Fundamentos Matemáticos

Semana 6 - Clase 1

Plano cartesiano

Distancia entre dos puntos y punto medio.

Pendiente y ecuación de la recta.

Las noticias nos proporcionan información sobre el huracán Claudius. El huracán se encuentra cerca de la intersección de la línea vertical que indica los 91o de longitud y la línea horizontal que señala los 25o de latitud. Este punto se puede identificar asignándole un par ordenado de números, conocidos como coordenadas, que muestran primero la longitud y después la latitud.

De este modo, el huracán Claudius tendría las coordenadas: (91; 25).

91: es la longitud (unidades a la derecha o a la izquierda)

25: es la latitud (unidades hacia arriba o hacia abajo)

3

2

1

-1

-2

-3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

b

a

-

-

Sistema coordenado rectangular

X

Y

a: abscisa de Pb: ordenada de P

P(a,b)..( + , + ).( - , + )

.( - , - )

.( + , - )

II

III IV

I

Ejemplo

Ubique cada uno de los puntos siguientes en el plano cartesiano:

A(0; -2), B(10; 0), C(3; -2); D( 3 ; 5),

E(-1,5; 2)

Ejemplo:

• Si a y b son números reales tales que: a>0 y b<0, determine a que cuadrante pertenecen los siguientes puntos:

1. P (a; b)2. Q (b; -a)3. R (-a; a)4. S (-a;-b)

Distancia entre dos puntos

x

y

.

.P1

P2

y1

y2

a

d(P1, P2) = |y1 - y2|

Ejemplo:

• Determinar la distancia entre el punto F = ( 2 ; 5 ) y el punto M = ( 2 ; - 3 )

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

x

y

x1 x2

b ..P1 P2

d(P1, P2) = | x1 - x2 |

Ejemplo:

Determinar la distancia entre el punto P = ( 3 ; 17 ) y el punto Q = ( 17 ;17)

Distancia entre dos puntos

x

y

.P1

.P2

x1 x2

y2

y1 |x2 - x1 |

|y2 - y1 |

d(P1, P2) = ( ) ( )x x y y1 22

1 22

Ejemplo:

• Determinar la distancia entre el punto M = ( 4,7 ; - 5,2 ) y el punto F = ( - 1,3 ; 2,8 )

Fórmula de punto medio de un segmento

x

y

x1 x2

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

.M(x,y)

xx1 + x2

2

M = (---------, ---------)y1 + y2

2

Ejemplo:

Determinar el punto medio de los siguientes segmentos:

1.( 2 ; 7 ) y ( - 2 ; 4 )2.( - 3,14 ; 1,42 ) y ( 3,14 ; - 1,42 )3.( 0,75 ; 1,72 ) y ( 0,25 ; - 6 )

¿Qué significan estas señales de tránsito?

L1

L2

0 x

yPendiente de una recta l

• ¿Cuál de las rectas está más inclinada?

• ¿Cómo medimos esa inclinación?

La pendiente m de la recta l es:La pendiente m de la recta l es:

Cambio en y yCambio en x xm = =

Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2).

y2 - y1

x2 - x1

m =

Cálculo de la pendiente de una recta

0 x

y

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

x=x2 - x1

y=y2 - y1

y2 - y1

x2 - x1m =

Cálculo de la pendiente de una recta

Ejemplos• Ubique los puntos en el plano y determine la

pendiente de estos segmentos:1. A(-6; 1) y B(1; 2)

2. C(-1; 4) y D(3; 1)

3. E(4; 2) y F(6; 2)

4. G(2; 1) y H(2; -3)

mAB = 1/7

mCD = -3/4

mEF = 0

mGH = ¿?

Conclusiones

1. Si m>0 la recta l es creciente

2. Si m<0 la recta l es decreciente

3. Toda recta horizontal tiene m = 0

4. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x1, y1) es:

(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)

X

Y

Ecuación de la recta 1.

La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:

by = mx + b

X

Y

Ecuación de la recta 2.

Ecuación de la recta 3.

• ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

• La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By = C, es una recta,

• y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal:Ax + By = C

m1 = m2

Rectas paralelas

• Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma pendiente.

• Es decir:

m1 . m2 = -1

Rectas perpendiculares

• Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

• Es decir:

recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b

recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a

b

a

Determinar la ecuación de las rectas bajo las siguientes condiciones:

A. Conociendo dos puntos de paso.

1. A (-2,4) ; B(3; 7)

2. A(-4;-6) ; B(6; 8)

 

B. Conociendo un punto y su pendiente.

1.      A(5, -3) y m = -2

2.      A(-1, 8) y m = 3

Grafica de una recta

• Graficar las rectas determinadas anteriormente

Sugerencia:

Encontrar los puntos de intersección con los ejes coordenados y unirlos.

Interceptos con los ejesInterceptos con los ejesInterceptos con los ejesInterceptos con los ejes

• Los puntos de intersección de la gráfica de una ecuación con los ejes coordenados X e Y son:

Con eje X: (a, 0)Se obtiene haciendo y = 0Con eje Y: (0, b)Se obtiene haciendo x = 0

4xyc)

y4b)

32xya)

x

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:

Dibujar las siguientes gráficas dando los interceptos con los ejesDibujar las siguientes gráficas dando los interceptos con los ejes

Tarea

(¡¡recuerden este jueves es el CC4!!)

Ej. I y II Pág. 87.

*Revisaremos el jueves la PC2