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Tema 2Continuidad y derivacin de funcionesreales de variable real

2.1. Funciones. Definiciones bsicas. Operaciones con funciones

2.1.1. Definiciones

Una funcin real de (una) variable real es una aplicacin f : A B donde A y B son subconjuntosde R, es decir, es una regla que hace corresponder a cada x A un nico elemento f (x) B, que sellama imagen de x mediante f .

Se llama expresin analtica de una funcin a la frmula matemtica que nos indica las opera-ciones que debemos realizar con el elemento x A para calcular f (x).

El conjunto A sobre el que la funcin est definida recibe el nombre de dominio de f . Cuando nose especifique el dominio de una funcin se entender que ste es el subconjunto ms grande deR en el que la expresin analtica que define a la funcin tiene sentido. Lo denotamos Dom( f ).

Se llama imagen o recorrido de f al conjunto, que representaremos por f (A) o por Im( f ), cuyoselementos son las imgenes de los puntos de A mediante f , es decir:

f (A) = Im( f ) = {y R : existe x A con f (x) = y}.

Una manera prctica de decidir si un punto y est o no en Im( f ) consiste en intentar resolver laecuacin f (x) = y, siendo x la incgnita de la ecuacin. Si somos capaces de despejar la x enfuncin de y con x A, entonces y Im( f ); de lo contrario y / Im( f ).

Se llama grfica de f a la curva y = f (x) del plano R2, es decir:

G( f ) = {(x,y) R2 : x A,y = f (x)}= {(x, f (x)) R2 : x A}.

Normalmente representaremos los puntos de A sobre el eje x (o eje de abcisas) y sus imgenesf (x) en el eje y (o eje de ordenadas). El punto (x0, f (x0)) se obtiene entonces como la intersec-cin de la recta vertical {x = x0} y la recta horizontal {y = f (x0)}. La grfica de f es la curvaen el plano que se forma cuando unimos todos estos puntos. Ntese que esta curva corta a cadalnea vertical a lo sumo una vez por la definicin de funcin. Adems, un nmero y0 pertenecera la imagen de f si la recta horizontal {y = y0} corta a la grfica de f al menos una vez.

UNIVERSIDAD DE GRANADA. CURSO 2012-13

Funciones. Definiciones bsicas. Operaciones con funciones 2

Ejemplo: Para la funcin f : R R dada por f (x) = x2 su dominio es R. Su expresin analticaes la frmula y = x2, que nos indica como calcular la imagen de cualquier elemento x. El recorridode esta funcin estar formada por aquellos y R tales que la ecuacin x2 = y tiene solucin en laincgnita x. Ahora, si queremos despejar la x en la ecuacin x2 = y, necesitamos hacer la raz cuadradade y, para lo que se precisa que y 0. En tal caso, al despejar tendramos x =y. Concluimos queIm( f ) = [0,+). Por otro lado, es bien sabido que la grfica de f es una parbola cuyo vrtice es elpunto (0,0).

Ejemplo: Para la funcin f : (0,1) R dada por f (x) = 1/x su dominio est especificado y esel intervalo abierto y acotado (0,1). Su expresin analtica es la frmula y = 1/x, que nos indicacomo calcular la imagen de cualquier elemento x. Por otro lado, como no se puede dividir por cero, elconjunto ms grande donde la funcin est bien definida es Dom( f ) =R{0}=R. La grfica de fes el trozo de la hiprbola xy = 1 cuando x (0,1).

Se dice que una funcin f : A R est acotada superiormente si su grfica se queda siemprepor debajo de una recta horizontal, es decir, existe K R tal que f (x) K para cada x A. Se diceque f est acotada inferiormente si su grfica se queda siempre por encima de una recta horizontal,es decir, existe M R tal que f (x) M para cada x A. Se dice que f est acotada si lo estsuperior e inferiormente. Geomtricamente, sto significa que la grfica de f est contenida dentrode una banda horizontal del plano, equivalentemente, el recorrido de la funcin est contenido en unintervalo cerrado y acotado de R.

Ejemplos: La funcin f : RR dada por f (x) = x3 no est acotada ni superior ni inferiormente,ya que su recorrido es todo R. La funcin g(x) = x2 +1 est acotada inferiormente por 1 pero no estacotada superiormente ya que toma valores arbitrariamente grandes. La funcin g(x) = 1/(x2 + 1)est acotada superiormente por 1 ya que el denominador est acotado inferiormente por 1. Adems,est tambin acotada inferiormente ya que toma siempre valores positivos.

Se dice que una funcin f es creciente si para cualesquiera x < y se cumple que f (x) f (y).Geomtricamente, sto significa que la grfica de f siempre sube o se mantiene constante. Se dice quef es estrictamente creciente si para cualesquiera x < y se cumple f (x)< f (y) (siempre sube). Se dice que una funcin f es decreciente si para cualesquiera x < y se cumple que f (x) f (y).

Geomtricamente, sto significa que la grfica de f siempre baja o se mantiene constante. Se dice quef es estrictamente decreciente si para cualesquiera x < y se cumple f (x)> f (y) (siempre baja).

Ejemplos: La funcin f : RR dada por f (x) = x es una funcin creciente: su grfica es la rectaque pasa por (0,0) y (1,1). La funcin f (x) = x es decreciente: su grfica es la recta que pasa por(0,0) y (1,1). La funcin g : R R dada por g(x) = x2 no es creciente ni decreciente.

Una funcin f : R R se dice que es par si para cada x se cumple que f (x) = f (x). Ge-omtricamente, sto significa que la grfica de f es simtrica respecto del eje de ordenadas. Una funcin f : R R se dice que es impar si para cada x se cumple que f (x) = f (x).

Geomtricamente, sto significa que la grfica de f es simtrica respecto del origen de coordenadas.

Ejemplos: La funcin f : R R dada por f (x) = |x| es una funcin par ya que f (x) = | x|=|x| = f (x). La funcin g(x) = x3 es una funcin impar, ya que g(x) = (x)3 = x3 = g(x). Lafuncin h(x) = 2x+7 no es ni par ni impar.



-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3 f!x"!#x#

Figura 2.1: La funcin valor absoluto

Una funcin f :RR se dice que es peridica si existe un valor T > 0 de forma que f (x+T ) =f (x) para cada x R. Geomtricamente, sto significa que la grfica de f consta de un trozo funda-mental que se va repitiendo a lo largo de todo el eje x. Esto ocurre con las funciones trigonomtricas:por ejemplo f (x) = sen(x) y g(x) = cos(x) son funciones peridicas.

A continuacin proporcionamos formas de fabricar nuevas funciones a partir de dos dadas. Si f ,g : A R son dos funciones con el mismo dominio, se definen la suma, el producto y el

cociente de f y g, como las funciones f +g, f g : AR y ( f/g) : A{x A : g(x) = 0}R dadaspor:

( f +g)(x) = f (x)+g(x), ( f g)(x) = f (x)g(x),(

fg

)(x) =

f (x)g(x)

,

donde la ltima expresin slo tiene sentido cuando g(x) 6= 0. Se define el producto de un nmero R por una funcin f : AR como la funcin f : AR dada por ( f )(x) = f (x). Se puededemostrar que el conjunto de todas las funciones definidas en A es un espacio vectorial sobre R conla suma y el producto por nmeros definido anteriormente.

Ejemplo: Supongamos que tenemos las funciones f ,g : RR dadas por f (x) = sen(x) y g(x) =x. La suma de f y g es la funcin f + g : R R dada por ( f + g)(x) = sen(x)+ x. El producto def y g es la funcin f g : R R dada por ( f g)(x) = x sen(x). El cociente de f y g es la funcinf/g : R{0} R dada por ( f/g)(x) = (sen(x))/x (obsrvese que hemos tenido que suprimir deldominio los puntos que anulan al denominador para que la expresin resultante tenga sentido). Porltimo 9 f es la funcin 9 f : R R definida por (9 f )(x) = 9 sen(x).

Si f y g son dos funciones, definimos la composicin de g y f , que representaremos por g f ,como la funcin (g f )(x) = g( f (x)). La forma en la que trabaja la nueva funcin g f es la siguiente:para cada x, primero hace trabajar f sobre x, de modo que calculamos f (x); a continuacin trabaja lafuncin g pero no sobre x, sino sobre el valor f (x) previamente calculado.

Ejemplo: La composicin de funciones no es una operacin conmutativa en general. Esto lopodemos ver en el siguiente ejemplo: sean f (x) = x2 +1 y g(x) = x3. Se tiene:

(g f )(x) = g( f (x)) = g(x2 +1) = (x2 +1)3 = x22,

mientras que:

( f g)(x) = f (g(x)) = f (x3) = (x3)2 +1 = x2 +96x+1 = x26x+10.



2.1.2. Inversa para la composicin de una funcin

Normalmente, se suele entender que la inversa de una funcin f es la funcin 1/ f que definimosms arriba y que trabaja como (1/ f )(x)= 1/ f (x). No obstante, existe otro concepto de funcin inversaque puede llevar a confusin con el anterior al llamarse de la misma manera. Para introducir estesegundo concepto de inversa necesitamos unas definiciones previas.

Sea f : A B una aplicacin entre dos subconjuntos de R. Se dice que f es inyectiva si no tomados veces el mismo valor, es decir, si x,y A y x 6= y, entonces f (x) 6= f (y). Geomtricamente, stosignifica que cada recta horizontal del plano corta a la grfica de f en a lo sumo un punto. Se dice que una aplicacin f : AB es sobreyectiva si cada elemento de B es la imagen mediante

f de algn elemento de A, es decir, Im( f ) = B. Dicho de otra manera, la ecuacin f (x) = y siempretiene solucin en x A, sea cual sea el nmero real y B. Geomtricamente, sto significa que cadarecta horizontal del plano con altura y B corta a la grfica de f por lo menos en un punto. Se dice que f : A B es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Geomtricamente, sto

significa que cada recta horizontal del plano con altura y B corta a la grfica de f en exactamenteun punto; equivalentemente, cada nmero real y B es la imagen de exactamente un elemento x Amediante f . Dicho de otra manera, para cada real yB existe una sola solucin de la ecuacin f (x)= ycon xA. A esta nica solucin que, evidentemente, depende de y, la representaremos por x= f1(y).A la funcin f1 : B A definida por f1(y) = nico valor x A tal que f (x) = y, la llamaremos lafuncin inversa para la composicin de f .Importante: La funcin inversa para la composicin f1 que acabamos de definir NO COINCIDEcon 1/ f , es decir, no es lo mismo f1(y) que 1/ f (y).

Ejemplo 1: Consideremos la funcin f : RR dada por f (x) = 2x+7. La grfica de f es la rectaque pasa por los puntos (0,7) y (3,1) (dibujarla). Por tanto, es una funcin biyectiva, ya que cadarecta horizontal del plano corta a la grfica de f en exactamente un punto. Para calcular la inversaponemos y = 2x+7, y despejamos x en funcin de y. Al hacerlo se obtiene x = (y7)/2, con lo quef1(y) = (y7)/2, cuya grfica es otra recta (dibujarla). Obsrvese que la grficas de f y de f1 sonsimtricas con respecto a la recta y = x (bisectriz del primer y tercer cuadrante del plano).

