Espacios de Hilbert

Juan Carlos Giron Rojas

Universidad Nacional del Callao

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Sumario

1. INTRODUCCION

2. ESPACIO METRICO

3. SUCESION DE CAUCHY

4. ESPACIO METRICO COMPLETO

5. PRODUCTO INTERNO

6. NORMA

7. ESPACIO DE HILBERT

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INTRODUCCION

En matematicas, el concepto de espacio de Hilbert es unageneralizacion del concepto de espacio euclıdeo.El nombre dado a estos espacios es en honor al matematico DavidHilbert quien los utilizo en su estudio de las ecuaciones integrales.Mas formalmente, se define como un espacio de producto interior quees completo con respecto a la norma vectorial definida por elproducto interior. Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y parageneralizar el concepto de series de Fourier, ciertas transformacioneslineales tales como la transformacion de Fourier, y son de importanciacrucial en la formulacion matematica de la mecanica cuantica.

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ESPACIO METRICO

Definicion: El par (X , d) es un espacio metrico si X es un conjuntoy d(x , y) es una funcion real evaluada, llamada metrica definida parax , y ∈ X que satisface las condiciones:

i) d(x , y) ≥ 0 y d(x , y) = 0 ∀x , y ∈ X

ii) Si d(x , x) = 0 Entonces x = y

iii) d(x , y) = d(y , x)

iv) d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z , y)

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ESPACIO METRICO

Definicion: El par (X , d) es un espacio metrico si X es un conjuntoy d(x , y) es una funcion real evaluada, llamada metrica definida parax , y ∈ X que satisface las condiciones:

i) d(x , y) ≥ 0 y d(x , y) = 0 ∀x , y ∈ X

ii) Si d(x , x) = 0 Entonces x = y

iii) d(x , y) = d(y , x)

iv) d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z , y)

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ESPACIO METRICO

Definicion: El par (X , d) es un espacio metrico si X es un conjuntoy d(x , y) es una funcion real evaluada, llamada metrica definida parax , y ∈ X que satisface las condiciones:

i) d(x , y) ≥ 0 y d(x , y) = 0 ∀x , y ∈ X

ii) Si d(x , x) = 0 Entonces x = y

iii) d(x , y) = d(y , x)

iv) d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z , y)

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ESPACIO METRICO

Definicion: El par (X , d) es un espacio metrico si X es un conjuntoy d(x , y) es una funcion real evaluada, llamada metrica definida parax , y ∈ X que satisface las condiciones:

i) d(x , y) ≥ 0 y d(x , y) = 0 ∀x , y ∈ X

ii) Si d(x , x) = 0 Entonces x = y

iii) d(x , y) = d(y , x)

iv) d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z , y)

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ESPACIO METRICO

Definicion: El par (X , d) es un espacio metrico si X es un conjuntoy d(x , y) es una funcion real evaluada, llamada metrica definida parax , y ∈ X que satisface las condiciones:

i) d(x , y) ≥ 0 y d(x , y) = 0 ∀x , y ∈ X

ii) Si d(x , x) = 0 Entonces x = y

iii) d(x , y) = d(y , x)

iv) d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z , y)

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SUCESION DE CAUCHY

Definicion: Una sucesion {xn} en un espacio metrico se llamasucesion de Cauchy si para cada ε > 0 existe un N tal qued(xn, xm) ≤ ε para cualquier eleccion de n,m ≥ N.

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ESPACIO METRICO COMPLETO

Definicion: Una sucesion {xn} en un espacio metrico se llamasucesion de Cauchy si para cada ε > 0 existe un N tal qued(xn, xm) ≤ ε para cualquier eleccion de n,m ≥ N.

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PRODUCTO INTERNO

Definicion:: Sea X un espacio lineal. Un producto interno sobre X esun mapeo que asocia a cada par de vectores x, y un escalar, denotado〈x |y〉 que satisface las siguientes propiedades:

i) 〈x |z + y〉 = 〈x |z〉+ 〈x |y〉, ∀x , y , z ∈ X

ii) 〈x |λy〉 = λ〈x |y〉 , λ ∈ K

iii) 〈x |y〉 = 〈y |x〉

iv) 〈x |x〉 ≥ 0 y 〈x |x〉 = 0 −→ x = 0

Definicion: Dos vectores x e y son ortogonales cuando

〈x |y〉 = 0

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PRODUCTO INTERNO

Definicion:: Sea X un espacio lineal. Un producto interno sobre X esun mapeo que asocia a cada par de vectores x, y un escalar, denotado〈x |y〉 que satisface las siguientes propiedades:

i) 〈x |z + y〉 = 〈x |z〉+ 〈x |y〉, ∀x , y , z ∈ X

ii) 〈x |λy〉 = λ〈x |y〉 , λ ∈ K

iii) 〈x |y〉 = 〈y |x〉

iv) 〈x |x〉 ≥ 0 y 〈x |x〉 = 0 −→ x = 0

Definicion: Dos vectores x e y son ortogonales cuando

〈x |y〉 = 0

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PRODUCTO INTERNO

Definicion:: Sea X un espacio lineal. Un producto interno sobre X esun mapeo que asocia a cada par de vectores x, y un escalar, denotado〈x |y〉 que satisface las siguientes propiedades:

i) 〈x |z + y〉 = 〈x |z〉+ 〈x |y〉, ∀x , y , z ∈ X

ii) 〈x |λy〉 = λ〈x |y〉 , λ ∈ K

iii) 〈x |y〉 = 〈y |x〉

iv) 〈x |x〉 ≥ 0 y 〈x |x〉 = 0 −→ x = 0

Definicion: Dos vectores x e y son ortogonales cuando

〈x |y〉 = 0

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PRODUCTO INTERNO

Definicion:: Sea X un espacio lineal. Un producto interno sobre X esun mapeo que asocia a cada par de vectores x, y un escalar, denotado〈x |y〉 que satisface las siguientes propiedades:

i) 〈x |z + y〉 = 〈x |z〉+ 〈x |y〉, ∀x , y , z ∈ X

ii) 〈x |λy〉 = λ〈x |y〉 , λ ∈ K

iii) 〈x |y〉 = 〈y |x〉

iv) 〈x |x〉 ≥ 0 y 〈x |x〉 = 0 −→ x = 0

Definicion: Dos vectores x e y son ortogonales cuando

〈x |y〉 = 0

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PRODUCTO INTERNO

Definicion:: Sea X un espacio lineal. Un producto interno sobre X esun mapeo que asocia a cada par de vectores x, y un escalar, denotado〈x |y〉 que satisface las siguientes propiedades:

i) 〈x |z + y〉 = 〈x |z〉+ 〈x |y〉, ∀x , y , z ∈ X

ii) 〈x |λy〉 = λ〈x |y〉 , λ ∈ K

iii) 〈x |y〉 = 〈y |x〉

iv) 〈x |x〉 ≥ 0 y 〈x |x〉 = 0 −→ x = 0

Definicion: Dos vectores x e y son ortogonales cuando

〈x |y〉 = 0

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PRODUCTO INTERNO

Definicion:: Sea X un espacio lineal. Un producto interno sobre X esun mapeo que asocia a cada par de vectores x, y un escalar, denotado〈x |y〉 que satisface las siguientes propiedades:

i) 〈x |z + y〉 = 〈x |z〉+ 〈x |y〉, ∀x , y , z ∈ X

ii) 〈x |λy〉 = λ〈x |y〉 , λ ∈ K

iii) 〈x |y〉 = 〈y |x〉

iv) 〈x |x〉 ≥ 0 y 〈x |x〉 = 0 −→ x = 0

Definicion: Dos vectores x e y son ortogonales cuando

〈x |y〉 = 0

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NORMA

Definicion: Una norma en un espacio X es ||.|| : X −→ R tal que:

i) ||x || ≥ 0 ; ||x || = 0 si y solo si x = 0

ii) ||λx || = |λ|||x ||iii) ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y ||

Un espacio normado es el par (X , ||.||) donde X es un espacio y ||.||es una norma sobre X .Un espacio con producto interno tiene una estructura natural deespacio normado con la norma

||.|| =√〈x |x〉

y un espacio normado tiene la estructura natural de espacio metricocon la metrica

d(x , y) = ||x − y ||

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NORMA

Definicion: Una norma en un espacio X es ||.|| : X −→ R tal que:

i) ||x || ≥ 0 ; ||x || = 0 si y solo si x = 0

ii) ||λx || = |λ|||x ||iii) ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y ||

Un espacio normado es el par (X , ||.||) donde X es un espacio y ||.||es una norma sobre X .Un espacio con producto interno tiene una estructura natural deespacio normado con la norma

||.|| =√〈x |x〉

y un espacio normado tiene la estructura natural de espacio metricocon la metrica

d(x , y) = ||x − y ||

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NORMA

Definicion: Una norma en un espacio X es ||.|| : X −→ R tal que:

i) ||x || ≥ 0 ; ||x || = 0 si y solo si x = 0

ii) ||λx || = |λ|||x ||

iii) ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y ||Un espacio normado es el par (X , ||.||) donde X es un espacio y ||.||

es una norma sobre X .Un espacio con producto interno tiene una estructura natural deespacio normado con la norma

||.|| =√〈x |x〉

y un espacio normado tiene la estructura natural de espacio metricocon la metrica

d(x , y) = ||x − y ||

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NORMA

Definicion: Una norma en un espacio X es ||.|| : X −→ R tal que:

i) ||x || ≥ 0 ; ||x || = 0 si y solo si x = 0

ii) ||λx || = |λ|||x ||iii) ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y ||

Un espacio normado es el par (X , ||.||) donde X es un espacio y ||.||es una norma sobre X .Un espacio con producto interno tiene una estructura natural deespacio normado con la norma

||.|| =√〈x |x〉

y un espacio normado tiene la estructura natural de espacio metricocon la metrica

d(x , y) = ||x − y ||

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NORMA

Definicion: Una norma en un espacio X es ||.|| : X −→ R tal que:

i) ||x || ≥ 0 ; ||x || = 0 si y solo si x = 0

ii) ||λx || = |λ|||x ||iii) ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y ||

Un espacio normado es el par (X , ||.||) donde X es un espacio y ||.||es una norma sobre X .Un espacio con producto interno tiene una estructura natural deespacio normado con la norma

||.|| =√〈x |x〉

y un espacio normado tiene la estructura natural de espacio metricocon la metrica

d(x , y) = ||x − y ||

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ESPACIO DE HILBERT

Un espacio de Hilbert es un espacio con producto interno, con unanorma definida por el producto interno y que ademas es completo.

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MUCHAS GRACIAS

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