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Capítulo 2: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. LÍMITES Y CONTINUIDAD.
Capítulo 2.1. NOCIONES PREELIMINARES: Capítulo 2.1.1. FUNCIÓN: Siendo A y B dos conjuntos, se llama función a toda aplicación BAf →: , es decir, a la
correspondencia tal que a todo elemento de A se le asocia un único elemento de B . Si RA∈ y RB ∈ , siendo R el conjunto de números reales, la función recibe el nombre
de función de variable real: RRf →: Capítulo 2.1.1.1. ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN: • Dominio de la función (campo de existencia)
Es el conjunto de elementos de R que tienen imagen en la función y se representa con la letra x . Se le llama variable independiente.
{ }RyxfRxdomf ∈=∃∈∀ )(: • Imagen (recorrido)
Es el conjunto formado por todas las imágenes de elementos del dominio y se representa con la letra y o con )(xf . Se le llama variable dependiente.
{ }yxfdomfxRyimf =∈∃∈∀ )(,: • Regla (ley o procedimiento)
Algoritmo matemático que permite encontrar la imagen )(xf de cada valor de x del dominio. Es el operador de la aplicación y se suele representar por las letras ,...,, hgf
Capítulo 2.1.1.2. TIPOS DE FUNCIONES: Hay dos grandes tipos de funciones: empíricas y analíticas: • empíricas:
Son aquellas en las que la correspondencia viene dada por la experimentación. Es la Estadística quien estudia estas funciones.
• analíticas: Son aquellas en las que la correspondencia viene dada por una fórmula matemática.
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Capítulo 2.1.2. DOMINIO:
Función Dominio )()( xPxf = Rdomf :
senxxf =)( Rdomf :
xxf cos)( = Rdomf :
arcsenxxf =)( { }1: ≤∈∀ xRxdomf
xxf arccos)( = { }1: ≤∈∀ xRxdomf xexf =)( Rdomf : xaxf =)( Rdomf :
xxf ln)( = { }0: >∈∀ xRxdomf
xxf =)( { }0: ≥∈∀ xRxdomf
)()( xFxf = { }0)(: ≥∈∀ xFRxdomf
)(1
)(xF
xf = { }0)(: >∈∀ xFRxdomf
)(log)( xFxf a= { }0)(: >∈∀ xFRxdomf
GFxf ±=)( domGdomFdomf ∩:
GFxf ·)( = domGdomFdomf ∩:
GF
xf =)( { }0)(: =∈∀−∩ xGRxdomGdomFdomf
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Capítulo 2.1.3. FUNCIÓN ACOTADA: Sea una función )(xf , se dice que RM ∈ es cota superior de )(xf si
para domfx ∈∀ se verifica que Mxf ≤)( . Por ejemplo: 2xy −=
Sea una función )(xf , se dice que RM ∈ es cota inferior de )(xf si
para domfx ∈∀ se verifica que mxf ≥)( . Por ejemplo: 2xy =
Se dice que )(xf está acotada cuando lo está superior e inferiormente, es decir:
MxfmdomfxRMm ≤≤∈∀∈∃ )(,, ó domfxKxfRK ∈∀≤∈∃ + ,)(
Por ejemplo: senxy =
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Capítulo 2.1.4. FUNCIÓN PAR: Sea f una función definida en un dominio domf ,
domfxdomfxRRdomff ∈∈−→⊆ y : , se dice que f es par si y sólo
si )()( xfxf =− y presenta simetría respecto al eje OY. Por ejemplo: 2xy =
Capítulo 2.1.5. FUNCIÓN IMPAR: Sea f una función definida en un dominio domf ,
domfxdomfxRRdomff ∈∈−→⊆ y : , se dice que f es impar si y sólo
si )()( xfxf −=− y presenta simetría respecto al origen de coordenadas, (0,0). Por ejemplo: 3xy =
Capítulo 2.1.6. FUNCIÓN PERIÓDICA: Sea f una función definida en un dominio domf , RRdomff →⊆: , se dice que f es
periódica si y sólo si ( ) ( ) domfxxfTxfRT ∈∀=+∈∃ + , . El periodo λ es el valor más pequeño deT que verifica la igualdad anterior. Por ejemplo: senxy = , xy cos= , tgxy = , [ ] xxy −=
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Capítulo 2.1.7. FUNCIÓN PARTE ENTERA:
