Post on 28-Jun-2015
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•Concepto de función
•Análisis de funciones I II III IV
•Reconocimiento de funciones -En diagrama Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 -En tabla de valores Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 -En gráfico cartesiano Ejemplos 1 – 2 – 3
•Clasificación de funciones -función sobreyectiva o subyectiva -función inyectiva -función biyectiva
•Elementos característicos de una función
TEMARIO
FUNCIÓN
Una relación definida entre dos conjuntos es función si y sólo si a cada elemento del conjunto de partida le hace corresponder uno y sólo uno del conjunto de llegada.Conjunto de partida: Dominio
Conjunto de llegada: Codominio
ANTERIOR
Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden
resumirse en estas dos:
El DOMINIO o conjunto de partida son los valores que toma la variable independiente (x).
El Codominio son los valores que puede tomar la variable dependiente (y).
La IMAGEN es el subconjunto del CODOMINIO que se relaciona con el DOMINIO. Puede coincidir con este.
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
7
Dominio(x)
Codominio
(y)
ImagenImagen
Dominio(x)
Dominio(x)
Codominio
(y)
Dominio(x)
a.
b.
c.
•m
•n
•p
•q
ffunción
A Bf
A= Dom f
Esta relación es función porque cada elemento de A está relacionado conuno y sólo uno de B. Al correspondiente de un elemento del dominio se lo llama imagen de ese elemento.
Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R1= {(x,y) / (x,y) Є AxB ^ y = x+1}
I R1 = {(0,1),(1,2),(2,3)}
A B
0.
3.•2
Para cada elemento x Є A, excepto 3,existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R1
Para el elemento 3ЄA, no existe imagen Є B tal que el par (3,y) Є R1
•-1
•2
•3
•0
•1
1.Por lo tanto podemos afirmar
que NO ES FUNCIÓN, ya que no cumple con la
condición de existencia.
Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R2= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y2 = x2}
II R2 = {(0,0)(1,1)(1,-1)(2,2)(3,3)}
BA
•0
•1
•-1
•2
•3
Para cada elemento x Є A, excepto 1,existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R2
Para el elemento 1 Є A, existen dos elementos 1 y -1 Є B tal (1,1) Є R2 y (1,-1) Є R2.
0.
1.
2.
3.
Por lo tanto se puede afirmar que la relación NO ES
FUNCIÓN, ya que no cumple la condición de unicidad para un
elemento del dominio.
Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R3= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = x}
A
III R3 = {(0,0) (1,1) (2,2) (3,3)}
B
Para todo elemento x Є A, en este caso sin excepción, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R3.
•0
•1
•2
•3
•-1
0.
1.
2.
3.
Por lo que puede asegurarse que la relación cumple con las condiciones de FUNCIÓN.
Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R4= {(x,y) / (x,y) Є A x B ^ y = 3}
IV R4 = {(0,3) (1,3) (2,3) (3,30)}
A B
Para todo elemento x Є A, sin excepción también, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y) Є R4.
•3
•0
•1
•-1
•2
0.
1.
2.
3.
Podemos afirmar que es FUNCION, ya que cumple con las condiciones de unicidad y
existencia.
1
2
3
a
b
Reconocimiento de funciones
1A B
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIOR CONTINUAR
CORRECTO
La relación del diagrama 1 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
ANTERIOR
INCORRECTO
La relación del diagrama 1 es función
ANTERIOR
1
2
a
b
c
Reconocimiento de funciones
2C D
SI NO
Es función?
•En diagrama
CONTINUARANTERIOR
INCORRECTO
La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le correspondendos elementos de D.
ANTERIOR
CORRECTO
La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le correspondendos elementos de D.
ANTERIOR
1
2
3
a
b
Reconocimiento de funciones
3E F
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIORCONTINUAR
INCORRECTO
La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.
ANTERIOR
CORRECTO
La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.
ANTERIOR
1
2
3
abcd
Reconocimiento de funciones
4G H
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIORCONTINUAR
CORRECTO
La relación del diagrama 4 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
ANTERIOR
INCORRECTO
La relación del diagrama 4 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.
ANTERIOR
1
2
3
a
b
Reconocimiento de funciones
5I J
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIOR
CONTINUAR
CORRECTO
La relación del diagrama 5 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
ANTERIOR
INCORRECTO
La relación del diagrama 5 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.
ANTERIOR
1234
abcd
Reconocimiento de funciones
6K L
Es función?
SI NO
•En diagrama
ANTERIOR
CONTINUAR
CORRECTO
La relación del diagrama 6 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
ANTERIOR
INCORRECTO
La relación del diagrama 6 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.
ANTERIOR
•En tabla de valores
1
x y
-3
4
0
4
-6
8
0
0Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR
INCORRECTO
La relación 1 no es función porque 4tiene dos imágenes.
ANTERIOR
CORRECTO
La relación 1 no es función porque 4está relacionado dos veces.
ANTERIOR
•En tabla de valores
2
x y
-3
4
0
8
8
8
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR
CORRECTO
La relación 2 es función.
ANTERIOR
INCORRECTO
La relación 2 es función.
ANTERIOR
•En tabla de valores
3
x y
-3
4
0
6
0
8
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR
CORRECTO
La relación 3 es función.
ANTERIOR
INCORRECTO
La relación 3 es función.
