánguloequilátero.Calcula"θº".
Aθº
110ºB C
D
R
13. En la figura, ABCD es un romboide y ADEF es uncuadrado.Calcula"xº".
A
B C
D
EF
xº
65º
Aplicación cotidianaLa mesaJuan se inscribe en un curso de carpintería y construye la mesa mostrada con las siguientes dimensiones, como se muestra en la figura.
14. Si las dimensiones están erradas, ya que el largo (BC) debe medir 20 cm más y el ancho (AB) debe medir 5 cm más, ¿cuál sería el perímetro de la mesa, haciendo las correcciones debidas?
15. Si no hubiera falla, ¿cuál sería el perímetro de la mesa?
A
B C
D
150 cm100 cm
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Operaciones en el cuadrilátero
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1. Si ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero, calcula "θº".
A
B C
D
E
θº
2. SiABCDesun trapecio isósceles (AB=CD) yCPDesuntriánguloequilátero,calcula"xº".
xº
110º
A
B C
D
P
3. En la figura, ABCD es un romboide, calcula "xº".
4xº
A
B C
DH
xº
4. Si ABCD es un cuadrado y BCQP es un rombo, calcula"xº".
A
B C
D
P Q120º xº
5. En el romboide ABCD, AB=2 cm. Calcula"BC".
P
θºθº αº
αº
A
B C
D
x
2
1. Calcula"xº".
100º
80ºxº
2. EneltrapecioABCD,calcula"xº"(BC // AD).
A
B C
D
120º
2xº
3. En la figura, calcula "θº", si PQRS es unromboide.
80º
4θºP
Q R
S
4. Calcula"xº".
100º
80º
3xº
xº
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 157Unidad V
55. Calcula "θº".
120º
3θº 3θº
6. En el trapecio isósceles ABCD, calcula "θº".
A
B C
D
4θº
60º
7. Calcula"x",siABCDesunromboide.
A
B C
D
4x–1 2x+9
8. En el gráfico, calcula "θº".
4θº
2θº
9. Calcula "θº",siPQRSesunromboide.
P
Q R
S
120º
θº
H
10.Calcula"xº",enelromboideABCD.
A
B C
D
xº
72º
11. Calcula "θº", si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero.
A
B C
D
θº
P
12. Si las figuras ABCD y CPD son polígonos regulares, calcula "θº+fº".
A
B C
D
P
θº
fº
13. Calcula "θº",siPQRSesunromboide.
P
Q R
S
θº
68º
14. Calcula "3θº".
5θº
60º4θº
15. EnelrectánguloABCD,calcula"x".
A
B C
D
5x+1
3x+41
Central: 619-8100
geometría
159www.trilce.edu.pe
ApreNDIZAjes esperADos
UNIDAD 1
La base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?¿Qué estudia la Geometría?¿Qué es postulado?
CoNoCIeNDo A lA geometríA
UNIDAD 1
• Reconoceryrelacionarfigurasyelementosgeométricos.
• Identificarelnúmeromáximoymínimodepuntosdecorte.
• Sumaryrestarlongitudesdesegmentosderectaconvaloresyconvariables.
• Ubicaralospuntosmediosdelossegmentosderectaconelusodelcompás.
• Resolverejerciciosdesegmentosconpuntosmediosusandovariables.
Central: 619-8100
geometría
159www.trilce.edu.pe
1
• A las abejas se les considera los arquitectos de la naturaleza. En la parte superior semuestra unamuestradesutrabajo,¿quéformapoligonalobservas?
¿Qué es perímetro?En este capítulo aprenderemos a:
• Definirelconceptodeperímetro.• Calcularelperímetroendiferentesregionespoligonales.• Desarrollardiferentestiposdeproblemassobreperímetro.
Lamieltienemuchaspropiedadesterapéuticas(Havsteen2002).Sepuedeusarexternamentedebidoasus propiedades antimicrobianas y antisépticas. Así, la miel ayuda a cicatrizar y a prevenir infecciones en heridas o quemaduras superficiales. También es utilizada en cosmética (cremas, mascarillas de
limpieza facial, tónicos, etcétera) debido a sus cualidades astringentes y suavizantes.Lamieltambiénseempleaenlamedicinatradicional.Esunexcelenteconservantenatural.Sinembargo,no siempre es saludable. Debido a que procede de flores silvestres, hay algunos momentos y lugares en los quelamielproducidaporlasabejasesaltamentetóxica.Losrododendrosyazaleasproducenunnéctaraltamente venenosopara loshumanos, aunque inofensivopara las abejas, queproducen así unamielmortífera. En algunas regiones del mundo las colmenas se vacían inmediatamente después de la temporada deflores,eliminandocualquierresiduoparaevitarenvenenamientosaccidentales.Existenhistoriasdelusode miel venenosa como arma de guerra en la antigüedad, pero no son corroborables. Dicha miel venenosa esmuydifícildeencontrar.Laformadelaflordeazaleahacequealasabejasleresultedifícilaccederalnéctar,yenlaépocaenlaqueflorecenhaycasisiempreotrasfloresmásatractivasparalasabejas,yasílotrabajenensucolmenaquepresentalaformabrindadaenelgráfico.
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100160
¿Qué es perímetro?
Conceptos básicos
Saberes previos
• Paralelogramos
A
B C
D
Cuadrado
θº
θº αº
αº
Rombo Rectángulo
• Trapecios
αº αº
θº θºA
B C
D
Trapecio isósceles
Perímetro Longitud de perímetro Es la suma de las longitudes de todos los lados de una región poligonal.
Notación del perímetro: (2p)
En la figura:
2pFigura=AB+BC+CD+DE+EF+AF
A
B
C D
EF
Regiónpoligonal
La palabra perímetro proviene del latín perímetros, que a su vez deriva de un concepto griego. Se refiere al contorno de una superficie o de una figura y a la medida de ese contorno.
Perímetro=16cm4 cm 4 cm
4 cm
4 cm
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 161Unidad VI
1
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
En otras palabras, en una figura, el perímetro es la suma de todos sus lados. De esta manera, el perímetro permite calcular la frontera de una superficie, por lo que resulta de gran utilidad.Conocerelperímetrodeuncampo,porejemplo,permitedefinirquecantidaddematerialsenecesitaparaalambrarlo. De igual forma, el perímetro es un dato esencial para diseñar la seguridad de una casa o de un barrio cerrado.Cabe destacar que, así como el perímetro es el dato que permite calcular los bordes de la superficie, el área es la que posibilita el conocimiento de su superficie interior. Así, el perímetro nos dirá cómo podemos alambrar un campo, mientras que el área aportará la información respecto a cómo podemos sembrar dicho campo o que cantidad de fertilizante utilizar.
1. En la figura, calcula el perímetro del siguiente polígono, si es regular.
A
B
C8cm
2. En el rectángulo mostrado, calcula su perímetro.
3 cm
7 cm
3. En el trapecio isósceles ABCD, calcula su perímetro.
θº θºA
B C
D
7
3
11
4. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro.
7
P
Q R
S
5. Si el polígono ABCDEF es regular, calcula su perímetro.
5A
B
C D
E
F
6. Si el perímetro de la figura regular ABCDE es 70cm,calcula"x".
x
A
B
C
D
E
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¿Qué es perímetro?
Conceptos básicosAprende más...
7. Si ABCD es un rombo y ADEF es un cuadrado, calcula el perímetro de la región ABCDEF.
5
A
B C
D
EF
8. Si ABCE es un cuadrado y CED un triángulo equilátero, calcula el perímetro de la región ABCDE.
4A
B C
E
D
9. Si ABEF es un cuadrado y FECD un rectángulo, calcula el perímetro de la región ABCD.
5
7
A
B C
D
E
F
10.CalculaelperímetrodelhexágononoconvexoABCDEF.
2422
12
6
A
B C
DE
F
Comunicación matemática
1. Indicalosperímetrosdelassiguientesfiguras.
2p =
a
cb
d
e
2p =
a c
bC
B
A
2. Marcaverdadero(V)ofalso(F),segúncorresponda: • Elperímetroeslasumadelaslongitudesdetodoslosladosdeunpolígono ................. ( ) • Unpolígonoregularesaquelquetienetodossusladosdeigualmedida ....................... ( ) • Eltriánguloequiláteroeselpolígonoregularmássimplequehay ................................. ( )
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 163Unidad VI
1
Hexágonoregular
Pentágono regular
Triángulo equilátero
108º108º108º 108º
108º
120º
120º120º 120º
120º
120º
60º
60º 60º
Resolución de problemas
6. Calcula"x",sielperímetrodelasiguientefiguraregular es 24 cm.
A
B
C2x
7. En el rectángulo mostrado, calcula "x", si superímetro es 48 cm.
x
5x
8. En el hexágono regular de lado "x+2" yperímetro60cm,calcula"x".
x+2A
B
C D
E
F
9. Enlafigura,calculaelperímetrodelhexágonoABCDEFnoconvexo.
26
14
A
B C
D E
F
3. Compara los perímetros de las figuras regulares con los signos ">", "<"o"=".
4
2p
3
3
2p
4. Grafica de acuerdo con los enunciados:
• UnheptágonoregularABCDEFGcuyoladomida2cm. • Unhexágonocóncavoequilátero.
5. Relacionaconlíneas:
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¿Qué es perímetro?
10.CalculaelperímetrodelhexágononoconvexoABCDEF, si ABCF es un cuadrado y EFCD un trapecio isósceles (EF // DC).
12
5
7A B
C
D
E
F
11. Calcula el perímetro del heptágono no convexo ABCDEFG, si ABCDG es unpentágono regular y DEFG es un cuadrado.
12
A
B
C
D
E
FG
12. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero.
A
B C
D
P
7
13. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada,siABCDEFesunhexágonoregulary PDEQ es un cuadrado.
A
B
C D
E
F
P
Q
10
Aplicación cotidiana
La losa de fulbito
A
B
C
D
Elgráficomuestraunalosadeportiva.Juanobservaque:AB=2(AD)yqueelperímetrodelalosadeportivaes 108 m.
14. Calcula la longitud de "BC".
15. Si:AB=3(AD)yelperímetroes120m,calcula"AD".
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 165Unidad VI
1
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
4
5
7
8
3
2. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
5
10
6 460º 60º
3. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si AED es un triángulo equilátero y ABCD es un romboide.
A
B C
D
E
7
5
4. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
6
6
A
BO
5. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si el triángulo DEF es equilátero.