Ejemplo 2: Consideremos la funcin f : RR dada por f (x) = x2, cuya grfica es una parbolacon vrtice en el origen de coordenadas. Es claro que f no es inyectiva ya que cada recta horizontal{y = K} con K > 0 corta a la grfica dos veces. Esto es un reflejo de que la ecuacin x2 = y tienesiempre dos soluciones cuando y > 0, concretamente, x = y. Tampoco es sobreyectiva, porquecada recta {y = K} con K < 0 no corta a la grfica de f , o lo que es lo mismo, la ecuacin x2 = y notiene solucin siempre que y < 0.

Cmo obtener a partir de esta funcin otra que sea biyectiva? Para arreglar el problema de lafalta de inyectividad tenemos que restringir el dominio de f a un subconjunto donde la funcin norepita valores; sto ocurre por ejemplo en [0,+) y en (,0]. As, la funcin g : [0,+) R dadapor g(x) = x2 s es inyectiva (nos estamos quedando con la rama derecha de la parbola) pero siguesin ser sobreyectiva porque la grfica no corta a las rectas horizontales {y = K} con K < 0. Paraarreglar la falta de sobreyectividad se sustituye el conjunto de llegada de la funcin por el recorridode la funcin. En este caso, es claro que el recorrido de g es el conjunto [0,+) (todo nmero realno negativo es el cuadrado de su raz cuadrada). Concluimos que la funcin h : [0,+) [0,+)dada por h(x) = x2 es biyectiva. Para calcular su inversa para la composicin escribimos y = x2, ydespejamos x en funcin de y. Deducimos que x =

y, con lo que la inversa para la composicin de h

es la funcin h1(y) =

y.


Repaso de las funciones elementales 5

En definitiva, si queremos construir una funcin biyectiva a partir de otra que no lo es, debemosrestringir el dominio de la funcin para hacerla inyectiva, y el conjunto de llegada por el recorridode la funcin para hacerla sobreyectiva. Con estas restricciones, podemos calcular la inversa para lacomposicin de la funcin escribiendo y = f (x), y despejando la variable x en funcin de y. Si f es biyectiva y f1 es su inversa para la composicin, entonces es claro de la definicin

de f1 que ( f1 f )(x) = x y ( f f1)(y) = y. Adems, las grficas de f y de f1 son simtricasrespecto de la recta y = x.

2.1.3. Idea intuitiva de lmites y continuidad

Hablaremos con ms detalle y rigor de los conceptos de lmite y continuidad en las seccionestercera y cuarta de este tema. Aqu nos conformaremos con dar ideas intuitivas que nos sirvan paracomprender estas nociones y los ejemplos que expondremos en la seccin siguiente. Sea f una funcin definida alrededor de un punto x0 R (no hace falta que f est definida en

x0, pero s alrededor de x0). Sea L R{} (sto significa que L puede representar a + o a ,que no son nmeros). Diremos que f tiene lmite L cuando x tiende a x0 si cada vez que le damos a lavariable independiente x valores muy cercanos a x0 entonces los valores de la funcin f (x) estn muycercanos del valor L. En tal caso escribimos:

lmxx0

f (x) = L.

Diremos que f tiene lmite L cuando x tiende a + (resp. ) si cada vez que le damos a lavariable independiente x valores muy grandes (resp. muy pequeos) entonces los valores de la funcinf (x) estn muy cercanos del valor L. En tal caso escribimos:

lmx+

f (x) = L (resp. lmx

f (x) = L).

Intuitivamente una funcin f : I R definida sobre un intervalo I es continua si la grfica esuna curva que no presenta saltos ni interrupciones, es decir, para dibujarla no tenemos que levantar elbolgrafo del papel.

2.2. Repaso de las funciones elementales

Esta seccin est dedicada a recordar algunas funciones bsicas y sus propiedades.

1. Funcin potencial de exponente b (b 6= 0): Estas funciones estn definidas en todo R cuandob N. Para b arbitrario, a veces el dominio de definicin es R = R{0} (por ejemplo parab =1), otras es R+0 (por ejemplo, para b = 1/2), y otras es R+ = (0,+) (por ejemplo, parab = 1/2). Aqu nos restringiremos a estudiar el comportamiento de la funcin en R+. Portanto consideramos la funcin f : R+ R dada por f (x) = xb. Propiedades:

a) f es biyectiva de R+ en R+ y continua.b) (xy)b = xbyb, (x/y)b = xb/yb (xb)c = xbc.

c) Si b > 0, entonces f es estrictamente creciente en R+, lmx0

xb = 0 y lmx+

xb =+.

d) Si b < 0, entonces f es estrictamente decreciente en R+, lmx0

xb =+ y lmx+

xb = 0.



0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

10

Figura 2.2: Funcin potencial con b > 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

20

40

60

80

Figura 2.3: Funcin potencial con b < 0

2. Funciones polinmicas: Una funcin polinmica de grado n es una funcin p : R R cuyaexpresin analtica es de la forma p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x+ a0, donde todos los aison nmeros reales, todos los exponentes son naturales, y an 6= 0. El coeficiente an se llamacoeficiente lder. Los polinomios de grado 0 son de la forma p(x) = a0, es decir son funcionesconstantes. Los polinomios de grado 1 son de la forma p(x) = a1x+ a0, cuyas grficas sonrectas con pendiente a1 6= 0 que pasan por el punto (0,a0). Los polinomios de grado 2 son dela forma p(x) = a2x2 +a1x+a0, y es bien sabido que sus grficas son parbolas. Las funcionespolinmicas son continuas en R.

3. Funciones racionales: Llamaremos funcin racional a toda funcin r(x) = p(x)q(x) , donde p(x) yq(x) son funciones polinmicas. Como no se puede dividir por cero, el dominio de una funcinracional es Dom(r) = R{x : q(x) = 0}. Son funciones continuas en cada intervalo de sudominio.

4. Funcin exponencial: Es la funcin f : R R, definida por f (x) = ex (el nmero e es unnmero irracional cuyo valor aproximado es 2,71828). Propiedades de esta funcin:

a) f es continua en todo R, biyectiva de R en R+, y estrictamente creciente.b) f est acotada inferiormente por 0; de hecho, ex > 0 para cada x R.c) e0 = 1,ex+y = exey,exy = ex/ey,(ex)y = exy.

d) lmx

ex = 0, lmx+

ex =+.

-3 -2 -1 1 2 3

5

10

15

20

Figura 2.4: La funcin exponencial



5. Funcin logaritmo neperiano: Es la funcin ln : R+ R que coincide con la inversa para lacomposicin de la funcin exponencial. Esto significa que ln(y) = nico nmero real x tal queex = y. Algunas propiedades de esta funcin son las siguientes:

a) Es continua en R+, biyectiva de R+ en R, y estrictamente creciente.b) Es una funcin no acotada superior ni inferiormente; de hecho, su imagen es R.c) ln1 = 0, lne = 1, lnek = k, ln(xy) = lnx+ lny, ln( xy) = lnx lny, ln(x

y) = y lnx.

d) lmx0+

lnx =, lmx+

lnx =+.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-8

-6

-4

-2

Figura 2.5: La funcin logaritmo neperiano

6. Funcin exponencial de base a > 0 (a 6= 1): Es la funcin f : R R dada por f (x) = ax,para cada x R. Algunas propiedades de esta funcin son las siguientes:

a) f es biyectiva de R en R+, continua, y acotada inferiormente por 0; de hecho, ax > 0 paracada x R. No est acotada superiormente.

b) a0 = 1, ax+y = axay, axy = ax/ay, (ax)y = axy.

c) Si a > 1, entonces f es estrictamente creciente, lmx

ax = 0, lmx+

ax =+.

d) Si 0 < a < 1, entonces f es estrictamente decreciente, lmx

ax =+, lmx+

ax = 0.

-3 -2 -1 1 2 3

5

10

15

20

Figura 2.6: Funcin exponencial con a > 1

-3 -2 -1 1 2 3

5

10

15

20

Figura 2.7: Funcin exponencial con 0 < a < 1



7. Funcin logartmica de base a > 0 (a 6= 1): Es la funcin f : R+ R dada por f (x) =loga x =

lnxlna , para todo x R

+. Coincide con la inversa para la composicin de la funcinexponencial de base a. Algunas de sus propiedades son:

a) Es biyectiva de R+ en R y continua. No est acotada ni superior ni inferiormente.b) loga(xy) = loga x+ loga y, loga(

xy) = loga x loga y, loga(x

y) = y loga x.

c) Si a > 1, loga es estrictamente creciente, lmx0+

loga x =, lmx+ loga x =+.

d) Si 0 < a < 1, loga es estrictamente decreciente, lmx0+

loga x =+, lmx+ loga x =.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-8

-6

-4

-2

Figura 2.8: Funcin logaritmo con a > 1

1 2 3 4

-2

2

4

6

Figura 2.9: Funcin logaritmo con 0 < a < 1

8. Funciones seno y coseno: Son las funciones trigonomtricas sen,cos : R R.

a) Ambas son continuas en todo R. Sus recorridos coinciden con el intervalo [1,1], por loque son funciones acotadas. No tienen lmite ni en + ni en .

b) Son peridicas, ya que: sen(x+2) = sen(x), cos(x+2) = cos(x) para todo x R.c) sen : [2 ,

2 ] [1,1] es biyectiva y estrictamente creciente.

d) cos : [0,] [1,1] es biyectiva y estrictamente decreciente.e) sen(x) = 0 si y slo si x = k con k un nmero entero, sen(x) = 1 si y slo si x = 2 +2k

con k un nmero entero, sen(x) =1 si y slo si x = 32 +2k con k un nmero entero.f ) cos(x) = 0 si y slo si x = 2 + k con k un nmero entero, cos(x) = 1 si y slo si x = 2k

con k un nmero entero, cos(x) =1 si y slo si x = (2k+1) con k un nmero entero.g) Seno es impar: sen(x) = sen(x) para todo x R. Coseno es par: cos(x) = cos(x)

para todo x R.



Figura 2.10: La funcin seno Figura 2.11: La funcin coseno

9. Funcin tangente: Es la funcin dada por el cociente entre la funcin seno y la funcincoseno. Por tanto, estar bien definida slo en los puntos donde cos(x) 6= 0. Las solucionesde la ecuacin cos(x) = 0 son x = 2 + k, con k Z (Z = conjunto de los nmeros enteros).Definimos la funcin tangente tg : A R como tg(x) = senxcosx , para todo x A, siendo A =R{2 + k : k Z}.

a) Es continua en cada intervalo de A y no est acotada ni superior ni inferiormente. Surecorrido es R.

b) Es una funcin peridica: tg(x + ) = tg(x) para todo x A. Es una funcin impar:tg(x) = tg(x).

c) tg : (2 ,2 ) R es biyectiva y estrictamente creciente. Adems:

lmx 2

+tg(x) =, lm

x 2

tg(x) = +.

