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ESTRUCTURA CONCEPTUAL DE LA CIRCUNFERENCIA
"En la circunferencia, el comienzo y el fin coinciden." Herclito (544-480 a. C.) DORIS LOAIZA FERLA1 dorisilla2009@hotmail.com
LUIS EMIRO RAMREZ GMEZ2 Luisemiro2004@yahoo.es
En este trabajo se busca dar cuenta de todos los elementos, teoremas, representaciones y fenmenos asociados a la circunferencia, generando una estructura por medio de mapas conceptuales y sistemas de representacin, que permitan definir y organizar el concepto del objeto matemtico la circunferencia.
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Licenciada en matemticas y fsica, Universidad de la Amazonia, Candidata A Magister En Ciencias De La Educacin. Ingeniero electrnico, Universidad de Cundinamarca, Candidato a Magister en Ciencias de la Educacin.
1. ESTRUCTURA CONCEPTUAL
La estructura conceptual nos permite aproximarnos al significado del objeto matemtico, nos permite deducir que todo concepto matemtico hace parte de una estructura matemtica ms general y a la vez ese concepto matemtico configura otra estructura matemtica con conceptos ms especficos. En la estructura conceptual incluimos las relaciones del concepto con otros conceptos, atendiendo tanto a la estructura matemtica de la que el concepto forma parte, como a la estructura matemtica que dicho concepto configura Gmez (2007). La estructura conceptual se refiere a tres aspectos de todo concepto matemtico de contenido matemtico escolar, segn la propuesta de Gmez (2002) estos aspectos permiten abarcar la dimensin de la estructura conceptual de forma amplia y completa, la cual vemos a continuacin en la Figura 1.OBJETO MATEMTICO
ESTRUCTURAS MATEMTICAS RELACIONADAS
RELACIONES CONCEPTUALES
RELACIONES DE REPRESENTACION
Figura 1. Aspectos de la estructura conceptual
Las Estructuras matemticas relacionadas o conceptos que el objeto matemtico configura, son dentro de las matemticas escolares las estructuras involucradas, como los objetos y conceptos, que hacen parte y que son necesarios para ordenar el objeto matemtico Las relaciones conceptuales o relaciones entre conceptos: son las relaciones conceptuales que se establecen entre el concepto matemtico y los conceptos de la estructura matemtica que dicho concepto configura, estas relaciones son denominadas verticales. Relaciones entre elementos de los diferentes sistemas de representacin: en esta categora se organizan todas las representaciones sintcticas variantes e invariantes, al igual que la relacin de carcter horizontal o traduccin entre los diferentes sistemas de representacin.
2. APROXIMACIN A LA ESTRUCTURA CONCEPTUAL DEL OBJETO MATEMTICO CIRCUNFERENCIA 2.1. Las Estructuras matemticas relacionadas o conceptos que el objeto matemtico configura La gnesis de este concepto se basa en la aproximacin al anlisis fenomenolgico en el cual encontramos unas estructuras matemticas relacionadas al concepto y que se organizan dentro de la circunferencia. El primer problema en organizar estos fenmenos se debe a las mltiples definiciones que tiene este objeto matemtico circunferencia, aunque ellas sigan de forma invariante definiendo la concepcin misma del objeto, es variante los adjetivos de lnea, como se ve en la figura 2.CIRCUNFERENCIA
lnea curva, plana y cerrada
Definiciones
Lnea formada
Lnea obtenida Como lmite de la sucesin de polgonos regulares, cuando el nmero de lados de estos ltimos tiende a infinito
Por todos los puntos de un plano que equidistan de uno dado llamado centro
Lnea trazada
Lnea cerrada
Por el extremo de un segmento que gira un ngulo de 360 o alrededor del otro extremo fij
Del plano que mantiene una curvatura constante en cada punto
Figura 2. Definiciones de la circunferencia
Estas definiciones son las que a nivel histrico se han venido entretejiendo, dentro de los matemticos de todos las culturas, la definicin de lnea formada por el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro, es la que se encuentra plasmada en la mayora de textos de la matemtica escolar y es la definicin que se ensea en el aula, esta representacin verbal derivada de todas las observaciones del mundo natural que realizaron con ms nfasis los griegos, da cuenta de todos esos fenmenos que no se podan explicar y que se organizan en este objeto matemtico, al crear este smbolo geomtrico que representa estas concepciones, las mismas matemticas crearon nuevos fenmenos que permitiran realizar clculos y definir parmetros estos los conocemos como elementos de la circunferencia.