4 cm
E
D
F
1. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro.
P
Q
R14
2. DadoelromboidePQRS,calculasuperímetro.
6
14P
Q R
S
3. Dado el trapecio isósceles ABCD, calcula su perímetro.
θº θºA
B C
D
5
4
3
4. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro.
20
Central: 619-8100
geometría
167www.trilce.edu.peCEILTRColegios
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¿Qué es perímetro?
5. Si la siguiente figura es un polígono regular, calcula su perímetro.
A
B
C
D
E
20 cm
6. Si el perímetro del rombo ABCD es 48 cm, calcula"x".
A
B C
D2x
7. Si el perímetro del cuadrado ABCD es 60 cm, calcula"x".
2x+1
A
B C
D
8. Si ABPQ es un cuadrado y PCDQ es un rectángulo, calcula el perímetro de ABCD.
10
4
A
B C
D
P
Q
9. Si ABCP es un rombo y CPD es un triángulo equilátero, calcula el perímetro de la figura ABCD.
25
A
B C
DP
10. Calcula el perímetro de la figura, si es un cuadrado.
50–x
30+xA
B C
D
11. Calcula el perímetro del siguiente polígono, si es regular.
A
B
C
D E
F
G
H10
12. Calcula el perímetro de un icoságono regular, si uno de sus lados mide 5 cm.
13. Calcula el perímetro de un pentadecágono regular, si uno de sus lados mide 3 cm.
14. Calcula el perímetro de un nonágono regular, si uno de sus lados mide 6 cm.
15. Calcula el perímetro de la siguiente figura sombreada.
20
14
Central: 619-8100
geometría
167www.trilce.edu.pe
2
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100
• En la arquitecturamostrada en la parte superior, ¿observas formas poligonales o algún polígonoregular?
Calculando el perímetro de diversas figuras
En este capítulo aprenderemos a:
• Calcularelperímetrodediferentesregionespoligonales.• Desarrollardiferentesproblemassobreelcálculodeperímetros.
Laarquitecturapracticadaen lasúltimasdécadas,desde la segundamitaddel sigloXX,puede serentendida, desde las perspectivas denominadas potsestructuralistas o potsmodernas, como una reacción a las propuestas del movimiento moderno: unas veces los arquitectos actuales releen los
valores modernos y proponen nuevas concepciones estéticas (lo que eventualmente se caracterizará como unaactitudllamadaarquitecturaneomoderna);otras,proponenproyectosdemundoradicalmentenuevos,unejemplodelosúltimossonlostrabajosdeestructurasgeodésicas.
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cl
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Calculando el perímetro de diversas figuras
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Saberes previos
• Polígonosregulares
• Trapecios
• Paralelogramos
60º 60º
60º
Triánguloequilátero
Cuadrado
αº
αº
αº
αº αº
Pentágonoregular
θº θº
θº
θº
θº
θº
Hexágonoregular
Trapecio isósceles
αº αº
θº θº
Trapecio rectángulo
a
b
Rectángulo
a
b
αº
αºθº
θº
Romboide
a a
a
a
Rombo
1. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABCF es un rombo y CFED es un cuadrado.
5A
B C
D
E
F
2. Calcula el perímetro de la región ABCDE, si ABCE es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero.
A
B C
E
D
4
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 169Unidad VI
23. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si
ABCF es un rectángulo y CDEF es un rombo.
12
5
A
B C
D
EF
4. Calcula el perímetro de la región ABCDE, si ABCE es un rombo y CED es un triángulo equilátero.
A
B C
DE
6
5. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y APD es un triángulo equilátero.
A
B C
D
P
7
6. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo y ABP es un triángulo equilátero.
A
B C
D
P
10
2
7. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
8
2
3
10A
B C
DE
F
8. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
20
2 2
14
8
9. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
16
12
10. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCDEFesunhexágonoregularyAPQFesuncuadrado.
8A
B
C D
E
F
P Q
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Calculando el perímetro de diversas figuras
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática1. Nombra las siguientes figuras:
θº
θº
θº
θº θº 60º 60º
60º
θº
θº
αº
αº
2. Grafica, de acuerdo con los enunciados:
• Un hexágono regular ABCDEF y el triánguloequiláteroAPF,interioralhexágono.
• Un cuadrado ABCD y el triángulo equiláteroCPD,exterioralcuadrado.
3. De acuerdo con el enunciado, sombrea las figuras mostradas.
A
B C
D
P
• LaregióninterioralcuadradoABCDyexterioral triángulo APD.
• LaregióninternaalpentágonoABCDEyexternaal cuadrilátero BPQA.
A
B
C
D
E
P
Q
4. Completa la relación correcta.
A
B
Cl60º
60º
Perímetrodeltriángulo=
l
Perímetrodelcuadrado=
5. Marcaverdadero(V)ofalso(F),segúncorresponda.
• Elromboesunpolígonoregular ..................................................................................... ( ) • El perímetro se calcula mediante la suma de los lados de un polígono, dividida entre dos . ( ) • Todoparalelogramoesunpolígonoregular ................................................................... ( )
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2Resolución de problemas
6. En la figura, ABCD es un cuadrado y CDQ es un triángulo equilátero. Si el perímetro de la región ABCQDes20cm,calcula"x".
xA
B C
D
Q
7. Enlafigura,calcula"x",siPQRSesuncuadrado,SMResun triánguloequiláteroyelperímetrode la región sombreada es 30 cm.
P
Q R
S
M
x
8. Calcula el perímetro de la región ABCDEF, si ABEF es un cuadrado y BCDE es un rombo.
12A
B
C D
E
F
9. Calcula el perímetro de la región sombreada.
8
20
35
8
10. Calcula el perímetro de la región sombreada.
40
50
11. En la figura, BPC es un triángulo isósceles y ABCD es un cuadrado. Calcula el perímetro de la región ABPCD.
15
12
θº θº
A
B C
D
P
12. Si el perímetro de la figura PQCD es 24 cm, calcula el perímetro del cuadrado ABQP.
2x
xA
B C
DP
Q
13. Si el perímetro de la figura ABCD es 48 cm, calcula el perímetro del triángulo equilátero APB.
3x
x
A
B C
P
D
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Calculando el perímetro de diversas figuras
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Aplicación cotidiana
El dormitorio
32
7
15
8
Dormitorio
Sala
El dormitorio de Luis presenta las siguientes medidas, de acuerdo a la figura mostrada.
14. Calcula el perímetro del dormitorio de Luis.
15. Calcula el perímetro de la sala de Luis
1. Enlafigura:a+b=32cm.Calculaelperímetrode la figura sombreada.
a
b
2. En la figura, ABCD es un romboide y PCD es un triángulo equilátero. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
10
15A
B P C
D
3. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada.
40
50
4. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada.
20
36
1812 60º 60º
5. En la figura, calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo y APD es un sector circular de centro "A".
60ºA
B C
P
D
4
8
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2Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. En la figura, ABCF es un cuadrado y FCDE es un trapecio isósceles. Calcula el perímetro de la figura ABCDEF.
θº
θºA
BC
D
E
F
8
15
5
2. Calcula el perímetro de la figura ABCDE, si ABCE es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero.
A
B C
E
D10
3. Si ABCF es un rombo y CDEF es un cuadrado, calcula el perímetro de la figura ABCDEF.
A
B C
D
EF
4. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCD es un cuadrado yARDun triánguloequilátero.
A
B C
D
R
15
5. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCDE es un polígono regular y CMD es un triángulo equilátero.
A
B
C
D
E
M
11
6. Calcula el perímetro de la figura ABCED, si ABCD es un trapecio isósceles y CED es un triángulo equilátero.
12
6
5
A
B C E
Dθº θº
7. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
11
3
3
14
8. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
11
27
Central: 619-8100
geometría
175www.trilce.edu.peCEILTRColegios
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Calculando el perímetro de diversas figuras
9. Si la figura es un polígono regular, calcula su perímetro.
31
A
B
C D
E
F
10. En la figura, calcula el perímetro del trapecio rectángulo.
3
4
6
11. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABCF es un rectángulo y CDEF es un rombo.
12
20A
B C
D
E
F
12. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
35
10
13. Calcula el perímetro de la figura ABCDEFG, si ABCDG es una figura regular y FGDE es un cuadrado.
3
G
A
B
C
F E
D
14. Calcula el perímetro de la figura sombreada, si ABC es un triángulo equilátero y BEDC es un cuadrado.
5
A
B
C
E
D
15. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
60º 60º
19
14
8 8
Central: 619-8100
geometría
175www.trilce.edu.pe 175
3
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• Enlaestructuradelosautosmodernosobservamosquelosingenierosusanmuchasformaspoligonales,como en este Lamborghini Gallardo. ¿Observas alguna forma geométrica estudiada?
repaso general
En este capítulo aprenderemos a:• Repasartodoloaprendidoanteriormente.• Recordaryaplicarlosconceptosaprendidos.
YahansalidoalaluzlasimágenesoficialesdeloúltimodeLamborghini,elsustitutodelGallardo,para aguantar en el mercado unos añitos hasta la llegada de su sustituto. Pero no se trata solo de eso, hayvarioscambios:motor,traccióntotalpermanenteynuevasuspensiónmejoranlasprestaciones
y la dinámica del superdeportivo italiano.Laaerodinámicahamejorado,aefectosdeestabilidadyforma,enlaestructuraconformaspoligonales:aaltasvelocidades(amásde120km/h)seliberaelspoiler.Tambiénmejoralarefrigeracióndelmotorcontomasdeairemásgrandes.Seharediseñadoeldifusortraseroylosbajos.Laeficienciaaerodinámicaesun31%superioralmodeloprevio,segúnlamarca.
http
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reco
ches
.com
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Repaso bimestral
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Segúnsuregiónynúmerodelados,nombraelpolígono mostrado.
A
B
CD
F
E
G
2. En la figura, traza todas las diagonales posibles del vértice "P".
A
R Q
P
3. En la figura, calcula la suma de ángulos internos del polígono.
A
B
C D
E
4. En el trapecio rectángulo, calcula "θº".
57º
θº
5. En el trapezoide, calcula "αº".
100º2αº
2αº αº
6. En el romboide mostrado, calcula "θº".
A
B C
D
45º
3θº
7. Calcula el perímetro del trapecio isósceles.
αºαºA
B C
D
2
7
5
8. Calcula el perímetro del hexágono regularABCDEF, de lado 12 u.
A
B
C D
E
F12
9. Enlafigura,calcula"x",siABCDesunromboidede 40 cm de perímetro.
x
A
B C
D4x
10. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCDE es un pentágono regular y ABP es un triángulo equilátero.
