UNIDAD 4: GRAFIQUEMOS RELACIONES Y FUNCIONES.

Plano cartesiano.

¿Recuerdas la recta numérica? Esa recta resulta ser el eje X del plano cartesiano (eje horizontal). El eje vertical es el eje de las y. Ambos ejes se cortan perpendicularmente y en CERO. Así se forma el plano cartesiano, que es el siguiente:

Podemos observar las características siguientes:

1. Los valores positivos de X están a la derecha del origen2. Los valores positivos de y están hacia arriba del origen3. Los valores negativos de X están a la izquierda del origen4. Los valores negativos de y están hacia abajo del origen5. Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en X)6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en y)

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Origen (0, 0)

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante IIICuadrante IV

Eje X

Eje y

Ubicación de un par ordenado en el plano cartesiano.

Un par ordenado representa un punto en el plano cartesiano. Por ejemplo, el par ordenado (-2, 5) tiene a –2 como coordenada en X, mientras que su coordenada en y es 5. Para ubicar tal punto, trazamos una línea que pase por –2 en X y otra que pase por 5 en y. Donde se cortan es el punto.

Ejemplos. Ubicar en el plano los puntos siguientes: (2, 5), (-3, 4), (-2, -3), (5, -2), X = 3 y

y = -4.

Solución.

Actividad 1. Encuentra las incógnitas en los pares ordenados siguientes:

1. (m, 5) = (7, k) _________ _________ 2. (n + 1, p) = (10, -3) _________ _________

3. (q + 2, d) = (7, -5) _________ _________ 4. (q - 5, b) = (-5, 7) _________ _________

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

(2, 5)

(-3, 4)

(-2, -3)

(5, -2)

X = 3

y = -4

5. (5 - q, 5) = (7, 2 - a) _________ _________ 6. (2m + 1, 4m - 5) = (11 – 2b, 2b - 3) _________

_________

Actividad 2. Ubica en el plano cartesiano los puntos siguientes: 1. (1, 4) 2. (-2, 3) 3. (-4, -2) 4. (4, -3) 5. y = 4 6. x = -3

discusión 1. 1. Marquen 4 puntos que estén a 3 unidades del punto (1, 2) y

graficarlos. (Una unidad es la distancia entre un entero y el siguiente; por ejemplo, entre 5 y 6 hay una unidad). 2. Encuentren la distancia entre los puntos (1, 1) y (5, 4) (Ayuda: aplicarán Pitágoras)

3. Producto cartesiano.

3.1 Definición. Si A y B son 2 conjuntos, el producto cartesiano AXB es el conjunto de pares ordenados formado al combinar todos los elementos de A con todos los de B, en ese orden.

En notación de conjunto: AXB = { (X, y) ⁄ X Î A y y Î B }

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

Se concluye que AXB es diferente de BXA. Además, A es el conjunto de partida, y B es el conjunto de llegada.

Ejemplo. A = {2, 5, 6, 8} y B = {3, 5, 7} Con estos conjuntos encontrar AXB y BXA

Solución.

� AXB = { (2, 3), (2, 5), (2, 7), (5, 3), (5, 5), (5, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7) }

� BXA = { (3, 2), (3, 5), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 5), (5, 6), (5, 8), (7, 2), (7, 5), (7, 6), (7, 8), }

Actividad 3. Con los conjuntos A = {2, 3, 5 } B = { 3, 5, 7 } y C = { 4, 6, 7, 8 } calcula:

1. AXB = _____________________________________________________________________________________________

2. BXA = _____________________________________________________________________________________________

3. AXC = _____________________________________________________________________________________________

4. CXA = _____________________________________________________________________________________________

5. BXC = _____________________________________________________________________________________________

6. CXB = _____________________________________________________________________________________________

7. (A∩B)XC = _____________________________________________________________________________________________

8. (B∩C)XA = ______________________________________________________________________________________________

discusión 2. Se tiene un conjunto con 20 elementos y otro con 30.

¿Cuántos pares ordenados resultarán del producto cartesiano entre ambos? ________

3.2 Representación de productos A X B en el plano cartesiano, donde A y B sean subconjuntos de ℜ o iguales a ℜ.

Graficar AXB es ubicar en el plano cartesiano todos los puntos (pares ordenados) que resulten del producto cartesiano AXB.