[ ]xxf =)( Es el mayor entero, n , menor o igual que el número dado, x
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Capítulo 2.2. OPERACIONES CON FUNCIONES: Sean f y g dos funciones tales que domgdomf = . Se definen las operaciones:
• Suma: gf +
( )( ) )()( xgxfxgfx
RRdom
+=+→→⊆
• Producto: gf ·
( )( ) )()·(· xgxfxgfx
RRdom
=→→⊆
• Cociente:gf
( )
{ }0)(
)()(
*
*
=−=
=��
���
→
→⊆
xgxdomdom
xgxf
xgf
x
RRdom
• Producto por un escalar: f·α
( )( ) )(·· xfxfx
RRdom
αα =→→⊆
• Elemento neutro: f0
ff
x
RRdom
f
f
=+→→⊆
00
0
• Función unidad: f1
ff
x
RRdom
f
f
=→→⊆
1·1
1
• Función opuesta: f−
( )( )ff
xfxfx
RRdom
f
f
=+−=−→
→⊆ −
0)(
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• Función recíproca:f1
( )
f
f
ff
xfx
fx
RRdom
11
·
)(11
1
=
=��
���
→
→⊆
Capítulo 2.2.1. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Dados los conjuntos A , B yC en los cuales se han establecido las siguientes
aplicaciones: BAf →: y CBg →: , podemos definir la aplicación CAh →: , en donde el
conjunto B actuará simultáneamente como imagen de la aplicación f y como dominio de la
aplicación g , por lo que la condición necesaria para que pueda existir ))(()( xfogxh = es que
la intersección de la imagen de )(xf con el dominio de )(xf no sea el conjunto vacío, es decir,
∅≠∩ domgimf . Por ejemplo:
{ }{ }
{ }3:
2:2:
73
36212
1
2312
1))(()(
21
)(
312
)(
≠∈∀
∅≠∩���
≠∈∀≠∈∀
−+=
+−−−=
−+−==
���
���
�
−=
+−=
xRxdomh
imfdomgxRximf
xRxdomg
x
xxx
xx
xgofxh
xxg
xx
xf
• Función identidad: Id
ffIdIdf
xx
RRdom Id
==→→⊆
oo
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Capítulo 2.2.2. FUNCIÓN INYECTIVA: Se dice que una función )(xf es inyectiva cuando para cada elemento de la imagen está
asociado a un único elemento del dominio, es decir, si yx !,∃∀
( ) ( )212121, xfxfxxdomfxx ≠�≠∈∀
Por ejemplo: 3xy = , 3xy −=
Toda función estrictamente creciente o decreciente es inyectiva. Capítulo 2.2.3. FUNCIÓN INVERSA: Si f es una función de A en B , es decir, BAf →: , su correspondiente función inversa
( )1−f es una correspondencia de B en A que hace corresponder a cada imagen de B su
original en A .
La condición necesaria para que una función tenga inversa es que ésta sea
necesariamente inyectiva y se verifica: xffff == −− oo 11
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Para calcular la inversa de una función se despejan las x en función de las y , es decir,
)(1 xfx −= , para posteriormente hacer un cambio de variable. Por ejemplo:
( )
xx
xf
yy
yy
x
yyx
yxyx
xyyxxx
y
xx
xf
−+=
−+=
−−−=
−−=−−−=−
−=++−=
+−=
−
235
)(
235
235
352352
325532
532
)(
1
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Capítulo 2.2.4. FUNCIONES ELEMENTALES: • Función potencial entero: nxxf =)(
{ }0∪∈ Nn
{ }
{ }��
��
�
∪
==
=
+ par 0impar
01
nsiR
nsiR
nsi
imf
Rdomf
Si n es impar es estrictamente creciente.
Por ejemplo: xy = , 2xy = , 3xy =
• Función polinómica: nnxaxaxaxaxaxf +++++= ...)( 3
32
21
10
0
{ }0∪∈ Nn
Rdomf =
• Función racional: mm
nn
xbxbxbxbxbxaxaxaxaxa
xf++++++++++=
......
)( 33
22
11
00
33
22
11
00
{ }0. ∪∈ Nmn
{ }0...33
22
11
00 =+++++−= m
mxbxbxbxbxbxRdomf
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• Función exponencial: xaxf =)(
0>a
{ }���
=≠
=
=+
111
asi
asiRimf
Rdomf
Si 1>a la función es creciente. Si 10 << a , es decreciente.
Por ejemplo: xy 2= , xy −= 2
+
• Función logarítmica: ( )xxf alog)( = Se llama función logarítmica de base a a la inversa de la función exponencial.