A
B
C
D
E
P
12
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 177Unidad IV
3Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática
1. De acuerdo con el gráfico, completa la relación correcta.
αº fº
θºβº
αº+βº+θº+fº= αº+ =
θº
αºA
B C
D
• SiABCDesuntrapecio:
2. Marcaverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.
• Enunparalelogramo,losángulosinternosopuestossondeigualmedida ................( ) • Elromboesunparalelogramoequilátero ................................................................( ) • Unpolígono,deacuerdoconsuregión,puedeserconvexoynoconvexo..............( ) • Entodocuadrilátero,lasumadeángulosinternoses540º .......................................( )
3. Delospolígonosmostrados,¿cuálessonconvexos?
a) b) c) d)
4. Nombra las siguientes figuras.
60º 60º
60º
αº
αºθº
θº αº
αºθº
θº
5. Grafica de acuerdo con el enunciado.
• UncuadriláteronoconvexoABCD.
• UnrectánguloABCD,talque:AB=3cmyBC=5cm.
Resolución de problemas
6. En el pentágono no convexo mostrado, trazatodas las diagonales posibles del vértice "B".
AB
C D
E
7. Enlafigura,calcula"xº".
60º 60º
xº
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Repaso bimestral
8. En el trapecio isósceles ABCD (BC // AD), calcula "θº".
3θº
30ºA
B C
D
9. Calcula el perímetro del romboide ABCD.
1–a
A
B C
D
5+a
10. EnelromboABCDmostrado,calcula"xº".
A
B C
D
140º
2xº–10º
11.Calculaelnúmerodeladosdeaquelpolígonoque cumple que sus ángulos internos sumen 1 080º.
12. Calcula el perímetro de la región ABCDEFG.
60º60º8 5
12
18A
B C
D
EF
G
13. Calcula el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado, EFG es un triángulo equilátero y ADEG es un trapecio isósceles (AD=EG).
7
3
12A
B
C
D E F
G
Aplicación cotidiana
Las habitaciones
En el gráfico se muestra el conjunto de habitacionesde Eduardo, conformado por una sala de estudio, un baño y un dormitorio. Si la sala de estudio y el baño son cuadrados y el dormitorio es un rectángulo, con las dimensiones dadas en el gráfico, analizar cada situación y luego calcula lo que se pide.
14. Elperímetrodetodoelconjuntodehabitaciones.
15. Compara el perímetro de la sala de estudio con el delbañoyeldormitorio,enconjunto.¿Quéperímetroesmayor?
8
4
2
Sala de estudio
Dormitorio
Baño
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3
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. En el trapecio isósceles mostrado, calcula su perímetro.
18
6
8
θº θº
2. Eneltrapeciomostrado,calcula"xº".
θºθº
αº αº
xº140º
50º
3. Enelpolígonomostrado,calcula"xº".
A
B
C
D E
F
G
H
xº
xº xº
xºxº
100º
100º 140º
4. Calcula el perímetro de la figura sombreada.
14 cm
3 cm
16 cm
5. En la figura, calcula el perímetro del romboide ABCD.
A
B C
DP 2,5
θºθº αº
αº
1. Nombraelpolígono,segúnelnúmerodelados.
2. Traza las diagonales del polígono mostrado, desde el vértice "Q".
Q
3. ¿Cuántos triángulos se forman, trazando las diagonalesdesdeelvértice"R"?
R
4. Calcula "θº", en el siguiente gráfico.
θº
52º
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Repaso bimestral
5. En el rombo ABCD, calcula "αº".
A
B C
D
αº
224º–αº
6. En el hexágono regular ABCDEF, calcula elperímetro.
A
B C
D
EF 15
7. Calcula la suma de ángulos internos de un decágono.
8. Si el perímetro de la figura es 40 cm, calcula "x".
x
9x
9. Calcula la suma de ángulos internos de un pentadecágono.
10. Calcula "θº" en el trapecio mostrado.
134º
θº
11.Calcula"xº".
3xº
2xº 2xº
xº
12.Calcula"xº".
70º
10º
15º
xº
13.Calcula"x"enelrombo.
A
B C
D
3x–10
2x+5
14. Calcula "θº" en el trapecio ABCD.
24º
4θº
A
B C
D
15. Calcula "θº".
2θº
4θº
ApreNDIZAjes esperADos
UNIDAD 1
La base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?¿Qué estudia la Geometría?¿Qué es postulado?
CoNoCIeNDo A lA geometríA
UNIDAD 1
• Reconoceryrelacionarfigurasyelementosgeométricos.
• Identificarelnúmeromáximoymínimodepuntosdecorte.
• Sumaryrestarlongitudesdesegmentosderectaconvaloresyconvariables.
• Ubicaralospuntosmediosdelossegmentosderectaconelusodelcompás.
• Resolverejerciciosdesegmentosconpuntosmediosusandovariables.
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Geometría
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Ordenamiento lineal y circular1
• ¿Puedesobservaralgunaregión?.Enestasregionestrabajadasdemaneratanperfecta,nadiehastaelmomentopuedeexplicarsuorigen.
¿perímetro es lo mismo que área?En este capítulo aprenderemos a:
• Definirydiferenciarelconceptoderegiónyárea.• Reconocerladiferenciaentrelosconceptosdeáreayperímetro.• Conoceryaplicarlasfórmulasparaelcálculodeáreasdeuncuadradoyunrectángulo.• Desarrollardiversosproblemassobreelcálculodeáreasdeuncuadradoyunrectángulo.
http
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ga.n
et/p
osts
/imag
enes
ReferentealfenómenoOVNIysufenomenología,ufológoshanpostuladoqueelfenómenoOVNIhabría sido probablemente ya conocida por distintas culturas indígenas y civilizaciones las cuales han relatado este tipo de sucesos de generación en generación por vía oral o incluso mediante
dibujosypinturasrupestres.Enestetraspasodeinformacióndeculturasatravésdelossiglos,postulanqueseríaposiblereconocerlaexistenciadeepisodiosrelacionadosalapresenciadeOVNISyseresasociadosalaaparicióndetalesobjetosysusfenómenosasociados.ExistenpinturasqueexhibenciertosobjetosaniveldelcieloquepuedenserinterpretadossugerentementecomoOVNIS.Enalgunaspinturasrupestresinclusosedescubrentrazosquerepresentanseresantropomorfosdesconocidos, que pudieran ser confundidos con seres que en la actualidad se asocian a visitas de tripulantes OVNI(ovninautas)oseresextrañosqueseaparecenjuntoconlapresenciadeOVNIS.Algunoscríticosargumentan,sinembargo,quelaspresuntaspruebasdelfenómenoOVNIenlaantigüedad,nodejadeserunaexplicaciónadhoc,yaquelasnubesycarrosdefuegopodríansermetáforasempleadasen los relatos religiosos, yqueestas representacionespudieran serproductodeexperiencias y tranceschamánicos o representaciones de valor de cada tribu indígena.
1
Geometría
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Geometría
183Unidad VII
Conceptos básicos
Saberes previos
• Polígonoequilátero
• Rectángulo
• Paralelogramo
• Cuadrado
a
A
B C
D
E
a
aab
a
αº
αºβº
βº
a
aDiag
onal
b
a
a
Diagonal
RegiónEs una parte de la superficie y está limitado por una línea cerrada llamada contorno o frontera. A la región seledenominadeacuerdoalcontornoquepresente,porejemplo:
Contornotriangular
Regióntriangular
Contornocuadrangular
Regióncuadrangular
Contornopentagonal
Regiónpentagonal
ÁreaEslamedidadeunaregiónyseexpresamedianteunnúmeropositivoacompañadodeunidadescuadráticas,porejemplo:
Área=28cm2
Se interpreta: El área de la región cuadrangular es de 28 cm2
Área=36km2
Se interpreta: El área de la región hexagonalesde36km2
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Perímetro es lo mismo que área
Cálculo del área de una región cuadrada
1 cm
1 cm
S=(1cm)(1cm)
S=1cm2
2 cm
2 cm
S=4cm2
S=(2cm)(2cm)
3 cm
3 cm
S=9cm2
S=(3cm)(3cm)
• Engeneral:
l
l
S: Área de la región cuadrada
S=l2
Cálculo del área de una región rectangular
a
b
S: Área de la región rectangular
S=a.b
2 m
2 m
• Perímetrodelcuadrado=2+2+2+2=8m
• Áreadelcuadrado=(2)2=4m2
2 m
5 m
• Perímetrodelrectángulo=2+2+5+5=14m
• Áreadelrectángulo=(2)(5)=10m2
En el cuadrado:
En el rectángulo:
No es lo mismo área y perímetro
Ten en cuenta
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1Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. En la figura, el perímetro del cuadrado ABCD es 20 cm, calcula el área de la región cuadrada.
A
B C
D
2. Si el perímetro del rectángulo es de 18 cm, calculaeláreadelaregiónrectangularPQRS.
2 cm
P
Q R
S
3. Calcula el área de la región sombreada.
10 m
10 m
3 m
3 m
4. Calcula el área de la región sombreada.
2 m
7 m4 m
7 m
5. Si el perímetro del rectángulo ABCD es 72 cm, calcula el área de la región rectangular.
2x
4xA
B C
D
6. Si el área de la región rectangular mostrada es 27 m2, calcula el lado mayor.
x
3x
7. Calcula el área de la región sombreada.
13 m8 m
3 m
15 m
8. Si el cuadrado mostrado tiene igual área que la delrectángulo,calcula"x".
x
x 9 m
4 m
9. Calcula el área de la región cuadrada mostrada (en cm2).
2x–5
3x–12
10. En un cuadrado, su perímetro es numéricamente igual al área, calcula el lado del cuadrado.
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Perímetro es lo mismo que área
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1. Relacionaconlíneas.
Regióncuadrangular
Regióntriangular
Regiónhexagonal
••
••
••
2. Indicaelvalordeverdad("V"o"F")delassiguientesproposiciones:
• Losconceptosderegiónyáreasonlomismo ............................................................ ( )
• Laregiónsenombradeacuerdoalcontornoquepresenta ........................................ ( )
• Losconceptosdeáreayperímetrosonlomismo ....................................................... ( )
3. Completa las relaciones mostradas de acuerdo al gráfico.
l
l
Área=()2 Área=().()
a
b
4. Sombrea de acuerdo al enunciado:
• Laregióninternaalrectánguloyexternaal cuadrado.
