Expansiones a la lógica: Lógica de Primer Orden eInferencia

Matemáticas Discretas(TC1003)

M.C. Xavier Sánchez Díazsax@tec.mx

Outline

1 Recap de Lógica

2 Lógica de Primer Orden

3 Formalización de la lógica

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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Lógica proposicionalRecap de Lógica

Previamente, analizamos un poco la verdad en algunas oraciones.

Aprendimos la diferencia entre un estatuto y una oración.También aprendimos a identificar cuando un estatuto era atómico.Revisamos la diferencia entre los operadores binarios y un operadorunitarioAprendimos también la simbología necesaria:

I Conjunción: ∧I Disyunción: ∨I Negación: ¬I Implicación: =⇒I Doble implicación: ⇐⇒I Disyunción exclusiva: ⊕

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ExpresividadLógica de Primer Orden

El sol sale por el esteCinco ballenas mueren al díaSi hay de sirloin, me traes cinco.

¿Qué tienen en común estas proposiciones?

Todas son proposiciones que hablan de un solo valor de verdad.La veracidad en ellas es absoluta y se presenta de manera aislada.

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ExpresividadLógica de Primer Orden

El sol sale por el esteCinco ballenas mueren al díaSi hay de sirloin, me traes cinco.

¿Qué tienen en común estas proposiciones?

Todas son proposiciones que hablan de un solo valor de verdad.La veracidad en ellas es absoluta y se presenta de manera aislada.

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ExpresividadLógica de Primer Orden

El sol sale por el esteCinco ballenas mueren al díaSi hay de sirloin, me traes cinco.

¿Qué tienen en común estas proposiciones?

Todas son proposiciones que hablan de un solo valor de verdad.La veracidad en ellas es absoluta y se presenta de manera aislada.

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ExpresividadLógica de Primer Orden

Pensemos en el siguiente ejemplo: de noche, todos los gatos son pardos.¿Cómo la reescribimos? en una forma más fácilmente ’expresable’ con lo quehemos visto?

Si es de noche, entonces todos los gatos son pardos, para que quede en laforma P =⇒ Q donde P = es de noche y Q = todos los gatos son pardos.

Tendríamos que pensar en todos los gatos como un solo objeto para queesto funcione con la lógica que conocemos.

Pongámosle números, en donde nuestro universo contempla los 3 gatos que—esperamos aún—viven en el Campus. ¿Cómo hacemos para describir que almenos dos son pardos durante la noche?

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ExpresividadLógica de Primer Orden

Pensemos en el siguiente ejemplo: de noche, todos los gatos son pardos.¿Cómo la reescribimos? en una forma más fácilmente ’expresable’ con lo quehemos visto?

Si es de noche, entonces todos los gatos son pardos, para que quede en laforma P =⇒ Q donde P = es de noche y Q = todos los gatos son pardos.

Tendríamos que pensar en todos los gatos como un solo objeto para queesto funcione con la lógica que conocemos.

Pongámosle números, en donde nuestro universo contempla los 3 gatos que—esperamos aún—viven en el Campus. ¿Cómo hacemos para describir que almenos dos son pardos durante la noche?

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ExpresividadLógica de Primer Orden

Pensemos en el siguiente ejemplo: de noche, todos los gatos son pardos.¿Cómo la reescribimos? en una forma más fácilmente ’expresable’ con lo quehemos visto?

Si es de noche, entonces todos los gatos son pardos, para que quede en laforma P =⇒ Q donde P = es de noche y Q = todos los gatos son pardos.

Tendríamos que pensar en todos los gatos como un solo objeto para queesto funcione con la lógica que conocemos.

Pongámosle números, en donde nuestro universo contempla los 3 gatos que—esperamos aún—viven en el Campus. ¿Cómo hacemos para describir que almenos dos son pardos durante la noche?