Rimf
Rdomf
== +
Si 1>a la función es creciente. Si 10 << a , es decreciente. Por ejemplo: ( )xy 2log= , ( )xy
21log=
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Capítulo 2.2.5. LOGARITMOS: Se define logaritmo en base a de un númerob a un determinado valor x tal que
baxb xa =⇔=log .
Por ejemplo:
2222221
421
4log
322828log
22
21
32
−=→=−→=→=→=�
��
→=
=→=→=→=
− xxx
xx
xx
x
xx
Si la base del logaritmo es igual a10 , éste recibe el nombre de logaritmo decimal:
bxbb x =⇔== 10loglog10 . Si la base del logaritmo es igual al número e , éste recibe el nombre de logaritmo
neperiano: bexbb xe =⇔== lnlog .
En cualquier caso, la base del logaritmo debe de ser siempre positiva, no nula y distinta
de la unidad:
• ( ) Rxbaxb xa ∉→=−→=−log
• bxb x ≠=→= 11log1
• bxb x ≠=→= 00log0 Capítulo 2.2.5.1. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: a. el logaritmo de1en base a vale 0 . 011log 0 =→==→= xaax x
a
b. el logaritmo en base a de a vale la unidad. 1log 1 =→==→= xaaaxa xa
c. si la base es mayor que la unidad ( )1>a , los números mayores que la unidad tienen logaritmo positivo y los menores, negativo
022221
241
241
log
0322828log
222
32
<−=→=→=→=→=
>=→=→=→=
− xx
xx
xxx
xx
d. si la base es menor que la unidad ( )10 << a , los números menores que la unidad tiene logaritmo positivo y los mayores que la unidad, logaritmo negativo
032221
21
81
21
81
log
0322221
821
8log
33
21
33
21
>=→=→=→=�
��
→=
<−=→=→=→=�
��
→= −
xx
xx
xx
x
xx
x
e. el logaritmo de 0 en cualquier base a es siempre ∞−
011
00log =∞
==→=→= ∞∞−
aaax x
a
f. los números negativos no tienen logaritmo ( ) Rxx x ∉→−=→=− 828log 2
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Capítulo 2.2.5.2. OPERACIONES CON LOGARITMOS: • Producto
( ) NMNM aaa loglog·log +=
��
���
=→=
=→=
NayN
MaxMy
a
xa
log
logmultiplicando: yxyx aaaNM +== ··
tomando logaritmos en la expresión anterior: ( ) ( ) ( ) yxNMaNM a
yxaa +=→= + ·loglog·log
sustituyendo los valores de x e y : ( ) NMNM aaa loglog·log +=
• Cociente
NMNM
aaa logloglog −=�
��
��
���
=→=
=→=
NayN
MaxMy
a
xa
log
logdividiendo: yx
y
x
aaa
NM −==
tomando logaritmos en la expresión
anterior: yxNM
aNM
ayx
aa −=�
��
→=�
��
− logloglog
sustituyendo los valores de x e y : NMNM
aaa logloglog −=�
��
• Potencia
MnM an
a ·loglog =
( )
Mn
MMMM
MMMMM
a
naaaa
nan
a
·log
log...logloglog
·...···loglog
321
321
==++++=
==
• Raiz
Mn
M an
a ·log1
log =
Mn
MM an
an
a ·log1
loglog 1 ==
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• Función seno: ( )xsenxf =)(
[ ]1,1−==
imf
Rdomf
Función acotada, impar y periódica ( )π2=T
• Función arcoseno: ( )xarcsenxf =)(
[ ]
��
���
�−=
−=
2,
2
1,1
ππimf
domf
Función acotada, impar y creciente
+
• Función coseno: ( )xxf cos)( =
[ ]1,1−==
imf
Rdomf
Función acotada, par y periódica ( )π2=T
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• Función arcocoseno: ( )xxf arccos)( =
[ ][ ]π,0
1,1=
−=imf
domf
Función acotada, impar y decreciente
• Función tangente: ( ) ( ) ( )( )xxsen
xtgxfcos
==
( )
( )∞∞−=���
��� ∈−−∈∀=
,2
12
imf
ZnnRxdomfπ
Función impar y periódica ( )π=T
• Función arcotangente: ( )xarctgxf =)(
( )
��
���
�−=
∞∞−=
2,
2
,
ππimf
domf
Función acotada, impar y creciente.
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Capítulo 2.3. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: Consideremos la función f definida en las “proximidades” de un punto c , aunque no
necesariamente en c , es decir. RRDf →⊆: , c , punto de acumulación de D . La función f tiene límite, Rl ∈ , en el punto c , es decir, ( ) lxf
cx=
→lim , si “ )(xf está tan
próximo a l como queramos, siempre que x esté suficientemente próximo a c ”.