• Laregiónexternaalcuadradoeinternaal pentágono.
5. Completa de acuerdo al gráfico.
m
m
Perímetro=
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1Resolución de problemas
6. En el cuadrado ABCD, su área mide 81 cm2, calcula "y".
y
yA
B C
D
7. EnelrectánguloPQRSmostradodeárea663m2, calcula su perímetro.
17
aP
Q R
S
8. Calculaeláreadelaregiónsombreada,siPQRSes un cuadrado.
12 m
20 m
8 m 6 mP Q
RS
A
B C
D
9. Si losperímetrosdelas figurasABCDyPQRSson iguales, calcula:
yx .
4x
xA
B C
D 3y
2yP
Q R
S
10. Calcula el área de la región sombreada.
24 m
6 m
8 m
8 m
20 m
11. En el triángulo equilátero ABC de 5 cm de lado, calcula el área de la región cuadrada ACSRmás el área de la región rectangular sombreada BPQC.
1A
B
C
P
Q
R S
12. En el rectángulo mostrado, un lado es el triple delotro.SieláreadelaregiónrectangularPQRSes 48 m2, calcula el perímetro del rectángulo.
P
Q R
S
13. Si las áreas de las figuras mostradas son iguales, calcula"x".
x
x
8
x–2
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Perímetro es lo mismo que área
Conceptos básicos¡Tú puedes!
Aplicación cotidiana
La puerta
210 cm
135 cm
40 cm
1. En la figura, a2–b2=M.Calculaeláreadelaregión rectangular mostrada .
a–b
a+b
2. Si ABCD es un cuadrado de perímetro 24 m, calcula el área de la región sombreada.
A
B C
D
3. Calcula el área de la región rectangular ABCD en términos de "M" y "N".
A
B C
D
P
M N
4. Calcula el área de la región cuadrada CDEF, si ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD) de perímetro igual a 34 m.
A
B
D
F
E
C
13 m
5 m
θº θº
5. Si las figuras mostradas son equivalentes, calcula:
yx .
2x
2x
3y
y
Uncarpinterodeseahacerunagujerodeformacuadradade40cmdelado. Si las dimensiones de la puerta son 210 cm de alto y 135 cm de ancho como se muestra en la figura:
14.Calculaeláreadelapuertaconelagujeroyarealizado.
15.Calculaelperímetrodelapuertaconelagujeroyarealizado.
R
S
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1Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Calcula el área de la región cuadrada mostrada.
8
8
2. Si el área de la región rectangular es 63 cm2, calcula "y".
y
9
3. Calcula "x", si PQRS es un cuadrado de área169 cm2.
x
xP
Q R
S
4. Calcula"x",siABCDesunrectángulodeárea48 cm2.
x
16 cmA
B C
D
5. Calcula el perímetro de un cuadrado, si el área de su región es 81 cm2.
6. Calcula el área de una región rectangular, si un lado es el doble del otro y su perímetro es 24 cm.
7. CalculaeláreadelaregiónrectangularPQRS,silabase es el triple de la altura y el perímetro es 56 m.
8. En la figura, calcula "p", si el área de la región rectangular ABCD es 180 cm2.
12
A
B C
Dp+5
9. Calcula el área de la región sombreada.
12
15
3
5
10. Calcula "l", si ABCD es un cuadrado de área 1 600 m2.
l
lA
B C
D
11. Calcula el área de una región rectangular, si su perímetro es 160 cm y la base mide seis veces más que la altura.
12. Calcula el área de la región de un rectángulo, donde el lado mayor es el cuádruplo del menor y su perímetro es 140 cm.
13. Si las áreas del cuadrado y el rectángulo son iguales,calcula"x".
x
x
28
7
14. Calcula el área de la región no sombreada.
6
6 6
6
36
30
15. Calcula el área de la región de un cuadrado, si su área y su perímetro son numéricamente iguales.
Geometría
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Ordenamiento lineal y circular2
• LosJardinesenmuchoscasospresentanregionesdediferentesformas. JardinesdelacatedralSantaCécile-Albi–Francia
Conociendo las regiones poligonales
En este capítulo aprenderemos a:• Conoceryaplicarlasfórmulasparaelcálculodeáreasdeuntriángulorectánguloyun
romboide.• Desarrollardiversosproblemassobreelcálculodeáreasdeunaregiónencerradaporun
triángulo rectángulo y un romboide.
Los Jardines tienen su origen entre los años 1630 y 1640, cuando el Conde-Duque de Olivares (Don GaspardeGuzmányPimentel),validodeFelipeIV(1621–1665),leregalóalreyunosterrenosquelehabíansidocedidosporelDuquedeFernánNúñezparaelrecreodelaCorteentornoalMonasterio
delosJerónimosdeMadrid.Así,conlareformadelCuartoRealquehabíajuntoalMonasterio,seiniciólaconstruccióndelPalaciodelBuenRetiro.Contabaentoncesconunas145hectáreas.Aunqueestasegundaresidencia real iba a estar en lo que en aquellos tiempos eran las afueras de la villa de Madrid, no estaba excesivamentelejosdelalcázaryresultóserunlugarmuyagradableporestarenunazonamuyboscosay fresca.
http
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free-
phot
os.c
om
2
Geometría
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Geometría
191Unidad VII
Conceptos básicos
Saberes previos
• Romboide • Triángulorectángulo
αº+θº=180º
αº
αº
θº
θº
a
b
Cateto
Cateto
Hipotenusa
• Rectángulo
b
b
a aI
II
RegiónI=RegiónII
Cálculo del área de la región de un triángulo rectángulo
b
a
A
B C
D
ÁreadelrectánguloABCD=S
(a).(b)=S
b
a
A
B C
D
S/2
S/2ÁreadeltriángulorectánguloACD= S
2
Área del triángulo rectángulo ACD =
.a b2
Trazamos una diagonal del rectángulo (AC).
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Conociendo las regiones poligonales
Cálculo del área de una región romboidal
b
a
A
B C
D
ÁreadelrectánguloABCD=S
(a).(b)=S
• En general:
Trazamos una paralela a la diagonal AC que pase por "B".
Área = ( ) ( )x y2
x
y
b
a
A
B C
D
S/2
S/2
P
b b
a
A
B C
D
S/2
P
S/2
Trasladamos la región ACD a la región PBA por ser regiones iguales.
ÁreadelromboidePBCA= S S2 2
+
ÁreadelromboidePBCA=S
ÁreadelromboidePBCA=a.b
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 193Unidad VII
2
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
• Engeneral:
h
b
Área =b.h
Área =m.hhm
1. En cada caso, calcula el área de la región sombreada.
6 u
4 uA=
12 u5 u A=
2. Calcula el área de la región sombreada de cada romboide.
A=12 u
5 u
A=7 u10 u
3. Calcula el área de la región sombreada.
6
8
5
4. Calcula el área de la región sombreada.
6 u
6 u
10 u
Observación
CEILTRColegios
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Conociendo las regiones poligonales
Conceptos básicosAprende más...
5. Calcula el área de la región sombreada.
15 m
8 m
8 m
14 m
6. Calcula el área de la región sombreada.
5 m12 m
13 m13 m
13 m
7. Calcula el área de la región sombreada.
A
B C
D
P
12
6
7
8. Calcula el área de la región sombreada.
A
B C
D
M
18
6
10
9. Calcula el área de la región sombreada.
M 10 u
6 u
4 u
2 uP
Q R
SN
10. Calcula el área de la región sombreada.
P
3 m
A
B C
D
Q
14 m
8 m
6 m
Comunicación matemática
1. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado.
• LaregióninternaalcuadradoPQRSy externaaltriánguloABS.
P
Q R
S
A
B
• LaregiónexternaalrectánguloBPQRe interna al romboide ABCD.
A
B C
D
P Q
R
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 195Unidad VII
2 • Enelromboide:
m
H
Área =()()
• Eneltriángulorectángulo:
Área =( )
( ) . ( )
m
n
3. Marcaverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.
• Paracalculareláreadeuntriángulorectángulosenecesitalosdoscatetos ................... ( )
• Paracalculareláreadeunromboidesenecesitaunladoyunadiagonal ...................... ( )
• Laregióncuadrangularesaquellaqueestálimitadaporuntriángulorectángulo ........... ( )
4. Completa los enunciados usando los términos del recuadro mostrado.
• Eláreadeunrectángulosecalculacomoel.......................dela......................porla ......................
• Eláreadeun...................rectángulosecalculacomoel............................delos..................
semiproducto–altura–base–catetos–producto–triángulo
5. Menciona que figuras componen las regiones compuestas.
La región heptagonal esta compuesta por:
•
•
•
a
b
c
La región pentagonal esta compuesta por:
•
•
a
b
2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado.
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Conociendo las regiones poligonales
Resolución de problemas
6. Calcula el área de la región sombreada.
17
4
158
7. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD esunromboideyED=5m.
A
B C
D
E
16 m
8. Si el área de la región del romboide ABCD es 260 cm2, calcula "h".
A
B C
D
h
26 cm
9. Si el área de la región del triángulo rectángulo es la mitad del área de la región del romboide, calcula"x".
6
8
x
6
10. Calcula el área de la región sombreada.
12 m
12 m
6 m
7 m
P
F
11. Calcula el área de la región sombreada.
26 m
8 m
14 m
10 m
θº θºA
B C
D
12. Calcula el área de la región sombreada.
12 cm
10 cm
5 cm
6 cmP
RQ
S
N
M
13. Calcula el área de la región sombreada, si: BC=6cmyCD=8cm.
2 cm
A
B
CD
E18 cm
Aplicación cotidiana
La cochera
En la figura se muestra el plano de una cochera
14. ¿Cuál es el área designada para la cochera? (en m2)
15. Si Eduardo desea comprar la cochera y el costo por metro cuadrado es de $20, ¿cuál será el monto que pagará Eduardo por la cochera? 10
4
4
8 8
8A
B C
DP
Q
R
S
Habitación
Cochera
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2
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Si el área de la región del triángulo rectángulo es 48 cm2, calcula el cateto mayor.
