5-Cap 5. Plano Cartesiano - Línea Recta

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE

Matemticas II

Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Captulo 5: Plano Cartesiano Lnea Recta

INDICE

21.EL PLANO CARTESIANO.

2.DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.22.1.Clculo de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.22.2.Clculo de la inclinacin, pendiente, del segmento de recta definido por dos puntos.32.3.ngulo entre dos rectas.42.4.Interpretacin geomtrica de la pendiente de un segmento de recta.42.5.Punto que divide a un segmento de recta en una relacin R.52.6.Punto medio de un segmento de recta.62.7.Proporcin urea o Razn urea. El nmero de oro (PHI ). Seccin urea.93.AREA DE UN POLGONO DE VRTICES CONOCIDOS.104.MEDIANA BISECTRIZ MEDIATRIZ.185.LNEA RECTA.215.1.Ecuacin cuando se tienen dos puntos de la lnea recta.215.2.Ecuacin punto pendiente de la lnea recta.225.3.Ecuacin general de la lnea recta.235.4.Ecuacin normal de la lnea recta.285.5.Distancia entre un punto y la lnea recta Distancia dirigida.305.6.Clculo de bisectrices.316.Miscelnea de ejercicios.38

GEOMETRA ANALTICA

1. EL PLANO CARTESIANO.

El conjunto de todos los nmeros reales se denota por R1, dos nmeros reales cualesquiera forman un par. Si el par se escribe en forma ordenada tenemos un par ordenado, el conjunto de todos los pares ordenados pertenecientes a los reales se representan sobre el plano coordenado (Plano Cartesiano) representado por R2. A los elementos del par ordenado (X; Y) se les denomina coordenadas, el primer elemento va asociado con la abcisa (componente sobre el eje X) y el segundo elemento siempre va asociado con la ordenada (componente sobre el eje Y).

2. DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.

2.1. Clculo de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

Tenemos dos puntos en el plano cartesiano, definidos por sus coordenadas:

y que definen un segmento de recta :

Para calcular la distancia entre ambos puntos, consideramos el tringulo rectngulo :

La hipotenusa del mismo es el segmento de recta y su longitud es la distancia entre los puntos y que queremos calcular. El cateto adyacente es el segmento : . El cateto opuesto es el segmento : , aplicando el Teorema de Pitgoras tenemos la frmula para la distancia entre los puntos y :

.2.2. Clculo de la inclinacin, pendiente, del segmento de recta definido por dos puntos.

Dos puntos en el plano cartesiano definen un segmento de recta cuya inclinacin o pendiente es la tangente del ngulo que dicho segmento forma con el semi eje positivo de abcisa.

EMBED Equation.3 Ejercicio 5.1. Para cada par de puntos, calcular: Distancia; Pendiente de la recta y ngulo de inclinacin:

1.1. A: (2; 4) y B: (4; 10).

Distancia: d = 6,32.

Pendiente: m = tg() = 3.

Angulo de inclinacin: = arctg(3) = 71,56.

1.2. A:( 2; 4) y B:(5; 10).



Angulo de inclinacin: = arctg(2) = 63,43.

1.3. A: ( 2; 10) y B: (5; 4).



Angulo de inclinacin: = arctg( 2) = 63,43.2.3. ngulo entre dos rectas.

L1 es una recta definida por su pendiente m1 = tg(.

L2 es una recta definida por su pendiente m2 = tg(.El ngulo externo a un tringulo cualquiera es igual a la suma de los dos ngulos internos opuestos al mismo: (

= .

Partiendo siempre de la recta 1 hacia la recta 2 en sentido anti horario.

2.4. Interpretacin geomtrica de la pendiente de un segmento de recta.

Relacin entre pendiente de dos rectas. Paralelismo y Ortogonalidad:

Dos rectas paralelas entre si (o colineales), tienen el mismo ngulo de inclinacin y sus pendientes son iguales entre si.

( tg = tg ( = ( m1 = m2.

Dos rectas perpendiculares (ortogonales) entre si tendrn sus pendientes recprocas negativas entre si: .

Si son perpendiculares entre si el ngulo entre ambas es 90

( ( 1 + tg.tg = 0 ( .

Si L1 // L2( m1 = m2.

Si L1 ( L2( .

2.5. Punto que divide a un segmento de recta en una relacin R.

El segmento de recta definido por y . Si P(XP; YP) est entre A y B, AP y PB tienen el mismo sentido: La razn . Por semejanza de tringulos rectngulos tenemos:

.

.

Si P est fuera del segmento AB, AP y PB tienen sentido opuesto: .

Ejercicio 5.2. Para el segmento de recta definido por los puntos: A(1; 7) y B (6; 3).2.1. Determinar P(X; Y) que divida a dicho segmento en la proporcin R = 2/3.

XP = 3.

YP = 3.2.2. Determinar la pendiente del segmento definido por A y B.

La pendiente de dicho segmento ser: m = 2.2.3. Determinar Q(X; Y) que divida a dicho segmento en la proporcin R = 2.

XQ = 11.

YQ = 13.2.4. Determinar la pendiente del segmento definido por AQ y BQ.

La pendiente de los dos segmentos es m = 2. Con esto se verifica que Q est sobre la misma lnea y los segmentos de recta AQ y BQ son colineales.Ejercicio 5.3. Para A(6; 8) y B(XB; YB), Calcular P(9; 2) que divide a AB en R = 3/7.

(

;XB = 16.

(

;

YB = 12.

Ejercicio 5.4. AB est definido por A(2; 1) y B(3; 4); calcular P(XP; YP) que divide al segmento en una proporcin: R = 8/3.

XP = 6.YP = 7.

2.6. Punto medio de un segmento de recta.

El punto P(Xm; Ym) divide por la mitad al segmento de recta AB.

Para el tringulo ABB: PXm pasa por P, Punto medio de AB y es paralela a BB entonces corta por la mitad al lado AB:

Xm XA = XB Xm.

.

.

El punto divide a AB en dos partes iguales: R = 1.

Ejercicio 5.5. Calcular las coordenadas del Punto medio del segmento de recta AB, definido por las coordenadas de: A(2; 5) y B(7; 4).

XM = 9/2.YM =1/2.

Ejercicio 5.6. El segmento AB definido por A(8; 5) y B(XB; YB); tiene como Punto medio PM(4; 3); encontrar las coordenadas del punto B.

XB = 16.

YB = 1.Ejercicio 5.7. El extremo del dimetro AP, de una circunferencia de centro en B(4; 1) es A(2; 6) hallar las coordenadas del otro extremo P(X; Y).

