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7/24/2019 Func. Vect. Problemas
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Nolan Jara Jara
2
0 0
cos( ) , , 4
t t u senu
f t du du t u u
entre
t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( ) f t es el
punto donde 1( ) f t es paralelo al plano
YZ (1< t1 <2).1
1
( , 0, ) ;si 0
13)Sea : ( ) ( , , 0) ;si 0
(0,0,0) ;si t=0
¿ es una curva regular t ?
t
t
t e t
f t t e t
2
2
1
1
( , 0, ) ;si 0
14) : ( ) ( , ,0) ;si 0(0,0,0) ;si t=0
¿ es una curva regular t ?
t
t
t e t
Sea f t t e t
15) Una partícula se mueve en el espacio
R 3 partiendo en el instante t = 0 del punto
(1, 0,2e-2
). En cada instante t > _ 0 la
velocidad de la partícula es
v (t) = (-2, 2t, 4e2 (t-1)
).
i) ¿En que instante el vector velocidad es
paralelo al vector posición de la
partícula? ¿La partícula cruza el plano x
+ y = 0 en algún instante?
ii) Parametrice la curva C descrita por la
función x = v (t); t t 0 mediante el
parámetro longitud de arco S.
16) Sea C una curva en R³ descrita por la
función vectorial x = f (t), t>0 si
1 1 1 ( ) , ( ) 1, 1,
1 1 ² 2
t f t B t
t t t
para t>0, y la torsión )(t en cada
punto f (t)C es positiva, determinar
)(t . A medida que t crece, ¿la curva
C se tuerce más o menos? Justifique
su respuesta.
17) Ver si el punto )0,52,2(Q
pertenece a la circunferencia de curvatura
de la curva C 3R descrita por x = f (t),
en el punto f (0)= (1, 2, 0), si se sabe que
f (0) = (0, 3, 0) y que f (t) = 3tT (t) -
)2(
32t R (t), donde R (t)=(t
2 – 2, 2t,-2t)
es un vector paralelo para cada t al
vector normal principal N (t).
18) Sea la curva C1:2( ) ( , , ); o t 2, por cada punto f t t t t
f (t) se traza una recta en la dirección
del vector binormal B (t):
i) Encontrar las ecuaciones paramétricas
de la curva C2 que se forma al interceptar
cada recta con el plano YZ.
ii) Calcular los vectores , ,T N B y la
curvatura de C2 en el punto ).6
7,
3
7,0(
19) ¿Es plana la curva con ecuaciones
paramétricas?
1
1 ;
)1(
1 ;
)1( 22
2
t z
t
t y
t
t x
20) Halle la forma más general de la
función Ø para que la curva definida por:
f (u) = (a cos u, a sen u, Ø(u)) sea plana.
21) Una partícula se mueve sobre una
curva con velocidad no nula y paralela a
la aceleración. Si su rapidez en el instante
t es ,
1
12
t
t halle el vector posición de la
partícula.
22) Sea C: f (t)=2 3
(3 ,3 , ); t R t t t y Q el
plano osculador de C en el punto (3, 3, 1)
las rectas tangentes a C para t >1 cortan a
Q determinando una curva C1.En
cualquier punto de ella, hallar la
curvatura de C.
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23)
Sea C:3
1
2 ln
0; 0; C R
xy
z x
x z
Si una partícula se desplaza sobre la
curva C con una rapidez de “t” en el
tiempo t, en t = 0 la partícula se encuentra
en el punto (1, a, b) y además la partícula
se desplaza por debajo del plano z = 0.
i) Halle la función vectorial que describe
la trayectoria de la partícula en función
del tiempo t.
ii) Halle la velocidad de la partícula en el
tiempo t = 1 y la distancia que ha
recorrido la partícula desde t = 0 hasta t =2.
24) Sea
C: 3 ² 2 1( ) 1, , ln
4
t t t f t t e
y
C1:1
( ) ,4 1, ln g t t t t
. Hallar la
torsión de la curva C en el punto de
intersección de estas curvas.
25) Hallar los puntos en que la recta
tangente a la curva C:
f (t)=(3t - t³,3t²,3t + t³) es paralela al
plano 3x + y + z = 5.
26) Sea C una curva en R³ que se obtiene
como intersección de las superficies y=x²
y z =3
2(xy). Calcular la longitud de esta
desde el origen hasta el punto (1,1,2/3).
27) Hallar la ecuación del plano
osculador y la curvatura de C:
( ) ln 1 ² , , ln 11
t f t t t t
t
en
un punto donde el vector tangente tiene
la dirección la recta: x-1= y-2 = z-5.
28) La curva C es la intersección del
cilindro x² + y² + 2(y-x) = 2 con el plano
x-y-2z = 2.Determinar la curvatura y
torsión, así como el plano osculador en el
punto (3,-1,1).
29) Sea C: ( ) cosh , , f t t senht t .Hallar
la ecuación del plano osculador en el
punto donde el radio de curvatura es
mínimo.30) Dada la curva C en términos de la
longitud de arco s;
1( ) sen ,1 cos ,4sen ; 0
2 2
s g s s s s s
. Hallar la torsión en un punto en donde la
longitud de arco sea 2 .
31) Calcule la longitud del arco de la
curva f :[0,1]R 3, f (t)=(cosht,senht,t)
32)Demuestre que las rectas
tangentes,normal y binormal a la curva
f (t)=(etcost,e
tsent,e
t) forman angulos
constantes con el eje Z.