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ExpresividadLógica de Primer Orden

Pensemos en el siguiente ejemplo: de noche, todos los gatos son pardos.¿Cómo la reescribimos? en una forma más fácilmente ’expresable’ con lo quehemos visto?

Si es de noche, entonces todos los gatos son pardos, para que quede en laforma P =⇒ Q donde P = es de noche y Q = todos los gatos son pardos.

Tendríamos que pensar en todos los gatos como un solo objeto para queesto funcione con la lógica que conocemos.

Pongámosle números, en donde nuestro universo contempla los 3 gatos que—esperamos aún—viven en el Campus. ¿Cómo hacemos para describir que almenos dos son pardos durante la noche?

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ExpresividadLógica de Primer Orden

Si es de noche, entonces al menos dos de los tres gatos que viven en elCampus son pardos.

P =⇒ Q

donde P es lo mismo: es de noche, y Q cambió: al menos dos de los tresgatos que viven en el Campus son pardos.

Claramente, si queremos expresar algo con cantidades o condiciones adi-cionales, alguna de las fórmulas atómicas debe absorber esta información.Significa que van a haber cosas que no podremos expresar de esta manerageneral.A esta capacidad (o incapacidad) de expresar se le conoce como poderexpresivo o expresividad. La lógica proposicional es de expresividad limitada.Sin embargo, podemos expandirla para poder expresar otro tipo de cosas.

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ExpresividadLógica de Primer Orden

Si es de noche, entonces al menos dos de los tres gatos que viven en elCampus son pardos.

P =⇒ Q

donde P es lo mismo: es de noche, y Q cambió: al menos dos de los tresgatos que viven en el Campus son pardos.

Claramente, si queremos expresar algo con cantidades o condiciones adi-cionales, alguna de las fórmulas atómicas debe absorber esta información.Significa que van a haber cosas que no podremos expresar de esta manerageneral.A esta capacidad (o incapacidad) de expresar se le conoce como poderexpresivo o expresividad. La lógica proposicional es de expresividad limitada.Sin embargo, podemos expandirla para poder expresar otro tipo de cosas.

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ExpresividadLógica de Primer Orden

Si es de noche, entonces al menos dos de los tres gatos que viven en elCampus son pardos.

P =⇒ Q

donde P es lo mismo: es de noche, y Q cambió: al menos dos de los tresgatos que viven en el Campus son pardos.

Claramente, si queremos expresar algo con cantidades o condiciones adi-cionales, alguna de las fórmulas atómicas debe absorber esta información.Significa que van a haber cosas que no podremos expresar de esta manerageneral.A esta capacidad (o incapacidad) de expresar se le conoce como poderexpresivo o expresividad. La lógica proposicional es de expresividad limitada.Sin embargo, podemos expandirla para poder expresar otro tipo de cosas.

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ExpresividadLógica de Primer Orden

Si es de noche, entonces al menos dos de los tres gatos que viven en elCampus son pardos.

P =⇒ Q

donde P es lo mismo: es de noche, y Q cambió: al menos dos de los tresgatos que viven en el Campus son pardos.

Claramente, si queremos expresar algo con cantidades o condiciones adi-cionales, alguna de las fórmulas atómicas debe absorber esta información.Significa que van a haber cosas que no podremos expresar de esta manerageneral.A esta capacidad (o incapacidad) de expresar se le conoce como poderexpresivo o expresividad. La lógica proposicional es de expresividad limitada.Sin embargo, podemos expandirla para poder expresar otro tipo de cosas.

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CuantificadoresLógica de Primer Orden

Recordemos ahora los cuantificadores que vimos al hablar del tema de rela-ciones y funciones:

Cuantificador universal: ∀ que significa para todosCuantificador existencial: ∃ que significa existe (o sea, para al menosuno)Cuantificador de unicidad: ∃! que significa existe únicamente uno (osea, para solamente uno) y es un caso especial del cuantificadorexistencial

Con esto podemos acercarnos un poco más al ejemplo de los gatos quenecesitamos:Para todo x, si x es un gato, y es de noche, entonces x es pardo.