Mtodo I: AP = 2(PB).

Mtodo II: B es punto medio de AP:

;

.XP = 10.YP = 4.

Ejercicio 5.8. Hallar las coordenadas de P(XP; YP) y Q(XQ; YQ) que dividen al segmento AB definido por A(3; 1) y B(9; 7) en 3 partes iguales.

AP = PQ = QB

Determinacin de la Razn :PB = 2AP;

XP = 5;YP = 5/3.

Determinacin de la Razn :AQ = 2QB;

XQ = 7;YQ = 13/3.Ejercicio 5.9. Para el segmento de recta AC, tenemos que el punto B divide al mismo en la proporcin: . Si tenemos las coordenadas de los puntos: A(2; 2) y B(4; 1), encontrar las coordenadas de C(X; Y).

AC = (AB + BC) y .

.

X = 8Y = 3.Ejercicio 5.10. Para el segmento de recta ; encontrar las coordenadas de los puntos: A; B y C que lo dividen en 4 partes iguales.

10.1. y .

(

XA = 4,75

YA = 2.

(R2 = 1

XB = 2,5

YB = 3.

(

XC = 0,25

YC = 4.

B es punto medio del segmento :

.

A es punto medio del segmento:

.

C es punto medio del segmento :

.

10.2. P1(4; 0) y P2(3; 2).

AP2 = 3P1A(

.

XA = 9/4YA = 1/2.

P1B = BP2 (R = 1.

XB = 1/2YB = 1.

P1C = 3CP2 (

.

XC = 5/4YC = 3/2.

Ejercicio 5.11. P:(XP; YP) divide a AB en la proporcin p a q; encontrar las coordenadas de P.

;

.

2.7. Proporcin urea o Razn urea. El nmero de oro (PHI ). Seccin urea.

El nmero ureo, razn extrema y media o divina proporcin, representado por la letra griega (fi), es el valor numrico de la proporcin que guardan entre s dos segmentos de recta A y B (A > B), que cumplen la siguiente relacin: La longitud total A + B es al segmento A como A es al segmento B. Matemticamente:

; este cociente es el valor del nmero ureo: .

Surge al plantear el problema geomtrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.

Ejercicio 5.12. La proporcin entre el segmento total (A + B) es al mayor (A) como el segmento mayor es al menor (A/B). Encontrar el valor numrico de .

..... x AB

(A + B)B = A2.

.

Ecuacin de 2 grado en A:

Tiene la misma forma que: .

Donde: a = 1; b = B y c = B2.

(

ABSURDO, se desprecia (por ser negativo, una razn de distancias no puede ser negativo).

= 1,61803.. Nmero de oro: = 1,618033989..

3. AREA DE UN POLGONO DE VRTICES CONOCIDOS.

Para calcular el rea de un polgono de vrtices conocidos, formamos un determinante donde en cada fila van las coordenadas de cada vrtice y se repite la primera fila. El valor del determinante se divide por dos. Tomar los vrtices en sentido antihorario para que el rea sea positiva.

Ejercicio 5.13. Calcular el rea del Tringulo de vrtices: A(0; 0) B(4; 0) C(4; 3).

Tomando el giro en sentido antihorario:

.

Tomando el giro en sentido horario:

.

Ejercicio 5.14. Calcular el rea del Pentgono cuyos vrtices son: A(5; 2); B(2; 5); C(2; 7); D(5; 1) y E(2; 4). Los vrtices deben estar ordenados en sentido antihorario (signo positivo) o en sentido horario (signo negativo) y en forma secuencial.

Ejercicio 5.15. Los puntos: A(2; 3); B(5; 7) y C(3; 4), son vrtices de un tringulo, Calcular:

15.1. La longitud de cada lado.

Longitud AB: A(2; 3) B(5; 7):

.

Longitud AC: A(2; 3) C(3; 4):

.

Longitud BC: B(5; 7) C(3; 4):

.

15.2. La pendiente de cada lado.

;

;

.

15.3. Los ngulos del tringulo (tomar la recta de referencia e ir en sentido anti horario).

Angulo A:

Angulo B: partimos del lado BC en sentido anti horario:

m2 = mAB = 4/3m1 = mBC = 3/8

B = 32.

Angulo C: partimos del lado AC en sentido anti horario:

m2 = mBC = 3/8 m1 = mAC = 1/5

C = 32.

Podemos calcular dos ngulos y considerar que en la Geometra Eucldea la suma de los ngulos internos de un tringulo da 180:

A = 180 (B + C) = 116.

15.4. El punto medio de cada lado.

Punto medio del lado AB: ;

;

Punto medio del lado BC: ;

;

Punto medio del lado AC: ;

.

15.5. El rea del Tringulo.

EMBED Equation.3

Para el tringulo podemos completar la tercera columna con 1.

Se deben tomar los vrtices en sentido antihorario para que el rea sea positiva.

Ejercicio 5.16. Demostrar que el tringulo de vrtices: A(0; 2); B(3; 0); C(4; 8) es rectngulo.

16.1. Calcular las longitudes de cada lado y aplicar el Teorema de Pitgoras:

.

;

;

, se verifica que:

.

16.2. Calcular la inclinacin de cada lado y verificar si existen dos lados cuyas pendientes sean recprocas negativas.

Las pendientes son recprocas negativas, por lo tanto ambos lados son ortogonales entre si.

Ejercicio 5.17. Verificar que el cuadriltero de vrtices: A(3; 2); B(0; 5); C(3; 2) y D(0; 1); es un cuadrado.

Rombo: cuadriltero paralelogramo de 4 lados iguales pero sus ngulos son diferentes de 90. El cuadrado es un caso particular de rombo. rea del rombo: .17.1. Calculamos la longitud de cada lado.

.

17.2. Calculamos la pendiente de cada lado.

. Las pendientes son recprocas negativas.

Los lados tienen la misma longitud y son perpendiculares entre si. La figura dada corresponde a un cuadrado.

17.3. Verificar que las diagonales son perpendiculares entre si.

;

. Las pendientes de ambas diagonales son recprocas negativas, por lo tanto son perpendiculares entre si.17.4. Calcular el punto medio de cada lado.

Punto medio AB: ;

; Punto medio BC: ; ;

Punto medio CD: ; . Punto medio DA: ; .17.5. Calcular el valor del rea.

.Ejercicio 5.18. Para el tringulo de vrtices: A(3; 4); B(0; 2) y C(5; 7), Calcular:


.

.

.