Se dice que una función )(xf tiene de límite un número real, l , en el
punto c , lxfcx
=→
)(lim , cuando para cada número real positivoε existe otro número real
positivoδ , tal que la relación δ<− cx implica ε<+ lxf )(
εεεεε
εεεε
δδδδδ
δδδδ
+<<−���
���
−>�−>−�<−−+<�<−�<−
<−
+<<−���
���
−>�−>−�<−−+<�<−�<−
<−
lxfllxflxflxf
lxflxflxflxf
cxccxcxcx
cxcxcxcx
)()()())((
)()()()(
)(
δ−c δ+c c
ε−l
ε+l
l
x
y
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Capítulo 2.3.1. LÍMITES LATERALES: Dada una función )(xf y un número real c , se dice que 1l es el límite cuando x tiende
a c por la derecha, 1)(lim lxfcx
=+→
, si los valores de )(xf se aproximan tanto como se quiera
a 1l sin más que tomar los valores de x , suficientemente próximos a c , pero mayores de c . Dada una función )(xf y un número real c , se dice que 2l es el límite cuando x tiende
a c por la izquierda, 2)(lim lxfcx
=+→
, si los valores de )(xf se aproximan tanto como se quiera
a 2l sin más que tomar los valores de x , suficientemente próximos a c , pero menores de c .
)(lim)(lim)(lim000
xfxfxfxxxxxx →→→
==−+
Capítulo 2.3.2. LÍMITE FINITO EN EL INFINITO: Se dice que una función )(xf tiene el límite l cuando x tiende al ∞ , si fijado un
número 0>ε tan pequeño como se quiera, existe un número real H taI que, para todo Hx > se verifica que:
lxf
lxf
x=<−
∞→)(lim
)( ε
Por ejemplo: ( )x
xf1=
H
∞
x
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Capítulo 2.3.3. LÍMITE INFINITO: Se dice que una función )(xf tiende al ∞ , cuando x tiende a un valor c , si fijado un
número K tan grande como se quiera, existe un entorno reducido de c , ),( δδ +− cc , tal que, para todo x se verifica que:
+∞=
>
→)(lim
)(
xf
Kxf
cx
0x
x
y
K
δ−c δ+c
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Capítulo 2.3.4. LÍMITE DE LAS OPERACIONES CON FUNCIONES: Siendo )(xf y )(xg dos funciones definidas en un mismo intervalo [ ]ba, y 0x es un
punto de dicho intervalo en el que se verifica 1)(lim0
lxfxx
=→
, 2)(lim0
lxgxx
=→
.
Operaciones Casos de indeterminación
[ ]
21
)(lim)(lim
)()(lim
00
0
ll
xgxf
xgxf
xxxx
xx
±
=±
=±
→→
→
∞−∞
[ ]
21·
)(lim)·(lim
)()·(lim
00
0
ll
xgxf
xgxf
xxxx
xx
=
=
→→
→
∞·0
2
1
)(lim
)(lim
)()(
lim
0
0
0
ll
xg
xf
xgxf
xx
xx
xx
=
=��
���
�
→
→
→
∞∞
,00
lxf
xf
xxaaa xx == →
→
)(lim)( 0
0
lim 00 ,0,1 ∞∞
[ ] 20
001
)(lim)( )(lim)(lim l
xg
xx
xg
xxlxfxf
xx
=���
���=
→
→→
lxfxf axxaaxxlog)(limlog)(loglim
00
==→→
nn
xxn
xxlxfxf ==
→→)(lim)(lim
00
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Capítulo 2.3.5. TEOREMA DE LA FUNCIÓN INTERMEDIA: Dadas tres funciones ( )xf , ( )xg y ( )xh , tales que: ( ) ( ) ( )xhxfxg ≤≤ ,
( ) { }cccx −+−∈∀ δδ , y además: ( ) ( )���
∞±∈
==→→
Rllxhxg
cxcxlimlim . Entonces se verifica que
la función ( )xf tiene límite y es igual a l ( )( )lxfcx
=→
lim .
Hipótesis: a) ( ) ( ) ( )xhxgxf ,,∃
b) ( ) ( ) ( )xhxfxg ≤≤
c) ( ) ( )���
∞±∈
==→→
Rllxhxg
cxcxlimlim
Tesis: ( ) lxf
cx=
→lim
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Capítulo 2.4. ASÍNTOTAS: Rectas tangentes a la curva en el infinito. Capítulo 2.4.1. HORIZONTALES, PARALELAS AL EJE OX: Son de la forma ky = , siendo )(lim xfk
x ∞→= .