∀x(Gx =⇒ Px) o bien ∀x(G(x) =⇒ P (x))

¿Qué son G y P?7 / 14

CuantificadoresLógica de Primer Orden

Recordemos ahora los cuantificadores que vimos al hablar del tema de rela-ciones y funciones:

Cuantificador universal: ∀ que significa para todosCuantificador existencial: ∃ que significa existe (o sea, para al menosuno)Cuantificador de unicidad: ∃! que significa existe únicamente uno (osea, para solamente uno) y es un caso especial del cuantificadorexistencial

Con esto podemos acercarnos un poco más al ejemplo de los gatos quenecesitamos:Para todo x, si x es un gato, y es de noche, entonces x es pardo.

∀x(Gx =⇒ Px) o bien ∀x(G(x) =⇒ P (x))

¿Qué son G y P?7 / 14

CuantificadoresLógica de Primer Orden

Recordemos ahora los cuantificadores que vimos al hablar del tema de rela-ciones y funciones:

Cuantificador universal: ∀ que significa para todosCuantificador existencial: ∃ que significa existe (o sea, para al menosuno)Cuantificador de unicidad: ∃! que significa existe únicamente uno (osea, para solamente uno) y es un caso especial del cuantificadorexistencial

Con esto podemos acercarnos un poco más al ejemplo de los gatos quenecesitamos:Para todo x, si x es un gato, y es de noche, entonces x es pardo.

∀x(Gx =⇒ Px) o bien ∀x(G(x) =⇒ P (x))

¿Qué son G y P?7 / 14

CuantificadoresLógica de Primer Orden

Recordemos ahora los cuantificadores que vimos al hablar del tema de rela-ciones y funciones:

Cuantificador universal: ∀ que significa para todosCuantificador existencial: ∃ que significa existe (o sea, para al menosuno)Cuantificador de unicidad: ∃! que significa existe únicamente uno (osea, para solamente uno) y es un caso especial del cuantificadorexistencial

Con esto podemos acercarnos un poco más al ejemplo de los gatos quenecesitamos:Para todo x, si x es un gato, y es de noche, entonces x es pardo.

∀x(Gx =⇒ Px) o bien ∀x(G(x) =⇒ P (x))

¿Qué son G y P?7 / 14

CuantificadoresLógica de Primer Orden

Recordemos ahora los cuantificadores que vimos al hablar del tema de rela-ciones y funciones:

Cuantificador universal: ∀ que significa para todosCuantificador existencial: ∃ que significa existe (o sea, para al menosuno)Cuantificador de unicidad: ∃! que significa existe únicamente uno (osea, para solamente uno) y es un caso especial del cuantificadorexistencial

Con esto podemos acercarnos un poco más al ejemplo de los gatos quenecesitamos:Para todo x, si x es un gato, y es de noche, entonces x es pardo.

∀x(Gx =⇒ Px) o bien ∀x(G(x) =⇒ P (x))

¿Qué son G y P?7 / 14

CuantificadoresLógica de Primer Orden

Recordemos ahora los cuantificadores que vimos al hablar del tema de rela-ciones y funciones:

Cuantificador universal: ∀ que significa para todosCuantificador existencial: ∃ que significa existe (o sea, para al menosuno)Cuantificador de unicidad: ∃! que significa existe únicamente uno (osea, para solamente uno) y es un caso especial del cuantificadorexistencial

Con esto podemos acercarnos un poco más al ejemplo de los gatos quenecesitamos:Para todo x, si x es un gato, y es de noche, entonces x es pardo.