Punto medio AB: ;

;

Punto medio BC: ;

;

Punto medio AC: ;

.18.3. La inclinacin de cada lado.

.

.

.

18.4. El valor de cada ngulo.

Para calcular el ngulo A: partimos del lado AC en sentido anti horario y tenemos:

A = 67.

Para calcular el ngulo C: partimos del lado BC en sentido anti horario y tenemos:

C = 63.

B = 180 (A + C) = 50.

B = 50.

Ejercicio 5.19. Los puntos A(4; 2); B(2; 10); C(8; 5) y D(2; 3); son vrtices de un cuadriltero. 19.1. Determinar la longitud de cada lado.

.

19.2. Determinar la inclinacin de cada lado

.

19.3. Verificar que sus diagonales se bisecan.

Punto medio de la diagonal AC: XM = 2

YM = 7/2.

Punto medio de la diagonal BD: XM = 2

YM = 7/2.

19.4. Calcular el valor de cada ngulo.

Angulo A:

A = 87,064

A = C = 93.

Angulo B:

B = D = 87.

A + B + C + D = 360.

19.5. Calcular el rea del mismo.

A = 78 u2.

Ejercicio 5.20. P1(1; 1) P2(3; 2); P3(7; 3) y P4(0; 9) son vrtices de un cuadriltero, verificar que los puntos medios de los lados son los vrtices de un paralelogramo.

Determinamos el Punto Medio de cada lado:

Lado P1 (1; 1) y P2 (3; 2): X1 = 2; Y1 =3/2. M1: (2; 3/2)

Lado P2 (3; 2) y P3 (7; 3): X2 = 5; Y2 =5/2. M2: (5; 5/2)

Lado P3 (7; 3) y P4 (0; 9): X3 = 7/2; Y3 = 6. M3: (7/2; 6)

Lado P1 (1; 1) y P4 (0; 9): X4 = 1/2; Y4 = 5. M4: (1/2; 5)

Hallamos la pendiente de los lados opuestos: y ; y

y ; y

. Se verifica que los lados opuestos son paralelos entre si.Ejercicio 5.21. Presentar una demostracin analtica del Teorema de Platn: Los segmentos que unen los puntos medios de lados consecutivos de un cuadrado forman un cuadrado de rea mitad que el original

Consideremos el cuadrado de vrtices: A(0; 0); B(a; 0); C(a; a) y D(0; a).

El Punto Medio de cada lado:

.

El rea del cuadrado ABCD: .

El rea del cuadrado ABCD:

Mitad del rea del cuadrado original.

Ejercicio 5.22. Los puntos P(0; 0), Q(a; 0), R(a; b), y S(0; b), son los vrtices de un cuadriltero. Demostrar que si las diagonales se cortan perpendicularmente, entonces a = b, y el cuadriltero debe ser un cuadrado.

La diagonal D est definida por los puntos: P(0, 0) y R(a, b): mD = b/a.

La diagonal d est definida por los puntos: Q(a, 0) y S(0, b): md = b/a.

Si ambas diagonales son ortogonales sus pendientes deben ser recprocas y negativas:

mD = md (

b2 = a2. Entonces a = bEjercicio 5.23. Calcular el rea del cuadriltero cuyos vrtices son: A(1; 2) B(8; 3) C(10; 5) y D(2; 4).

+ = .

.

+ = .

Aplicamos la Ley del coseno para calcular los ngulos y :

D2 = a2 + b2 2abcos

123,69

D2 c2 + d2 2cdcos(

( = 143,13

AT1 = 7,5

AT2 = 6

AC = 13,5

AC = 13,5 Invirtiendo el sentido de rotacin el signo se invierte.

4. MEDIANA BISECTRIZ MEDIATRIZ.

Mediana: es la recta que sale del vrtice de un tringulo y corta al lado opuesto en su punto medio. Las medianas de un tringulo se cortan en un punto llamado Baricentro B(XB; YB), que es el centro de gravedad o centro de masa del tringulo.

Est ubicado a 2/3 de la distancia de cada vrtice y 1/3 del lado opuesto.

Bisectriz: es la recta que divide en partes iguales al ngulo de un tringulo. Las bisectrices de un tringulo se cortan en un punto llamado Incentro: centro de la circunferencia inscripta al mismo, la cual es tangente a los tres lados del tringulo.

Mediatriz (recta perpendicular a un segmento y pasa por su punto medio): recta que corta a un segmento por la mitad y en forma perpendicular; las mediatrices de un tringulo se cortan en un punto llamado Circuncentro: centro de la circunferencia circunscrita al tringulo.

Ortocentro: es el punto donde se cortan las tres alturas del tringulo.

En un tringulo equiltero: coinciden las medianas, las bisectrices de los tres ngulos, las mediatrices de los lados y las alturas del tringulo.

Recta de Euler de un tringulo pasa por: el Baricentro; el Circuncentro y el Ortocentro.

Ejercicio 5.24. Encontrar las coordenadas del Baricentro B(XB; YB) que est a 2/3 del vrtice y 1/3 del lado opuesto, de un tringulo de vrtices: P1(X1; Y1); P2(X2; Y2) y P3(X3; Y3).

Consideremos el vrtice P1 y M(XM; YM) Es el punto medio del lado P2P3.

Coordenadas del punto M:

.

Para la bisectriz P1M, el punto B divide a dicho segmento en la razn , para determinarla consideramos que: P1M = P1B + BM y por el enunciado sabemos que:

en esta ecuacin reemplazamos P1M:

.

COORDENADAS DEL BARICENTRO:

.

;

.5. LNEA RECTA.

Una lnea recta queda definida, en el Plano X Y, por dos puntos: y .5.1. Ecuacin cuando se tienen dos puntos de la lnea recta.

Los tringulos: P1NP2 y P1MP son semejantes, por lo tanto sus lados son proporcionales:

;

;

;

. Por lo tanto la proporcin: , queda:

, de donde:

. Ordenando tenemos la Ecuacin de la lnea recta dados dos puntos:

.Ejercicio 5.25. Hallar la ecuacin de la lnea recta definida por los puntos: A(1; 2) y B(8; 3).

X1 = 1; Y1 = 2

X2 = 8; Y2 = 3

7Y 14 = X 1.

Ecuacin de la lnea recta:X 7Y +13 = 0.

Ejercicio 5.26. Hallar la ecuacin de la lnea recta definida por los puntos: A(2; 5) y B(7; 4).

X1 = 2; Y1 = 5

X2 = 7; Y2 = 4

5Y 25 = 9X + 18

Ecuacin de la lnea recta:9X + 5Y 43 = 0.

