Aditividad de rangos de operadores sobre espacios de Hilbert

Universidad Nacional de La Plata

Facultad de Ciencias Exactas

Departamento de Matematica

Aditividad de rangos deoperadores sobre espacios de

Hilbert

Autores:

Blas Fernandez

Julieta Lavie

Profesor:

Dr. Demetrio Stojanoff

28 de febrero de 2017

INDICE

Indice

1. Introduccion 3

2. Preliminares 5

2.1. Operadores de Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Operadores en Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert 13

3.1. Propiedades Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2. Angulos y Modulo Mınimo Reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1. Angulos y Suma de subespacios cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2. Producto de operadores con rango cerrado . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Teorema de Factorizacion de Douglas 37

5. Operadores Positivos 45

6. Aditividad de Rangos 53

6.1. Teorema de Douglas y Aditividad de Rangos . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7. Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos 63

7.1. Resultados de Bikchentaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2. Resultados de Arias, Corach y Gonzalez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2.1. R(A) +R(B) es denso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2.2. R(A) +R(B) es cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.2.3. R(A) +R(B) = H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8. ¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ? 79

9. Proyecciones 91

10.Apendice 104

10.1. Proyecciones Oblicuas y Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1

INDICE

10.1.1. Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.1.2. Ortogonalidad en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10.1.3. Proyecciones Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

10.2. Inversas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

10.3. Modulo Mınimo Reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.Agradecimientos 143

2

Introduccion

1 Introduccion

El presente trabajo se encuentra basado en la exposicion dada por la Dra. Marıa Laura

Arias que tuvo lugar el 5 de septiembre de 2014 en el Instituto Argentino de Matematica

“Alberto P. Calderon”. La misma, desarrollada en el marco del Seminario de Analisis

Funcional “Mischa Cotlar”, abordo propiedades de la aditividad de rangos de operadores

sobre espacios de Hilbert.

Cabe destacar que, si bien este escrito siguio los lineamientos generales de aquella

disertacion, el mismo fue fundamentado por los artıculos “Additivity properties of operator

ranges” de Arias, M. L., Corach G. y Gonzalez, M. C. [2] y “Range additivity, shorted

operator and the Sherman-Morrison-Woodbury formula” de Arias, M. L., Corach G. y

Maestripieri A. [3].

Las siguientes notas, destinadas a un lector con conocimientos basicos de Analisis Fun-

cional, fueron escritas detalladamente con el proposito de hacerlas lo mas autocontenidas

posible. Para ello, hemos consultado una amplia variedad de bibliografıa sobre temas afines

e incluso, incorporado, un apendice en el que se abordan tematicas indispensables para

la comprension de muchos de los resultados y/o demostraciones que se encuentran en las

mismas.

En el presente trabajo estudiaremos diferentes nociones que involucran la propiedad de

aditividad de rangos de operadores sobre un espacio de Hilbert como ası tambien deriva-

remos algunos resultados relativos a proyecciones oblicuas, pensados con el mismo espıritu

que las primeras. Haremos principal hincapie en la extension dada por Arias, Corach y

Gonzalez de un resultado de Bikchentaev [4] sobre invertibilidad de operadores a la adi-

tividad de rangos mostrando la utilidad de propiedades mas debiles que la invertibilidad

para el analisis de este concepto. Asimismo, para el optimo abordaje de las mismas, co-

menzaremos con el desarrollo de algunos topicos de Analisis Funcional esenciales para la

optima interpretacion de esta tematica entre las que se encuentran el Teorema de Douglas

[9] y una gran multiplicidad de propiedades sobre angulos entre subespacios cerrados [8]

y operadores positivos.

3

Introduccion

4

Preliminares

2 Preliminares

En esta seccion se detallaran algunas de las definiciones y resultados que hemos adqui-

rido durante el curso de Analisis Funcional, fundamentales para la lectura de este trabajo.

Para mayores detalles, recomendamos, al lector interesado, algunos de los libros clasicos

que nos han sido de utilidad para la comprension de estos temas como los escritos por

J.B. Conway [5] y W. Rudin [15]. Asimismo, es para destacar las notas realizadas por

los profesores E. Andruchow, G. Corach [6] y D. Stojanoff [16] que ademas de amigables,

tambien son una excelente fuente de consulta.