33)Demuestre que la curva
f (t) = (acosht,asenht,bt) tiene curvatura
y torsion iguales en todos sus puntos
cuando a = b.
34)Consideremos el cilindro eliptico
2x² + 3y² = 1 y el plano z = 2y. Estas dos
superficies se intersectan en una elipse C.
calcular la curvatura de esta en el punto
(0,1
3
2
3, ).
35) Hallar la ecuación del plano
osculador de la curva C que resulta de la
intersección de la esfera x² + y² + z² = 6
con el paraboloide Z = x² + y² en el punto
(1,1,2).
36) Reparametrizar la curva C :
f 3 3( ) (cos ;sen ;cos2 )t t t t con respecto
a la longitud de arco medida desde el punto donde t = 0 en la dirección en que
se incrementa t . Considerar los valores de
t ubicados entre 0 y /2, ambos incluidos.
Hallar k (5/4).
37) Una particula se mueve sobre la
circumferencia cuya ecuacion en
coordenadas polares es r = 4sen en
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sentido antihorario, con rapidez
constante e igual a 8 unidades. Parte en el
instante t = 0 desde el punto (0,4).Defina
una funcion vectorial de R en R² en
terminos del tiempo t , que describa el
movimiento de la particula.38) a) Encontrar la longitud de la curva
definida por :
0 0
cos( ) , , 4
t t u senu
f t du du t u u
entre
t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( ) f t es el
punto donde 1( ) f t es paralelo al plano
YZ (1 < t1 < 2).
b) Calcular la longitud de la poligonal
( ) f t = (|t| , |t − 2|) para t
[−1, 4].39) Hallar la parametrización con
respecto a la longitud de arco y utilizarla
Para calcular los vectores unitarios:
tangente, normal, binormal y la curvatura
de la hélice circular
( ) f t = (a cos t, a sen t, bt) con t [0, c],
siendo a, b y c Constantes.
40) Si C es la curva con representación
parametrica 1²,,2)( t t t t f
Hallar su torsión en el punto deintersección de la curva con el plano
x + y + z = 5.
41) Dibuje la curva
C: ( ) (1 cos )(cos , ); 0,2 f t t t sent t .
y calcule su longitud.
42) Calcular las longitudes de las
siguientes curvas o arcos de curvas
(suponemos que todas las constantes que
aparecen son positivas):
i) La hélice circular, dada por( ) f t = (a cos t, a sen t, bt) con t [0, c].
ii) La curva parametrizada por
( ) f t = ( t e cos t, t
e sen t, t e ) con t[0, a].
43) Sea C la curva determinada por la
función vectorial
( ) (cos ), ( cos ),t t t f t e t sent e t sent e
Hallar la longitud del arco de la curva C
desde el punto A(1,-1,1) hasta el punto
B(-e
,e
,e
).44) hallar la longitud del arco de la curva
C: ( ) f t = (t,ln(sect),ln(sect+tgt)), t
[0,
4].
45) Dada la curva
C:
1( ) sen ,1 cos ,4sen ; 0
2 2
s g s s s s s
. En términos de la longitud de arco s.
Hallar la torsión en un punto en donde lalongitud de arco sea 2 .
46) Sean C1 y C2 las curvas descritas por
las funciones vectoriales siguientes:
2
2
5( ) ln( 2), 1, ;
1
5 5( ) ln 2 ,3 1,
2
t f t t et
t g t t t
Hallar las ecuaciones de las rectas
tangentes a cada una de estas curvas en el
punto de interseccion.47) Hallar La longitud del arco de la
curva C definida por la función vectorial
3 3( ) cos , , cos 2 desde el
punto f(0) hasta f(2 )
f t t sen t t
48) Reparametriza la curva3
22
( ) (cos , , ); 03
f t t sent t t
por la función longitud de arco.
49) Dada la curva C determinada por la
función vectorial
( ) (2 cos , 2cos , );
0 ( ) (t)
f t sent t t t tsent t
t Hallar k t y
50) Viajamos por el plano partiendo del
origen (0 , 0). Y lo hacemos siguiendo la
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traza de la curva g : [0 , 1) → R ²
(parametrizada por la función longitud
de arco) que cumple con las condiciones
siguientes:
g (0) = (0 , 0);
g (0) = (1 , 0);
Su curvatura es κ ( s) =1
1 ² s para cada
s [0 , 1).
Tras recorrer una unidad de longitud (en
metros), abandonamos la curva para
seguir la Dirección de la tangente a la
curva en el punto de escape. Recorremos
así otros 3 metros. ¿A qué distancia (en
metros) del punto original (0 , 0) nos
encontraremos?
51) ¿Qué funciones diferenciables g(t )
hacen que f (t ) = (cosh(t ) , sinh(t ) , g (t )),
para t ∈ R, sea una curva plana?
52) Hallar la ecuación del plano
osculador, la curvatura y la circunferencia
de curvatura de la curva C:
( ) ln 1 ² , , ln 11
t f t t t t
t
en
un punto donde el vector tangente tiene
la dirección la recta: x-1=y-2=z-5.
53) Sea C una curva descrita por la
función
3: 0,1 ; si (0) 1,0,0 y ( )
es de la forma ( ) 2 ( ) ( ) ( )
f R f f t
f t t T t t N t
Calcular la longitud de la curva.