Ejercicio 5.27. Hallar la ecuacin de la recta definida por los puntos: A(4; 3) y B(1; 4).

X1 = 4; Y1 = 3

X2 = 1; Y2 = 4

5Y 15 = 7X 28 = 0.

Ecuacin de la lnea recta:7X 5Y 13 = 0.

5.2. Ecuacin punto pendiente de la lnea recta.

Para escribir la ecuacin de una lnea recta necesitamos dos datos que pueden ser:

Las coordenadas de dos puntos por donde pasa la recta, o

Las coordenadas de un punto por donde pasa la recta y la pendiente de la recta.

Ecuacin Punto Pendiente de la lnea recta:

.Ejercicio 5.28. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(2; 2) y tiene pendiente m = 3/4.

Usamos la Ecuacin Punto Pendiente de la lnea recta: .

4Y + 8 = 3X 6

3X 4Y 14 = 0.

Ejercicio 5.29. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P( 5; 2) y tiene pendiente m = 4.

4X + Y + 22 = 0.

Ejercicio 5.30. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(10; 5) y tiene pendiente m = 5.

5X Y 45 = 0.

5.3. Ecuacin general de la lnea recta.

La ecuacin general de la lnea recta es de la forma: AX + BY + C = 0es una ecuacin de primer grado en X e Y.

La pendiente de la recta es:

.

Ejercicio 5.31. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por y que es paralela a la recta: L: X + 5Y 3 = 0. Luego hallar la ecuacin de la recta normal a la misma en dicho punto.

La pendiente de la recta solicitada (S) ser igual a la pendiente de L: ;

Para escribir la ecuacin de S, usamos: y : ( 5Y + 20 = X + 1 ( S: X + 5Y + 19 = 0.

La recta normal (N) a S tendr pendiente: . Para escribir la ecuacin de la recta normal (N) usamos: y :

N: .

N: 5X Y 9 = 0.

Ejercicio 5.32. Para el tringulo de vrtices: A( 3; 2); B(4; 3); C( 1; 4). Calcular:


; ; . Los tres lados son diferentes, por lo tanto tenemos un tringulo escaleno.


.

32.3. El ngulo de inclinacin de cada lado.

;

;

A = 80.B = 46.C = 54.32.4. El punto medio de cada lado.

;

;

; .32.5. La longitud de cada mediana y su ecuacin.

Mediana de A( 3; 2); :

5X + 9Y 3 = 0.

Mediana de B(4; 3); PMAC ( 2; 1)

2X 3Y + 1 = 0.

Mediana de C( 1; 4);

13X 3Y +1 = 0.

32.6. Las coordenadas del baricentro. Si el tringulo tuviera masa el Baricentro es el Centro de masa del mismo.

XB = 0; YB = 1/3;

5X + 9Y = 3

2X 3Y = 1

Punto de interseccin de las medianas: .32.7. El rea del tringulo.

.

Ejercicio 5.33. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por P(1; 5) y es perpendicular a la recta cuya ecuacin es: L: 5X 4Y + 1 = 0.

La pendiente de L es: ; La pendiente de la recta solicitada (S) ser su recproca negativa: ; y pasa por el punto: P(1; 5):

S:

5Y 25 = 4X + 4

S: 4X + 5Y 29 = 0.

Ejercicio 5.34. Dada la ecuacin de la recta L: 3X + 2Y + 6 = 0.

34.1. Encontrar la pendiente.

Pendiente: .

34.2. La interseccin con el eje X y con el eje Y.

Interseccin con el eje X ( Y = 0 ( X = 2.

Interseccin con el eje Y ( X = 0 ( Y = 3.

Ejercicio 5.35. Para los pares de puntos: P; Q y A; B, encontrar la ecuacin de ambas rectas: PQ y AB y luego verificar si son paralelas o perpendiculares entre si.

P( 5; 2); Q(3; 1):

3X + 8Y 1 = 0.

.

A(4; 2); B(12; 1).

3X + 8Y 28 = 0.

.

Las pendientes son iguales por lo tanto las rectas son paralelas.Ejercicio 5.36. Para los pares de puntos: P; Q y A; B, encontrar la ecuacin de ambas rectas: PQ y AB y luego verificar si son paralelas o perpendiculares entre si.

P(3; 1); Q( 2; 7):

6X + 5Y 23 = 0.

.

A(5; 3); B( 1; 8):

5X 6Y 43 = 0.

.

Las pendientes son recprocas negativas por lo tanto las rectas son perpendiculares.

Ejercicio 5.37. Los puntos A(0; 0) B(a; 0) y C(b; c) son vrtices de un tringulo.

37.1. Hallar ecuacin de la recta que pasa por cada vrtice y es perpendicular al lado opuesto.

37.2. Demostrar que estas tres rectas se interceptan en un punto.

Tringulo obtusngulo las rectas se cortan fuera del tringulo.

Recta que pasa por el vrtice C y es perpendicular al lado AB:LC ( AB:

X = b

(1)

Recta que pasa por el vrtice B y es perpendicular al lado AC: LB ( AC:

Pendiente del lado AC:

.

(2)

Recta que pasa por el vrtice A y es perpendicular al lado BC: LA ( BC:

Pendiente del lado BC:

.

(3)

Reemplazamos X = b (1) en la Ec. (2):

Reemplazamos X = b (1) en la Ec. (3):

El punto de interseccin de las tres rectas ser: .

Ejercicio 5.38. Dadas las rectas L1: X Y = 12; y L2: 2X + Y = 9, encontrar los vrtices del tringulo determinado por estas dos rectas y una tercera que pasa por el origen del sistema cartesiano sabemos adems que el rea del tringulo es 1,5.

La ecuacin general de L3 ser: AX + BY + C = 0 como la misma pasa por el origen tendremos: AX + BY = 0.

Y = mX.

Vrtice A: L1/L2:X Y = 12

2X + Y = 9

A( 7; 5).

Vrtice B: L1/L3: X Y = 12

Y = mX

;

.

Vrtice C: L2/L3:2X + Y = 9

Y = mX

;

.

Escribimos el determinante para calcular el rea del tringulo, en funcin de m:

Resolvemos el determinante y queda la ecuacin:

.

Dos tringulos que cumplen con las condiciones especificadas, cuyos lados son:

Tringulo 1:

L1: X Y = 12

L2: 2X + Y = 9

L3: 23X + 25Y = 0

Vrtices:L1; L2: ; L1; L3: ;

L2; L3: .