Solo a modo de organizacion, clasificaremos los primeros resultados de este trabajo

en dos grupos: los validos para operadores en espacios de Banach y los que se verifican

explıcitamnete para operadores en espacios de Hilbert.

2.1 Operadores de Espacios de Banach

Definicion:

Sea E un K − espacio vectorial. Diremos que una funcion ‖·‖E : E −→ R+ es una

norma, si para todo λ ∈ K y para todo par x, y ∈ E se cumplen las siguientes

condiciones:

a ‖λx‖E = |λ| ‖x‖E .

b ‖x+ y‖E ≤ ‖x‖E + ‖y‖E .

c ‖x‖E = 0 si y solo si x = ~0.

En tal caso, el par (E, ‖·‖E) se denomina espacio normado. Mas aun, si con la

metrica d : E × E −→ R+ inducida por la norma, i.e., d(x, y) = ‖x− y‖E , para

x, y ∈ E, es un espacio metrico completo, se llamara espacio de Banach.

5

Preliminares

Notacion

Sean E y F dos K− espacios vectoriales.

1 Notaremos BE := {x ∈ E : ‖x‖E = 1}.

2 Llamaremos Hom(E,F ) = {T : E −→ F : T es K− lineal} al espacio de transfor-

maciones lineales entre E y F .

3 Si T ∈ Hom(E,F ) y x ∈ E, escribiremos Tx en lugar de T (x) cuando sea posible.

4 Llamaremos:

a Ker(T ) := T−1({~0})

={x ∈ E : Tx = ~0

}⊆ E, al nucleo de T .

b R(T ) := T (E) = {Tx : x ∈ E} ⊆ F , al rango de T .

Observar que tanto Ker(T ) ⊆ E como R(T ) ⊆ F son K-subespacios vectoriales.

Definicion:

Sean E y F dos espacios normados. Se dice que el operador T ∈ Hom(E,F ) es

continuo si para toda sucesion {xn} ⊆ E tal que lımn−→+∞

xn = x se verifica que

lımn−→+∞

Axn = Ax.

Definicion:

Sean E y F dos espacios normados. Se dice que el operador T ∈ Hom(E,F ) es

acotado si para todo x ∈ E existe M > 0 tal que ‖Tx‖F ≤M ‖x‖E .

Definicion:

Sean E y F dos espacios normados. Llamaremos L(E,F ) al conjunto de operadores

lineales y acotados T ∈ Hom(E,F ) que resulta ser un espacio normado con la suma

y el producto por escalares definidos punto a punto y la norma

‖T‖L(E,F ) := supx∈BE

‖Tx‖F .

6

Preliminares

!

Observacion:

Dados E y F dos espacios normados, consideremos un operador no nulo

T ∈ Hom(E,F ). Ası se verifica que T es continuo sı y solo si ‖T‖L(E,F ) <

+∞. En tal caso,

‖T‖L(E,F ) = mın{c > 0 : ‖Tx‖F ≤ c · ‖x‖E ∀x ∈ E \ {~0}}.

En efecto:

Sea C = {c > 0 : ‖Tx‖F ≤ c · ‖x‖E ∀x ∈ E \ {~0}} ⊆ R. Notar que

‖T‖L(E,F ) > 0 y ademas, para todo x ∈ E \ {~0}, ‖Tx‖F ≤ c · ‖x‖E pues:∥∥∥∥T ( x

‖x‖E

)∥∥∥∥F

=‖Tx‖F‖x‖E

≤ supw∈BF

‖Tw‖F = ‖T‖L(E,F ).

En consecuencia, ‖T‖L(E,F ) ∈ C. De esta manera,

‖T‖L(E,F ) = sup{‖Tx‖F : x ∈ BE}

= mın {c > 0 : ‖Tx‖F ≤ c ∀x ∈ BE}

= mın

{c > 0 :

∥∥∥∥T ( x

‖x‖E

)∥∥∥∥F

≤ c ∀x ∈ E \ {~0}}

= mın

{c > 0 :

‖Tx‖F‖x‖E

≤ c ∀x ∈ E \ {~0}}

= mın{c > 0 : ‖Tx‖F ≤ c · ‖x‖E ∀x ∈ E \ {~0}

}.