Capítulo 2.4.1.1. POSICIÓN DELA CURVA RESPECTO A LA ASÍNTOTA: Depende del signo de la diferencia [ ]kxf −)( para +∞→x y −∞→x
( )[ ] +
+∞→=− 0lim kxf
x
k
y
x
k
y
x
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( )[ ] −
+∞→=− 0lim kxf
x
( )[ ] +
−∞→=− 0lim kxf
x
( )[ ] −
−∞→=− 0lim kxf
x
k
y
k
y
x
k
y
x
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Ejemplo:
( )( )
[ ]
[ ]������
�
������
�
�
��
��
�
>→=∞−
−=−=−
<→=∞−=−=−
−=−−−=
−+−=
=−
+−+−=−−−
−+−=−
−+−=−
=→==�
��
∞∞=
−−=�
��
∞∞=
−+−=→=
−+−=
+
−∞→−∞→
−
+∞→+∞→
∞→∞→
1)(044
lim)(lim
1)(044
lim)(lim41·1·444
45451
45)(
1122
1252
lim45
lim
45
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xfx
kxf
xfx
kxf
xxxx
xxx
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
kxf
yxx
xxxx
kky
xxxx
y
xx
xx
xx
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Capítulo 2.4.2. VERTICALES, PARALELAS AL EJE OY: Son de la forma hx = , siendo h los valores finitos de x que hacen ∞→)(xf .
si)()(
)(xgxm
xf = , h son los valores de x que hacen 0)( =xg
si )(log)( xgxf a= , h son los valores de x que hacen 0)( =xg ( )∞=0loga Capítulo 2.4.2.1. POSICIÓN DE LA CURVA RESPECTO A LA ASÍNTOTA: Se calculan los límites laterales: )(lim xf
hx +→y )(lim xf
hx −→.
( ) +∞=+→
xfhx
lim
h
y
x x=h
h
y
x x=h
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( ) +∞=−→
xfhx
lim
( ) −∞=+→
xfhx
lim
( ) −∞=−→
xfhx
lim
h
y
x x=h
h
y
x x=h
h
y
x x=h
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Ejemplo:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )�������
�
�������
�
�
��
�
��
�
�
−∞==−+
+=−+=
+∞==−+
+=−+=
���
−==
=−+→=−
−+=
−→→→
+→→→
−−−
+++
2·02
1·11
lim11
lim)(lim
2·02
1·11
lim11
lim)(lim:
11
01·101:
11
2
12
2
11
2
12
2
11
2
2
2
xxx
xx
xf
xxx
xx
xf
ónaproximaci
x
xxxxasíntotas
xx
y
xxx
xxx
Ejemplo:
( )( )
[ ]
[ ]������
�
������
�
�
��
��
�
>→=∞−
−=−=−
<→=∞−=−=−
−=−−−=
−+−=
=−
+−+−=−−−
−+−=−
−+−=−
=→==�
��
∞∞=
−−=�
��
∞∞=
−+−=→=
−+−=
+
−∞→−∞→
−
+∞→+∞→
∞→∞→
1)(044
lim)(lim
1)(044
lim)(lim41·1·444
45451
45)(
1122
1252
lim45
lim
45
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xfx
kxf
xfx
kxf
xxxx
xxx
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
kxf
yxx
xxxx
kky
xxxx
y
xx
xx
xx
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Capítulo 2.4.3. GENERALES, OBLÍCUAS: Sólo existen si la curva no tiene asíntotas horizontales.
