AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA

AYUDA 1: Grafiquemos la función

Solución:Se debe escoger algunos números que representan a la variable “x”, para obtener el valor de la variable y respectivamente así:

x -2 -1 0 1y -8 -5 -2 1

El proceso:

Para x= -2

Para x =-1

Para x = 0 Figura 3-3

Para x = 1

Nos genera las siguientes coordenadas:. Luego se ubican en el plano cartesiano.

NOTA: Es importante que tengas en cuenta que para graficar una línea recta basta con obtener dos puntos de ella y luego con una regla prolongarlos hasta el infinito.

AYUDA 2: Graficar la función

Solución:Se debe escoger dos números que representen a la variable “x”, para obtener dos valores de “y”, así:

El proceso: Para x = 0

x 0 2 y 1 0

Figura 3-4 Para x = 2

Así se obtiene las coordenadas

AYUDA 3: Calcular la distancia entre los puntos y

Solución: Se ubican los puntos en el plano cartesiano. Se asocian los puntos, es decir, y , con , finalmente se reemplaza en la

fórmula de distancia entre dos puntos:

Nos queda

Distancia entre los dos puntos

Figura 3-6

Figura 3-7AYUDA 4:

Hallar las coordenadas del punto medio dado por .

Solución: Se nombran los puntos y luego

y luego se reemplaza en

Donde el punto del medio del segmento formado por es ; se puede

comprobar que , analizando:

=

= =

= 3,9

Ahora

=

= = =

= 3,9

Se concluye que son iguales las distancias, por lo tanto M si es el punto medio.

AYUDA 5: Halle la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une los puntos y

Solución:Reemplacemos en la fórmula de la pendiente y tenemos que y entonces:

Ahora para calcular el ángulo de dirección tenemos

Luego , entonces

Figura 3-9

Este ángulo se desplaza en dirección negativa porque rota en el mismo sentido de las manecillas del reloj. Por lo tanto, para hallar el ángulo de dirección (obtuso), entonces, su respectivo valor en forma positiva es:

AYUDA 6: Hallar la ecuación de la recta que pasa por y su pendiente es 2.

Solución: El punto conocido y la pendiente m = 2, entonces sustituyendo en la ecuación se tiene:

AYUDA 7: Halla la ecuación de la recta que pasa por

Solución: Sea y

Se calcula la pendiente . Luego se escoge cualquier punto

por ejemplo, entonces reemplazando en la ecuación de la recta:

AYUDA 8: Dada la ecuación . Calcular la pendiente ( ) y la

ordenada del intercepto con el eje y .

Solución: Se reconocen los coeficientes ; ;

; ;

Luego se puede escribir

AYUDA 9: Hallar la ecuación de la recta que pasa por y es paralela a la recta

Solución: La recta dada es , entonces la pendiente , por el criterio de paralelismo .

Se utiliza el punto (-2, -3) y lo sustituimos en la ecuación

AYUDA 10: Hallar la ecuación de la recta que pasa por y es perpendicular a

Solución: La recta dada es , entonces la pendiente , por el criterio de

perpendicular

Se utiliza el punto (-2, -3) y lo sustituimos en la ecuación

TALLER SOBRE LA LINEA RECTAEjemplo 1: Grafique en un plano cartesiano los puntos: A(3, 0), B(1, 2), C(0, 1), D(-2, 2), E(-3, 0), F(-1, 2), G(0, -2) Ejemplo 2: Será que los puntos H(-2, 5), F(4, 4), L(1, 2), N(-2, 0) pertenecen a la recta 2X-3Y+4=0?

Ejemplo 3: Dados los puntos A(5, 3), B(-2, 6), C(1, -2). Halle:a. La longitud del segmento ABb. Las coordenadas del punto M (Punto medio del segmento AB) c. Distancia de C a la recta que pasa por A y por B.d. El angulo 1 con respecto a la horizontal de la recta AB.e. Ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas X= - 4 y Y= -

3; y por el punto M.f. El angulo 2 con respecto a la horizontal de la recta anterior.g. Grafique todo lo anterior.

Ejemplo 4: Demuestre que los puntos T(9, 2), G(11, 6), I(3, 5), J(1.1) son los vértices de un paralelogramo

Ejemplo 5: Demuestre de dos formas que el triángulo con vértices S(2, 2), M(4, 0), K(-4, -4) es rectángulo.

Ejemplo 6: Halla la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas X+7Y-23=0 y 7X-4Y-2=0 y es perpendicular a la recta X+2Y+8=0. Grafique las cuatro rectas.

Ejemplo 7: ¿Cuál es el valor de x si la distancia entre P (8, -1) y Q (x, 3) es 4 ?

Ejemplo 8: Dibuja y halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-2, -1) y Q (3,5). Señala el ángulo de dirección que se forma entre el eje positivo de las x y la recta, y resuelve las siguientes preguntas:

La pendiente es positiva, negativa, no existe o es cero. ¿Por qué?¿Cuál es la ecuación de la recta?¿Cuál es el intercepto con el eje y?¿Cuál es el valor del ángulo ?