Definicion:

Dados E, F y G espacios normados, sean T ∈ Hom(E,F ) y S ∈ HomF,G. Se

denomina producto de S con T al operador composicion S ◦ T ∈ Hom(E,G),

i.e., al operador definido por STx = S(Tx) para cada x ∈ E.

!

Observacion:

Dados E, F y G espacios normados, sean T ∈ L(E,F ) y S ∈ L(F,G).

Luego, es claro que ST ∈ L(E,G). Mas aun,

‖ST‖L(E,G) = supx∈BE

‖STx‖G ≤ ‖S‖L(F,G) ‖T‖L(E,F ) .

7

Preliminares

Teorema 2.1

Sean E y F dos espacios normados y L(E,F ) el conjunto de operadores lineales y

acotados T ∈ Hom(E,F ). Luego,

si F es un espacio de Banach entonces L(E,F ) es un espacio de Banach.

Teorema 2.2 (Imagen Abierta)

Sean E y F dos espacios de Banach. Luego,

si T ∈ L(E,F ) es suryectivo entonces T es abierto.

Es decir que T (U) es abierto en F para todo U que sea abierto en E.

Corolario 2.1 (Teorema de la Funcion Inversa)

Sean E y F dos espacios de Banach. Luego,

si T ∈ L(E,F ) es biyectivo entonces T−1 ∈ L(F,E).

Definicion:

Sean E y F dos espacios normados y T : E −→ F un operador K− lineal. Se llama

grafico de T al conjunto:

Gr(T ) := {(x, y) ∈ E × F : x ∈ E e y = Tx} = {(x, Tx) : x ∈ E} ⊆ E × F .

Teorema 2.3 (Grafico Cerrado)

Sean E y F dos espacios de Banach y sea T ∈ Hom(E,F ). Luego,

si Gr(T ) v E × F entonces T ∈ L(E,F ).

8

Preliminares

2.2 Operadores en Espacios de Hilbert

Definicion:

Sea H un K-espacio vectorial. Se llama producto interno sobre H a una funcion

〈., .〉 : H×H → K que es sesquilineal, hermitiana y definida positiva, i.e., que para

cada x, y, z ∈ H, λ ∈ K, cumple las siguientes condiciones:

1 〈λx+ y, z〉 = λ 〈x, y〉+ 〈y, z〉 ∧ 〈x, λy + z〉 = λ 〈x, y〉+ 〈x, z〉.

2 〈x, y〉 = 〈y, x〉.

3 ‖x‖2H := 〈x, x〉 ≥ 0 ∧ ‖x‖2H := 〈x, x〉 = 0⇐⇒ x = ~0.

Proposicion 2.1

Sea (H, 〈., .〉) un K− espacio vectorial con un producto interno asociado.

1 Dados x, y ∈ H y λ ∈ K se cumple que

0 ≤ ‖x+ λy‖2H = 〈x+ λy, x+ λy〉 = ‖x‖2H + 2Re(〈x, λy〉) + |λ|2 ‖y‖2H.

2 Igualdad del Paralelogramo

‖x+ y‖2H + ‖x− y‖2H = 2 ‖x‖2H + 2 ‖y‖2H ∀ x, y ∈ H.

3 Desigualdad de Cauchy-Schwarz

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖H ‖y‖H ∀ x, y ∈ H.

4 La funcion ‖·‖H : H × H −→ R+ definida como ‖x‖H = 〈x, x〉1/2 para cada

x ∈ H es una norma.

Definicion:

Sea (H, 〈., .〉) un K − espacio vectorial con un producto interno asociado. El par

(H, ‖·‖H) se denomina Espacio Pre-Hilbert. Mas aun, si con la metrica inducida

por la norma llegara a ser un espacio de Banach se denomina Espacio de Hilbert.

9

Preliminares

Definicion:

Sean H y K dos espacios de Hilbert. Se denomina adjunto de T al unico operador

T ∗ ∈ L(K,H) tal que 〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉 para todo par (x, y) ∈ H ×K.