Tringulo 2:

L1: X Y = 12

L2: 2X + Y = 9L3: X + 2Y = 0

Vrtices: L1; L2: ;

L1; L3:

L2; L3: .

5.4. Ecuacin normal de la lnea recta.

Para determinar la ecuacin normal de la lnea recta consideramos el siguiente grfico,

Donde: p: distancia del origen a la recta L. ngulo de inclinacin de la recta N, normal a L. C(X1; Y1) es el punto de interseccin de ambas rectas.

Escribimos X1 e Y1 en funcin de p y de :

X1 = pcos(); Y1 = psen().

Pendiente de N: .

Pendiente de la recta L: .

Ecuacin de la recta L pasa por C(X1; Y1) y pendiente mL:

Ysen p(sen)2 = Xcos + p(cos)2

Forma Normal de la ecuacin de la lnea recta: cosX + senY p = 0

Ecuacin general de la lnea recta:

AX + BY + C = 0

Ambas ecuaciones representan la misma recta, por lo tanto los coeficientes de X e Y deben ser iguales o proporcionales:

cos = KA

sen = KB

p = KC

Elevamos al cuadrado y sumamos: cos = KAysen = KB

1 = K2 (A2 + B2)

.

El signo del radical queda determinado por el signo opuesto al de C:

SIG{radical} = SIG{C}Si C ( 0Y

SIG{radical} = SIG{B}Si C = 0.

Ejercicio 5.39. Hallar la ecuacin normal de la recta: X + 5Y 3 = 0.

A = 1; B = 5;

C = 3.

.

.

X + 5Y 3 = 0.

Ejercicio 5.40. La normal a L forma un ngulo = 60 con el semi eje positivo X, e intercepta a L a 5 unidades del origen. Encontrar la ecuacin de L.

p = 5

= 60

cos60 = 1/2sen60 =

x 2

.Ejercicio 5.41. Determinar y la ecuacin de la recta para: sen = cos = ; y p = 4 u.

cos y senson negativos en el tercer cuadrante, por lo tanto el ngulo .

.Ejercicio 5.42. Si p = 6 y = 120 encontrar la ecuacin de L.

cos120 = 1/2.

sen120 = 0,866.

.Ejercicio 5.43. Si encontrar y p.

A = 1; B = 1; ;

( = 45

,

en el cuarto cuadrante el sen < 0 y cos > 0 ( = 315.

p = 5.

5.5. Distancia entre un punto y la lnea recta Distancia dirigida.

Consideramos la recta L paralela a L ubicada a una distancia d (L y el origen estn a lados diferentes de L). Podemos escribir su ecuacin:

.

Calculamos la distancia d que la separa de L:

d > 0.

Si L paralela a L ubicada a una distancia d por debajo de L (L y el origen estn al mismo lado de la recta L). Su ecuacin: .La distancia d que la separa de L:

d < 0.

La distancia dirigida de L: AX + BY + C = 0, al punto P(X1; Y1) est dada por la ecuacin:

signo{radical} = signo{C} ( C 0. Si C = 0 signo{radical} = signo{B}.Ejercicio 5.44. Distancia de un punto a una recta: d > 0: Si el punto y el origen estn a lados opuestos de la recta. d < 0: Si el punto y el origen estn a ambos lados. Dada la recta: 2X + Y 12 = 0; calcular la distancia de dicha recta a cada punto:

44.1. A (6; 4)d > 0.

.44.2. B(4; 10)d > 0.

.44.3. C(2; 4)d < 0.

.44.4. D( 2; 3)d < 0.

.Ejercicio 5.45. Calcular K para que la distancia entre L: 7X 24Y K y P:( 2; 3) sea 3.

K = 161.L: 7X 24Y + 161 = 0.Ejercicio 5.46. Calcular la distancia entre la recta: L1: 3X + 4Y 5 = 0 y el punto:

46.1. P(2; 1).

d = 0,6.

46.2. P(1; 2) .

d = 3,246.3. P(3; 2) .

d = 2,446.4. P(1; 3).

d = 2.

Ejercicio 5.47. Calcular la distancia entre L1: 2X 3Y + 7 = 0 y L2: 2X 3Y 6 = 0.

Podemos tomar un punto sobre L2: P(3; 0):

.

Podemos tomar un punto sobre L1: P(1; 3):

.5.6. Clculo de bisectrices.

Ejercicio 5.48. Encontrar la ecuacin de la recta que biseca al primer cuadrante.

La recta pasa por el origen O(0; 0) y para un punto genrico de la misma P(X; Y) tenemos que la distancia de dicho punto al eje Y (PY = X) debe ser igual a la distancia del punto al eje X (PX = Y): X = Y

Ecuacin de la Bisectriz:

Y = X.

Ejercicio 5.49. Determinar ecuacin de las bisectrices de los ngulos formados por dos lneas rectas: L1: 3X 4Y + 8 = 0 y L2: 5X + 12Y 15 = 0.

Para las rectas L1 y L2, consideramos la Bisectriz B1 y sobre ella el Punto P(X; Y), desde P se definen las distancias: d1 < 0 (P y origen quedan del mismo lado de la recta) y d2 > 0 (P y origen quedan a lados opuestos de la recta): d1 = d2,

Como d1 = d2, tenemos que:

39X 52Y + 104 = 25X + 60Y 75

B1: 14X 112Y + 179 = 0.

Bisectriz B2: punto genrico P(X; Y): d3 > 0 y d4 > 0 (punto P y origen quedan a lados opuestos de la recta): d3 = d4,

Como d3 = d4, tenemos que:

39X 52Y + 104 = 25X 60Y + 75

B2: 64X + 8Y + 29 = 0.

Si resolvemos el sistema de ecuaciones formado por ambas bisectrices, el punto de interseccin es: ; que tambin es el punto de interseccin de ambas rectas L1 y L2.Ejercicio 5.50. Las rectas: L1: 7X + 6Y = 11;L2: 9X 2Y = 7;L3: 6X 7Y = 16 son lados de un tringulo. Determinar:

50.1. Los vrtices del mismo.

La interseccin de las rectas L1 y L2, no da el vrtice A, resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de ambas rectas:

L1:7X + 6Y = 11.L2:9X 2Y = 7.

.

Vrtice B interseccin de las rectas L1 y L3:

L1: 7X + 6Y = 11.

L3: 6X 7Y = 16.

.

Vrtice C interseccin de las rectas L2 y L3:

L2: 9X 2Y = 7.

L3: 6X 7Y = 16.

.50.2. Las pendientes de cada lado.