Figura 2.12: La funcin tangente

Algunos valores significativos de ls funciones seno, coseno y tangente son:

0 /6(= 30o) /4(= 45o) /3(= 60o) /2(= 90o)sen 0 1/2

2/2

3/2 1

cos 1

3/2

2/2 1/2 0tg 0

3/3 1

3



10. Funciones cosecante, secante y cotangente: Las soluciones de la ecuacin sen(x) = 0 sonx = k, con k nmero entero. Definimos el conjunto B = R{k : k Z} y las funciones:

cosec : B R, cosec(x) = 1sen(x)

, para todo x B,

sec : A R, sec(x) = 1cos(x)

, para todo x A,

cotg : B R, cotg(x) = cos(x)sen(x)

, para todo x B.

11. Funcin arcoseno: Es la inversa para la composicin de la funcin sen : [2 ,2 ] [1,1].

Por tanto, es la funcin arcsen : [1,1] [2 ,2 ] definida de la siguiente manera: para cada

y [1,1] se tiene que arcsen(y) es el nico ngulo en el intervalo [2 ,2 ] cuyo seno coincide

con y. Algunas propiedades son:

a) Es biyectiva, continua y estrictamente creciente. Es impar.

b) arcsen(1) =/2, arcsen(0) = 0, arcsen(1) = /2.

12. Funcin arcocoseno: Es la inversa para la composicin de la funcin cos : [0,] [1,1].Por tanto, es la funcin arccos : [1,1] [0,] definida de la siguiente manera: para caday [1,1] se tiene que arccos(y) es el nico ngulo en el intervalo [0,] cuyo coseno coincidecon y. Algunas propiedades de esta funcin son:

a) Es biyectiva, continua y estrictamente decreciente.

b) arccos(1) = , arccos(0) = /2, arccos1 = 0.

Figura 2.13: Las funciones arcoseno y arcocoseno

13. Funcin arcotangente: Es la inversa para la composicin de la funcin tg : (2 ,2 ) R. Por

tanto, es la funcin arc tg : R (2 ,2 ) definida de la siguiente manera: para cada y R se

tiene que arc tg(y) es el nico ngulo en el intervalo (2 ,2 ) cuya tangente coincide con y.

a) Es biyectiva, continua, estrictamente creciente, impar y acotada.

b) lmx arc tg(x) =/2, arc tg(0) = 0, arc tg(1) =/4, lmx+ arc tg(x) = /2.


Repaso de lmites 11

Figura 2.14: La funcin arcotangente

2.2.1. Identidades trigonomtricas

Identidades pitagricas

sen2(x)+ cos2(x) = 1, tg2(x)+1 = sec2(x), cotg2(x)+1 = cosec2(x).

Suma y diferencia de ngulos

sen(x y) = sen(x) cos(y) cos(x) sen(y),cos(x y) = cos(x) cos(y) sen(x) sen(y),

tg(x y) = tg(x) tg(y)1 tg(x) tg(y)

.

ngulo doble

sen(2x) = 2sen(x) cos(x), cos(2x) = 2cos2(x)1 = cos2(x) sen2(x).

ngulo mitad

sen2(x) =1 cos(2x)

2, cos2(x) =

1+ cos(2x)2

, tg( x

2

)=

1 cos(x)sen(x)

=sen(x)

1+ cos(x).

2.3. Repaso de lmites

2.3.1. Definicin de lmite y propiedades

Representamos por N al conjunto de los nmeros naturales. Una sucesin de nmeros reales es unamanera de hacer corresponder a cada nmero natural n N un nico nmero real, que representamospor xn, y que llamamos trmino n-simo de la sucesin. Por ejemplo, la sucesin {1/n} viene dadapor la familia de nmeros {1,1/2,1/3,1/4, . . .}. El trmino 5-simo de esta sucesin es 1/5. Diremos que una sucesin {xn} tiende a un nmero real L si podemos hacer que todos los

trminos n-simos de la sucesin se aproximen tanto como queramos al nmero L sin ms que tomarn suficientemente grande. Esto lo representamos por {xn} L o por lmn+ xn = L. Diremos que una sucesin {xn} tiende a + si podemos hacer que todos los trminos n-simos

de la sucesin sean tan grandes como queramos sin ms que tomar n suficientemente grande. Esto lorepresentamos por {xn}+ o por lmn+ xn =+.


Repaso de lmites 12

Diremos que una sucesin {xn} tiende a si podemos hacer que todos los trminos n-simosde la sucesin sean tan pequeos como queramos sin ms que tomar n suficientemente grande. Estolo representamos por {xn} o por lmn+ xn =.

Ejemplos: Consideremos las siguientes sucesiones:

(a) xn = 1/n, es decir, la sucesin es {1,1/2,1/3,1/4, . . .},

(b) yn = n2, es decir, la sucesin es {1,4,9,16, . . .},

(c) zn =n3 +n2 +1, es decir, la sucesin es {1,3,17, . . .},

(d) tn = (1)n, es decir, la sucesin es {1,1,1,1,1, . . .}.

Entonces se cumple que:

lmn+

xn = 0, lmn+

yn =+, lmn+

zn =,

mientras que {tn} no tiende a ningn valor real ni tampoco a .

A continuacin procedemos a definir el concepto de lmite de una funcin f (x) cuando x tiende aun valor concreto x0. Sea f una funcin definida alrededor de un punto x0 (no es necesario que x0 pertenezca al

dominio de la funcin, es decir, podra no existir f (x0)). Sea L R {} (sto significa que Lpuede representar a + o a , que no son nmeros). Decimos que f tiene lmite L cuando x tiendea x0, y lo simbolizamos

lmxx0

f (x) = L,

si para cada sucesin de nmeros reales {xn} distintos todos ellos de x0 y tal que {xn} tiende a x0, secumple que la correspondiente sucesin de imgenes { f (xn)} tiende a L. En lenguaje simblico:

lmxx0

f (x) = L{xn} x0, xn 6= x0, se cumple { f (xn)} L.

Nota: resaltemos nuevamente que para hablar de lmite de una funcin en un punto no es nece-sario que la funcin est definida en el punto. Nota: el lmite de una funcin en un punto no tiene por qu existir. Esto es lo que ocurre en

x0 = 0 con la funcin definida por f (x) =1 si x < 0 y f (x) = 1 si x > 0.

Hay ocasiones en las que una funcin tiene distintas expresiones a la izquierda y a la derecha de unpunto x0 (funciones definidas a trozos). Para estudiar estas situaciones se definen los lmites laterales,que permiten estudiar el comportamiento de la funcin a ambos lados de x0. Sea f una funcin definida a la izquierda de x0. Decimos que el lmite lateral por la izquierda

de f en x0 es L, y lo representamoslm

xx0f (x) = L,

si para cada sucesin de nmeros reales {xn} con xn < x0 y tal que {xn} x0, se cumple que{ f (xn)} L. Sea f una funcin definida a la derecha de x0. Decimos que el lmite lateral por la derecha de f

en x0 es L, y lo representamoslm

xx+0f (x) = L,


Repaso de lmites 13

si para cada sucesin de nmeros reales {xn} con xn > x0 y tal que {xn} x0, se cumple que{ f (xn)} L.

La idea de los lmites laterales consiste en estudiar hacia dnde tiende una funcin cuando nosacercamos a un punto por ambos lados del mismo. El siguiente resultado relaciona la existencia y elvalor del lmite de una funcin en un punto con la existencia y el valor de los lmites laterales de lafuncin en dicho punto.

Teorema 2.1. Sea f una funcin definida alrededor de un punto x0 y L R{}. Entonces setiene:

lmxx0

f (x) = L lmxx0

f (x) = L y lmxx+0

f (x) = L.

(el lmite existe si y slo si existen los dos lmites laterales y son iguales).

Nota: los lmites laterales en un punto x0 hay que calcularlos cuando la funcin tiene distinta expresinanaltica a la izquierda y a la derecha de x0 (funciones a trozos). Cuando la funcin slo est definidaa un lado de x0 hay que estudiar el lmite lateral por ese lado y nada ms.

Algunas propiedades de los lmites (que son tambin vlidas para lmites laterales) son:

1. lmxx0( f (x)+g(x)) = lmxx0 f (x)+ lmxx0 g(x).

2. lmxx0( f (x)) = lmxx0 f (x).3. lmxx0( f (x)g(x)) = (lmxx0 f (x)) (lmxx0 g(x)).

4. lmxx0f (x)g(x) =

lmxx0 f (x)lmxx0 g(x)

, siempre que lmxx0 g(x) 6= 0.

5. lmxx0 f (x)g(x) = (lmxx0 f (x))

lmxx0 g(x).

Ejemplo: Sea p(x) = anxn +an1xn1 + +a1x+a0 una funcin polinmica. Por la definicinde lmite y las propiedades, se obtiene fcilmente que:

lmxx0

p(x) = p(x0),

es decir para calcular el lmite de una funcin polinmica cuando x x0, basta con evaluar la funcinpolinmica en el punto x0. Por ejemplo:

lmx1

(2x2 +5x7) =2(1)2 +5(1)7 =257 =14.

Ejemplo: Sea r(x) = p(x)q(x) una funcin racional. Teniendo en cuenta el ejemplo anterior y laspropiedades de los lmites deducimos que si q(x0) 6= 0, entonces:

lmxx0

r(x) = r(x0) =p(x0)q(x0)

,

es decir, para calcular el lmite de una funcin racional en un punto que no sea una raz del denomi-nador, basta con evaluar la funcin en el punto. Por ejemplo:

lmx0

x312x+7

=17.


Repaso de lmites 14

2.3.2. Lmites en el infinito

Hasta ahora hemos estudiado el comportamiento de una funcin en las cercanas de un puntox0 R. Ahora estudiaremos el comportamiento que puede presentar una funcin cuando la variable xtoma valores arbitrariamente grandes (x+) o pequeos (x). Sea f : R R una funcin y L R{}. Decimos que

lmx+

f (x) = L,

si para cada sucesin de nmeros reales {xn} tal que {xn} + se cumple que { f (xn)} L. Delmismo modo, diremos que

lmx

f (x) = L,

si para cada sucesin de nmeros reales {xn} tal que {xn} se cumple que { f (xn)} L. Loslmites cuando x cumplen las mismas propiedades que los lmites cuando x x0.Nota: para calcular lmx f (x) se suele proceder de este modo: se calcula f (x) y se calcula ellmx+ f (x). En otras palabras:

lmx

f (x) = lmx+

f (x).

2.3.3. Indeterminaciones. Tcnicas bsicas para calcular lmites

Al calcular lmites muchas veces nos encontramos con operaciones que involucran a 0 y . Enalgunas situaciones estas operaciones tienen resultados concretos pero en otras no. En este ltimo casoestamos ante una indeterminacin. El clculo de lmites est basado en tcnicas que ayudan a resolverdistintos tipos de indeterminaciones.

Algunas operaciones que involucran a y tienen resultados concretos son las siguientes:a() = si a > 0, a() = si a < 0.++ =+, =.a+ =+, a =, para todo a R.(+)(+) = +, ()() = +, (+)() =, ()(+) =.0 =,

0 = 0,

a = 0,

a0 =, para cualquier a 6= 0.

a+ =+ si a > 1, a+ = 0 si 0 < a < 1.a = 0 si a > 1, a =+ si 0 < a < 1.0+ = 0, 0 =.

Las indeterminaciones (operaciones que involucran a 0 o que no siempre dan el mismo resul-tado y que hay que estudiar en cada caso particular) son las siguientes:

De tipo suma: +, +.De tipo producto: 0().De tipo cociente: 00 ,

.