Ejemplo. Si A = {2, 3, 5 } y B = {5, 7}, grafiquemos AXB.

AXB = { (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7) }

Gráfica de AXB

8

7

6

5

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

Ejemplo. Si A = ]1, 3] y B = [2, 4 [ graficar AXB y BXA.

Solución. Al graficar AXB el conjunto A es el de partida: estará en el eje X. B es el conjunto de llegada: estará en y.

En este gráfico se hallan todos los valores comprendidos entre 1 y 3. Observa que la línea X = 1 está punteada. Esto se debe a que el 1 no está comprendido: ahí el intervalo es abierto.

En este caso, hemos trabajado con dos conjuntos finitos: con un número determinado de elementos. En ocasiones se trabajará con conjuntos con infinitos elementos (NO conjuntos al infinito).

El gráfico de AXB resultará al traslapar ambos gráficos:

Seleccionemos 4 puntos que no pertenecen a AXB: (1, 2). (2, 4). (1, 3), (4, 1) Para el primer caso, (1, 2), la coordenada 1 (coordenada en x) no pertenece a AXB, aunque la segunda coordenada, 2, sí pertenece. Para que el punto pertenezca a AXB, ambas coordenadas deben pertenecer. En el caso de (2, 4), vemos que la primera coordenada, 2, pertenece a AXB; pero la segunda coordenada NO pertenece. Para el punto (4, 1), ninguna de las coordenadas pertenece a AXB.

Al graficar BXA, B es el conjunto de partida y A es el de llegada. Es decir que B estará en X y A en y. El gráfico BXA es el siguiente:

4

3

2

1

1 2 3 4 5

4

3

2

1

1 2 3 4 5

El conjunto B es el de llegada: estará en el eje y. En este gráfico se hallan todos los valores comprendidos entre 2 y 4. Observa que la línea y = 4 está punteada. Esto se debe a que el 4 no está comprendido: ahí el intervalo es abierto.

AXB

Actividad 4. Si A = {2, 3, 5, 7, 9, 10 } y B = {5, 6, 7, 8}, grafica AXB y BXA.

Actividad 5. Con los conjuntos A = [-2, 3[ B = ]2, 4] y C = [-3, 5] graficar AXB, BXA, AXC, CXA, BXC y CXB.

4. Relaciones.

4.1 Definición. Para los conjuntos A y B, una relación (R) de A en B, es cualquier subconjunto de AXB.

Para el caso de A = {2, 3, 5 } y B = {5, 7}, se tiene que AXB = { (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 5), (5, 7) } Tres relaciones de A en B son las siguientes:

R1 = { (2, 5), (2, 7), (3, 5) }R1 = { (3, 5), (3, 7) }R1 = { (5, 5) }

4.2 Conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango (recorrido) de una relación y su gráfico.

Conjunto de partida. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de un producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de partida es A.

4

3

2

1

1 2 3 4

BXA

Conjunto de llegada. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de un producto cartesiano. Es decir que para AXB, el conjunto de llegada es B.

Dominio. Es el conjunto que contiene las primeras componentes de una relación

Rango o recorrido. Es el conjunto que contiene las segundas componentes de una relación

Ejemplo. Sea AXB = { (2, 3), (2, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 5), (5, 10), (5, 12) }. Si la relación R de A en B es el conjunto formado por los pares ordenados en los que la segunda componente es el doble de la primera, calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.

Solución.

▬ El conjunto de partida son las primeras componentes del producto cartesiano: { 2, 3, 5 }▬ El conjunto de llegada son las segundas componentes del producto cartesiano:

{ 3, 4, 5, 6, 10, 12 }

La relación R de A en B que buscamos estará formada por los pares ordenados en los que la segunda componente es el doble de la primera: { (2, 4), (3, 6), (5, 10) } De esta relación saldrán el dominio y el rango.

▬ El dominio son las primeras componentes de la relación: { 2, 3, 5 }

▬ El rango son las segundas componentes de la relación: { 4, 6, 10 }

Ejemplo. Sea P = {2, 3, 5 } y Q = {5, 7, 9, 11} Si la relación R es:

R = { (X, y) / X ÎP y y Î Q, con y = 2X + 1 }

Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.

Solución.