∀x(Gx =⇒ Px) o bien ∀x(G(x) =⇒ P (x))

¿Qué son G y P?7 / 14

CuantificadoresLógica de Primer Orden

Recordemos ahora los cuantificadores que vimos al hablar del tema de rela-ciones y funciones:

Cuantificador universal: ∀ que significa para todosCuantificador existencial: ∃ que significa existe (o sea, para al menosuno)Cuantificador de unicidad: ∃! que significa existe únicamente uno (osea, para solamente uno) y es un caso especial del cuantificadorexistencial

Con esto podemos acercarnos un poco más al ejemplo de los gatos quenecesitamos:Para todo x, si x es un gato, y es de noche, entonces x es pardo.

∀x(Gx =⇒ Px) o bien ∀x(G(x) =⇒ P (x))

¿Qué son G y P?7 / 14

CuantificadoresLógica de Primer Orden

Recordemos ahora los cuantificadores que vimos al hablar del tema de rela-ciones y funciones:

Cuantificador universal: ∀ que significa para todosCuantificador existencial: ∃ que significa existe (o sea, para al menosuno)Cuantificador de unicidad: ∃! que significa existe únicamente uno (osea, para solamente uno) y es un caso especial del cuantificadorexistencial

Con esto podemos acercarnos un poco más al ejemplo de los gatos quenecesitamos:Para todo x, si x es un gato, y es de noche, entonces x es pardo.

∀x(Gx =⇒ Px) o bien ∀x(G(x) =⇒ P (x))

¿Qué son G y P?7 / 14

Relaciones, Funciones y PredicadosLógica de Primer Orden

La lógica de primer orden (LPO o FOL por sus siglas en inglés) trabajacon cuantificadores y relaciones y funciones para tener un mayor poderexpresivo.

Podemos pensar en el predicado G(x) o Gx como una función unitaria de laforma G : V → T donde V es el conjunto de posibles variables en nuestrafórmula, y T son los posibles valores de verdad de cada una de ellas—cierto,o falso. Bajo ese concepto, entonces G(x) puede pensarse como la funciónx es un gato que puede ser verdadero o falso.Px significa entonces que x es pardo.

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Relaciones, Funciones y PredicadosLógica de Primer Orden

La lógica de primer orden (LPO o FOL por sus siglas en inglés) trabajacon cuantificadores y relaciones y funciones para tener un mayor poderexpresivo.

Podemos pensar en el predicado G(x) o Gx como una función unitaria de laforma G : V → T donde V es el conjunto de posibles variables en nuestrafórmula, y T son los posibles valores de verdad de cada una de ellas—cierto,o falso. Bajo ese concepto, entonces G(x) puede pensarse como la funciónx es un gato que puede ser verdadero o falso.Px significa entonces que x es pardo.

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Relaciones, Funciones y PredicadosLógica de Primer Orden

La lógica de primer orden (LPO o FOL por sus siglas en inglés) trabajacon cuantificadores y relaciones y funciones para tener un mayor poderexpresivo.

Podemos pensar en el predicado G(x) o Gx como una función unitaria de laforma G : V → T donde V es el conjunto de posibles variables en nuestrafórmula, y T son los posibles valores de verdad de cada una de ellas—cierto,o falso. Bajo ese concepto, entonces G(x) puede pensarse como la funciónx es un gato que puede ser verdadero o falso.Px significa entonces que x es pardo.

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Implicaciones para prácticamente todoLógica de Primer Orden

Pensemos en otro ejemplo felino: los Leones y los T igres son P eligrosos.¿Cómo expresamos esto en lógica de primer orden?∀x((Lx ∨ Tx) =⇒ Px) o bien ∀x(Lx =⇒ Px) ∧ ∀x(Tx =⇒ Px) quepodemos leer literalmente como

Para todo x, si x es un león o un tigre, entonces x es peligrosoPara todo x, si x es un león entonces es peligroso. Y además, paratodo x, si x es un tigre entonces es peligroso.

No podríamos agrupar ∀x(Lx ∧ Tx) porque esto significaría que x es untigre y también un león, y lo que estaríamos diciendo tendría que ser verdadpara todos aquellos x que son tigres-leones.