De tipo exponencial: ()0, 00, 1.


Repaso de lmites 15

Ejemplos: Calcularemos algunos lmites sencillos siguiendo las reglas anteriores. Para resolveralgunas indeterminaciones como + es muchas veces suficiente con realizar operaciones.

lmx0

1x2

=

(1

0+

)=+.

lmx0

(1x2 1

x4

)= (+) indeter. = lm

x0

x21x4

=

(10+

)=.

Ejemplos: Al calcular el lmite de una funcin racional cuando x tiende a una raz del denomi-nador nos podemos encontrar con una indeterminacin del tipo 00 . En este caso, factorizamos numer-ador y denominador por la regla de Ruffini para simplificar los factores causantes de la indetermi-nacin.

lmx1+

x1x2 +12x

=

(00

)indeter. = lm

x1+x1

(x1)2= lm

x1+1

x1=

(1

0+

)=+.

lmx1

x33x2 +3x1x41

=

(00

)= lm

x1

(x1)3

(x+1)(x1)(x2 +1)= lm

x1

(x1)2

(x+1)(x2 +1)=

04= 0.

lmx1

x23x+2x1

=

(00

)= lm

x1

(x1)(x2)x1

= lmx1

(x2) =1.

Ejemplos: En los lmites indeterminados en los que aparecen races la tcnica ms til suele sermultiplicar numerador y denominador por las expresiones conjugadas de las races que intervengan.

lmx0

x+11

x=

(00

)indeter. = lm

x0

(

x+11)(

x+1+1)x(

x+1+1)=

= lmx0

x+11x(

x+1+1)= lm

x0

xx(

x+1+1)= lm

x0

1x+1+1

=1

0+1+1=

12,

donde en la tercera igualdad hemos aplicado que (ab)(a+b) = a2b2.

Ahora estudiaremos como resolver la indeterminacin 1. Recordemos que el nmero e es unnmero real irracional con las siguientes propiedades:

e (2,3). Concretamente, e = 2,71828 . . .e0 = 1, e+ =+, e = 0.

Las indeterminaciones del tipo 1 se suelen resolver con el siguiente resultado:Criterio 1. Sean f y g dos funciones definidas alrededor de un punto x0 (el criterio tambin escierto si x0 =), de forma que lmxx0 f (x) = 1. Entonces se verifica:

lmxx0

f (x)g(x) = elmxx0 g(x)( f (x)1).

Ejemplo: Calcularemos un par de lmites haciendo uso del criterio anterior.

lmx3+

(2x5)1/(x3) = (1+) indeter. = elmx3+1

x3 (2x51) = elmx3+2x6x3 .

Ahora, como

lmx3+

2x6x3

=

(00

)= lm

x3+2(x3)

x3= 2,


Repaso de lmites 16

deducimos quelm

x3+(2x5)1/(x3) = e2,

con lo que concluye este caso. Otro ejemplo es el siguiente:

lmx+

(1+

1x

)x= (1+) = elmx+ x(1+

1x1) = elmx+

xx = e.

Ahora resolveremos algunas indeterminaciones que se pueden presentar cuando tomamos lmiteal tender x a en funciones polinmicas y racionales.

Ejemplo: Si p(x) = anxn + + a1x+ a0 es una funcin polinmica de grado n 1 (an 6= 0),entonces lmx+ p(x) puede dar lugar a una indeterminacin del tipo + o +. Este lmitese puede calcular siempre haciendo uso de la siguiente regla:

lmx+

p(x) = + si an > 0,

lmx+

p(x) = si an < 0.

Para calcular lmx p(x) usamos la regla anterior junto con el hecho comentado hace algunas pgi-nas de que lmx p(x) = lmx+ p(x). Por ejemplo:

lmx

(2x33x+7) = lmx+

(2(x)33(x)+7) = lmx+

(2x3 +3x+7) = +,

ya que el coeficiente lder del polinomio es 2 > 0.

Ejemplo: Sea r(x) = p(x)q(x) una funcin racional. Esto significa que p(x) es un polinomio de gradon, por ejemplo p(x) = anxn + +a0 y q(x) es un polinomio de grado m, por ejemplo q(x) = bmxm + +b0. Por el ejemplo anterior, al intentar calcular

lmx+

p(x)q(x)

siempre se obtiene una indeterminacin del tipo . Esta indeterminacin se resuelve dividiendonumerador y denominador por la potencia ms grande de x que aparezca en p(x) y en q(x). Estemtodo da lugar a la siguiente regla (regla de los grados):

lmx+

p(x)q(x)

= L,

donde L se determina segn los siguientes casos:

L = 0 si m > n, es decir, el grado del denominador es ms grande que el grado del numerador,

L = si n > m, es decir el grado del numerador es ms grande que el del denominador.Adems, el signo del coincide con el signo de an/bm,L = anbn si n = m, es decir, cuando numerador y denominador tienen el mismo grado, el lmitecoincide con el cociente entre los coeficientes lderes de ambos polinomios.


Repaso de lmites 17

Veamos algunos ejemplos concretos de aplicacin de la regla anterior.

lmx+

2x2 +1x7

=,

ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador y (2)/1 es negativo.

lmx+

x3 +72x3 +3

=12,

ya que numerador y denominador tienen el mismo grado y los coeficientes lderes son1 y 2, respec-tivamente.

lmx+

xx2 +1

= 0,

ya que el grado del denominador es mayor que el del numerador. Para calcular el lmite de una funcinracional r(x) cuando x se usa lmx r(x) = lmx+ r(x), y se aplica la regla de los gradospara calcular lmx+ r(x). Veamos algunos ejemplos concretos:

lmx

2x2 +1x7

= lmx+

2(x)2 +1x7

= lmx+

2x2 +1x7

=+.

lmx

x3 +72x3 +3

= lmx+

(x)3 +72(x)3 +3

= lmx+

x3 +72x3 +3

=12.

lmx

xx2 +1

= lmx+

x(x)2 +1

= lmx+

xx2 +1

= 0.

Ejemplos: Ahora resolveremos algunas indeterminaciones cuando x para funciones conradicales. Bastar con aplicar conjuntamente algunas de las tcnicas ya aprendidas.

lmx+

(

x+1

x) = (+) = lmx+

(

x+1

x)(

x+1+

x)x+1+

x

=

= lmx+

x+1 xx+1+

x= lm

x+

1x+1+

x=

(1+

)= 0.

lmx

x4 +1x2 +1

= lmx+

(x)4 +1(x)2 +1

=

(++

)= lm

x+

x4 +1x2 +1

=+ =+,

donde al final hemos usado la regla de los grados para calcular el lmite de una funcin racional (laque est dentro de la raz).

lmx+

x3 +2x+1

=

(++

)= lm

x+

1x+1

x3(

1+2x3

)= lm

x+

xx+1

x(

1+2x3

)=+.

2.3.4. Estudio de las asntotas de una funcin

En general, dada la grfica de una funcin, una asntota es una recta a la cual dicha grfica seaproxima cada vez ms. Ahora discutiremos con detalle y de forma ms rigurosa los diferentes casosque se pueden presentar. Diremos que la recta {x = x0} es una asntota vertical de una funcin f (x) si se cumple que

lmxx0 f (x) = (el lmite puede ser lateral). Los puntos x0 en los que una funcin presenta una


Repaso de continuidad 18

asntota de este tipo hay que buscarlos entre aquellos que no pertenecen al dominio Dom( f ) pero alos que nos podemos aproximar desde puntos de Dom( f ). Para discutir la posicin de la grfica conrespecto de la asntota estudiamos, cuando sea posible, los lmites laterales de f en x0.

Ejemplo: La funcin f (x) = 1/x2 presenta una asntota vertical en el punto x0 = 0 puesto quelmxx0 f (x) = +. Adems, la grfica de la funcin se pierde por + a ambos lados de la asntota.

f!x"! 1""""""""x2

Figura 2.15: Un ejemplo de asntota vertical

Tambin puede ocurrir que la grfica de una funcin f (x) se vaya acercando a una recta novertical. Diremos que una recta y = mx+n es una asntota oblicua de una funcin f (x) si se cumpleque lmx( f (x)mx n) = 0. Para averiguar si una funcin tiene asntotas oblicuas se sigue lasiguiente regla prctica:

Regla prctica: Supongamos que la funcin f (x) cumple:

(i) lmx+

f (x)x

= m R,

(ii) lmx+

( f (x)mx) = n R.

Entonces, f (x) se aproxima cuando x + a la recta y = mx+n, que es una asntota oblicua de f .Esta regla tambin es cierta si sustituimos + por. Para discutir la posicin de la grfica y = f (x)con respecto a una asntota oblicua y = mx + n, hay que estudiar el signo que tiene la expresinf (x)mxn cuando x. Si este signo es positivo la funcin se queda por encima de la asntotamientras que si es negativo se queda por debajo.Nota: como caso particular, cuando la recta y = mx+ n tiene pendiente 0, es decir, m = 0, entoncesdecimos que f (x) presenta en y = n una asntota horizontal.

Ejemplo: La funcin f (x) = arc tg(x) tiene dos asntotas horizontales. En efecto, es bien sabidoque lmx+ arc tg(x) = /2 mientras que lmx arc tg(x) =/2. La funcin se queda por debajode la asntota {y = /2} y por encima de la asntota {y =/2}.

2.4. Repaso de continuidad

Intuitivamente las funciones continuas son aquellas cuyas grficas no presentan saltos ni interrup-ciones. El concepto riguroso de funcin continua en un punto es el siguiente.

Definicin: Se dice que una funcin f es continua en un punto x0 R si se cumplen tres condi-ciones:



(i) Existe f (x0), es decir, x0 Dom( f ),(ii) Existe lmxx0 f (x) y es finito,

(iii) lmxx0 f (x) = f (x0).

Nota: a diferencia del concepto de lmite, la definicin de continuidad exige que la funcin tieneque estar definida en el punto. Nota: la propiedad (iii) nos indica que los lmites de funciones continuas se calculan evaluando

directamente la funcin en el punto.

Definicin: Se dice que una funcin f es discontinua en x0 R si no es continua en x0. Estosignifica que f no cumple alguna de las 3 condiciones en la definicin de continuidad. Segn sea lapropiedad que no se cumple clasificamos las discontinuidades en:

discontinuidad esencial cuando no se cumple (ii).

discontinuidad evitable cuando se cumple (ii) pero falla (i) o (iii).

0.5 1 1.5 2

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

Figura 2.16: Una discontinuidad esencial

0.5 1 1.5 2

-1

1

2

3

Figura 2.17: Una discontinuidad evitable

Nota: un caso particular de discontinuidad esencial ocurre cuando los lmites laterales de f enx0 existen, son finitos, pero son distintos. En este caso hablamos de discontinuidad de salto finito. Nota: el nombre de discontinuidad evitable se debe a que podemos reparar la discontinuidad.

Concretamente, si f presenta una discontinuidad evitable en x0, entonces la funcin f , definida porf (x) = f (x) si x 6= x0 y por

f (x0) = lmxx0

f (x),

es una funcin continua en x0. En una discontinuidad esencial no es posible la construccin de f alno existir lmxx0 f (x).