▬ Conjunto de partida: { 2, 3, 5 }

▬ Conjunto de llegada: { 5, 7, 9, 11 }

En palabras, la relación está formada así: por los pares ordenados con su primera componente (X) sacada de P y la segunda (y) sacada de Q; siendo la segunda el doble de la primera más UNO.

Formemos el producto cartesiano PXQ, y seleccionemos los pares ordenados que cumplan con la condición de la relación.

PXQ = { (2, 5), (2, 7), (2, 9), (2, 11), (3, 5), (3, 7), (3, 9), (3, 11), (5, 5), (5, 7), (5, 9), (5, 11) }Por lo tanto: R = { (2, 5), (3, 7), (5, 11) }

▬ El dominio es: { 2, 3, 5 }

▬ El rango es: { 5, 7, 11 }..............................................................................................................................NOTA: debemos leer cuidadosamente la relación, pues nos puede conducir a errores. La relación anterior es: R = { (X, y) / X ÎP y y Î Q, con y = 2X + 1 } Es una relación de P en Q.

Cambiémosla por: R = { (X, y) / X ÎQ y y Î P, con y = 2X + 1 } Esta es una relación de Q en P.

Para este caso el producto cartesiano sería

QXP = { (5, 2),(5, 3), (5, 5), (7, 2),(7, 3), (7 5), (9, 2),(9, 3), (9, 5), (11, 2), (11, 3), (11, 5),}Para este producto cartesiano, la relación es el conjunto vacío: no hay un par ordenado cuya segunda componente sea el doble más UNO que la primera. Por lo tanto no habría dominio y rango.

.........................................................................................................................

.....

Ejemplo. Sea Q = {2, 4, 6, 8} Si la relación es: R = { (X, y) / X Î QXQ con X + y = 12 } Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.

Solución.

▬ El conjunto de partida y el de llegada es el mismo: Q = {2, 4, 6, 8}

La relación nos dice que sus pares ordenados pertenecen al producto cartesiano QXQ, que también puede expresarse como Q2

QXQ = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8), (8, 2), (8, 4), (8, 6), (8, 8) }

También la relación nos dice que la suma de las coordenadas del par ordenado es igual a 12. Por lo tanto: R = { (4, 8), (6, 6), (8, 4) }

▬ El dominio es: { 4, 6, 8 }

▬ El rango es: { 4, 6, 8 } El dominio es igual al rango.

Ejemplo. Sea Q = {2, 4, 5, 6} Si la relación es: R = { (X, y) / X Î N y y Î Q / 2X + y = 12 } Calcular: conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango.

Solución.

Los pares ordenados de la relación son (X, y) y X (la primera componente) pertenece a los naturales. Las segundas componentes pertenecen a Q (Es una relación de N en Q) Por lo tanto:

▬ El conjunto de partida es N

▬ El conjunto de llegada es Q

Para calcular dominio y rango necesitamos NXQ, que es un conjunto infinito. No es posible expresarlo por extensión, así que haremos los cálculos por inspección.

Sabemos que 2X + y = 12. y puede tomar los 4 valores de Q: 2, 4, 5 y 6. X puede tomar cualquier valor natural, pero nos interesan aquellos que reproduzcan los 4 de y. Por lo tanto despejemos X y sustituyamos los valores de y.

2X + y = 12 X = (12 – y) /2

Valor de y X = (12 – y)/2

2 5

4 4

5 7/2

6 3

De la relación resulta que: ▬ El dominio = { 3, 4, 5 } ▬ El rango = { 2, 4, 6 }

Ejemplo. Calcular el dominio, rango y gráfica de la relación

R = { (X, y) Î ℜXℜ / y – 2X > -2 } Solución.

ℜXℜ es el producto cartesiano de los reales con los reales; es decir que ℜXℜ es todo el plano cartesiano.

Despejemos y de y – 2X > -2: y > 2X – 2

Ahora grafiquemos la frontera cambiando > por = : y = 2X – 2. La frontera no estará incluida.

y = 2X – 2 es una línea recta. Para su gráfica bastan 2 puntos. Tomemos los puntos X = 0, y X = 4.