;

;

.50.3. Los ngulos internos del tringulo.

A = 53.B = 90C = 37.50.4. Las ecuaciones de las bisectrices de los ngulos interiores.

Bisectriz A: tomamos un punto P(X; Y) sobre BA, el mismo equidista de L1 y L2. El Punto y el origen estn del mismo lado: ; :

BA: 4X + Y 1 = 0.

Bisectriz B: P(X; Y) sobre BB, equidista de L1 y L3, Punto y origen estn del mismo lado: ; :

BB: X + 13Y + 5 = 0.

Bisectriz C: P(X; Y) sobre BC, equidista de L2 y L3, Punto y origen estn del mismo lado, ; :

BC: 5X 3Y 3 = 0. 50.5. Punto de interseccin de las bisectrices.

BA: 4X + Y 1 = 0.

BB: X + 13Y + 5 = 0.

BC: 5X 3Y 3 = 0. Se toman dos de las ecuaciones y se resuelva el sistema: este punto es el centro de la circunferencia inscripta (Incentro) al tringulo, es tangente a sus tres lados.50.6. Punto Medio de cada lado.

.

.

.50.7. La ecuacin de las medianas.

Mediana del vrtice

:33X + 4Y + 1 = 0.

Mediana del vrtice

:3X 46Y 31 = 0.

Mediana del vrtice

EMBED Equation.3 :69X 38Y 29 = 0.50.8. Punto de Interseccin de las medianas.

.

50.9. La ecuacin de las mediatrices.

Mediatriz AB:

:12X 14Y + 1 = 0.

Mediatriz BC:

: 7X + 6Y + 11 = 0.

Mediatriz AC:

: 4X + 18Y + 17 = 0.50.10. El punto de interseccin de las mediatrices.

X = 0,94Y = 0,73.Ejercicio 5.51. Las rectas: L1: Y = 0; L2: 3X 4Y = 0 y L3: 4X + 3Y 50 = 0; definen un tringulo. Encontrar las ecuaciones y el punto de interseccin de las bisectrices de los ngulos interiores del mismo.

A: 3X 4Y = 0Y = 0

A(0; 0).

B: 3X 4Y = 0X +3Y = 50

B(8; 6).

C: 4X +3Y = 50Y = 0

C(12,5; 0).

Bisectriz A: P(X; Y) sobre BA, equidista de L1 y de L2: d1 > 0:directamente la altura de P sobre L1. d2 < 0;L2 pasa por el origen y por debajo de L2 tenemos el semiplano negativo.

BA:X 3Y = 0.

Bisectriz B: P(X; Y) sobre BB, equidista de L2 y de L3, y est por debajo de ambas, su distancia ser negativa a ambas rectas:

BB:7X Y = 50.

Bisectriz C: P(X; Y) sobre BC, equidista de: L1 y L3; est encima de L1: d1 > 0, est debajo de L3: d3 < 0; P y el origen estn del mismo lado de la recta.

BC:2X + 4Y = 25.

Punto de interseccin de las bisectrices: d1 = d2 = d3.

.

Ejercicio 5.52. Para el tringulo cuyos lados son: L1: 7X Y = 11L2: X + Y = 15 y L3: 7X + 17Y = 65. Determinar:

52.1. Los vrtices del tringulo;

A: L1/L2:7X Y = 11

X + Y = 15

.

B: L1/L3: 7X Y = 11

7X + 17Y = 65B( 2; 3).

C: L2/L3: X + Y = 15

7X + 17Y = 65C: (32; 17).

52.2. La pendiente de cada lado;mAB = m1 = 7;mAC = m2 = 1;mBC = m3 = 7/17.

52.3. Los ngulos internos del tringulo.

;A = 53

C = 23

B = 76B = 180 76 = 104.

B = 180 (53 + 23) = 103.B = 10452.4. Determinar el rea del Tringulo.

AT = 315 u2.52.5. Las ecuaciones de las medianas y encontrar su punto de interseccin.

Mediana de A: , Punto medio de BC: (15; 10): 49X + 29Y = 445.

Mediana de B: B( 2; 3),Punto medio de AC: (65/4; 5/4): 7X 73Y = 205.

Mediana de C: C: (32; 17), Punto medio de AB: ( 3/4; 23/4): 91X + 131Y = 685.

Punto de interseccin de las medianas (Baricentro): XB = 10,1.YB = 1,8.

52.6. Las coordenadas del baricentro.

52.7. Ecuacin de las bisectrices;

3X + Y 16 = 0

2X + 3Y 13 = 04X 7Y 13 = 0

52.8. Interseccin (h; k) de las bisectrices de los ngulos interiores del tringulo.

Las bisectrices de los ngulos interiores del tringulo se interceptan en el incentro (centro de la circunferencia inscripta al tringulo). El Punto de interseccin y el origen estn al mismo lado de cada recta: Las d son < 0 y por ser radios de la cia inscripta: d1 = d2 = d3

Distancia de (h; k): a L1:

a L2 es:

a L3 es:

d1 = d2 :

3h + k = 16(1).

d1 = d3 :

4h 7k = 13(2) .

h = 5

k = 1.

6. Miscelnea de ejercicios.Ejercicio 5.53. Para el tringulo cuyos vrtices son: A(4; 1); B(2; 1); C(1; 5), Calcular:


.

53.2. La inclinacin de cada lado.

.

.

53.3. El valor de los ngulos del tringulo.|

A = 84.

B = 71.

C = 25.


Punto medio AB: ;

; Punto medio BC: ;

;

Punto medio AC: ;

.

53.5. El rea del tringulo.

.

Ejercicio 5.54. Los puntos A(3; 2); B( 5; 8) y C(4; 5) son vrtices de un tringulo. Calcular:


.54.2. El punto medio de cada lado.

Punto medio AB: ;Punto medio BC: ;Punto medio AC: .


.

.54.4. Los ngulos interiores del tringulo.

Tomando siempre el sentido anti horario para calcular los ngulos internos tendremos:

( A = 47.

( B = 33.

( C = 80 ( C = 180 80 =100.

C = 180 (47 + 33) = 100.

C = 100.

54.5. El rea del tringulo.

.

Ejercicio 5.55. Para el tringulo definido por: A( 5; 6); B(2; 3) y C(5; 10). Determinar:55.1. El Tipo de tringulo.

Longitudes de los lados: ; ; ; vemos que: ; el Tringulo es Rectngulo. Pendientes de los lados: ; ; . Vemos que y son recprocas negativas; esto indica que AB es perpendicular a BC, se verifica que el Tringulo es Rectngulo.55.2. La Ecuacin de la recta que define cada lado.