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Implicaciones para prácticamente todoLógica de Primer Orden

Pensemos en otro ejemplo felino: los Leones y los T igres son P eligrosos.¿Cómo expresamos esto en lógica de primer orden?∀x((Lx ∨ Tx) =⇒ Px) o bien ∀x(Lx =⇒ Px) ∧ ∀x(Tx =⇒ Px) quepodemos leer literalmente como

Para todo x, si x es un león o un tigre, entonces x es peligrosoPara todo x, si x es un león entonces es peligroso. Y además, paratodo x, si x es un tigre entonces es peligroso.

No podríamos agrupar ∀x(Lx ∧ Tx) porque esto significaría que x es untigre y también un león, y lo que estaríamos diciendo tendría que ser verdadpara todos aquellos x que son tigres-leones.

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Implicaciones para prácticamente todoLógica de Primer Orden

Pensemos en otro ejemplo felino: los Leones y los T igres son P eligrosos.¿Cómo expresamos esto en lógica de primer orden?∀x((Lx ∨ Tx) =⇒ Px) o bien ∀x(Lx =⇒ Px) ∧ ∀x(Tx =⇒ Px) quepodemos leer literalmente como

Para todo x, si x es un león o un tigre, entonces x es peligrosoPara todo x, si x es un león entonces es peligroso. Y además, paratodo x, si x es un tigre entonces es peligroso.

No podríamos agrupar ∀x(Lx ∧ Tx) porque esto significaría que x es untigre y también un león, y lo que estaríamos diciendo tendría que ser verdadpara todos aquellos x que son tigres-leones.

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Más ejemplosLógica de Primer Orden

Algunos compositores son poetas ⇒ ∃x(Cx ∧ Px)Todos aman a alguien ⇒ ∀x∃y(Lxy)Existe un número primo menor a 7 ⇒ ∃x(Px ∧ (x < 7))

¿Cómo expresaríamos lo siguiente?

Todos los hombres hablan más que Charles ChaplinSi un triángulo tiene un ángulo recto, entonces no es equilátero

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Más ejemplosLógica de Primer Orden

Algunos compositores son poetas ⇒ ∃x(Cx ∧ Px)Todos aman a alguien ⇒ ∀x∃y(Lxy)Existe un número primo menor a 7 ⇒ ∃x(Px ∧ (x < 7))

¿Cómo expresaríamos lo siguiente?

Todos los hombres hablan más que Charles ChaplinSi un triángulo tiene un ángulo recto, entonces no es equilátero

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Más ejemplosLógica de Primer Orden

Algunos compositores son poetas ⇒ ∃x(Cx ∧ Px)Todos aman a alguien ⇒ ∀x∃y(Lxy)Existe un número primo menor a 7 ⇒ ∃x(Px ∧ (x < 7))

¿Cómo expresaríamos lo siguiente?

Todos los hombres hablan más que Charles ChaplinSi un triángulo tiene un ángulo recto, entonces no es equilátero

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Más ejemplosLógica de Primer Orden

Algunos compositores son poetas ⇒ ∃x(Cx ∧ Px)Todos aman a alguien ⇒ ∀x∃y(Lxy)Existe un número primo menor a 7 ⇒ ∃x(Px ∧ (x < 7))

¿Cómo expresaríamos lo siguiente?

Todos los hombres hablan más que Charles ChaplinSi un triángulo tiene un ángulo recto, entonces no es equilátero

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Más ejemplosLógica de Primer Orden

Algunos compositores son poetas ⇒ ∃x(Cx ∧ Px)Todos aman a alguien ⇒ ∀x∃y(Lxy)Existe un número primo menor a 7 ⇒ ∃x(Px ∧ (x < 7))

¿Cómo expresaríamos lo siguiente?