X y = 2X – 2 Puntos

0 -2 (0, -2)

4 6 (4, 6)

La gráfica es la siguiente:

De aquí obtenemos los pares ordenados que satisfacen la relación. Por lo tanto:

R = { (5, 2), (4, 4), (3, 6) }

El par ordenado (7/2, 5) no pertenece al producto cartesiano NXQ, por tal razón no pertenece a la relación.

7/2 no es un número natural.

En cuanto al dominio y el rango, se tiene que tanto X como y pueden tomar cualquier valor. Es decir que el dominio y el rango son los reales.

El gráfico puede apreciarse en la página siguiente.

.........................................................................................................................

....Si la relación hubiese sido y – 2X ≥ -2, entonces la frontera estaría incluida, y se tendría una línea continua.

Si la relación hubiese sido y – 2X < -2, entonces la frontera NO estaría incluida, y la relación se cumpliría en todos los puntos a la derecha de la recta.

Si la relación hubiese sido y – 2X = -2, entonces la relación se cumpliría únicamente en la línea recta.

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2 3 4 5

Ahora tomemos 2 puntos: uno a cada lado de la recta. Tomemos los puntos (4, 1) y (0, 0) Probamos estos puntos en la desigualdad:

Probando (4, 1), que está a la derecha de la recta.

y – 2X > -2

(1) – 2(4) > -2

1 – 8 > -2 -7 > -2 ¡¡ Falso !!

Probando (0, 0), que está a la izquierda de la recta.

y – 2X > -2

(0) – 2(0) > -2

0 > -2 ¡¡ Verdadero !!

Por lo tanto, la relación se satisface en toda la zona a la izquierda de la recta, sin incluir los puntos de la recta, pues es > y NO ≥.

Ejemplo. Encontrar el dominio, rango y gráfica de la relación R = { (X, y) / X Î ℜXℜ y y > X2 +2 }

▬ Calculando el dominio: el dominio son los valores que puede tomar la X. En la desigualdad y > X2 +2, es evidente que X puede tomar cualquier valor: nada se lo impide. Se concluye que el dominio es todos los reales.

▬ Calculando el rango: el rango son los valores que puede tomar la y. Se tiene que X2, para cualquier valor de X, es CERO o mayor que cero. Por lo tanto, el menor valor que tomará X2 +2 es 2. Se concluye que el rango es: [2, +∞[ Esto se ve mejor despejando X de la ecuación:

X < √y - 2 Aquí el mínimo valor que puede tomar y es 2, de lo contrario se obtiene un número negativo (que no tiene raíz cuadrada. Por ejemplo, si toma el valor de 1, obtenemos 1 – 2 = -1.

▬ Tracemos la gráfica. y > X2 +2 es una parábola abierta hacia arriba y que comienza en y = 2.

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-2 -1 1 2 3 4 5

Se tienen los puntos siguientes: (-2, 6), (-1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6) Tal parábola es la frontera, la cual no está comprendida en la relación (por ello es punteada)

Ahora probemos 2 puntos: uno interno (0, 5) y otro externo (0, 0) Sustituyamos en y > X2 +2.

Ejemplo. Encontrar dominio y rango de la relación R = { (X, y) Î ℜXℜ / y ≤ √2 – X }

▬ Calculando el dominio. El dominio son los valores que puede tomar la X. En la desigualdad

6

5

4

3

2

1

-2 -1 1 2

Para (0, 5) se tiene:

y > X2 +2

5 > (0)2 +2

5 > 2 ¡¡ Cierto !!Por lo tanto, la relación se cumple en el área interna de la parábola.

En realidad, basta con probar un punto. No es necesario probar el otro...............................................................

6

5

4

3

2

1

-2 -1 1 2

Si tuviéramos y ≤ X2 +2 a cambio de

y > X2 +2, la frontera estaría comprendida (no punteada) y la relación se cumpliría en la parte externa de la parábola.

y ≤ √2 – X, es evidente que X NO puede tomar un valor mayor que 2. En tal caso tendríamos la raíz de un número negativo, que no existe. Por ejemplo, si X = 3, tenemos: √ 2 – 3 = √ -1, que no existe (es imaginario) Pero sí puede tomar un valor igual o menor que 2. Se concluye que el dominio es ]-∞, 2]▬ Calculando el rango. El rango son los valores que puede tomar la y. En la desigualdad y ≤ √ 2 – X, es evidente que y puede tomar cualquier valor, pues todo número positivo tiene 2 raíces: una positiva y otra negativa. Para el caso, las raíces de 4 son 2 y –2: 2

2 = 4, (-2) 2 = 4. Por

lo tanto el rango son todos los reales. Esto se visualiza mejor despejando X.

y = √ 2 – X y2 = (√ 2 – X) 2 y2 = 2 – X y2 – 2 = – X X = 2 – y2 Para todo

valor de y

Actividad 6. En cada caso encontrar el conjunto de partida, conjunto de llegada, dominio y rango de la relación y su gráfico.