Definicin: Sea I un intervalo de R. Se dice que una funcin f es continua en I si f es continuaen cada punto x0 I.

Propiedades de las funciones continuas: Supongamos que f y g son funciones continuas en unintervalo I. Entonces:

1. f +g es continua en I.

2. f es continua en I, para todo R.3. f g es continua en I.

4. fg es continua en I, salvo en los puntos x I tales que g(x) = 0.5. Si f (x)> 0 para cada x I, entonces f g es continua en I.



6. La composicin g f es continua en I.

Ejemplos: Toda funcin polinmica p(x) = anxn + an1xn1 + + a1x+ a0 es continua en Ral ser suma y producto de funciones continuas. Toda funcin racional r(x) = p(x)/q(x) es continuaen R{x : q(x) = 0}. Las funciones potenciales, exponenciales, logartmicas y trigonomtricas soncontinuas en sus dominios de definicin.

Ejemplo: Estudiar la continuidad en el punto x0 = 0 de la funcin f : R R dada por f (x) =(x2 +1)

1x si x < 0, f (0) = 1, y f (x) = x

2

x2+x si x > 0.Solucin: Tendremos que comprobar si se cumplen las condiciones de la definicin de con-

tinuidad. En primer lugar, 0 Dom( f ) y, de hecho, f (0) = 1 por definicin de f . Ahora debemosestudiar si existe lmx0 f (x) y es finito. Como a ambos lados de x0 = 0 la funcin tiene distintasexpresiones analticas entonces debemos calcular los lmites laterales. Tenemos:

lmx0

f (x) = lmx0

(x2 +1)1x = (1) indeter. = elmx0

1x (x

2+11) = elmx0 x = 1,

donde hemos aplicado el criterio 1. Por otro lado:

lmx0+

f (x) = lmx0

x2

x2 + x=

(00

)= lm

x0

x2

x(x+1)= lm

x0

xx+1

= 0.

Como los lmites laterales son distintos se sigue que no existe lmx0 f (x) y, por tanto, f presenta enx0 = 0 una discontinuidad esencial. Como los lmites laterales son finitos estamos, ms concretamente,ante una discontinuidad de salto finito.

Ejemplo: Estudiar la continuidad en el punto x0 = 1 de la funcin f : R R dada por f (x) =(x2 +1) si x 6=1, f (1) = 2008.

Solucin: Procedemos como en el caso anterior. En primer lugar existe f (1) y su valor es 2008.Veamos si existe lmx1 f (x). En este caso la expresin de la funcin a ambos lados de x0 = 1 esla misma, por lo que no tenemos que calcular lmites laterales. Se tiene:

lmx1

f (x) = lmx1

(x2 +1) = (1)2 +1 = 2.

Por tanto el lmite existe y es finito. Por ltimo, como f (1) = 2008 y lmx1 f (x) = 2, deducimosque f presenta una discontinuidad evitable en x0 =1.

Terminaremos este tema con tres resultados donde se ponen de manifiesto algunas propiedadesrelevantes de las funciones continuas.

Teorema 2.2 (Conservacin del signo). Si f : I R es una funcin continua sobre un intervaloabierto I, y x0 es un punto de I en el que f (x0) 6= 0, entonces existe un entorno abierto B(x0,r) en elque el signo de f (x) es el mismo signo que el de f (x0).

Teorema 2.3 (Teorema de los valores intermedios). Sea f una funcin continua en un intervalo [a,b]de forma que f (a) 6= f (b). Entonces f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b), esdecir, para cada y en el intervalo determinado por f (a) y f (b), existe x [a,b] tal que f (x) = y.

Una de las aplicaciones ms conocidas del resultado anterior es la siguiente:


Definicin de derivada. Interpretaciones 21

Teorema 2.4 (Teorema de los ceros de Bolzano). Sea f una funcin continua sobre un intervalocerrado y acotado [a,b]. Si se cumple que f (a) f (b)< 0 (es decir, el signo de f (a) es distinto al signode f (b)), entonces existe un valor c (a,b) tal que f (c) = 0.

La interpretacin geomtrica del Teorema de Bolzano es la siguiente: una grfica continua en elplano que pasa del semiplano superior al inferior (o al revs) tiene que cortar en algn punto al eje x.

El Teorema de Bolzano se puede aplicar para asegurar la existencia de solucin de ciertas ecua-ciones difciles de resolver por mtodos directos.

Ejemplo: La ecuacin x+ ex = 7 no se puede resolver directamente (intntese despejar x) peropodemos demostrar la existencia de soluciones si procedemos de la siguiente forma. Definimos lafuncin f : RR dada por f (x) = x+ex7. Esta funcin es continua en R al ser suma de funcionescontinuas. Adems, es claro que las soluciones de la ecuacin x+ ex = 7 coinciden con los valoresde x para los que f (x) = 0. De esta forma, trasladamos el problema de encontrar una solucin de laecuacin x+ ex = 7 al problema de encontrar un punto x R donde f (x) = 0. Este punto trataremosde encontrarlo dentro de un intervalo [a,b] donde la funcin f cumpla las hiptesis del Teoremade Bolzano. Por ejemplo, se tiene f (0) = 0+ e0 7 = 6 < 0, mientras que f (3) = 3+ e3 7 >3+87 = 4 > 0. As, podemos aplicar el Teorema de Bolzano a f en el intervalo [0,3] para asegurarla existencia de un nmero c (0,3) donde f (c) = 0, es decir c+ ec = 7, lo que implica que c es unasolucin de la ecuacin original. En principio, no podemos calcular c explcitamente.

2.5. Definicin de derivada. Interpretaciones

La derivacin es una herramienta muy potente del clculo. Si las funciones continuas son aquellascuyas grficas no presentan saltos, las funciones derivables tienen la propiedad de que su grfica,adems de ser continua, no presenta picos, cambios bruscos de direccin, o rectas tangentes verticales.

Existen varias formas de aproximarse al concepto de derivada de una funcin de una variable enun punto. Nosotros eligiremos dos: la primera, a travs de la tasa de variacin instantnea de unafuncin; la segunda, a partir del problema de la recta tangente a una grfica en un punto.

2.5.1. Tasa de variacin instantnea de una funcin

En Fsica, la velocidad media de un mvil es el cociente entre el espacio recorrido y el tiempoempleado en ello. Ahora bien, qu significado tiene entonces la llamada velocidad instantnea? Enun instante, un mvil no recorre nada, y la cantidad de tiempo necesitada es tambin cero. Por tanto,el concepto de velocidad instantnea slo puede ser entendido como un paso al lmite. Es decir, si me-dimos el espacio recorrido por el vehculo en un tiempo h pequeo, y lo dividimos entre h, el resultadoser prximo a nuestra idea de velocidad instantnea. Y ser ms prximo cuanto ms pequeo sea h.As pues, la velocidad v(t0) en un instante t0 no es otra cosa que:

v(t0) = lmh0

e(t0 +h) e(t0)h

,

donde e(t) es el espacio recorrido en funcin del tiempo t. Cuando dicho lmite existe y es finito sellama derivada de e(t) en t0.

En general, siguiendo la idea que se ha visto en el ejemplo anterior, la derivada representa la tasainstantnea de cambio de una magnitud. Sea f : I R una funcin definida en un intervalo abierto I.



Se llama tasa de variacin media de f en [u,v] I al nmero real:

TV M( f , [u,v]) = fx

=f (v) f (u)

vu,

que representa cmo cambia la magnitud y = f (x) respecto de x en [u,v]. Si nos preguntamos por latasa de variacin instantnea de f en un punto concreto a I, entonces debemos calcular tasas devariacin media en intervalos de la forma [a,a+h] con h cada vez ms pequeo. De este modo:

TV I( f ,a) = lmh0

TV M( f , [a,a+h]) = lmh0

f (a+h) f (a)h

.

Cuando este lmite existe y es finito se llama derivada de f (x) en a.

2.5.2. El problema de la recta tangente

Dada una curva C en el plano y un punto p C, se llama recta tangente a C en p, a una recta Rque aproxima de forma ptima a C alrededor de p, es decir, los dibujos de C y R estn muy prximosen un entorno pequeo de C que contiene a p. Para que una curva C tenga en p una recta tangente esintuitivamente claro que C debe de ser suave en p, es decir, C no puede presentar en p un pico ni uncambio brusco de direccin. Esto se puede ilustrar con ayuda de la curva y = |x| en el punto (0,0). Elproblema de la recta tangente consiste en descubrir condiciones para que C tenga recta tangente en py, en caso de tenerla, calcular dicha recta en trminos de C y p.

Queremos ahora estudiar el problema de la recta tangente a la grfica y = f (x) de una funcincontinua f : I R en un punto (a, f (a)) con a I. Segn la ecuacin de la recta en la forma punto-pendiente, la recta que buscamos, si existe, tendr la ecuacin

y = f (a)+m(xa),

donde m es la pendiente de la recta, que habr que determinar a partir de f (x) y a. Recordemos quela pendiente de una recta es la tangente del ngulo que forma la recta con el eje de abcisas. Paracalcular m procedemos de esta forma. Aproximamos la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) por lasrectas secantes que pasan por los puntos (a, f (a)) y (a+ h, f (a+ h)) con h cada vez ms pequeo.Resulta entonces claro que, si la recta tangente existe, entonces las pendientes mh de las rectas secantesdeben aproximarse a la pendiente m cuando h tiende a cero. Esto quiere decir que lmh0 mh = m.

Por otro lado, es sencillo a partir de trigonometra elemental comprobar que las pendientes mh secalculan de la siguiente manera, vase la figura de arriba:

mh = tg() =f (a+h) f (a)

h.

De este modo, tenemos que:

m = lmh0

mh = lmh0

f (a+h) f (a)h

,

que es la definicin de derivada de f en a. As pues, la derivada de f en un punto a, cuando existe yes finita, es la pendiente de la recta tangente a la grfica y = f (x) en el punto (a, f (a)). Por tanto,la derivada es igual a tg(), donde es el ngulo mostrado en la figura de abajo.



a a!h

f!a"

f!a!h"

Una recta secante a la curva y = f (x)

2.5.3. Definicin e interpretacin geomtrica de la derivada

Definicin: Sea I R un intervalo abierto, a I y f : I R una funcin. Diremos que f esDERIVABLE en a si existe y es finito el lmite dado por:

lmh0

f (a+h) f (a)h

.

En tal caso, a dicho lmite lo llamamos DERIVADA de f en a, y lo representamos por f (a) o por d fdx (a).Obsrvese que el lmite que aparece en la definicin de derivada conduce a una indeterminacin detipo (00). Diremos que f es derivable en I si f es derivable en cada punto a I. En tal caso, se llamaFUNCIN DERIVADA de f a la funcin f : I R, que asocia a cada punto a I la derivada f (a).

Interpretacin geomtrica: Ya hemos visto que si f es derivable en a entonces la curva y = f (x)tiene recta tangente no vertical en el punto (a, f (a)), y su pendiente es m= f (a). Por tanto, la ecuacinde dicha recta es:

y = f (a)+ f (a)(xa).