Todos los hombres hablan más que Charles ChaplinSi un triángulo tiene un ángulo recto, entonces no es equilátero

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Más ejemplosLógica de Primer Orden

Algunos compositores son poetas ⇒ ∃x(Cx ∧ Px)Todos aman a alguien ⇒ ∀x∃y(Lxy)Existe un número primo menor a 7 ⇒ ∃x(Px ∧ (x < 7))

¿Cómo expresaríamos lo siguiente?

Todos los hombres hablan más que Charles ChaplinSi un triángulo tiene un ángulo recto, entonces no es equilátero

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Más ejemplosLógica de Primer Orden

Algunos compositores son poetas ⇒ ∃x(Cx ∧ Px)Todos aman a alguien ⇒ ∀x∃y(Lxy)Existe un número primo menor a 7 ⇒ ∃x(Px ∧ (x < 7))

¿Cómo expresaríamos lo siguiente?

Todos los hombres hablan más que Charles ChaplinSi un triángulo tiene un ángulo recto, entonces no es equilátero

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Dualidad de los cuantificadoresFormalización de la lógica

Como el Ying Yang, existe cierta dualidad de los cuantificadores

¬∀x(α) ≡ ∃x(¬α)¬∃x(α) ≡ ∀x(¬α)∀x(α) ≡ ¬∃x(¬α)∃x(α) ≡ ¬∀x(¬α)

El caso especial ∃!x(α) hace referencia a ∃x[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]si no existe algo que cumpla, significa que para todos no se cumple algo . . .

∀x¬[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]

. . . lo que implica que usando DeMorgan y las reglas de arriba, logramos

∀x[¬α ∨ ∃y(¬α)]

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Dualidad de los cuantificadoresFormalización de la lógica

Como el Ying Yang, existe cierta dualidad de los cuantificadores

¬∀x(α) ≡ ∃x(¬α)¬∃x(α) ≡ ∀x(¬α)∀x(α) ≡ ¬∃x(¬α)∃x(α) ≡ ¬∀x(¬α)

El caso especial ∃!x(α) hace referencia a ∃x[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]si no existe algo que cumpla, significa que para todos no se cumple algo . . .

∀x¬[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]

. . . lo que implica que usando DeMorgan y las reglas de arriba, logramos

∀x[¬α ∨ ∃y(¬α)]

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Dualidad de los cuantificadoresFormalización de la lógica

Como el Ying Yang, existe cierta dualidad de los cuantificadores

¬∀x(α) ≡ ∃x(¬α)¬∃x(α) ≡ ∀x(¬α)∀x(α) ≡ ¬∃x(¬α)∃x(α) ≡ ¬∀x(¬α)

El caso especial ∃!x(α) hace referencia a ∃x[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]si no existe algo que cumpla, significa que para todos no se cumple algo . . .

∀x¬[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]

. . . lo que implica que usando DeMorgan y las reglas de arriba, logramos

∀x[¬α ∨ ∃y(¬α)]

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Dualidad de los cuantificadoresFormalización de la lógica

Como el Ying Yang, existe cierta dualidad de los cuantificadores

¬∀x(α) ≡ ∃x(¬α)¬∃x(α) ≡ ∀x(¬α)∀x(α) ≡ ¬∃x(¬α)∃x(α) ≡ ¬∀x(¬α)

El caso especial ∃!x(α) hace referencia a ∃x[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]si no existe algo que cumpla, significa que para todos no se cumple algo . . .

∀x¬[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]

. . . lo que implica que usando DeMorgan y las reglas de arriba, logramos

∀x[¬α ∨ ∃y(¬α)]

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Dualidad de los cuantificadoresFormalización de la lógica

Como el Ying Yang, existe cierta dualidad de los cuantificadores

¬∀x(α) ≡ ∃x(¬α)¬∃x(α) ≡ ∀x(¬α)∀x(α) ≡ ¬∃x(¬α)∃x(α) ≡ ¬∀x(¬α)

El caso especial ∃!x(α) hace referencia a ∃x[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]si no existe algo que cumpla, significa que para todos no se cumple algo . . .