1. AXB = { (2, 4), (2, 7), (2, 8), (3, 6), (3, 10), (4, 8), (4, 13), (5, 10), (5, 16), (6, 12), (6, 18) }. Y la relación es R = { (X, y) Î AXB / y = 3X + 1 }

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada ________________________

Dominio ________________________ Rango ________________________

2. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 9, 12} R = { (X, y) / X Î M y y Î Q, con y = 3X – 3 }

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada ________________________

Dominio ________________________ Rango ________________________

3. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 9, 12} R = { (X, y) / X ÎQ y y Î M, con y = X – 4 }

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada ________________________

Dominio ______________________ Rango _______________________

4. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 7, 8 } R = { (X, y) / X ÎQ y y Î M, con y + X = 10 }

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada ________________________

Dominio ________________________ Rango ________________________

5. M = {2, 3, 5 } y Q = {5, 6, 7, 8 } R = { (X, y) / X Î M y y Î Q, con y + X = 10 }

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada ________________________

Dominio ________________________ Rango _______________________

6. Q = {2, 4, 5 } y M = {5, 6, 7, 8 } R = { (X, y) / X ÎQ y y Î M, con 2y – X = 8 }

Conjunto de partida ________________________ Conjunto de llegada ________________________

Dominio ________________________ Rango _______________________

Actividad 7. Calcular dominio, rango y la gráfica de la relación en los casos siguientes.

1. R = { (X, y) Î ℜXℜ / y = 3X -5 } Dominio ___________________ Rango _____________________2. R = { (X, y) Î ℜXℜ / y > 3X -5 } Dominio ___________________ Rango _____________________

3. R = { (X, y) Î ℜXℜ / y ≤ 3X -5 } Dominio ___________________ Rango _____________________

4. R = { (X, y) Î ℜXℜ / y + 2X ≥ 5 } Dominio ___________________ Rango _____________________

5. R = { (X, y) Î ℜXℜ / y > X2 +2 } Dominio _________________ Rango __________________6. R = { (X, y) Î ℜXℜ / y ≤ X2 +2 } Dominio ____________________ Rango __________________7. R = { (X, y) Î ℜXℜ / y ≤ X2 – 2 } Dominio ____________________ Rango __________________8. R = { (X, y) Î ℜXℜ / y ≤ 2 – X2 } Dominio ____________________ Rango __________________9. R = { (X, y) Î ℜXℜ / 2 – X2 – y ≤ 0} Dominio ____________________ Rango __________________10. R = { (X, y) Î ℜXℜ / 2 – X2 – y > 0} Dominio ____________________ Rango __________________11. R = { (X, y) Î ℜXℜ / 5 – X2 + y ≤ 0} Dominio ____________________ Rango __________________12. R = { (X, y) Î ℜXℜ / 5 – X2 + y < 0} Dominio ____________________ Rango __________________13. R = { (X, y) Î ℜXℜ / -5 + X2 – y < 0} Dominio ____________________ Rango __________________

discusión 3. Para cada relación, encontrar el dominio y el rango.

1. R = { (X, y) Î ℜ2 / y ≤ 5 – X } Dominio ____________________ Rango __________________

2. R = { (X, y) Î ℜ2 / y < 4 – X } Dominio ____________________ Rango __________________3. R = { (X, y) Î ℜ2 / y > X – 2 } Dominio ____________________ Rango __________________4. R = { (X, y) Î ℜ2 / y > 2X – 10 } Dominio ____________________ Rango __________________5. R = { (X, y) Î ℜ2 / y2 + X > 10 } Dominio ____________________ Rango __________________6. R = { (X, y) Î ℜ2 / y2 – X < -4 } Dominio ____________________ Rango __________________

Soluciones.Actividad 1.