2.1.1. Elementos de una circunferencia
Las representaciones interiores de la circunferencia se fueron plasmando grficamente, originando ms preguntas que solo las matemticas podran responder, es all donde muchos matemticos como Benjamn Peirce que defini las matemticas como "la ciencia que seala las conclusiones necesarias" construyeron unos elementos que se fueron organizando en manos de Tales de Mileto, Pitgoras y Euclides, este ultimo sabio agrupo todos estos fenmenos en su libro 3 teora de la circunferencia, all creo Definiciones, Postulados, Nociones comunes y Proposiciones, en una organizacin ms estructurada tendramos:Elementos
Puntos y lneas
Rectas relacionadas
Circunferencias relacionadas
ngulos
Figura 3. Elementos de la circunferencia
2.1.1.1.
Puntos y lneas
PUNTOS Y LINEAS
Puntos Relativos
Centro de la circunferencia
Radio
Cuerda
Arco
Dimetro
Sagita
Figura 4. Puntos y lneas relacionados a la circunferencia
Puntos Relativos
Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia
Centro de la circunferencia
Toda circunferencia queda determinada al conocerse su centro y su radio
Radio
Sobre
Interior
Exterior Punto fijo del que equidistan todos los puntos de la circunferencia Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia
Su distancia al centro es igual a la del radio
Su distancia al centro es menor que el radio
Su distancia al centro es mayor que el radio
Sobre "S"
Interior "I"
Exterior "E"
Centro "O"
Radio "r"
Figura 5. Puntos relativos, centro de la circunferencia y radio.
Cuerda
toda cuerda determina al arco
Arco
Dimetro
Sagita
Segmento que une dos puntos de la circunferencia
Porcin de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, que son los extremos del arco Al fijar
Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
Segmento comprendido entre el punto medio de una cuerda y el del arco correspondiente
la cuerda subtiende el arco AB correspondiente
Una cuerda entre dos puntos A y B, quedan determinados dos arcos
Dimetro Cuerda Sagita Una propiedad Arco menor Caracterstica de toda cuerda de una circunferencia es que es perpendicular al radio que pasa por su punto medio Arco mayor Todo dimetro subtiende una semicircunferencia
siendo la sagita "x" y "y" el acorde por medio del teorema de pitagoras tenemos
semicircunferencias
son
Cada uno de los arcos iguales que abarca un dimetro
Figura 6. Cuerda, arco, dimetro y sagita.
2.1.1.2.
Rectas relacionadasRectas relacionadas
Recta secante
Recta tangente
Recta exterior
La recta corta a la circunferencia en dos puntos
La recta corta a la circunferencia en un punto
No tiene ningn punto de corte con la circunferencia
Recta exterior Recta Secante Recta tangente
Una propiedad caracterstica de toda recta o segmento tangente a una circunferencia en un punto es que tal recta o segmento es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia
Figura 7. Rectas relacionadas
2.1.1.3.
Circunferencias relacionadasCircunferencias relacionadas
Ningn punto en comn
Un punto comn
Dos puntos en comn
Exteriores
Interiores
Concntricas
Tangentes exteriores
Tangentes interiores
Secantes
La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios
La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios
Los centros coinciden, cuando la distancia entre los centros de ambas es nula
La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios
La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios
La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios
Exteriores
Interiores
Concntricas Tangentes exteriores Tangentes interiores
Secantes
Figura 8. Circunferencias relacionadas
2.1.1.4.