AB: 3X + 7Y 27 = 0.BC: 7X 3Y 5 = 0.

AC: 2X 5Y + 40 = 0.55.3. El Punto Medio de cada lado.

;

;

.

55.4. La Ecuacin de las medianas.

Mediana A: Usamos los puntos A( 5; 6) y : X 17Y + 107 = 0.

Mediana B: Usamos los puntos B(2; 3) y :

5X + 2Y 16 = 0.

Mediana C: Usamos los puntos C(5; 10) y :11X 13Y + 75 = 0.55.5. Ecuacin de las mediatrices.

Mediatriz del lado AC: 2X 5Y + 40 = 0; ; .

5X + 2Y 16 = 0.

Mediatriz del lado AB: 3X + 7Y 27 = 0; ; .

14X 6Y + 48 = 0.

Mediatriz del lado BC: 7X 3Y 5 = 0; ;

6X + 14Y 112 = 0.55.6. El Baricentro.

Aplicando la frmula: ; .

Tomamos dos ecuaciones de las medianas y resolvemos el sistema de ecuaciones:

X 17Y = 107

(1)

5X + 2Y = 16

(2)

; .55.7. Ecuacin de las bisectrices.

Bisectriz A: Ecuacin de AC: 2X 5Y + 40 = 0 y AB: 3X + 7Y 27 = 0. Sobre la bisectriz A tomamos un punto que equidista de AC y AB: por que el punto y el origen estn del mismo lado de la recta AC, . por que el punto y el origen estn en lados opuestos de la recta AB, .

:

Bisectriz A: .

Bisectriz B: AB: 3X + 7Y 27 = 0, distancia del punto a AB .

BC: 7X 3Y 5 = 0, distancia del punto a BC .

:

Bisectriz B: 10X + 4Y 32 = 0.

Bisectriz C: AC: 2X 5Y + 40 = 0, distancia del punto a AC .

BC: 7X 3Y 5 = 0, distancia del punto a BC .

:

.

Bisectriz C: .Ejercicio 5.56. Para el tringulo de vrtices: A(3; 4); B(0; 2); C(5; 7) Determinar: 56.1. Longitudes de los tres lados. 56.2. Los ngulos internos. 56.3 El rea del tringulo. 56.4. Ecuacin de la recta que define cada lado. 56.5. El punto medio de cada lado. 56.6. Ecuacin de las mediatrices. 56.7. Ecuacin de las medianas. 56.8. La interseccin de las medianas (baricentro). 56.9. Ecuacin de las bisectrices.

Ejercicio 5.57. La recta L: 2X + Y 4 = 0 es la mediatriz de un segmento AB que tiene un extremo en el punto A(0; 0). Halla las coordenadas del otro extremo.

L: 2X + Y 4 = 0, la pendiente de la recta L es: mL = 2.

La pendiente del segmento AB ser el recproco negativo:

2YB = XB

(1)

L pasa por el punto medio del segmento AB:

estos puntos satisfacen la ecuacin de L:

2XB + YB = 4(2)

Resolvemos (1) y (2): 2(2YB) + YB = 4

YB = 4/5.XB = 8/5.

Ejercicio 5.58. L1: X + Y 2 = 0 y una recta paralela a ella que pasa por P(0; 5) determinan, junto con los ejes de coordenadas, un trapecio issceles. Hallar su rea.

L1: X + Y 2 = 0; Para hallar los puntos de interseccin de la recta L2, paralela a L1, con los ejes coordenados necesitamos su pendiente: m2 = m1 = 1, sabemos que pasa por el punto P(0; 5); L2: X + Y 5 = 0. Los Vrtices del Trapecio issceles son:

A(2; 0); B(5; 0); C(0; 5) y D(0; 2).

rea: h: altura; B: long. de la base mayor; b: long. de la base menor.

; ;

.Ejercicio 5.59. Los puntos: P(1; 3); Q(2; 5); R(6; 17) y S(5; 15), forman un cuadriltero. Determinar:

59.1. El tipo de cuadriltero formado por las rectas que pasan por: P, Q, R y S.

Lado PQ: mPQ = 2; LPQ = 2,24.Lado RS: mRS = 2; LRS = 2,24.

Lado QR: mQR = 3; LQR = 12,65.Lado PS: mPS = 3; LPS = 12,65.

Lados opuestos tienen igual pendiente y longitud ( Tenemos un paralelogramo.59.2. La ecuacin de cada lado.

Lado PQ: P(1; 3) y Q(2; 5):

2X Y + 1 = 0.

Lado RS: R(6; 17) y S(5; 15):2X Y + 29 = 0.

Lado QR: Q(2; 5) y R(6; 17):3X Y 1 = 0.

Lado PS: P(1; 3) y S(5; 15):3X Y = 0.59.3. El rea del cuadriltero.

.Ejercicio 5.60. Los puntos: P(2; 3); Q(4; 1); R(0; 8) y S( 5; 3), forman un cuadriltero. Determinar: 60.1. El tipo de cuadriltero formado por las rectas que pasan por: P, Q, R y S. 60.2. La ecuacin de cada lado. 60.3. El rea del cuadriltero.Ejercicio 5.61. Los puntos: P(3; 0); Q(3; 5); R(0; 9) y S(0; 4), forman un cuadriltero. Determinar: 61.1. El tipo de cuadriltero formado por las rectas que pasan por: P, Q, R y S. 61.2. La ecuacin de cada lado. 61.3. El rea del cuadriltero.Ejercicio 5.62. Encontrar el punto de interseccin de: L1: 4X 5Y = 26 y L2: 3X + 7Y = 2.

Resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones:X = 4; Y = 2.Ejercicio 5.63. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de: L1: 3X 5Y + 9 = 0 y L2: 4X + 7Y 28 = 0; y es paralela a: L3: 2X + 3Y = 5.

Para hallar el Punto de interseccin de L1 y L2, resolvemos el sistema de ecuaciones para X e Y:

3X 5Y + 9 = 0

4X + 7Y 28 = 0

La recta solicitada tendr la misma pendiente de L3: m3 = 2/3.

Ecuacin de la recta: 246X + 369Y 1234 = 0.Ejercicio 5.64. Hallar los puntos de L: 3X + Y + 4 = 0 que equidistan de P1( 5; 6) y P2(3; 2).

Mtodo 1: consideramos P(X; Y) que est sobre L y equidista de P1( 5; 6) y P2(3; 2).