1. k = 5 2. n = 9 p = –3 3. q = 5 d = –5 4. q = 0 b = 7 5. q = –2 a = –5 6. m = 2 b = 3

discusión 1.

1. Le sumamos y restamos 4 a una coordenada sin alterar la otra. Los puntos son: (1, 6), (1, -2), 5, 2(), (-3, 2) 2. Se forma un triángulo rectángulo de lados 3 y 4, siendo la distancia la hipotenusa: 5 unidades.

Actividad 3.

1. AXB = (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (5, 3 ), (5, 5), (5, 7)

2. BXA = (3, 2), (3, 3), (3, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5)

3. AXC = (2, 4), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4 ), (5, 6), (5, 7), (5, 8)

4. CXA = (4, 2), (4, 3), (4, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 5), (7, 2), (7, 3), (7, 5), (8, 2), (8, 3), (8, 5)

5. BXC = (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (7, 4 ), (7, 6), (7, 7), (7, 8)

6. CXB = (4, 3), (4, 5), (4, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (7, 3), (7, 5), (7, 7), (8, 3), (8, 5), (8, 7)

7. (A∩B)XC = (3, 4), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (5, 4 ), (5, 6), (5, 7), (5, 8)

8. (B∩C)XA = (7, 2), (7, 3), (7, 5)

discusión 2. 600

Actividad 5.

-2 -1 1 2 3 4

4

3

2

1

AXB

Actividad 6.

1. Conjunto de partida { (2, 3, 4, 5, 6 } Conjunto de llegada { 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 16, 18 }.

R = { (2, 7), (3, 10), (4, 13), (5, 16) } Dominio { (2, 3, 4, 5 } Rango {7, 10, 13, 16 }

2. Conjunto de partida {2, 3, 5 } Conjunto de llegada {5, 6, 9, 12}R = { (3, 6), (5, 12) } Dominio {3, 5 } Rango {6, 12}

3. Conjunto de partida {5, 6, 9, 12} Conjunto de llegada {2, 3, 5 }Dominio {6, 9 } Rango {2, 5 }

4. Conjunto de partida {5, 6, 7, 8 } Conjunto de llegada {2, 3, 5 } Dominio {5, 7, 8 } Rango {2, 3, 5 }5. Conjunto de partida M = {2, 3, 5 } Conjunto de llegada Q = {5, 6, 7, 8 } Dominio M = {2, 3, 5 } Rango {5, 7, 8 }6. Conjunto de partida Q = {2, 4, 5 } Conjunto de llegada M = {5, 6, 7, 8 } Dominio 2, 4 Rango 5, 6

Actividad 7.1. Dominio ℜ Rango ℜ El gráfico es sólo la recta2. Dominio ℜ Rango ℜ El gráfico es sólo la zona a la izquierda de la recta.3. Dominio ℜ Rango ℜ El gráfico es la zona a la derecha de la recta, incluida ésta.4. Dominio ℜ Rango ℜ El gráfico es la zona a la derecha de la recta, incluida ésta.5. Dominio ℜ Rango [2, +∞[ El gráfico es la zona interna de la parábola. 6. Dominio ℜ Rango [2, +∞[ El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida ésta.7. Dominio ℜ Rango [-2, +∞[ El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida ésta.8. Dominio ℜ Rango [-2, +∞[ El gráfico es la zona interna de la parábola, incluida ésta.9. Dominio ℜ Rango ]-∞, 2] El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida ésta.10. Dominio ℜ Rango ]-∞, 2] El gráfico es la zona interna de la parábola.11. Dominio ℜ Rango [-5, +∞[ El gráfico es la zona externa de la parábola, incluida ésta.12. Dominio ℜ Rango [-5, +∞[ El gráfico es la zona externa de la parábola.13. Dominio ℜ Rango [-5, +∞[ El gráfico es la zona interna de la parábola.

discusión 3. En todos, el rango es ℜ. 1. Dominio ]-∞, 5] 2. Dominio ]-∞, 4] 3. Dominio [2, +∞[ 4. Hacemos 2X – 10 = 2(X – 5) Dominio [5, +∞[ 5. Dominio ]-∞, 10] 6. Dominio [4, +∞[