2 k
3 k
2. Si el área de la región rectangular es 60 cm2, calcula el área de la región triangular APD.
A
B C
D
P
3. En el rectángulo ABCD: AB+AD=120 cm,calcula el área de la región rectangular.
3 k
5 kA
B C
D
4. Calcula el área de la región sombreada.
10 m
2 m
18 m
4 mθº θº
5. El área de la región de un triángulo rectángulo es 30 cm2. Si un cateto se duplica y el otro cateto se triplica, ¿cuál será su nueva área?
1. Calcula el área de la región sombreada.
4 cm
7 cm
2. Calcula el área de la región sombreada ABCD.
5 cm
A
B C
D
9 cm
3. Calcula el área de la región sombreada, si ABDE es un cuadrado.
5 m
4 m3 m
A
B
C
D
E
4. Calcula el área de la región sombreada.
8 cm
8 cm
4 cmθº θº
Central: 619-8100
geometría
199www.trilce.edu.peCEILTRColegios
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Conociendo las regiones poligonales
5. Calcula el área de la región sombreada.
8 m
10 m
4 m
6. Calcula el área de la región sombreada.
5 cm
5 cm
2 cm
12 cm
7. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide.
7 cm
4 cm 2 cm
5 cm
A
B C
E
D
8. Calcula el área de la región sombreada.
4 cm 7 cm
5 cm
9. Calcula el área de la región sombreada.
8 cm 4 cm
6 cm
6 cm
5 cm8 cm
10. Calcula el área de la región sombreada.
25 m
4 m
10 m
8 m
11. Calcula el área de la región sombreada.
24 m
10m
12m
4m
12. Calcula el área de la región sombreada.
10m
6m
8m
13.Calculaeláreadelaregiónsombreada,siPQRSes un romboide.
12m
10m
P
Q R
S
H
14. Si las áreas de las regiones del romboide y del triángulorectángulosoniguales,calcula"x".
6 m
4m
8 m
x
15. Calcula la diferencia de las áreas entre las regiones del romboide y el triángulo rectángulo.
5 m
6 m
10 m
4 m
Central: 619-8100
geometría
199www.trilce.edu.pe 199
3
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• ¿QuétipoderegionespuedesobservarenlahabitacióndelHotelRoyaldeDubai?
Calculando el área de regiones triangulares
En este capítulo aprenderemos a:• Conocer y aplicar las fórmulas para el cálculo de áreas de regiones triangulares cualquiera.• Conoceryaplicarlasfórmulasparaelcálculodeáreasderegionestrapecialescualquiera.• Desarrollardiversosproblemassobreelcálculodeáreasdeuntrapecioyuntriángulocualquiera.
Unhotel es un edificio planificado y acondicionado para otorgar servicios de alojamiento a laspersonas temporalmente y que permite a los visitantes sus desplazamientos. Los hoteles proveen a los huéspedes de servicios adicionales como restaurantes, piscinas y guarderías. Algunos
hoteles tienen servicios de conferencias y animan a grupos a organizar convenciones y reuniones en su establecimiento. El hotel de 4 estrellasManorHouseHotel enCastleCombe,Wiltshire, Inglaterra,fueconstruidoenel sigloXIV,elhotel tiene48habitacionesy1,5km²de jardines. Loshotelesestánnormalmente,clasificadosencategoríassegúnelgradodeconfort,posicionamientoyelniveldeserviciosque ofrecen. En cada país pueden encontrarse las categorías siguientes: • Estrellas(de0a7) • Letras(deEaA) • Clases(delacuartaalaprimera) • Diamantesy"WorldTourism".
Estasclasificacionessonexclusivamentenacionales,elconfortyelniveldeserviciopuedenvariardeunpaísaotroparaunamismacategoríaysebasanencriteriosobjetivos:amplituddelashabitaciones,cuartodebaño, televisión, piscina, etc. A nivel empresarial, al hotel se le puede considerar una empresa tradicional, se utiliza a menudo el término "industria hotelera" para definir al colectivo, su gestión se basa en el control de costos de producción y en la correcta organización de los recursos (habitaciones) disponibles, así como enunaadecuadagestióndelastarifas,muchasvecesbasadasencambiosdetemporada(alta,mediaybaja)yenlanegociaciónparaelalojamientodegruposdegenteenoposiciónalalojamientoindividual.
http
://tm
.man
iazo
nes.
com
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Calculando el área de las regiones triángulares
Conceptos básicos
Saberes previos
• Altura • Trapecio
• Distanciamínimadeunpuntoaunarecta • Enunparalelogramo
A
B
C
H"H": Altura relativa
a AC
Base menor
Altura
Base mayor
"H": Altura relativa a PRH
P
Q
RM
Distanciamínima
PL S
S
Cálculo del área de la región de un triángulo acutángulo
A
B C
D
h
b
ÁreadelromboideABCD=S
b.h=S
Trazamos la diagonal BD.
A
B C
D
h
b
S2
S2
ÁreadeltriánguloABD= S2
ÁreadeltriánguloABD= .b h2
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 201Unidad VII
3
Trazamos la diagonal BD.
• Engeneral:
Cálculo del área de la región de un triángulo obtusángulo
ÁreadelromboideABCD=S
b.h=S
A
B C
D
h
b
A
B C
D
h
b
S2
S2
ÁreadeltriánguloACD= S2
ÁreadeltriánguloACD= .b h2
A
B
C
h
b
Área = .b h2
• Engeneral:
Cálculo del área de la región de una región trapecial
A
B
C
h
b
Área = .b h2
ÁreadeltrapecioABCD=S
b
a
A
B C
D
h
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Calculando el área de las regiones triángulares
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
Trazamos la diagonal AC.
• Engeneral:
Área =( ) ( )a b h2+
b
a
A
B C
D
h
b
a
A
B C
D
hh
ÁreadeltrapecioABCD=S
ÁreadeltriánguloABC+ÁreadeltriánguloACD=S
.a h2
.b h2+ =S
( )a b h2+ =ÁreadeltrapecioABCD
1. Calcula el área de la región triangular en cada caso.
A
B
C
5 m
8 m
A=
A=
Q
P R
3 m
4 m
2. Calcula el área de la región del trapecio mostrado.
9 m
3 m
7 m
3. En la figura, calcula el área de la región del triángulomostrado,si:BC=8m.
A
B
C
H
7 m
4. Enlafigura,si:a+b=17m,calculaeláreadela región del trapecio.
b
a
12 m
5. En la figura, calcula la diferencia de áreas entre lasregionestriangularesABCyPQR.
P
Q
R
3m 4m7cm
6cmA
B
C
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 203Unidad VII
3
Conceptos básicosAprende más...
6. En la figura, calcula "h", si el área de la región triangular ABC es 36 cm2.
A
B
C
h
9 cm
7. Calcula "h", si el área de la región del trapecio PQRSes50cm2.
14 m
6 m
h
P
Q R
S
8. Calcula el área de la región triangular sombreada, si ABCD es un cuadrado.
8 cm
8 cm
A
B C
DP
9. Calcula"x",sieláreadelaregióndeltrapecioABCD es 22 cm2.
7 m
x
4 m
A
B C
D
10. Calcula el área de la región sombreada.
2 m
5 m
θº θº αº αº
Comunicación matemática
1. Marcaverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.
• Enelromboidemostrado:
b
h
Su área se calcula como "b . h" .......................................................................................... ( )
• Enuntriángulorectángulo,suáreasecalculacomoelsemiproductodecatetos ............... ( )
• Enuntrapecio,suáreasecalculacomolasemisumadebasesmultiplicadoporsualtura .. ( )
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Calculando el área de las regiones triángulares
• LaregiónexternaaltriángulorectánguloAPQeinterna al trapecio ABCD.
• LaregiónexternaaltrapeciorectánguloPQRSeinterna al romboide ABCD.
A
B C
D
P
Q A
P
BQ
CR
D
S
3. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado.
b
a
h
Área =( ) ( )+
• Eneltrapecio. • Eneltriángulorectángulo.
Área =( )( )2
n
m
4. Completa los enunciados usando los términos del recuadro mostrado.
• Eláreadeun....................secalculacomola.....................delas........................multiplicado por la altura.
• El................deun......................esigualasu.........................elevadoalcuadrado.
trapecio - semisuma - área - cuadrado - lado - bases
2. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado.
5. Completa la ecuación de acuerdo a la condición dada.
• El área del triángulo rectángulo es la terceraparte del área del trapecio.
Ecuación: ............................................
b
a
h
y
x
• Eláreadeltrapecioesigualaláreadeltriángulorectángulo
Ecuación: ............................................
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 205Unidad VII
3Resolución de problemas
6. Calcula la diferencia de áreas de las regiones triangulares mostradas.
8 m
5 m 9 m
4 m
7. Calcula la suma de áreas de las regiones trapeciales mostradas.
9 m
3 m
6 m
7 m
2 m
8 m
8. Calcula el área de la región sombreada.
43
8
9
5
9. Calcula el área de la región sombreada.
8 cm
5 cm
20 cm
20 cm
10. Calcula"x",sieláreadelaregióntriangularABCes25 cm2.
10 cm
x
A
B
C
11.Calcula "x", si el área de la región triangularABC es 28 cm2.
A
B
C
x
8 cm
12.Calcula"x",sieláreadelaregióndeltrapecioes la tercera parte del área de la región del triángulo.
7 m
4 m
x
11 m
6 m
13. Calcula el área de la región sombreada.
6m
15 m
θºθº
αº αº
Aplicación cotidiana
El frontis de la casa
En el gráfico se muestra el frontis de la casa de un alumno.Si su padre lo envía a pintar dicho frontis, calcula:
14. El área del frontis mostrado.
15. Si un balde de pintura rinde 6,1 m2;¿cuántosbaldesdepinturasenecesitarán para pintar dicho frontis?
4 m
3 m
2,5 m
5 m 5 m2 m
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Calculando el área de las regiones triángulares
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1. Si el área de la región triangular ABC es 20 m2, calcula"x".
x+3
x
A
B
C
2. Calcula el área de la región sombreada en términos de "m".
m
m
A
B C
D
P
3. Si el área de la región del trapecio PQRS es80 m2, calcula "a".
3a
a
8
P
Q R
S
4. Calculaeláreadelaregiónsombreada(PQRSes un trapecio).
10
8
4
P
Q R
S
M N
5. Si el área de la región del trapecio ABCD es 60 m2, calcula el área de la región sombreada, si "P" es punto medio.
A
B C
D
P
1. Calcula el área de la región sombreada.
6 m
7 m
2. Calcula el área de la región sombreada.
9 m
5 m
3m
3. Calcula el área de la región sombreada.
12 cm
5 cm
4. Calcula el área de la región sombreada.
6 m5 m
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 207Unidad VII
35. Calcula la diferencia de áreas de las regiones triangulares.
7 m 8 m
14 m
4 m
6. Calcula la diferencia de áreas entre las regiones de los trapecios.
8 m
4 m
7 m
6 m
3m
6 m
7. Calcula "x", si el área de la región triangularABC es 20 m2.
8 m
x
A
B
C
8. Calcula"x",sieláreadelaregióndeltrapecioABCD es 42 cm2.
10 cm
x
7 cm
A
B C
D
9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado.