Son de la forma nmxy += , siendoxxf
mx
)(lim
∞→= y [ ]mxxfn
x−=
∞→)(lim
��
��
�
→∞=→=
==
∞→OY dedirección laen parabólica rama una existeOX dedirección laen parabólica rama una existe0
finito)(
limxxf
mx
( )���
=→∞==
−=∞→ mxy
mxxfnx dedirección laen parabólica rama una existe
finito)(lim
y
x
y=mx+n
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Ejemplo:
( )( )
[ ]
[ ]������
�
������
�
�
��
��
�
>→=∞−
−=−=−
<→=∞−=−=−
−=−−−=
−+−=
=−
+−+−=−−−
−+−=−
−+−=−
=→==�
��
∞∞=
−−=�
��
∞∞=
−+−=→=
−+−=
+
−∞→−∞→
−
+∞→+∞→
∞→∞→
1)(044
lim)(lim
1)(044
lim)(lim41·1·444
45451
45)(
1122
1252
lim45
lim
45
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xfx
kxf
xfx
kxf
xxxx
xxx
xxxxxx
xxxx
xxxx
xxxx
kxf
yxx
xxxx
kky
xxxx
y
xx
xx
xx
Capítulo 2.4.3.1. POSICIÓN DE LA CURVA RESPECTO A LA ASÍNTOTA: Al igual que en el caso de las asíntotas verticales, depende del signo de la
diferencia [ ]kxf −)( para +∞→x y −∞→x
( ) ( )[ ] +
+∞→=+− 0lim nmxxf
x
( ) ( )[ ] −
+∞→=+− 0lim nmxxf
x
y
x
y=mx+n
y
x
y=mx+n
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( ) ( )[ ] +
−∞→=+− 0lim nmxxf
x
( ) ( )[ ] −
−∞→=+− 0lim nmxxf
x
Ejemplo:
[ ]
( ) ( )
��������
�
��������
�
�
<→=∞−
=+
>→=∞+
=+
+=−−
+−−=+−
����
�
����
�
�
���
�
���
�
�
−=
−=+
−−��
���
−
+−−=−=
=+
−−==
+=
+−−=
−
−∞→
+
+∞→
∞→∞→∞→
∞→∞→
asíntotaxfx
asíntotaxfx
xx
xxx
nmxxf
xy
xx
xx
xxmxxfn
xxxx
xxf
m
nmxyasíntota
xxx
xf
x
x
xxx
xx
´)(04
24
lim
)(04
24
lim
24
32
2)(
3
32
23lim
22
lim)(lim
12
2lim
)(lim
:
22
)(
2
2
2
2
2
y
x
y=mx+n
y
x
y=mx+n
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Capítulo 2.5. INFINITÉSIMOS: Una función )(xf se dice que es un infinitésimo en un punto 0x si su límite en ese punto
es cero.
0)(lim0
=→
xfxx
Capítulo 2.5.1. PROPIEDADES DE LOS INFINITÉSIMOS: • La suma de infinitésimos es un infinitésimo • El producto de dos infinitésimos es otro infinitésimo • El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo
01
·lim
1lim
0
0
=
∞=
→
→
xsenx
senx
sen
x
x, siendo x el infinitésimo y
xsen
1la función acotada.
Capítulo 2.5.2. COMPARACIÓN DE INFINITÉSIMOS: Los infinitésimos se comparan por cociente. Sean dos infinitésimos
0)(lim0
=→
xfxx
y 0)(lim0
=→
xgxx
:
• si)()(
lim0 xg
xfxx→
es finito y no nulo, se dice que )(xf y )(xg son del mismo orden.
(tienen la misma “velocidad”)
• si 0)()(
lim0
=→ xg
xfxx
, se dice que )(xf es de orden superior a )(xg .
• si ∞=→ )(
)(lim
0 xgxf
xx, se dice que )(xf es de orden inferior a )(xg .
• si 1)()(
lim0
=→ xg
xfxx
, se dice que )(xf y )(xg son infinitésimos equivalentes.
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Capítulo 2.5.3. TABLA DE INIFINITÉSIMOS EQUIVALENTES:
Límite Función Infinitésimo equivalente senx x tgx x arcsenx x arctgx x
xcos1− 2
2x
1−xe x
1−xa ax·ln
( )x+1ln x
0→x
( ) 11 −+r px xrp
·
1→x xln 1−x Capítulo 2.5.4. TEOREMA: A los efectos del cálculo de un límite, un infinitésimo se puede sustituir por otro
equivalente, siempre que en el contexto del límite esté multiplicando o dividiendo.
)()()·(
lim0 xl
xhxfxx→
y 1)()(
lim)()(
lim00
==→→ xf
xgxgxf
xxxx
es: )(
)()·(lim
)()·()()·()·(
lim)()(
lim·)(
)()·(lim
0000 xlxgxh
xfxlxgxhxf
xfxg
xlxhxf
xxxxxxxx →→→→==
Capítulo 2.5.5. INFINITOS: Una función )(xf se dice que es un infinitésimo en un punto 0x si su límite en ese punto
es infinito.
∞=→
)(lim0
xfxx
Capítulo 2.5.5.1. PROPIEDADES DE LOS INFINITOS: • La suma de infinitos es un infinito • El producto de dos infinitos es otro infinito • La suma de un infinito más una función acotada es un infinito
( ) 0lim
lim
2 =+
∞=
∞→
∞→
senxx
sensenx
x
x, siendo 2x el infinito y senx la función acotada.