En particular, esta recta es horizontal si slo si f (a) = 0. Cuando f (a) 6= 0, entonces la recta normala y = f (x) en (a, f (a)) (recta perpendicular a la tangente) no es vertical y su ecuacin viene dada por:

y = f (a) (1/ f (a))(xa).

Ejemplo: Calculemos las rectas tangente y normal a la curva y = x2 en el punto (2,4). Para ello,consideramos la funcin f : R R dada por f (x) = x2 y estudiamos si es derivable en a = 2. Pordefinicin de derivada, tenemos:

lmh0

f (2+h) f (2)h

= lmh0

(2+h)24h

= lmh0

4+h2 +4h4h

= lmh0

h(h+4)h

= lmh0

(h+4) = 4,

lo que nos indica que f es derivable en a = 2 y f (2) = 4. Por tanto, las ecuaciones de las rectastangente y normal a y = x2 en (2,4) son (tras simplificar):

y = 4x4, y = x4

+92.



a

f!a"

La recta tangente a y = f (x) en el punto (a, f (a))

Sabemos que para que exista el lmite de una funcin en un punto, tienen que existir los dos lmiteslaterales y ser iguales. Esto nos lleva a definir las derivadas laterales de una funcin en un punto. LasDERIVADAS LATERALES de f en a son, cuando existen y son finitos, los nmeros reales siguientes:

f (a) = lmh0

f (a+h) f (a)h

, f +(a) = lmh0+

f (a+h) f (a)h

.

Las derivadas laterales habr que estudiarlas cuando la funcin tiene una expresin analtica dis-tinta a ambos lados del punto a. Se tiene entonces lo siguiente:

Teorema 2.5. Sea f : IR una funcin definida sobre un intervalo abierto de R. Dado a I se tieneque f es derivable en a si y slo si existen las dos derivadas laterales, son iguales y son finitas. En talcaso, f (a) = f (a) = f

+(a).

Ejemplo: Vamos a probar que la funcin f (x) = |x| no es derivable en a = 0. Como esta funcintiene distintas expresiones a ambos lados de a = 0 utilizamos las derivadas laterales. Se tiene:

f (0) = lmh0

f (h) f (0)h

= lmh0

hh

= lmh0

(1) =1,

f +(0) = lmh0+

f (h) f (0)h

= lmh0+

hh= lm

h0+1 = 1.

Por el Teorema 2.5, esta funcin no es derivable en a = 0. En general, una funcin cuya grficapresente algn pico" no ser derivable en el punto correspondiente.

Ejemplo: Veamos que la funcin f (x) = 3

x no es derivable en a = 0. Al utilizar directamente ladefinicin de derivada, tenemos:

lmh0

f (h) f (0)h

= lmh0

3

hh

= lmh0

13

h2=+.

En este caso, la pendiente de la recta tangente en a = 0 se hace +, lo que impide que la funcin seaderivable en a = 0. En general, una funcin cuya grfica presente un punto en el que la recta tangentees vertical no ser derivable en dicho punto.


Resultados relacionados con la derivacin 25

Nota: los ejemplos anteriores muestran que una funcin continua en un punto no tiene por quser derivable en dicho punto, vase la Figura 4.1. No obstante, si es cierto que derivabilidad implicacontinuidad. Este es el contenido del prximo resultado.

Teorema 2.6. Sea f : I R una funcin definida en un intervalo abierto I. Si f es derivable en unpunto a I, entonces f es continua en a.

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3 f!x"!#x#f!x"!#$$$$x3

Figura 2.18: Ejemplos de funciones continuas no derivables en a = 0

2.6. Resultados relacionados con la derivacin

Teorema 2.7 (de Rolle). Sea f : [a,b] R una funcin continua en [a,b], derivable en (a,b), y talque f (a) = f (b). Entonces existe c (a,b) de forma que f (c) = 0.

Geomtricamente, el resultado anterior significa que si una grfica es continua y suave, y susextremos estn a la misma altura, entonces hay un punto de la curva en el que la recta tangente eshorizontal.

Nota: este teorema se suele usar de forma recproca, es decir, si tenemos la garanta de que laderivada de f no se anula en un intervalo abierto I, entonces f tiene que ser inyectiva en I, o lo que eslo mismo, no existen a,b I diferentes tales que f (a) = f (b).

Ejemplo: Vamos a probar que la ecuacin cos(x) = 2x tiene una nica solucin en R. Definimosf (x) = cos(x) 2x, que es una funcin continua y derivable en R y, por tanto, lo ser en cualquierintervalo. Puesto que f (0) = cos(0)2 0 = 10 = 1 > 0 y f (1) = cos(1)2 < 0, deducimos, porel Teorema de Bolzano, que existe al menos un valor c (0,1) tal que f (c) = 0, es decir, cos(c) = 2c.

Ahora vamos a probar mediante el Teorema de Rolle que esta solucin es nica. Supongamos quehubiera otra solucin c de la misma ecuacin, es decir, f (c) = 0. Entonces, f (c) = f (c) = 0, y porel Teorema de Rolle aplicado a f en el intervalo de extremos c y c, debera existir un nmero d entrec y c de manera que f (d) = 0. Pero la derivada de f tiene la expresin f (x) = sen(x) 2 (vertabla de derivadas), que es una funcin siempre negativa. Por tanto, llegamos a una contradiccin, loque significa que no existe otra solucin c.

Nuestro prximo resultado es una generalizacin del Teorema de Rolle:

Teorema 2.8 (del valor medio). Sea f : [a,b]R una funcin continua en [a,b] y derivable en (a,b).Entonces existe c (a,b) de tal manera que:

f (c) =f (b) f (a)

ba.


Clculo de derivadas. Reglas de derivacin 26

Geomtricamente, este resultado significa que la recta secante a la curva y = f (x) que pasa porlos extremos de la curva es paralela a la recta tangente a la curva y = f (x) en un punto interior. Sipensamos en las derivadas como tasas de variacin instantnea de magnitudes, entonces el Teoremadel valor medio implica que la tasa de variacin media de una funcin en un intervalo coincide con latasa de variacin instantnea de la funcin en un punto concreto del intervalo.

Ejemplo: Si la velocidad media de un mvil entre las 8 y las 9 de la maana es de 120 km/h,entonces en al menos un instante de tiempo entre las 8 y las 9 de la maana, la velocidad del mvil hasido exactamente de 120 km/h.

a bf!a"

f!b"

c

Figura 2.19: El Teorema del valor medio

2.7. Clculo de derivadas. Reglas de derivacin

Ahora aprenderemos a calcular de forma sistemtica la derivada de cualquier funcin de unavariable. Evidentemente, la definicin original, pese a su clara interpretacin, no es prctica a la horade calcular derivadas de funciones complicadas. Realizaremos el clculo de derivadas de forma muchoms fcil a partir de las reglas de derivacin, basadas en dos herramientas fundamentales. La primera:el comportamiento de las derivadas frente a las operaciones de suma, producto y composicin. Lasegunda: el clculo concreto de la derivada de las funciones elementales.

Derivadas y operaciones con funciones: Sean f ,g : I R dos funciones derivables sobre un inter-valo abierto I. Entonces:

1. f +g es derivable en I y ( f +g)(x) = f (x)+g(x),

2. f es derivable en I para cada R y ( f )(x) = f (x),

3. f g es derivable en I y ( f g)(x) = f (x) g(x)+ f (x) g(x) (Regla de Leibnitz),

4.fg

es derivable en I{x : g(x) = 0} y(

fg

)(x) =

f (x)g(x) f (x)g(x)g(x)2

,

5. f g es derivable en I y ( f g)(x) = g(x) f (x)g(x)1 f (x) + f (x)g(x) ln( f (x))g(x) siempre quef (x)> 0 para cada x I,


Clculo de derivadas. Reglas de derivacin 27

6. Regla de la cadena: La composicin (g f )(x) = g( f (x)) es derivable en I con derivada:

(g f )(x) = g( f (x)) f (x).

Funcin Derivada Funcin Derivada

C 0 f (x)+g(x) f (x)+g(x)

x 1 f (x) f (x)

1x

1x2

1f (x)

f (x)f (x)2

x

12

x

f (x)

f (x)

2

f (x)

xn nxn1 ( f (x))n n( f (x))n1 f (x)

ex ex e f (x) e f (x) f (x)

ax ax ln(a) a f (x) a f (x) ln(a) f (x)

ln(x)1x

ln( f (x))f (x)f (x)

sen(x) cos(x) sen( f (x)) cos( f (x)) f (x)

cos(x) sen(x) cos( f (x)) sen( f (x)) f (x)

tg(x)1

cos2(x)tg( f (x))

f (x)cos2( f (x))

arcsen(x)1

1 x2arcsen( f (x))

f (x)1 f (x)2

arccos(x)11 x2

arccos( f (x)) f (x)1 f (x)2

arc tg(x)1

1+ x2arc tg( f (x))

f (x)1+ f (x)2

f (x) g(x) f (x) g(x)+ f (x) g(x) f (x)g(x)

f (x) g(x) f (x) g(x)(g(x))2

Ejemplo: Las funciones polinmicas son derivables en R y su derivada es otro polinomio. Lasfunciones racionales son derivables en su dominio y su derivada es otra vez una funcin racional.


Aplicaciones de las derivadas 28

Sin embargo, hay otras funciones que despus de derivar se convierten en funciones ms sencillas.Calcular las derivadas de p(x) = 3x3 +7x2

3x y de r(x) = xx2+1 .

Ejemplo: Calcular la derivada de f (x) = sen(cos(x)), g(x) = ln(ln(

x)) y h(x) = ln(1+cos(x)1cos(x)).

Ejemplo: Calculamos la derivada de la funcin f (x) = sen3(x)+x ln(x)

e1x

. Se tiene:

f (x) = 3sen2(x) cos(x)+

(1 ln(x)+ x 1x

)e

1x x ln(x)e 1x (1x2 )

(e1x )2

= 3sen2(x) cos(x)+(ln(x)+1)e

1x + 1x e

1x ln(x)

e2x

= 3sen2(x) cos(x)+1+ ln(x)+ 1x ln(x)

e1x

.

Terminamos esta seccin hablando de derivadas segundas y de orden superior.Definicin: Sea f : I R una funcin derivable en un intervalo abierto I. Recordemos que la

funcin derivada es la funcin f : I R, que a cada x I le hace corresponder f (x). Diremosque f es DOS VECES DERIVABLE en a I si la funcin derivada f es derivable en a. En este caso,representamos f (a) = ( f )(a) y lo llamamos DERIVADA SEGUNDA de f en a. As se pueden definir,sucesivamente, las derivadas tercera, cuarta, etc.

Ejemplo: Calcular las derivadas sucesivas de f (x) = sen(x).

2.8. Aplicaciones de las derivadas

Las aplicaciones del clculo diferencial son muy numerosas. Aqu nos preocuparemos sobre todode aspectos relacionados con la representacin grfica de funciones de una variable.

2.8.1. La regla de LHpital

La Regla de LHpital es una aplicacin de la derivacin que nos permite calcular lmites indeter-minados de tipo cociente que se vuelven ms sencillos cuando derivamos.