12 cm
A
B C
D
10. Calcula el área de la región sombreada.
4 m8 m8 m
3 m
12 m
11. Si el área de la región del trapecio y el área de la región del triángulo rectángulo son iguales, calcula "h".
8 m
16m
12 m
4 m
h
12. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado.
14 m
A
B C
D
8 m
13. Calcula el área de la región sombreada del triángulo.
18 m
8 m
14. Calcula el área de la región sombreada, si BPQC es un cuadrado y ABCD es un trapecio.
17 m
12 m
3 m
A
B C
D
P Q
15. Si el área que encierra el rectángulo ABCD es 60 m2, calcula el área de la región sombreada.
4 m
10 m
A
B C
D P
Geometría
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Ordenamiento lineal y circular4
• Laspiscinassonunaformaderecreaciónencontradasporelhombre,quepuedentenerdiferentesformas.
Calculando el área de diversas regiones
La palabra piscina proviene del latín y originalmente se utilizaba para designar pozos para peces de agua dulce o salada. También se utilizó para designar los depósitos de agua conectados a los acueductos. Los primeros cristianos utilizaron la palabra piscina para designar la pila bautismal.
Existe una larga tradición de construcciones artificiales dedicadas al baño, entre las que destacan losnumerosos yacimientos de termas romanas, como los encontrados en la ciudad inglesa de Bath.Hoyendíalaspiscinashanexperimentadounsignificativoavancetecnológico,sobretodoentérminosde depuración del agua. Se emplean derivados de cloro para mantenerlas limpias, y se controla su pH y en ocasiones incluso la temperatura del agua, asimismo, existen variasmodalidades, como las fijas,las portátiles y las desmontables. Y de distintos materiales, como poliéster, de concreto, recubiertas de mosaico, etc.
http
://w
ww
.pis
cina
spre
miu
m.c
om
En este capítulo aprenderemos a:• Repasarloaprendidoenloscapítulosanteriores.• Recordarlasfórmulasparaaplicarlasluego.
4
Geometría
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Geometría
209Unidad VII
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Calcula el área de la región triangular ABC.
10 cm12 cm
A
B
C
2. CalculaeláreadelaregióntriangularPQR.
12 m
9 mP
Q
R
3. Calcula el área de la región cuadrada ABCD, si su perímetro es 24 cm.
A
B C
D
4. Calcula la diferencia de las áreas entre las regiones del rectángulo y del romboide.
15 m
10 m
9 m
13 m
5. Calcula el área de la región sombreada.
8 m
4 m
4 m
13 m
6. Si ABCD es un rombo, calcula el área de su región.
5 m 4m
A
B C
D
7. Silasregionestienenáreasiguales,calcula"x".
20 m
6 m
30 cm
x
8. Si ABCD es un cuadrado, calcula el área de la región sombreada.
A
B C
D P
7 m
15 m
9. En la figura, calcula el área de la región sombreada.
20 m
5 m
14 m
4 m
10. Calcula el área de la región sombreada.
12 m
6 m
9 m
6 m
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100210
Calculando el área de diversas regiones
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico:
n
m
Área=
En el triángulo:
Área=
m
n
En el romboide:
Área=( )( )
m
x
n
En el trapecio:
2. Marcaverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.
• Unaregiónsenombradeacuerdoasucontorno ....................................................... ( ) • Eláreaesunvalorquepuedesernegativo ................................................................ ( ) • Eláreayelperímetroenuncuadradosonconceptosiguales ..................................... ( )
3. Nombralasregionesmostradas,deacuerdoasunúmerodelados.
4. Sombrea la región pedida de acuerdo al enunciado
• LaregiónexternaalrectánguloPQRSeinternaal romboide ABCD.
A
B
C
DP
Q
R
• LaregióninternaaltrapeciorectánguloABCDyexternaaltriángulorectánguloPQR.
A
B C
D
P
Q R
S
5. Grafica (haciendo uso de la regla) un trapecio isósceles ABCD (BC // AD), traza la diagonal BD y la mediana BE del triángulo ABD y sombrea el triángulo BED.
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 211Unidad VII
4Resolución de problemas
6. Calcula "b", si el área de la región triangular PQRes84m2.
b
14 m
P
Q
R
7. Calcula el área de la región sombreada.
8 u 6 u
10 u
A
B C
D
P Q
20 u
8. Si PQRD y ABCD son cuadrados, calcula elárea de la región sombreada.
8 m6 m
A
B C
DP
QR6 m
9. Calcula el área de la región no sombreada.
6
8
5 7A
B C
D
10. Calcula el área de la región triangular CMD.
6
8
14A
B
M
C
D
11. Calcula el área de la región sombreada.
10 cm
6 cm
6 cm 6 cm
12. Si el área de la región rectangular ABCD es 72 m2, calcula"x".
x
2xA
B C
D
13. En el trapecio rectángulo ABCD: AD=3(BC),calcula el área de su región.
4
6
A
B C
D
Aplicación cotidiana
La sombra
Un foco al ser encendido refleja la sombra de una tablarectangulardemedidas30cm×20cm,comosemuestraen la figura.
14. Calcula el área en (cm2) de la tabla rectangular que esta siendo proyectada.
15. Silasombrareflejadaenelsueloesunrectángulocuya área es el triple del área de la tabla, calcula "x".
Foco
Suelo
Tablade30×20cm
25 cmSombra
x
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Calculando el área de diversas regiones
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1. En la figura, calcula el área de la región sombreada.
3 m
5 m
9 m
2. En la figura, calcula el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es 6 m.
3 m 4 mA D
B C
3. Las diagonales de un rombo miden 18 y 8 u, calcula el área de la región limitada por el rombo.
4. Calcula el área de la región sombreada en términos de "a".
5a
2a
8a
5. En la figura, calcula el área de la región rectangularABCD,si:CD=6cmyAPDResuncuadrado.
A
B
C
DR
P
1. Calcula el área de la región sombreada.
5m
4 m
2. Calcula el área de la región sombreada.
4 u
6 u
3. Calcula el área de la región sombreada.
12 m
5 m
4. Calcula "x", si el área de la región triangularPQRes48cm2.
x
12 cm
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 213Unidad VII
45. Eneltrapeciorectángulo,calcula"x"sielárea
de la región del trapecio es 80 m2.
13 m
7 m
x
6. Si el área de la región rectangular ABCD es 36 m2, calcula"x".
x
4xA
B C
D
7. Calcula el área de la región sombreada.
5m
9m
4m
2m
4m
8. Calcula el área de la región sombreada.
8cm 14cm
10cm
16cm
9. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y BEDF es un romboide.
6cm
6cm
4cmA
B C
D
E
F
10. En la figura, calcula el área de la región sombreada,si:AB=CD=10m.
A
B
CD
11. Calcula el área de la región sombreada.
18m
20 m
12. Calcula el área de la región sombreada.
12m
25 m
16 m 16 mA
B
C
D
13.CalculaeláreadelaregiónrectangularPQRS.
8m
P
Q R
S
Aθº
θº B
αº
αº2m
14. Calcula el área de la región sombreada.
20m
6m
10m
A
B
C
D
E
15. Calcula el área de la región sombreada.
4 m2 m
6 m
7 m
9 m
12 mA
B C
D
Central: 619-8100
geometría
215www.trilce.edu.pe
ApreNDIZAjes esperADos
UNIDAD 1
La base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?¿Qué estudia la Geometría?¿Qué es postulado?
CoNoCIeNDo A lA geometríA
UNIDAD 1
• Reconoceryrelacionarfigurasyelementosgeométricos.
• Identificarelnúmeromáximoymínimodepuntosdecorte.
• Sumaryrestarlongitudesdesegmentosderectaconvaloresyconvariables.
• Ubicaralospuntosmediosdelossegmentosderectaconelusodelcompás.
• Resolverejerciciosdesegmentosconpuntosmediosusandovariables.
Central: 619-8100
geometría
215www.trilce.edu.pe
1
• LaspirámidesdeEgiptosonunclaroejemplodepoliedros.Enunadeestaspirámides, ¿cuáles lacantidad de caras que presenta?
reconociendo los elementos del poliedro
En este capítulo aprenderemos a:
• Definircorrectamenteaunpoliedro.• Conocerydiferenciarloselementosdeunpoliedro.• Definirydiferenciarunhexaedroregularyunparalelepípedo.• Graficarcorrectamenteunpoliedro.
Las pirámides muestran, para su época, el gran conocimiento de los técnicos egipcios y la capacidad organizativa necesaria para erigir talesmonumentos conmediosmuy simples; pero nada pareceindicar que hiciera falta una tecnología superior a la que disponían los egipcios representada por
"ingenios" de madera, trineos e, hipotéticamente, usando la rueda, en forma de rodillos de madera y rampas. No se sabe con certeza cómo se construyeron las pirámides, pues no han perdurado documentos de su época que lo describan. Además, se utilizaron diversos materiales (piedra escuadrada, piedra sin tallar, adobe)yvariadastécnicasenlaconstruccióndesusnúcleos(apilamientodebloques,murosresistentesconformando espacios rellenos de cascotes, etc.).Lahipótesismásaceptadaeslasiguiente:previamenteseprocedíaaaplanarelterrenorocoso,yexcavarcanales para inundarlos de agua y así poder marcar líneas de nivel con las que preparar una superficie horizontal.Después se rellenaban los surcos. A continuación se excavaba la cámara subterránea y secomenzabalaedificación.Lamayoríadelosbloquesdepiedraerancortadosencanteraspróximasallugarde construcción. Se transportaban otros de las canteras del sur del país con ayuda de gigantescas barcazas. Los bloques se colocaban a continuación sobre trineos y se arrastraban hasta su emplazamiento definitivo.