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Capítulo 2.5.5.2. COMPARACIÓN DE INIFINITOS: Los infinitos se comparan por cociente. Sean dos infinitésimos
∞=→
)(lim0
xfxx
y ∞=→
)(lim0
xgxx
:
• si)()(
lim0 xg
xfxx→
es finito y no nulo, se dice que )(xf y )(xg son del mismo orden.
(tienen la misma “velocidad”)
• si 0)()(
lim0
=→ xg
xfxx
, se dice que )(xf es de orden inferior a )(xg .
• si ∞=→ )(
)(lim
0 xgxf
xx, se dice que )(xf es de orden superior a )(xg .
• si 1)()(
lim0
=→ xg
xfxx
, se dice que )(xf y )(xg son infinitos equivalentes.
Capítulo 2.5.5.3. TABLA DE INFINITOS EQUIVALENTES:
Límite Función Infinitésimo
fxexdxcxbxa
xP
+++++ ·····
)(2345
5·xa
( )fxexdxcxbxa +++++ ·····ln 2345 ( )
xxa
xaxa
·ln5·ln5lnlnln·ln 55
=+==+=
∞→x
!n Infinito de Stirling nenn ·2·· ππ−
Capítulo 2.5.5.4. ORDEN DE INFINITUD: Indica qué infinito tiene mayor “velocidad”
nn Infinito Potencial – exponencial
!n Infinito Factorial
na Infinito Exponencial
an Infinito Potencial
+ Mayor - Menor
nln Infinito Logartítmico
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Capítulo 2.6. FUNCIONES CONTINUAS: Una función es continua cuando no tiene interrupciones en un determinado punto, es
decir, su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Para que una función sea continua en un punto tiene que verificar tres condiciones:
)(xf es continua en 0xx = , si:
• )( 0xf∃
• llllxf
lxflxf
xx
xx
xx==
��
��
�
��
��
�
=∃
=∃=∃
−
+
→
→
→ 212
1
)(lim
)(lim)(lim
0
0
0
• es )()(lim 00
xfxfxx
=→
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Capítulo 2.7. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS: • Las funciones elementales son continuas en su dominio
,...,ln,cos,,,),( xxxsenxaexP xx • La suma, recta, producto y composición de funciones continuas es una función
continua gf ± , gf · , fog
• El cociente de funciones continuas es una función continua excepto en los puntos que anulan al denominador
gf
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Capítulo 2.7.1. TIPOS DE DISCONTINUIDAD: Cuando alguna de estas condiciones anteriores para la continuidad de una función no se
cumple, se dice que tiene un punto de discontinuidad. Los puntos de discontinuidad se pueden agrupar en tres clases: • Puntos de disconitinuidad evitables
o cuando no existe )( 0xf , pero existe )(lim0
xfxx→
.
24
)(4
−−=
xx
xf en 2=x
00
2244
)2( =−−=f (Indeterminación)
42
)2)(2(lim
24
lim)(lim2
4
22=
−+−=
−−=
→→→ xxx
xx
xfxxx
se evita la discontinuidad haciendo 4)2( =f (verdadero valor de la función)
y entonces 44)2()(lim2
=�=→
fxfx
o cuando existe )( 0xf y existe )(lim0
xfxx→
, pero )()(lim 00
xfxfxx
≠→
���
≠+=
2125
)(xsix
xsixf )2()1(lim3)1(lim
5)2(2
2
fxfxf
f
xx
≠+��
���
=+=
→→
y
x
y=mx+n
x0
y
x
y=mx+n
x0
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• Discontinuidad de 1ª especie o de salto o cuando no existe )(lim
0
xfxx→
, pero existe 1)(lim0
lxfxx
=+→
y 2)(lim0
lxfxx
=−→
y
)(lim)(lim00
xfxfxxxx −+ →→
≠ (salto finito)
)(lim)(limfunción la de salto00
xfxfxxxx −+ →→
−=
���
<−≥+
=2121
)(xsix
xsixxf
en 2=x :
��
���
−=−==+=
=+=
−−
++
→→
→→→ 1)1(lim)(lim
3)1(lim)(lim)(lim
312)2(
22
22
2 xxf
xxfxf
f
xx
xx
x
(No existe)
o cuando no existe )(xf ∞=→
)(lim0
xfxx
pero existe ±∞=+→
)(lim0
xfxx
y
±∞=−→
)(lim0
xfxx
(salto infinito)
{ }
���
�
���
�
�
���
���
�
−∞=−
∞=−=
∞=−
=
≠∈∀−
=
−
+
→
→
→
23
lim
23
lim)(lim
222·3
)2(
2:2
3)(