Ejemplo 9: Calcula la amplitud del ángulo que forma la recta r con la dirección positiva del eje x si sabes que pasa por los puntos:

A(4, 3), B(-1, 4)C(2.5, 2), D(1.5, )

E( , 2.6), F( , 1.3)

G(3, 8), H(-3.4, 2 )

Ejemplo 10: Demuestre que el cuadrilátero con vértices P(1, 2), Q(4, 4), R(5, 9) y S(2, 7) es un paralelogramo, mostrando que su diagonales se bisecan entre sí.

Ejemplo 11: Trace el rectángulo con vértices A(1, 3), B(5, 3), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo.

Ejemplo 12: Grafique el paralelogramo de vértices A(1, 2), B(5, 2), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo.

Ejemplo 13:Grafique los puntos A(0, 1), B(5, 0), C(4, 3) y D(2, 3) en un plano de coordenadas. Trace los segmentos AB, BC, CD Y DA. ¿Qué clase de cuadrilátero es ABCD y cuál es su área?

Ejemplo 14:. Grafique los puntos los puntos P(5, 1), Q(0, 6) y R(-5, 1) en un plano de coordenadas. ¿Dónde debe estar el punto S a fin de que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado? Determine el área de éste.

Ejemplo15: Demuestre que el triángulo de vértices A(0, 2), B(-3, -1) y C(-4, 3) es isósceles.

Ejemplo 16: Determine el área del triángulo de vértices A(-2, 1), B(4, 1) y C(7, 4).

Ejemplo 17: Demuestre que el triángulo de vértices C(-3, -3), D(3, 1) y E(2, 2) es rectángulo utilizando el recíproco del teorema de Pitágoras.

Ejemplo 18:Grafique el paralelogramo de vértices A(-2, -1), B(4, 2), C(7, 7) y D(1, 4), obtenga los puntos medios de sus diagonales y concluya que estas se intersecan en su punto medio.

Ejemplo 19: Halla el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D(0, 0), E(1, 7) y F(7, -1). Utiliza solo el concepto de distancia entre dos puntos. y Origen O(x, y)

Ejemplo 20: Prueba que los triángulos de vértices G(3, 5), H(1, 1), I(-1, 2), y J(0, -1), K(2, 3), L(4, 2) son rectángulos y congruentes.

Ejemplo 21: Hallar la ecuación canónica y general de la recta que pasa por el punto (-4,

3) y tiene pendiente

Ejemplo 22: Hallar la pendiente m y el intercepto con el eje y de la recta cuya ecuación es 2y-3x=6

Ejemplo 23: Demostrar que los puntos (3,6), (5,4), (-4,-1) y (-2,-3) son vértices de un rectángulo: calcular luego su perímetro, área y la longitud de cada una de sus distancias.

Ejemplo 24: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cumple la condición siguiente:

a) Es paralela a la recta 2x+37-5=0b) Es perpendicular a la recta 4x+5y-20=0

Ejemplo 25: Hallar la distancia d desde:

La recta 8x+15y-24=0 al punto (-2, -3)La recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7)

Ejemplo 26: Dado el triángulo de vértices A(-2, 1), B(5, 4) y C(2, -3) hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice A y el área del mismo.

Ejemplo 27: Hallar la distancia d del punto de intersección de las rectas x+3y-4=0, 5x-y+6=0 a la recta 4x-y-3=0

Ejemplo 28: Los puntos A(1,1), B(5,3), C(3,7) y D(-1,5), tomados en ese orden, son los vértices de un cuadrado:

a) Halla su área.b) Halla el centro y el radio de la circunferencia circunscrita.

Ejemplo 29: Dado el triángulo cuyos vértices son D(-5,-5), E(1,7) y F(5,1):a) Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por sus vértices y son paralelas al lado

opuesto,b) Halla las coordenadas del ortocentro, c) Halla las coordenadas del circuncentro.

Ejemplo 30:Las ecuaciones de los lados de un triangulo son: 3x -y-7=0, x+y-5=0 y 2x-y-7=0. Halla las coordenadas de sus vértices.

Ejemplo 31: Dado el triángulo de vértices A(-2,1), B(5,4) y C(2,-3), hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice A y el área del mismo.

Respuesta: y 20

Ejemplo 32: ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta 2x-3y+7=0 y que pasa por el punto medio del segmento de esta comprendido entre los ejes coordenados?

Respuesta: 36x+24y+35=0

Ejemplo 33: Los puntos A(1,-1), B(5,1) y C(1,5) son vértices de un triángulo.

Clasifica dicho triángulo según la longitud de sus lados.Calcula su área, perímetro y ángulos interiores.Calcula las coordenadas del circuncentro, del ortocentro y del baricentro.Halla la ecuación de la recta de Euler.

Respuestas:

EscalenoArea= 12 Ángulos interiores: 45°, 71.6° y 63.4°

Circuncentro: (2,2), Ortocentro: (3,1) y Baricentro:

----------------------------------------------------------------------------------------"Aunque sientas el cansancio, aunque una traición te hiera,

aunque el triunfo te abandone,aunque un dolor queme tus ojos,

aunque la incomprensión corte tu risa Y todo parezca nada

! Vuelve a empezar!".-------------------------------------------------------------------