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100216
Reconociendo los elementos
Conceptos básicos
Saberes previos
60º
60º 60º
Triángulo equilátero Cuadrado b
a
A=a.b
l
l A=l2
• Polígonosregulares • Áreadeunrectángulo
• Áreadeuncuadrado
Definición de poliedroSon los sólidos geométricos que están formados por polígonos planos que tienen lados comunes y encierran un determinado espacio cuya medida representa el volumen del poliedro.Alladocomúnadoscarasseledenominaaristayalpuntodeconcurrenciadelasaristas,vértice.
Cara
Vértice
Arista
Hexaedro regular o cuboEs el poliedro formado por seis cuadrados iguales.
aa
a
Nº caras 6
Nº vértices 8
Nº aristas 12
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 217Unidad VIII
1
aa
aa
a
a
a
a
a
a
Paralelepípedo rectangular o rectoedroEs el poliedro formado por seis rectángulos.
b
c
a
Nº caras 6
Nº vértices 8
Nº aristas 12
Desarrollo del paralelepípedo rectangular
b
c
a
a
a
b
b
c
c
a
a
Desarrollo del hexaedro regular
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100218
Reconociendo los elementos
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido mostrado.
2. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el sólido mostrado?
3. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el sólido mostrado?
4. Indicar el númerode caras, vértices y aristasdel sólido mostrado.
5. Indicarelnúmerodevérticesmáselnúmerodecaras del sólido mostrado.
6. Indicarladiferenciaentreelnúmerodecarasyvértices del sólido mostrado.
7. Indicarelnúmerodevértices,aristasycarasdelsólido mostrado.
8. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido mostrado.
9. Haciendousodelaregla,graficaunhexaedroregular de 4 cm de arista.
10. Haciendo uso de la regla, grafica un paralelepípedorectangulardearistas2;4y6cm.
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 219Unidad VIII
1Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática
1. Marcaverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.
• Loselementosdelpoliedroson:losvértices,aristasylascaras ...................................... ( )
• Enunpoliedro,elpuntodeconcurrenciadelasaristassedenominavértice ................. ( )
• Elcuboeselpoliedrocuyascarassontodoscuadradosdiferentes ................................. ( )
2. Nombra los elementos del poliedro en cada caso.
3. Completa de acuerdo al gráfico.
Nº caras
Nº vértices
Nº aristas
4. Graficaunparalelepípedocuyasaristasmidan5;6y4cm(graficahaciendousodelaregla).
5. Completa los enunciados, usando los términos del recuadro mostrado.
• El.............................eselpoliedroformadoporseis.......................iguales.
• Alladocomúndedos......................seledenomina.......................
hexaedroregular-caras-arista-cuadrados
Resolución de problemas
6. ¿Cuántos vértices, aristas y caras tiene el poliedro mostrado?
7. Calcule la diferencia de caras y vértices en un paralelepípedo rectangular.
8. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido.
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100220
Reconociendo los elementos
9. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido.
10. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido mostrado.
11. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido mostrado.
12. Indicarelnúmerodevértices,aristasycarasdelsólido mostrado.
13. Indicarelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido mostrado.
Aplicación cotidiana
La casa de mi mascota
En la figura se muestra el hogar de la mascota de Eduardo. Si él desea pintar la casa de su mascota:
14. ¿Cuántas caras del hogar de la mascota pintará Eduardo?
15. Si por cada cara, él emplea 1/8 de galón de pintura, ¿cuántos galones usará en pintar el hogar de su mascota?
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 221Unidad VIII
1
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Calcula el número de caras (C), aristas (A) yvértices(V)luego,halla"C+V–A".
2. Si la suma de las medidas de todas las aristas de un hexaedro regular es 48 cm, calcula lamedida de una arista.
3. Si las aristas de un paralelepípedo rectangular son 4; 7 y 3 cm, calcula el área total de lasuperficie del sólido.
4. Si la diagonal de una cara de un hexaedroregular es 8 2 cm, calcula la suma de las medidas de todas sus aristas.
5. En un paralelepípedo rectangular, ¿cuántas diagonales en total presenta el sólido?
1. Sumaelnúmerodecaras,vérticesyaristasenelsólido.
2. Sumaelnúmerodecaras,vérticesyaristasenelsólido.
3. Sumaelnúmerodecaras,vérticesyaristasenelsólido.
4. Sumaelnúmerodecaras,vérticesyaristasenelsólido.
5. En el poliedro, suma el número de caras,vértices y aristas.
6. Enelpoliedro,sumaelnúmerodecarasyaristasen el sólido.
Central: 619-8100
geometría
223www.trilce.edu.peCEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100222
Reconociendo los elementos
7. Sumaelnúmerodecaras,vérticesyaristasenelsólido.
8. En el rectoedro mostrado, calcula la suma del númerodecarasyaristas.
9. Graficaunhexaedroregularde5cmdearista.
10.Calculaladiferenciaentreelnúmerodecarasyvérticesdeunhexaedroregular.
11.Calculaladiferenciaentreelnúmerodecarasyvértices de un paralelepípedo rectangular.
12.Calculaelnúmerodecarasdelsólido
13.Calculaelnúmerodecarasdelpoliedro.
14. Sumaelnúmerodecaras,vérticesyaristasdelsólido.
15.Calculaelnúmerodecarasdelpoliedro.
Central: 619-8100
geometría
223www.trilce.edu.pe
2
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100
• Las"torresgemelas",¿quéformatenían?,¿ladeunhexaedrooladeunparalelepípedorectangular?
¿área es lo mismo que volumen?
En este capítulo aprenderemos a:
• Reconocerydiferenciarlosconceptosdeáreayvolumenenunpoliedro.• Calculareláreayelvolumendeunhexaedroregularydeunparalelepípedo rectangular.• Desarrollardiversosproblemassobreelcálculodeáreasyvolúmenes.
La palabra edificio quiere decir hacer fuego (del indoeuropeo æde, fuego y del latín facere, hacer), lo quenodebeextrañarcuandosesiguediciendohogaralavivienda.Se trata de una obra de fábrica, dedicado a albergar distintas actividades humanas: vivienda, templo,
teatro, comercio, etc.Del origen del nombre parece desprenderse que los edificios primitivos sirvieron para albergar el fuego, evitando que lo apagasen la lluvia o el viento, pues no era sencillo encenderlo.Lainventivahumanafuemejorandolastécnicasdeconstrucciónydecorandolasdiversaspartes,hastahacer de la actividad de edificar una de las bellas artes: la Arquitectura.
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100224
¿Área es lo mismo que volumen?
Saberes previos
Conceptos básicos
• Áreadeuncuadrado • Áreadeunrectángulo
• Enunpoliedro
l
l
Área=l2
b
a
Área= a . b
Longitud de la arista
En el hexaedro regular
Área de la superficie total (At)
1cm
1cm1cm
ATotal=6×(1cm)2
ATotal=6cm2
2cm
2cm
2cm
ATotal=6×(2cm)2
ATotAl=24cm2
3cm
3cm
3cm
ATotal=6×(3cm)2
ATotal=54cm2
• Engeneral:
aa
a At =6(a)2
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 225Unidad VIII
2 Volumen (V)
1cm
1cm1cm
V=(1cm)3
V=1cm3
2cm
2cm
2cm
V=(2cm)3
V=8cm3
3cm
3cm
3cm
V=(3cm)3
V=27cm3
En el paralelepípedo rectangular
• Engeneral:
Área de la superficie total (At)
Volumen (V)
No olvidar que las caras opuestas del rectoedro son rectángulos iguales
aa
a V =a3
V =a.b.c
aa
cb
At=2(a.b)+2(a.c)+2(b.c)
At=2(a.b+b.c+a.c)
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100226
¿Área es lo mismo que volumen?
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
1. En el cubo mostrado, calcula el área y el volumen del sólido.
4cm
4cm
4cm
2. En el cubo mostrado, calcula el área y el volumen del sólido.
5 u
5 u
5 u
3. En el paralelepípedo rectangular mostrado, calcula el área y el volumen del sólido.
5cm
4cm10cm
4. En el rectoedro mostrado, calcula el área y el volumen del sólido.
12cm
6cm4cm
5. Calcula el volumen del rectoedro mostrado.
2cm
5cm8 cm
6. Calcula la diferencia de volúmenes entre loscubos mostrados.
2cm
2cm2cm6cm
6cm
6cm
7. Calcula la diferencia de volúmenes entre elcubo y el paralelepípedo.
3u
3u3u
2u
9u
3u
8. En el cubo mostrado, la suma de las aristas es 36 cm. Calcula el volumen del sólido.
9. Si el área de la superficie del cubo mostrado es de 96 cm2, calcula el volumen del cubo.
10. Calcula el volumen del rectoedro mostrado.
15u
6u5u
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 227Unidad VIII
2Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática
1. Marcaverdadero"V"ofalso"F"segúncorresponda.
• Uncubocuyaaristamide4cmtieneunvolumende60cm3 .......................................( )
• Unparalelepípedorectangulartambiénesllamadoortoedro .........................................( )
• Unparalelepípedopresentadocearistasyseisvértices .................................................( )
2. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico.
m
mm
AT = ............
• Enelhexaedromostrado,eláreatotaldela superficie es:
V = ................
m
p
n
• Enel rectoedromostrado,elvolumenes:
3. Graficaunhexaedroregular,cuyaaristamida5cm.
4. Completa los enunciados, usando los términos del recuadro mostrado.
• El........................tambiénesllamado..............................
• Un......................rectangulartambiénesllamado................................
hexaedro-rectoedro-paralelepípedo-cubo
5. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico mostrado.
mp
n
AtotAl=2(.......+........+.......)
Resolución de problemas
6. Calculaelvolumendelhexaedromostrado.
9 cm
9 cm9 cm
7. Calcula el volumen del rectoedro mostrado.
2 u
5 u10 u
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100228
¿Área es lo mismo que volumen?
8. En el cubo mostrado, calcula su área, si el volumen del cubo es 216 cm3.
9. Calcula el área del cubo mostrado, si la suma de aristas del sólido es 96 cm.
10. En el rectoedro, el área de la cara sombreada es 50 cm2. Calcula el volumen del sólido.
5 cm
12 cm
11. En el rectoedro mostrado, el área de la cara sombreada es 60 m2. Calcula el área de la superficie del sólido.
8 cm
5 cm
12. Si los volúmenes de los sólidos son iguales,calcula"x".
x
x
x
1 cm
3 cm9 cm
13.Calcula "x", si el volumen del rectoedromostrado es 720 cm3.