, como d1 = d2:

2X Y = 6

(1)

El punto P(X; Y) considerado debe satisfacer la ecuacin de recta dada:

3X + Y = 4(2)

Resolvemos el sistema de ecuaciones (1) y (2): X = 2; Y = 2P( 2; 2).

Mtodo 2: Hallamos el Punto Medio entre P1( 5; 6) y P2(3; 2): M( 1; 4).

la pendiente de la recta que pasa por ambos es: m12 = 1/2.

El tringulo formado por P1( 5; 6); P2(3; 2) y P(X; Y) es ISSCELES pues por dato del problema: PP1 = PP2. Recta mediatriz PM pasa por M y m = 2 e intercepta a L en el punto P, su ecuacin es M: 2X Y + 6 = 0; resolvemos el sistema de ecuaciones formado por M y L:

2X Y = 6

(1)

3X + Y = 4(2)X = 2 Y = 2.

Ejercicio 5.65. Los puntos A(2; 4) y B(6; 0) son vrtices consecutivos de un paralelogramo con centro en el origen de coordenadas. Las diagonales del paralelogramo se cortan en su punto medio y ese punto es el centro del paralelogramo. Hallar:

65.1. Los otros dos vrtices.

Definimos: C(XC; YC) opuesto a A y D(XD; YD) opuesto a B.Punto medio de la diagonal AC est en O(0; 0):

XC = 2.

YC = 4. C( 2; 4).

La diagonal BD tiene su punto medio en O(0; 0):

XD = 6.

YC = 0. C( 6; 0).65.2. Las pendientes de los lados.

;

.65.3. Los ngulos del paralelogramo.

A = arctg( 3) = 72 ( A = 180 72 = 108.

B = arctg(3) = 72

A = C y B = D:A + B + C + D = 360.65.4. El rea del paralelogramo.

.Ejercicio 5.66. El vrtice de un rombo ABCD est en el eje de ordenadas; otros dos vrtices opuestos son B(3,1) y D( 5; 3). Hallar:

66.1. Las coordenadas de los vrtices A y C.

Tomamos A(0; YA) como el vrtice que est sobre el eje de ordenadas. el opuesto ser C(XC; YC). Sabemos que las diagonales del rombo se cortan perpendicularmente en su punto medio, sus pendientes deben ser recprocas negativas.

Punto Medio de la diagonal BD:

.

Punto Medio de la diagonal AC:

XC = 2.

YA + YC = 2

(1)

Pendiente de la Diagonal BD: .

Pendiente de la Diagonal AC: .

YA YC = 4

(2)

Resolvemos el sistema de ecuaciones (1) y (2):

(2) + (1):YA = 3.

YC = 1.

A(0; 3)

C( 2; 1).

66.2. El rea del rombo.

Los vrtices son: A(0; 3); B(3; 1); C( 2; 1) y D( 5, 3).

AR = 20.

rea del rombo: INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\LACA\\Desktop\\Matema FACU\\MAT - Geomet Analitica\\TEXTO\\solgeom_1.gif" \* MERGEFORMAT \d

. Long de la diagonal mayor: ; Long de la diagonal menor: .

AR = 20.Ejercicio 5.67. La curva de Demanda de una empresa (relaciona X unidades con Y precio por unidad que el mercado paga) est dada por la ecuacin D: 3X + Y = 80; la curva de Oferta de esa empresa (relaciona cantidad X de productos fabricados a un precio Y) est dado por O: 2X Y = 20. Hallar el punto de equilibrio de mercado para ese producto (precio y cantidad que satisfagan Oferta y Demanda).

D: 3X + Y = 80

O: 2X Y = 20Resolvemos el sistema de ecuaciones y tenemos:

X = 12 productos a Y = 44 U$ cada uno.

Ejercicio 5.68. La funcin de costo de una empresa es: Y = 500X + 4.025; y la funcin de ingresos es: Y = 675X.

68.1. Cul es el punto sin prdidas ni ganancias para la compaa?

El punto sin prdidas ni ganancias para la compaa se produce cuando la funcin de costo: Y = 500X + 4.025; y la funcin de ingresos: Y = 675X, son iguales:

500X + 4.025 = 675X ( X = 23. Para este valor de X tenemos: Y = 15.525.

Punto ptimo: X = 23; Y = 15.525.68.2. A partir de que cantidad de productos vendidos empieza a haber ganancias?

Por encima de X = 23.

Ejercicio 5.69. La Curva de Demanda de un determinado producto es: X + 100Y = 40.000 y la curva de oferta del mismo es: 15X + 100Y = 30.000. Encontrar el punto de equilibrio para ese producto en el mercado.

X + 100Y = 40.000(1)

15X + 100Y = 30.000(2)

X = 714,3Y = 407,14. El valor negativo de X significa que la oferta y la demanda no se van a satisfacer en condiciones reales de mercado.

Ejercicio 5.70. Resolver y graficar el sistema de ecuaciones:

70.1. X + 2Y = 1

2X + 4Y = 2.

Ambas ecuaciones corresponden a Lneas Rectas de igual pendiente y colineales:

EMBED Equation.3

El sistema de 2 ecuaciones es Compatible Indeterminado. Hay infinitas soluciones.

70.2. X + 2Y = 4

2X + 4Y = 7.

Ambas ecuaciones corresponden a Lneas Rectas de igual pendiente que no son colineales:

EMBED Equation.3

el sistema de ecuaciones es Incompatible, como las rectas no se tocan No hay solucin.

L1

L2

XB

XP

XA

EMBED Equation.3

B

M

P3

P2

P1

P2

B

A

P1

D

h

b

a

D

c

d

b

a

p

N

L

C

B

L

p

N

L

C

P1

N

P2

M

P

Y1

Y2

X

X1

Y

X2

P

d4

d3

B2

A

C(32; 17)

B(2; 3)

A(0,5; 14,5)

L3

EMBED Equation.3

C

B

P1

P2

C

B

A

BA

P1

P2

A

XB

Xm

XA

P

B

A

P

B

A

B

d2

X

Y

D(0;1)

C(3;2)

B(0;5)

A(3;2)

4/3

A

L2

LB

LA

LC

C(b; c)

B(a; 0)

A(0; 0)

L1

L3

L1

L2

L1

L2

d1

B1

C

1/5

3/88

B

C

A

E(2; 4)

D(5; 1)

C(2; 7)

B(2; 5)

A(5; 2)

B

A

Q

P

B

A

P

B

A

PAGE

Cap. 5 1

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5-Cap 5. Plano Cartesiano - Línea Recta

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