∀x¬[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]

. . . lo que implica que usando DeMorgan y las reglas de arriba, logramos

∀x[¬α ∨ ∃y(¬α)]

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Dualidad de los cuantificadoresFormalización de la lógica

Como el Ying Yang, existe cierta dualidad de los cuantificadores

¬∀x(α) ≡ ∃x(¬α)¬∃x(α) ≡ ∀x(¬α)∀x(α) ≡ ¬∃x(¬α)∃x(α) ≡ ¬∀x(¬α)

El caso especial ∃!x(α) hace referencia a ∃x[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]si no existe algo que cumpla, significa que para todos no se cumple algo . . .

∀x¬[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]

. . . lo que implica que usando DeMorgan y las reglas de arriba, logramos

∀x[¬α ∨ ∃y(¬α)]

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Dualidad de los cuantificadoresFormalización de la lógica

Como el Ying Yang, existe cierta dualidad de los cuantificadores

¬∀x(α) ≡ ∃x(¬α)¬∃x(α) ≡ ∀x(¬α)∀x(α) ≡ ¬∃x(¬α)∃x(α) ≡ ¬∀x(¬α)

El caso especial ∃!x(α) hace referencia a ∃x[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]si no existe algo que cumpla, significa que para todos no se cumple algo . . .

∀x¬[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]

. . . lo que implica que usando DeMorgan y las reglas de arriba, logramos

∀x[¬α ∨ ∃y(¬α)]

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Dualidad de los cuantificadoresFormalización de la lógica

Como el Ying Yang, existe cierta dualidad de los cuantificadores

¬∀x(α) ≡ ∃x(¬α)¬∃x(α) ≡ ∀x(¬α)∀x(α) ≡ ¬∃x(¬α)∃x(α) ≡ ¬∀x(¬α)

El caso especial ∃!x(α) hace referencia a ∃x[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]si no existe algo que cumpla, significa que para todos no se cumple algo . . .

∀x¬[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]

. . . lo que implica que usando DeMorgan y las reglas de arriba, logramos

∀x[¬α ∨ ∃y(¬α)]

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Dualidad de los cuantificadoresFormalización de la lógica

Como el Ying Yang, existe cierta dualidad de los cuantificadores

¬∀x(α) ≡ ∃x(¬α)¬∃x(α) ≡ ∀x(¬α)∀x(α) ≡ ¬∃x(¬α)∃x(α) ≡ ¬∀x(¬α)

El caso especial ∃!x(α) hace referencia a ∃x[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]si no existe algo que cumpla, significa que para todos no se cumple algo . . .

∀x¬[α ∧ ∀y(α =⇒ x = y)]

. . . lo que implica que usando DeMorgan y las reglas de arriba, logramos

∀x[¬α ∨ ∃y(¬α)]

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InterpretaciónFormalización de la lógica

En lógica de primer orden hablamos de fórmulas. Una fórmula A tiene dis-tintos predicados (como Gx) y distintas constantes (como Charles Chaplin).Una interpretación IA de A es una tripleta (D, {R1, . . . , Rm}, {d1, . . . , dk})donde

D es un dominio no-vacíoRi es una relación ni-aria sobre D que se asigna al ni-ario predicadode la fórmula Adi ∈ D es asignado a la constante ai.

Por ejemplo, para la fórmula A = ∀xp(a, x), tres de sus posibles interpreta-ciones pueden ser

I1 = (N, {≤}, {0}) I2 = (N, {≥}, {5}) I3 = (Z, {≤}, {0})

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InterpretaciónFormalización de la lógica

En lógica de primer orden hablamos de fórmulas. Una fórmula A tiene dis-tintos predicados (como Gx) y distintas constantes (como Charles Chaplin).Una interpretación IA de A es una tripleta (D, {R1, . . . , Rm}, {d1, . . . , dk})donde

D es un dominio no-vacíoRi es una relación ni-aria sobre D que se asigna al ni-ario predicadode la fórmula Adi ∈ D es asignado a la constante ai.