ANTERIOR
•En tabla de valores
4
x y
-3
4
0
0
-6
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR
INCORRECTO
La relación 4 no es función porque 0no tiene imagen.
ANTERIOR
CORRECTO
La relación 4 no es función porque 0no tiene imagen.
ANTERIOR
•En gráfico cartesiano
y
x
p
n
m
O a b c
1
Es función?
SI NOANTERIOR CONTINUAR
CORRECTO
La relación del gráfico 1 es función.
ANTERIOR
INCORRECTO
La relación del gráfico 1 es función.
ANTERIOR
•En gráfico cartesiano
y
x
p
n
m
O a b c
2
Es función?
SI NOANTERIOR
CONTINUAR
INCORRECTO
La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen. (No cumple la condición de existencia.)
ANTERIOR
CORRECTO
La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen.
ANTERIOR
•En gráfico cartesiano
y
x
p
n
m
O a b c
3
Es función?
SI NOANTERIOR
CONTINUAR
CORRECTO
La relación del gráfico 3 es función.
ANTERIOR
INCORRECTO
La relación del gráfico 3 es función.
ANTERIOR
Clasificación de las funciones
•Función sobreyectiva o suryectiva
Una función f de A en B se sobreyectiva, si y sólo si para todo y pertenecientea B existe un elemento x perteneciente a A, tal que f(x) = y.
Ejemplo:Dados: A = {-1,0,1,2,} ; B = {0,1,4,} y f : A → B / f(x) = x2 tenemos:
A B
0.
-1.
1.
2.
•0
•1
•4
f
Observamos que el conjunto imagen coincide con B, es decir,todos los elementos de B reciben por lo menos una flecha.
ANTERIOR
CONTINUAR
En otras palabras para que una función sea sobreyectiva, el codominio y la imagen deben coincidir. Recordemos que el
codominio son todos los R, excepto que se nos comunique lo contrario.
R R
Dominio Codominio
Como puede verse la imagen es el conjunto R, por lo tanto Codom=Img
ES SOBREYECTIV
A
y
x
•Función inyectiva
Ejemplo:
Dados: A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7,9,} y f : A → B / f(x) = 2x + 1 tenemos:
A Bf
0.
1.
2.
3.
1.
3.
5.
7.
9.ANTERIOR
•Función biyectiva
Una función f de A en B es biyectiva, si y sólo si, f es sobreyectiva e inyectiva.
Ejemplo:Dados: A = {0,1,2,3} , B = {1,2,3,4} y f : A → B / f(x) = x +1 tenemos:
A B
0.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
Observamos que en este caso la relación es uno a uno.
ANTERIOR
Para determinar si la gráfica como la que vemos aquí corresponde o no a una función, podemos ayudarnos con el trazado de líneas auxiliares verticales, y
analizar si alguna de ellas corta a la grafica en mas de una oportunidad.
Todas las rectas verticales cortan a la grafica en solo una oportunidad cada una, por lo que podemos asegurar que cumple la condición de existencia y unicidad, por lo tanto es
FUNCION.
Y
X
Veamos ahora esta gráfica, tracemos como antes rectas verticales para ver si cumple con las condiciones:
Como se puede ver, algunas rectas verticales cortan a la gráfica en mas de una oportunidad, con lo que no se cumple la condición de
existencia
y
x
Veamos ahora esta gráfica, el dominio esta definido como
5
);(
Al trazar las rectas auxiliares verticales, podemos ver que hay algunas que no cortan a la grafica, por lo tanto en esos valores del dominio, no hay imagen, lo que
nos permite afirmar que NO ES FUNCION, ya que no cumple la condición de existencia
Observar que el grafico termina en 5 y NO continua mas allá de ese valor.
y
x
Si al grafico anterior le modificamos el dominio, tal que DOM: ,y trazamos ahora rectas verticales,(recordar que solo debo estudiar las condiciones en el dominio, y por lo tanto trazar rectas verticales solo en el intervalo )]5;(
]5;(
Veremos que TODAS las rectas cortan a la gráfica SOLO en un punto, por lo tanto, podemos afirmar que este gráfico
corresponde a una función.
5
y
x
Elementos característicos de una gráfica
• Veremos ahora como reconocer algunas características de las graficas:
Dominio: recorrido de la función sobre el eje x Imagen: recorrido de la función sobre el eje y Puntos máximos: son aquellos donde alcanza su mayor valor,
pueden ser relativos o absolutos Puntos mínimos: son aquellos donde alcanza su menor valor,
pueden ser relativos o absolutos Raíces o ceros: son los valores donde la función corta al eje x Intervalos de positividad: son los valores de x donde la función
toma valores positivos Intervalos de negatividad: son los valores de x donde la función
toma valores negativos
Y
X-8 5
Dom: [-8;5]Img: [-5;6]
-5
6Punto mínimo relativo (3;-4)
Ptos. Máximos relativos (1;4),(-8;1)
Raíces:{-6;-2;2;4}
-6 -2 2
3
4
-4
1
4
-4
1
Pto. Máximo absoluto: (5;6)
Pto. Mínimo absoluto: (-4;-5)
Intervalos de negatividad: (-6;-2)U(2;4)
Intervalos de positividad:[-8;-6)U(-2;2)U(4;5]
Intersección con el eje y: (0;3)