2
2
2
xx
xx
xf
f
xRxdomfx
xxf
x
x
x
o de ramas divergentes o de ramas convergentes
y
x x0
salto
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• Discontinuidad de 2ª especie cuando no existe )(xf porque:
o no existen )(lim0
xfxx +→
, )(lim0
xfxx −→
o ambos
o lxfxx
=+→
)(lim0
y ∞=−→
)(lim0
xfxx
{ }
���
�
���
�
�
��
�
��
�
�
=∞
====
∞====
∞===
≠∈∀=
∞∞−
→
∞+
→
→
∞
−
−
+
+
011
lim
lim)(lim
)0(
0:)(
0
11
0
0
11
0
0
01
1
eeee
eeexf
eef
xRxdomf
exf
x
x
x
x
x
x
{ }
( )
( )���
�
���
�
�
���
���
�
∞−==
∞+===
∞==
≠∈∀
=
−→
+→
→
−
+
sensenx
sen
sensenx
senxf
sensenf
xRxdomfx
senxf
x
x
x
011
lim
011
lim)(lim
01
)0(
0:
1)(
0
0
0
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Capítulo 2.7.2. CONTINUIDAD LATERAL: Una función )(xf se dice que es continua por la derecha del punto 0x cuando se verifica
que el límite de dicha función por la derecha es igual al valor de la función en dicho punto. )()(lim 0
0
xfxfxx
=+→
.
Por ejemplo:
��
���
==
=
=���
<−≥+
−
+
→
→→ 3)(lim
4)(lim)(lim
4)2(
21222
)(
2
2
2 xf
xfxf
f
xsix
xsixxf
x
x
x
)2()(lim2
fxfx
=+→
De igual forma, se dice que )(xf es continua a la izquieda de 0x cuando se verifica que
el límite de dicha función por la izquierda es igual al valor de la función en dicho punto, es decir, )()(lim 0
0
xfxfxx
=−→
.
Por ejemplo:
��
���
==
=
=���
≤+>−
−
+
→
→→ 5)(lim
2)(lim)(lim
5)1(
132113
)(
1
1
1 xf
xfxf
f
xsix
xsixxf
x
x
x
)1()(lim1
fxfx
=−→
Una función es continua en un intervalo abierto ( )ba, si lo es en todos los puntos del
intervalo y es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, cuando lo es en todos los puntos interiores del intervalo y lo es a la derecha de a y a la izquierda de b.
Capítulo 2.7.3. TEOREMA DE LA CONSERVACIÓN DEL SIGNO: Si una función )(xf es continua en un punto 0x y 0)( 0 ≠xf , entonces existe un entorno
de 0x en el cual la función tiene el mismo signo que en el punto 0x .
x
y
x0
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Capítulo 2.8. TEOREMA DE BOLZANO: Si una función es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, y toma valores de distinto signo
en a y en b, existe almenos un punto 0x interior al intervalo en el cual 0)( 0 =xf .
Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,
• ( ) ( ) 0· <bfaf Tesis:
( ) ( ) 0, =∈∃ cfbac
x
y
a b c’ c’’ c’’’
f(b)
f(a)
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Capítulo 2.9. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO O TEOREMA DE DARBOUX: Si )(xf es continua en [ ]ba, , la función alcanza en ese intervalo todos los valores
comprendidos entre )(af y )(bf .
[ ]Kcf
bac
bfKaf
=∈∃
<<
)(,
)()(
Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,
• ( ) ( )( )bfafK ,∈ Tesis:
( ) ( ) Kcfbac =∈∃ ,
x
y
a b c’ c’’ c’’’
f(b)
f(a)
K
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Capítulo 2.10. TEOREMA DE ACOTACIÓN: Toda función continua en [ ]ba, está acotada superior e inferiormente.
Hipótesis: • f es continua en [ ]ba, Tesis:
( ) KxfRK ≤∈∃ *
x
y
a b
f(b)
f(a)
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Capítulo 2.11. TEOREMA DE WEIERSTRASS: Si )(xf es continua en [ ]ba, , en dicho intervalo tiene un máximo y un mínimo.
Hipótesis: • f es continua en [ ]ba,
• ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]baxxfxfxfbaxx ,,,, 2121 ∈∀≤≤∈∃ Tesis:
( )( ) máximo esy
mínimo esy
2
1
Mxf
mxf
==
x
y
a b
f(b)
f(a)
máximo
mínimo