Teorema 2.9 (Regla de LHpital). Consideremos f ,g : IR dos funciones derivables en un inter-valo abierto I. Dado a I{}, supongamos que al calcular alguno de los lmites

lmxa

f (x)g(x)

, lmxa

f (x)g(x)

, lmxa+

f (x)g(x)

llegamos a una indeterminacin del tipo(0

0

)o(). Entonces, se cumple que:

lmf (x)g(x)

= lmf (x)g(x)

,

siempre que este ltimo lmite exista (aunque sea ).



Notas: 1. No confundir Regla de LHpital con derivada de un cociente. NO ES VERDAD QUE:

lmf (x)g(x)

= lm(

f (x)g(x)

).

2. A veces hay que aplicar la regla varias veces hasta poder calcular el lmite.3. A la hora de aplicar la regla, es importante comprobar que el lmite que estamos tratando

es del tipo (00) o (). Por ejemplo, claramente lmx1

x+1x = 2, pero si derivamos numerador y

denominador, nos queda lmx1 11 = 1 6= 2.

4. Si el lmite lm f(x)

g(x) no existiera, sto no significa que el lmite original, lmf (x)g(x) no exista. Por

ejemplo, si aplicamos la regla de LHpital al lmite lmx+x+sen(x)

x que es del tipo (++), nos queda:

lmx+

1+ cos(x)1

= lmx+

(1+ cos(x)),

que no existe. En cambio, el lmite original s que existe. De hecho::

lmx+

x+ sen(x)x

= lmx+

(1+

sen(x)x

)= 1.

Ejemplo: Para calcular lmx0 sen(x)x , aplicamos la Regla de LHpital:

lmx0

sen(x)x

=

(00

)= lm

x0

cos(x)1

= cos(0) = 1.

Ejemplo: Para calcular lmx0 xsen(x)x2 , aplicamos la regla de LHpital dos veces:

lmx0

x sen(x)x2

=

(00

)= lm

x0

1 cos(x)2x

=

(00

)= lm

x0

sen(x)2

= 0.

Nota: En principio, la Regla de LHpital slo se puede utilizar para lmites indeterminados detipo cociente. Por ello, si nos encontramos con otro tipo de indeterminacin, debemos de transformarlahasta obtener una de tipo cociente a la que s podemos aplicar la regla.

Ejemplo: Vamos a resolver una indeterminacin del tipo (+).

lmx0+

(1x 1

sen(x)

)= (+) = lm

x0+sen(x) xx sen(x)

=

(00

).

En este momento podemos aplicar la Regla de LHpital para calcular el ltimo lmite (ejercicio).

Ejemplo: Si al calcular lm( f (x) g(x)) se obtiene una indeterminacin del tipo 0 (), entoncespodemos transformar la indeterminacin en otra de tipo cociente si ponemos:

lm( f (x) g(x)) = lm f (x)1g(x)

o lm( f (x) g(x)) = lm g(x)1f (x)

.

De las dos posibilidades puede que slo una nos conduzca a un lmite ms sencillo. La filosofa essiempre la de quedarnos con el lmite que resulte ms fcil de calcular.



Ejemplo: Como aplicacin de lo anterior vamos a calcular lmx0+ x ln(x), que produce una inde-terminacin del tipo 0 (). Podemos reescribir:

lmx0+

x ln(x) = lmx0+

ln(x)1x

.

Este ltimo lmite es del tipo (+), por lo que podemos aplicar la Regla de LHpital para deducir:

lmx0+

x ln(x) = lmx0+

1x1x2

= lmx0+

x2

x= lm

x0+(x) = 0.

Obsrvese que tambin hubiramos podido expresar el lmite original como:

lmx0+

x ln(x) = lmx0+

x1

ln(x)

.

Sin embargo, si aplicamos ahora la Regla de LHpital no obtenemos un lmite sencillo. De hecho, alaplicar LHpital sucesivamente nuestro lmite se va complicando cada vez ms.

Ejercicio: Demostrar que:lm

x0+(1+ sen(x))ln(x) = 1.

2.8.2. Monotona, puntos crticos y extremos locales de una funcin

Estudiar la monotona de una funcin consiste en decidir en qu intervalos la funcin es crecientey en cuales es decreciente. Cuando la funcin es derivable sto se realiza de forma sencilla discutiendoel signo de la derivada primera de la funcin.

Teorema 2.10. Sea I un intervalo abierto y f : I R una funcin derivable en I. Entonces:

1. Si f (x)> 0 para todo x I, entonces f es (estrictamente) creciente en I.

2. Si f (x)< 0 para todo x I, entonces f es (estrictamente) decreciente en I.

3. Si f (x) = 0 para todo x I, entonces f es constante en I.

En la siguiente grfica se representan una funcin y su derivada. Observamos que a la izquierdadel valor a, f es positiva y f es creciente. Entre a y b, f es negativa y, por tanto, f es decreciente.Por ltimo, a la derecha del valor b, f vuelve a ser positiva, por lo que f vuelve a ser creciente. Esteejemplo muestra tambin que una funcin no tiene por qu tener siempre el mismo tipo de monotona.

Ahora nos preocuparemos de estudiar los puntos en los que de algn modo cambia la monotonade una funcin.

Definicin: Sea f : I R una funcin definida sobre un intervalo abierto I. Dado un punto a I,diremos que f tiene en a un:

MNIMO LOCAL si hay un entorno B(a,r) contenido en I en el que se cumple que f (x) f (a)(geomtricamente, sto significa que el valor ms bajo de la grfica de f en un entorno pequeoalrededor de a se alcanza justamente en a).



a b

y!f!x"

y!f!x"Figura 2.20: Una funcin y su derivada

MXIMO LOCAL si hay un entorno B(a,r) contenido en I en el que se cumple que f (x) f (a)(geomtricamente, sto significa que el valor ms alto de la grfica de f en un entorno pequeoalrededor de a se alcanza justamente en a).

EXTREMO LOCAL si f tiene en a un mnimo local o un mximo local.

PUNTO CRTICO si f es derivable en a y f (a) = 0 (geomtricamente, sto significa que la rectatangente a la curva y = f (x) en el punto (a, f (a)) es horizontal).

La derivacin se muestra como una herramienta til a la hora de estudiar los extremos locales deuna funcin.

Teorema 2.11 (Principio de Fermat). Sea f : IR una funcin definida sobre un intervalo abierto.Si f es derivable en a I y f alcanza en a un extremo local, entonces a es un punto crtico de f .

Por tanto, los extremos locales de una funcin derivable sobre un intervalo abierto hay que bus-carlos entre los puntos crticos de la funcin dentro de dicho intervalo. Como observacin importantedestacaremos que no es cierto que en un punto crtico se alcance siempre un extremo local. Estoocurre por ejemplo con la funcin f (x) = x3 en a = 0. Se motiva as el problema de clasificar lospuntos crticos de una funcin, que consiste en decidir si en un punto crtico dado la funcin alcan-za un extremo local (mnimo o mximo) o no. Para resolver esta cuestin existen dos criterios, queexponemos a continuacin.

Teorema 2.12 (Criterio de la derivada primera). Sea f : I R una funcin derivable en un inter-valo abierto. Dado un punto crtico a de f en I, estudiamos el signo de f (x) en un entorno pequeoalrededor de a. Se tiene:

1. Si f (x)< 0 a la izquierda de a y f (x)> 0 a la derecha, entonces a es un mnimo local de f .

2. Si f (x)> 0 a la izquierda de a y f (x)< 0 a la derecha, entonces a es un mximo local de f .

3. Si f (x) no cambia de signo alrededor de a, entonces no hay extremo local en a.

As pues, en el ejemplo de la Figura 2.20, se tiene que f presenta un mximo local en a y unmnimo local en b. Esto puede ser deducido tanto a partir de la grfica de f (x) como de la grfica def (x).



Ejemplo: Estudiemos la funcin f : R R, dada por f (x) = 2arc tg(x 1) x. Al derivar unavez y simplificar nos queda:

f (x) =2

1+(x1)21 = 2x x

2

1+(x1)2.

La expresin anterior se anula si y slo si x = 0 y x = 2. As pues, stos son los puntos crticos dela funcin, entre los que tendremos que buscar los extremos locales. Al discutir el signo de f (x)deducimos que f (x) < 0 para x (,0) (2,+) y f (x) > 0 para x (0,2). As pues, f esdecreciente en (,0) (2,+) y creciente en (0,2). Por tanto, se deduce que f presenta un mnimolocal en a = 0 y un mximo local en a = 2.

Teorema 2.13 (Criterio de la derivada segunda). Sea f : IR una funcin derivable dos veces so-bre un intervalo abierto I. Dado un punto crtico a de f en I, estudiamos el signo de f (a). Entonces,se tiene lo siguiente:

1. Si f (a)> 0, entonces a es un mnimo local de f .

2. Si f (a)< 0, entonces a es un mximo local de f .

3. Si f (a) = 0, entonces no se puede asegurar nada.

Ejercicio: Utilizar el criterio anterior para clasificar los puntos crticos de f (x) = 2arc tg(x1) x.

Nota: los dos criterios empleados para clasificar un punto crtico a son diferentes. El primeroexige el estudio del signo de f (x) alrededor de a, mientras que el segundo se basa en el estudio delsigno de f (a). Ntese que el primer criterio nunca deja casos dudosos, mientras que el segundo s.

2.8.3. Curvatura y puntos de inflexin de una funcin

En esta seccin realizaremos un tratamiento muy parecido al de la anterior para estudiar un nuevoaspecto de la grfica de una funcin que, en este caso, est controlado por la derivada segunda: lacurvatura de la funcin. Necesitaremos unos conceptos previos.

Definicin: Sea f : I R una funcin definida en un intervalo abierto I. Diremos que f es:

1. CONVEXA en I si cada recta secante a la curva y = f (x) deja a la grfica por debajo.

2. CNCAVA en I si cada recta secante a la curva y = f (x) deja a la grfica por encima.

Nota: los trminos convexo y cncavo no se emplean de forma consistente. Sin embargo, en lamayor parte de los textos matemticos se utiliza la misma terminologa que nosotros hemos adoptado.

Estudiar la curvatura de una funcin consiste en decidir los intervalos donde f es convexa yaquellos donde es cncava. Cuando la funcin es derivable dos veces el estudio de su curvatura serealiza de forma sencilla discutiendo el signo de la derivada segunda de la funcin.

Teorema 2.14. Sea I un intervalo abierto y f : IR una funcin derivable dos veces en I. Entonces:

1. Si f (x)> 0 para todo x I, entonces f es convexa en I.

2. Si f (x)< 0 para todo x I, entonces f es cncava en I.

3. Si f (x) = 0 para todo x I, entonces la grfica de f en I es una recta.



Ahora estudiaremos los puntos en los que cambia la curvatura de una funcin.

Definicin: Sea f : I R una funcin definida sobre un intervalo abierto I. Dado un punto a I,diremos que f tiene en a un:

PUNTO DE INFLEXIN CONVEXO-CNCAVO si hay un entorno B(a,r)= (ar,a+r) contenidoen I de forma que f es convexa en (a r,a) y cncava en (a,a+ r).

PUNTO DE INFLEXIN CNCAVO-CONVEXO si hay un entorno B(a,r)= (ar,a+r) contenidoen I de forma que f es cncava en (a r,a) y convexa en (a,a+ r).