ngulosngulos
ngulo central
ngulo inscrito
ngulo semi-inscrito
ngulo interior
ngulo exterior
El ngulo central tiene su vrtice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios
El ngulo inscrito tiene su vrtice est en la circunferencia y sus lados son secantes a ella
El vrtice de ngulo semiinscrito est en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella
Su vrtice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella
Su vrtice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ngulos son secantes o tangentes
los Lados de sus ngulos pueden ser:
Ambos
Distintos
Ambos
ngulo central
ngulo inscrito ngulo semi-inscrito Mide Mide ngulo interior Mide
La medida
De un arco es la de su ngulo central correspondiente
La mitad del arco que abarca
La mitad del arco que abarca
la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados
Secantes a ella
uno tangente y otro secante
Tangentes a ella
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia
Figura 9. ngulos relacionados a la circunferencia
2.1.2. Crculo
CIRCULO
Que es? Elementos Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia Segmento circular Corona circular Trapecio circular
Semicrculo
Zona circular
Sector circular
Porcin de crculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente
Porcin del crculo limitada por un dimetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del crculo
Porcin de crculo limitada por dos cuerdas
Porcin de crculo limitada por dos radios
Porcin de crculo limitada por dos crculos concntricos
Porcin de crculo limitada por dos radios y una corona circular
crculo
Segmento circular
Semicrculo
Zona circular
Sector circular
Corona circular
Trapecio circular
Figura 10. Crculo
2.1.3. Polgonos inscritos y circunscritosPolgonos inscritos Polgonos circunscritos
Un polgono est inscrito en una circunferencia si todos sus vrtices estn contenidos en ella
Un polgono est circunscrito en una circunferencia, si todos los sus lados son tangentes a la
El polgono circunscrito toca en el punto medio de cada lado a la circunferencia inscrita El centro de un polgono inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en l El radio del polgono inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en l El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los lados del polgono circunscrito La apotema del polgono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita
Todo polgono inscrito es regular
Todo polgono inscrito es regular
Figura 11. Polgonos inscritos y circunscritos
2.2. Las relaciones conceptuales o relaciones entre conceptos:
Se ha realizado una aproximacin a la estructura matemtica del objeto matemtico circunferencia, en la que ya se relacion conceptos como el crculo y los polinomios, los cuales se encuentran estrechamente ligados; pero las relaciones conceptuales, permiten dentro de las matemticas escolares generar unas ecuaciones, que agrupan constantes, variables y otros fenmenos, que permiten tratamientos dentro del mismo registro de representacin y abren el camino para la traduccin a otro sistema como lo es el grafico, se trata de crear una estructura a estas relaciones entre conceptos:
2.2.1 Longitudes y reas relacionadas
2.2.1.1.
Longitud de la circunferencia y longitud de un arco
Longitud de la circunferencia
Longitud de un arco
Relacin
Relacin
Entre
Entre
Longitud del Radio "r" Nmero pi
es el cociente entre
la longitud de la circunferencia y el dimetro
Longitud del Radio "r" Nmero pi
Se puede expresar igualmente Ecuacin siendo d=2r Es una constante y un nmero irracional ngulo entre lod dos radios
longitud
Hasta el 2010 lleva 5.000.000.000.000 de cifras encontradas
Figura 12. Longitud de la circunferencia y longitud de un arco
2.2.1.2.
reas circularesrea de un crculo rea del sector circular
Relacin
Relacin
Entre
Entre
Longitud del Radio "r" Nmero pi
Longitud del Radio "r" Nmero pi
alfa = angulo entre radios
Se deduce sabiendo que Eel rea de cualquier polgono regular es igual al semiproducto entre:
Grados de la circunferencia
El apotema
El permetro del polgono
Sector circular
lmite de un polgono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio, y el permetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:
Figura 13. rea de un crculo y rea del sector circularrea de una corona circular rea de un trapecio circular rea de un segmento circular
Relacin
Relacin
Igualdad
Entre
Entre
Entre
Longitud del Radio menor "r" Nmero pi
Longitud del Radio menor "R"
rea del sector circular mayor
menos el rea del sector circular menor
rea del segmento circular AB
=
rea del sector circular AOB
rea del tringulo AOB
trapecio circular Corona circular
Figura 14. rea de una corona circular, un trapecio circular y un segmento circular
2.2.2. Ecuaciones de la circunferencia Circunferencia (del latn: circum [alrededor] + ferre [llevar] = lo que se lleva alrededor), etimolgicamente se sabe que es un contorno, pero como traducimos esta expresin verbal en un representacin algbrica, en este punto se tiene claro que existen varios fenmenos que se agrupan en ella, esta relacin permite crear una expresin que se cumple en uno o varios ejes de las matemticas como seria el plano cartesiano, polar, vectorial, entre otros que hacen parte de las ciencias puras mas no del contexto escolar, la ecuacin general, canonca que representa la circunferencia la veremos a continuacin.Ecuacin general de la circunferencia Relacin
Entre
Longitud del Radio "r"
El centro: C(a,b)
Un punto: P(x,y)
Ecuacin en coordenadas cartesianas Para centro fuera del origen Con centro en el origen
si desarrollamos tenemos
realizando estos cambios
Para ser una circunferencia debe cumplir
Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad
No tenga trmino en xy
Ecuacin general de la circunferencia
Si conocemos los puntos extremos de un dimetro: para diametros en : (x1,y1), (x2,y2)
Figura 16. Ecuacin general de la circunferencia
Ecuacin vectorial de la circunferencia
Ecuacin en coordenadas polares
Ecuacin en coordenadas paramtricas
La La circunferencia con centro en el origen y radio R Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como: Cuando el centro no est en el origen circunferencia con
Tiene por ecuacin
Se transforma
centro en (a, b)
radio "c"
donde Se parametriza con funciones trigonomtricas Es el parmetro de la curva y con funciones racionales como
Ecuacion aplicada en el Espacio
circunferencia con funcion trigonometrica circunferencia Unitaria
Figura 17. Ecuaciones vectorial, polares y paramtricas.