10cmx
8 cm
Aplicación cotidiana
El juego
UnalumnodelcolegioTrilcetienecubosparacolocardemaneraexactadentrodeunacajarectangularde4;16y12cm.Loscubosacolocarsontodosigualesa2cmdearista.
2cm
2cm2cm
12cm
4cm
16cm
Calcula:
14. Elvolumendelcuboyelvolumendelacajaquevaaparticipareneljuego.
15. Sieljuegoconsisteenllenaraltopelacajadeloscubos,¿cuántoscubospodrácolocarelalumnodentrodelacajaparacumplirconlacondicióndeljuego?
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 229Unidad VIII
2
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1. Calcula "θº" en el gráfico, si el sólido mostrado es un cubo.
θº
2. Calcula lasumade lasaristasdeunhexaedroregular, si su volumen es numéricamente igual al triple de su área.
3. El volumen de un rectoedro es 24 cm3. Si el largo es el triple del ancho y el ancho es igual a la altura, calcula el área lateral del sólido.
4. Si el sólido mostrado es un cubo de arista 3 cm, calcula "AB".
A
B
5. Las áreas de las tres caras indicadas del rectoedromostradoson:12;15y20u2. Calcula el volumen del sólido.
20u2
15u2
12u2
1. Calcula el volumen del cubo mostrado.
2cm
2. Calcula el área total de un cubo, cuya arista mida 8 cm.
3. Calculaelvolumendeunrectoedrode5;2y3cm de aristas.
4. Para el problema anterior, calcula el área total del sólido.
5. Calcula el volumen y el área total del rectoedro mostrado.
5cm8cm
16cm
6. La suma de aristas de un cubo es 120 cm, calcula el volumen del sólido.
7. La suma de aristas de un cubo es 72 cm, calcula el área total del sólido.
8. En el gráfico, calcula el volumen del cubo.
8cm
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geometría
231www.trilce.edu.peCEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100230
¿Área es lo mismo que volumen?
9. Calculaeláreatotaldelrectoedrode8;7y10ude aristas.
10. Calcula el volumen de un cubo cuya área es 216 m2.
11. Calcula la suma de aristas de un cubo, si su área es 384 m2.
12.Calcula "x", si el volumen del rectoedro es144 cm3.
6cm12cm
x
13.Calcula"x",sielvolumendelcuboes64 cm3.
x
xx
14.Calcula la diferencia de volúmenes de lossólidos mostrados.
3m
3m3m5m
10m
3m
15.Calcula "x", si el volumen del rectoedro es560 m3.
7m
x10m
Central: 619-8100
geometría
231www.trilce.edu.pe 231
3
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100
• LasTorresPetronasdeMalasiasonunasdelasmásaltasdelmundoypresentanunasuperficietotalde 350 000 m2 compuestas de vidrio.
recordando lo estudiado
Las Torres Petronas fueron diseñadas por el arquitecto argentino César Pelli y terminadas en el año1998. Con 88 pisos, de estructura mayoritariamente de hormigón y vidrio, evocan motivos tradicionales del arte islámico, haciendo honor a la herencia musulmana de Malasia. Pelli utilizó un diseño geométrico
islámico en su planta al entrelazar dos cuadrados, de tamaño gradualmente decreciente en la parte superior, la cual está basada en un motivo muy tradicional en la cultura islámica: una estrella de 12 picos incluyendo un círculo en cada intersección. La construcción de las torres comenzó en el año 1994.La estructura básica se tomó de un proyecto no realizado para una torre en Chicago.Ensuconstrucciónseinvolucróatrabajadoresdedistintasnacionesqueaportaronconsuconocimientoytrabajo.Enlaconstruccióndeambastorressediseñóunaestrategiaquepermitióacelerareltrabajo.Secrearondosequipos,unoconformadoportrabajadorescoreanosyelotroporjaponeses,unoacargodecadatorre,demodoquehubounagrancompetenciaporlograrelmejorymásrápidotrabajo.Las torres se encuentran unidas por una pasarela de doble altura aérea entre los pisos 41 y 42, que forma un portal. El skybridge, como es llamado, es el punto más alto accesible para los visitantes. Las visitas son gratuítas, pero limitadas a 1 200 personas diarias.En su interior las torres se encuentran compuestas por oficinas, entre las que destacan las de la compañía petrolera Petronas y la sede en Malasia de la empresa Microsoft.AlpiedelatorreseencuentraelKualaLumpurConventionCenter(KLCC)yelpopularcentrocomercialSuria kentuki.
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En este capítulo aprenderemos a:• Repasarloaprendidoanteriormente.• Recordaryaplicarlosconceptosaprendidos.
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100232
Recordando lo estudiado
Sintesis teórica
A= .b h2
b
hh
b
l
l
A=l2
A=a.ba
b
A=b.h
b
h
CÁLCULO DE ÁREAS
b
a
h
A=( ) ( )a b h2+
Área de regiones triangulares
Área de paralelogramos
• Aplicableatodotipodetrapecios
Área de trapecios
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 233Unidad VIII
3
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x 550
SÓLIDOSGEOMÉTRICOS
Cara
Arista
Vértice
Elementos del poliedro
a
a
a
At=6a2
V=a3
Hexaedro o cubo
bc
a
V=a.b.c
At =2(a.b+b.c+a.c)
Paralelepípedo rectangular o rectoedro
1. Calcula el área de la región sombreada.
5m12m
A
B C
D
13m
4m
2. Calcula el área de la región sombreada.
4u
12u
5u
10u
3. Si el área de la región del trapecio es 160 m2, calcula"x".
12 m
8 m
x
4. Calcula el área total del paralelepípedo.
5u
4u11u
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100234
Recordando lo estudiado
Conceptos básicos Aprende más...
5. Calcula el volumen del cubo mostrado.
11m
11m
11m
6. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado.
2 m
8 m
6 m
3 mA
B C
D
7. Calcula el volumen del rectoedro mostrado.
10 m7 m
3 m
8. Calcula el número de caras, vértices y aristasdel poliedro mostrado.
9. Calcula la diferencia de volúmenes en lossólidos mostrados.
3m
3m3m1m
10m
3m
10. En la figura, las áreas de las regiones sombreadas soniguales,calcula"x".
10 m
8 m
x
5 m
Comunicación matemática
1. Completa las relaciones de acuerdo al gráfico.
Volumen=()3
m
m
m
• Enelcubo
Área=().()
h
A
B C
D
n
• EnelromboideABCD
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 235Unidad VIII
3
• TrazaladiagonalPQ del cubo.
P
Q
A
B
P
Q
• TrazalasdiagonalesAB y PQ.
2. Marcaverdadero(V)ofalso(F)segúncorresponda.
• Uncubode6cmdearistatieneunvolumende216cm3 .......................................... ( )
• Eláreadelrectángulosecalculacomoelproductodelabaseporlaaltura ................ ( )
• Elperímetroeslomismoqueelárea .......................................................................... ( )
3. Sombrea de acuerdo al enunciado. • LaregiónexternaalromboideABCDeinternaaltrapeciorectángulo.
A
B C
D
4. Nombra los elementos del poliedro mostrado.
5. Grafica con regla de acuerdo al enunciado.
Resolución de problemas
6. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide.
4cm
A
B C
D
6cm
4cm
7. Calcula el área de la región sombreada.
5u
4u
20u
12u
8. Si el área de la región del rectángulo ABCD es 80 m2,calcula"x".
x
5x
9. Calcula el volumen del cubo mostrado.
5 m
5 m
5 m
CEILTRColegios
www.trilce.edu.pe Central: 619-8100236
Recordando lo estudiado
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
10. Calcula el volumen del rectoedro.
9 cm6 cm
3 cm
11. Si el volumen del cubo y del rectoedro son iguales,calcula"x".
9m
6m
4mx
x
x
12. Calcula el área de la región del trapecio.
12 m
5 m
6 m
13.Calculaladiferenciaentreelnúmerodecarasyelnúmerodevérticesenelpoliedromostrado.
Aplicación cotidiana
El cubo mágico
Un curioso alumno de Trilce desea saber de manera exactaalgunas medidas de un cubo mágico. Si una cara está compuesta por nueve cuadrados iguales de 4 cm2 de área, calcula:
14. El área total del cubo mágico.
15. El volumen del cubo mágico.
1. Calcula el área sombreada en términos de "m" y "n".
n
m
2. Calcula la altura del rectoedro mostrado, si el volumen del rectoedro y el volumen del cubo son iguales.
16m
x
18m
12m
x12m
12m
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www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 237Unidad VIII
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Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1. Calcula el área total del cubo.
3m
3m
3m
2. Calcula el área de la región sombreada.
3 m5 m
3. Calcula el área de la región sombreada.
5m
4m
5 m
4. Calcula"x",sieláreadelaregiónsombreadaes300 cm2.
x
3x
5. Calcula el área total del rectoedro.
4cm
5cm
10cm
6. Calculaladiferenciadevolúmenes.
8 m3 m
5 m4 m
4 m
4 m
7. Calcula el área de la región sombreada.
4 m
4 m
8. Calcula el área de la región del triángulo rectángulo.
14m
5m
3. Calcula "H", si: a+b=20 m y el área deltrapecio es 240 m2.
a
b
H
4. Las longitudes de las aristas de un rectoedro estánenlarelaciónde1;2y3.Silasumadesus aristas es 24 cm, calcula el volumen del rectoedro.
5. Calcula el área total del sólido.
3 m
2 m
4 m 5 m
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Recordando lo estudiado
9. ¿Cuántas aristas tiene el tetraedro mostrado?
10. Calcula el área de la región sombreada. ABCD : trapecio.
10 m
16 m
6 m
A
B C
D
11. Calcula el área de la región sombreada, si ABCD es un romboide.
A
B C
D
P
5 m
12 m
12. Calcula el volumen del paralelepípedo.
15m
7m8m
13. Si el área de la región triangular es 105 m2, calcula"x".
x
21m
14. Calcula el área del rectángulo ABCD, si: AC=10 cm.
8 cmA
B C
D
15.Calculaelvolumendelcubo,si:AB=6 2 m.
A
B