La derivacin se muestra como una herramienta til a la hora de estudiar los puntos de inflexinde una funcin.

Teorema 2.15. Sea f : IR una funcin derivable sobre un intervalo abierto I. Si f es derivable dosveces en a I y f presenta un punto de inflexin en a, entonces f (a) = 0, lo que geomtricamentesignifica que la recta tangente a la curva y = f (x) en (a, f (a)) atraviesa a la grfica.

Por tanto, los puntos de inflexin de una funcin derivable dos veces sobre un intervalo abiertohay que buscarlos entre los puntos que anulan a la derivada segunda. Como observacin importantedestacaremos que no es cierto que en un punto con derivada segunda nula se alcance siempreun punto de inflexin. Esto le ocurre por ejemplo a la funcin f (x) = x4 en a = 0. Se motiva as elproblema de clasificar los puntos donde f (x) = 0, que consiste en decidir si en tales puntos la funcinalcanza un punto de inflexin o no. Para resolver esta cuestin existen dos criterios, que exponemos acontinuacin.

Teorema 2.16 (Criterio de la derivada segunda). Sea f : I R una funcin derivable dos vecesen un intervalo abierto. Dado un punto a I donde f (a) = 0, estudiamos el signo de f (x) en unentorno pequeo alrededor de a. Se tiene:

1. Si f (x) < 0 a la izquierda de a y f (x) > 0 a la derecha, entonces a es un punto de inflexincncavo-convexo de f .

2. Si f (x) > 0 a la izquierda de a y f (x) < 0 a la derecha, entonces a es un punto de inflexinconvexo-cncavo de f .

3. Si f (x) no cambia de signo alrededor de a, entonces no hay punto de inflexin en a.

Ejemplo: Vamos a estudiar la curvatura y los puntos de inflexin de la funcin f :RR dada porf (x) = 2arc tg(x 1) x. Como vimos antes, su derivada primera es f (x) = 2xx21+(x1)2 , que se anulaen x = 0 y en x = 2. Calculamos ahora su derivada segunda:

f (x) =(22x)(x22x+2) (2x x2)(2x2)

(1+(x1)2)2=

4(1 x)(1+(x1)2)2

.

La expresin anterior se anula si y slo si x = 1. Adems, f (x) > 0 para x (,1) y f (x) < 0cuando x (1,+). As pues, f es convexa en (,1) y cncava en (1,+). Adems, deducimosque f tiene un punto de inflexin convexo-cncavo en x = 1.

Teorema 2.17 (Criterio de la derivada tercera). Sea f : I R una funcin derivable tres vecessobre un intervalo abierto I. Dado un punto a I donde f (a) = 0, estudiamos el signo de f (a).Entonces, se tiene lo siguiente:



1. Si f (a)> 0, entonces a es un punto de inflexin cncavo-convexo de f .

2. Si f (a)< 0, entonces a es un punto de inflexin convexo-cncavo de f .

3. Si f (a) = 0, entonces no se puede asegurar nada.

Ejercicio: Utilizar el criterio anterior para estudiar los puntos de inflexin de f (x)= 2arc tg(x1)x.

Nota: los dos criterios empleados para clasificar un punto donde f (a) = 0 son diferentes. Elprimero exige el estudio del signo de f (x) alrededor de a, mientras que el segundo se basa en elestudio del signo de f (a). Ntese que el primer criterio nunca deja casos dudosos, mientras que elsegundo s.

2.8.4. Optimizacin de funciones

En mucho problemas cotidianos es importante analizar si una determinada funcin alcanza susvalores mnimo y/o mximo absolutos. En esta seccin aprenderemos a resolver este tipo de cues-tiones. Antes daremos un par de definiciones.

Definicin: Sea f : IR una funcin definida sobre un intervalo cualquiera. Dado a I, diremosque f alcanza en a su

1. MNIMO ABSOLUTO si f (x) f (a) para cada x I.

2. MXIMO ABSOLUTO si f (x) f (a) para cada x I.

Diremos que f alcanza en a un extremo absoluto si alcanza su mnimo absoluto o su mximo absoluto.

Notas: 1. No hay que confundir el mnimo absoluto (resp. mximo absoluto) de una funcin conlos puntos donde ese mnimo (resp. mximo) se alcanza. Por ejemplo, para la funcin f : RR dadapor f (x) = sen(x), su mnimo absoluto (el valor ms pequeo que toma la funcin) es 1, que sealcanza en todos los puntos de la forma x = 3/2+ 2k, con k un nmero entero. Por otro lado, sumximo absoluto (el valor ms grande que toma la funcin) es 1, que se alcanza en todos los puntosde la forma x = /2+2k, con k un nmero entero.

2. La relacin entre extremo absoluto y extremo local no es tan evidente como parece. Lo que esclaro es que si f alzanza en a un extremo local, entonces no tiene por qu alcanzar en a un extremoabsoluto (podra haber valores de x alejados de a donde la funcin tomara un valor ms grande o mspequeo que en a). Por otro lado, si f alcanza en a un extremo absoluto y el punto a pertenece alinterior del intervalo I, entonces f alcanza en a un extremo local. Sin embargo, sto no es cierto sia es un punto de la frontera del intervalo I.

3. Los extremos absolutos de una funcin en un intervalo abierto no tienen por qu alcanzarse(aunque la funcin sea derivable). Por ejemplo, la funcin f (x) = x no alcanza su mnimo absoluto nisu mximo absoluto en el intervalo (1,1). Lo mismo le pasa a la funcin f : [/2,/2] R dadapor f (x) = tg(x) si x (/2,/2), f (/2) = 0 y f (/2) = 0.

Evidentemente, es deseable disponer de criterios cmodos para garantizar que una funcin alcanzasus extremos absolutos. Un buen resultado en relacin con este problema es el Teorema de Weierstrass.

Teorema 2.18 (de Weierstrass). Sea f : [a,b] R una funcin continua sobre un intervalo cerradoy acotado. Entonces, f alcanza en [a,b] sus extremos absolutos.



Supongamos que tenemos f : [a,b] R una funcin continua en [a,b] y derivable en (a,b). Gra-cias al Teorema de Weierstrass sabemos que f debe alcanzar su mnimo y su mximo absolutos en[a,b]. Si el extremo absoluto se alcanza en un punto de (a,b), entonces deber ser tambin un ex-tremo local y, por tanto, un punto crtico. Pero tambin podra ocurrir que f alcanzase sus extremosabsolutos en los puntos frontera del intervalo.

As pues, para calcular los extremos absolutos de una funcin f : [a,b] R, que es continua en[a,b] y derivable en (a,b), se procede como sigue:

1. Se calculan los puntos crticos de f en (a,b).

2. Se calcula la imagen de dichos puntos crticos, y tambin las imgenes de los puntos a y b. Laimagen menor/mayor corresponder al mnimo/mximo absoluto de la funcin, que se alcanzaren el punto correspondiente.

Ejemplo: Vamos a calcular los extremos absolutos de la funcin f : [0,3] R dada por f (x) =2sen(x) x. La existencia de extremos absolutos est garantizada por el Teorema de Weierstrass, alser f continua en [0,3]. Para determinar los puntos crticos de f en (0,3) calculamos su derivadaprimera y la igualamos a cero:

f (x) = 2cos(x)1, f (x) = 0 cos(x) = 12 x =

{/3+2k , k Z

5/3+2k , k Z .

Ahora bien, puesto que slo nos interesan los puntos crticos de f en (0,3), nos quedamos con lassoluciones /3, 5/3 y 7/3. Ahora basta con evaluar f en los puntos anteriores y tambin en lospuntos de la frontera del intervalo [0,3]. Obtenemos:

f (0) = 2sen(0)0 = 0, f (3 ) = 2sen(3 )

3 =

3 3 ,

f (5 3 ) = 2sen(53 )5

3 =

35 3 , f (7

3 ) = 2sen(7

3 )7

3 =

37 3 ,

f (3) = 2sen(3)3 =3.

Es fcil deducir entonces que el mximo absoluto vale

3/3 y se alcanza en el punto x = /3,mientras que el mnimo absoluto vale 3 y se alcanza en el punto x = 3 (vase Figura 2.21).

!3 5!3 7!3 3

Figura 2.21: Grfica de f (x) = 2sen(x) x en [0,3]

En otras ocasiones nos interesar asegurar la existencia de extremos absolutos de una funcindentro de un intervalo abierto. Tenemos el siguiente resultado:


Representacin grfica de funciones 36

Teorema 2.19. Sea f : I R una funcin derivable sobre un intervalo abierto I. Sea a I un puntocrtico de f . Estudiamos el signo de f (x) en todo el intervalo I. Entonces:

1. Si f (x) < 0 a la izquierda de a y f (x) > 0 a la derecha, entonces f alcanza en a su mnimoabsoluto.

2. Si f (x) > 0 a la izquierda de a y f (x) < 0 a la derecha, entonces f alcanza en a su mximoabsoluto.

Ejemplo: La funcin f (x) = x2 +1 alcanza en a = 0 su mnimo absoluto, que vale f (0) = 1. Lafuncin g(x) = 1 x4 alcanza en a = 0 su mximo absoluto, que vale g(0) = 1.

2.9. Representacin grfica de funciones

El conocimiento que nos puede proporcionar la grfica de una funcin sobre el fenmeno rep-resentado por la funcin es bastante amplio. As, un simple vistazo a la grfica puede informarnosacerca de mnimos, mximos, comportamientos del fenmeno para tiempos grandes, asntotas, saltosde la funcin, etc. Por todo sto resulta importante poder dibujar de forma aproximada la grfica deuna funcin.

A la hora de llevar a cabo la representacin grfica de una funcin f (x) se deben seguir los sigu-ientes pasos:

1. Dominio de f : Si nos viene dado, no tendremos nada que hacer, pero si slo tenemos la ex-presin analtica de la funcin, habr que calcular su dominio, es decir el conjunto de nmerosreales ms grande en el que la expresin que define a f tiene sentido.

2. Corte con los ejes: El punto de corte con el eje de ordenadas slo se puede calcular cuandoa = 0 sea un punto del dominio de la funcin. En tal caso, el punto de corte es (0, f (0)). Lospuntos de corte con el eje de abcisas se obtienen al resolver la ecuacin f (x) = 0.

3. Simetras: Debemos estudiar si la funcin es par o impar, o ninguna de las dos cosas. Estainformacin nos puede simplificar el dibujo de la la grfica.

4. Continuidad y asntotas: Estudiaremos los intervalos donde la funcin es continua y la nat-uraleza de las discontinuidades presentadas. Tambin calcularemos las posibles asntotas de lafuncin.

5. Monotona y puntos crticos: Incluye el estudio de la monotona de la funcin, es decir, de losintervalos de crecimiento y decrecimiento, as como el calculo y la clasificacin de los puntoscrticos.

6. Curvatura y puntos de inflexin: Incluye el estudio de la curvatura de la funcin, es decir, delos intervalos donde la funcion es convexa y cncava, as como sus posibles puntos de inflexin.

A continuacin, empezaremos representando los puntos que hemos ido obteniendo (puntos decorte con los ejes, extremos locales, puntos de inflexin, etc). Luego, dibujaremos la grfica teniendoen cuenta toda la informacin obtenida en los apartados anteriores.


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