2.3. Relaciones entre sistemas de representacinTeorema 1 Teorema 2 Teorema 3 Teorema 4
La recta diametral perpendicular a una cuerda es mediatriz de la misma, bisectriz (sagita) del ngulo central correspondiente, y divide al arco en dos iguales
Dos cuerdas iguales, equidistan del centro
Por tres puntos no alineados pasa una circunferencia y slo una.
El radio de contacto es perpendicular a la tangente.
Figura 18. Teoremas 1 4.
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7
Teorema 8
Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes, los segmentos comprendidos entre dicho punto y los de contacto son iguales. La semirrecta que contiene al segmento punto-centro es bisectriz del ngulo que forman las dos tangentes
En todo cuadriltero circunscriptible las sumas de los lados opuestos son iguales
Todo ngulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del central que comprende el mismo arco
Todo ngulo semiinscrito en una circunferencia es igual a la mitad del central que abarca el mismo arco
Figura 19. Teoremas 4 8.
Teorema 9
Teorema 10
Teorema 11
Teorema 12
Todo ngulo interior es igual a la semisuma de los centrales correspondientes a los arcos abarcados por dicho ngulo y por su opuesto por el vrtice
Todo ngulo exterior cuyos lados cortan o son tangentes a la circunferencia es igual a la semidiferencia de los ngulos centrales correspondientes a los arcos abarcados por sus lados
Toda cuerda que tenga uno de sus extremos en un dimetro, es media proporcional entre ste y la proyeccin de lacuerda sobre l
La suma de los cuadrados de dos cuerdas que tienen uno de sus extremos en los de un dimetro, y el otro en un mismo punto de la circunferencia, es igual al cuadrado del dimetro
Figura 20. Teoremas 8 12.
Teorema 13
Teorema 14 Teorema 15 Teorema 16
Toda semicuerda perpendicular a un dimetro es media proporcional entre los segmentos en que lo divide
Los cuadrados de dos cuerdas c1 y c2 trazadas por un mismo extremo de un dimetro, son proporcionales a sus respectivas proyecciones p1 y p2 sobre el dimetro
Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto de distancias de dicho punto a los de interseccin de cada secante es una constante
Dos pares de puntos AA y BB situados en dos rectas secantes en P verifican la igualdad
si y slo si
los cuatro puntos son concclicos, es decir, pertenecen a una circunferencia
Los tringulos son semejantes
Figura 21. Teoremas 12 16.
Teorema 17
Teorema 18
Teorema 19
Teorema 20
Si P es un punto exterior a una circunferencia, la potencia es tambin el cuadrado del segmento PT, donde T es el punto de contacto de una tangente a la circunferencia trazada desde P
La potencia de un punto respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la distancia punto-centro menos el cuadrado del radio
El lugar geomtrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de dos circunferencias es una recta perpendicular a la que une los centros. Se llama eje radical de las dos circunferencias.
Si los centros de tres circunferencias no estn alineados, los ejes radicales de las mismas tomadas dos a dos, se cortan en un punto, nico del plano que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias y se llama centro radical de las mismas.
los tringulos son semejantes
Figura 22. Teoremas 16 20.
APROXIMACIN A LA ESTRUCTURA CONCEPTUAL
3. BIBLIOGRAFA