Por ejemplo, para la fórmula A = ∀xp(a, x), tres de sus posibles interpreta-ciones pueden ser

I1 = (N, {≤}, {0}) I2 = (N, {≥}, {5}) I3 = (Z, {≤}, {0})

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InterpretaciónFormalización de la lógica

En lógica de primer orden hablamos de fórmulas. Una fórmula A tiene dis-tintos predicados (como Gx) y distintas constantes (como Charles Chaplin).Una interpretación IA de A es una tripleta (D, {R1, . . . , Rm}, {d1, . . . , dk})donde

D es un dominio no-vacíoRi es una relación ni-aria sobre D que se asigna al ni-ario predicadode la fórmula Adi ∈ D es asignado a la constante ai.

Por ejemplo, para la fórmula A = ∀xp(a, x), tres de sus posibles interpreta-ciones pueden ser

I1 = (N, {≤}, {0}) I2 = (N, {≥}, {5}) I3 = (Z, {≤}, {0})

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Asignaciones y valores de verdadFormalización de la lógica

Teniendo una interpretación IA, podemos tener una asignación σIa : V →D que mapea toda variable libre v ∈ V a un elemento d ∈ D.Esta asignación tiene distintos valores de verdad, dependiendo de qué varia-bles se utilicen. Este valor de verdad se denota como

vσIA(A)

y se lee como el valor de verdad de la fórmula A bajo la interpretación IA

y la asignación σIA.

¿Cuántos posibles valores tiene vσIA(A)?

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Asignaciones y valores de verdadFormalización de la lógica

Teniendo una interpretación IA, podemos tener una asignación σIa : V →D que mapea toda variable libre v ∈ V a un elemento d ∈ D.Esta asignación tiene distintos valores de verdad, dependiendo de qué varia-bles se utilicen. Este valor de verdad se denota como

vσIA(A)

y se lee como el valor de verdad de la fórmula A bajo la interpretación IA

y la asignación σIA.

¿Cuántos posibles valores tiene vσIA(A)?

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Asignaciones y valores de verdadFormalización de la lógica

Teniendo una interpretación IA, podemos tener una asignación σIa : V →D que mapea toda variable libre v ∈ V a un elemento d ∈ D.Esta asignación tiene distintos valores de verdad, dependiendo de qué varia-bles se utilicen. Este valor de verdad se denota como

vσIA(A)

y se lee como el valor de verdad de la fórmula A bajo la interpretación IA

y la asignación σIA.

¿Cuántos posibles valores tiene vσIA(A)?

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Asignaciones y valores de verdadFormalización de la lógica

Teniendo una interpretación IA, podemos tener una asignación σIa : V →D que mapea toda variable libre v ∈ V a un elemento d ∈ D.Esta asignación tiene distintos valores de verdad, dependiendo de qué varia-bles se utilicen. Este valor de verdad se denota como

vσIA(A)

y se lee como el valor de verdad de la fórmula A bajo la interpretación IA

y la asignación σIA.

¿Cuántos posibles valores tiene vσIA(A)?

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Validez y FactibilidadFormalización de la lógica

Toda esta información nos da las herramientas necesarias para poder enten-der la validez de una fórmula A de lógica de primer orden:

A es verdad en I (o I es un modelo para A) si y solo sivI (A) = T . La notación que usaremos es I |= A

A es válida is para toda interpretación I , I |= A. La notación queusaremos es |= A.A es factible (satisfiable) si para alguna interpretación I , I |= A.A es no factible (unsatisfiable) si no es factible (duh) .A es falsificable (falsifiable) si no es válida.

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