Proposicion 2.2

Dados H1,H2,H3 espacios de Hilbert, sean S ∈ L(H1,H2) y T ∈ L(H2,H3). Se

verifican:

1 (ST )∗ = T ∗S∗ y (S∗)∗ = S.

2 (αS + βT )∗ = αS∗ + βT ∗ para α, β ∈ C.

3 ‖S∗‖L(H2,H1)= ‖S‖L(H1,H2)

y ‖S∗S‖L(H1)= ‖S‖2L(H1,H2)

.

Proposicion 2.3

Dados H y K espacios de Hilbert, sea T ∈ L(H,K). Se verifican:

1 Ker(T ∗) = R(T )⊥ v K.

2 R(T ∗) = (Ker(T ))⊥ v H.

Definicion:

Dado un espacio de Hilbert H, sea T ∈ L(H). Diremos que:

1 T es Normal si TT ∗ = T ∗T , o sea si T y T ∗ conmutan.

2 T es Autoadjunto o Hermitiano si T = T ∗.

3 T es Positivo si es autoadjunto y 〈Tx, x〉 ≥ 0 para cada x ∈ H.

10

Preliminares

Notacion

Sea H un espacio de Hilbert.

1 Notaremos A(H) := {T ∈ L(H) : T = T ∗}.

2 Llamaremos L(H)+ := {T ∈ L(H) : T ≥ 0} ⊆ A(H).

3 Denominaremos Gl(H) :={T ∈ L(H) : Ker(T ) =

{~0}∧R(T ) = H

}.

Proposicion 2.4

Dado un espacio de Hilbert H, sea T ∈ L(H). Son equivalentes:

1 T ∈ Gl(H).

2 T ∗ ∈ Gl(H).

3 Los operadores T y T ∗ son acotados inferiormente.

4 Los operadores T y T ∗ son biyectivos y tienen rango cerrado.

Mas aun, si alguna de la condiciones anteriores se verifica, las acciones de invertir y

adjuntar operadores conmutan. Es decir, (T ∗)−1 = (T−1)∗.

11

Preliminares

12

Angulos entre subespacios cerrados de un espacio de Hilbert

3 Angulos entre subespacios cerrados de

un espacio de Hilbert

La nocion de angulo entre un par de subespacios cerrados en un espacio de Hilbert es

muy fructıfera ya que permite dar una interpretacion geometrica a lo que aparenta ser un

resultado puramente teorico o analıtico.

En esta seccion presentaremos dos definiciones diferentes de angulo entre un par de

subespacios cerrados de un espacio de Hilbert, como ası tambien algunas propiedades y/o

resultados que se verifican para esas nociones. Ademas, mostraremos algunas aplicaciones

de estos conceptos que involucran la nocion de modulo mınimo reducido de un operador

como por ejemplo, establecer cuando la suma de dos subespacios cerrados tiene esa misma

caracterıstica y determinar bajo que condiciones el producto de dos operadores con rango

cerrado tambien es un operador con tal particularidad.

Cabe mencionar que todos los resultados expuestos fueron obtenidos de las notas es-

critas por F. Deutsch [8] que, sin duda, constituyen una excelente fuente de consulta sobre

este tema.

3.1 Propiedades Basicas

Empezaremos presentando el concepto de diferencia ortogonal entre dos subespacios

cerrados de un espacio de Hilbert y luego mostraremos algunas igualdades entre subespa-

cios necesarias para probar otros resultados.

Definicion:

Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Se llama diferencia

ortogonal entre M y N al subespacio MN :=M∩ (M∩N )⊥.

Proposicion 3.1

Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Luego,

M = (M∩N )⊕MN .

13


Demostracion:

Como M ∩ N ⊆ M, por el Lema 10.3, PM y PM∩N conmutan. Luego, por el

Lema 10.5, M =M∩ (M∩N ) +M∩ (M∩N )⊥ =M∩N +MN . Mas aun,

N =M∩N ⊕N M puesto que M∩N ∩MN ={~0}

.

Proposicion 3.2


(MN ) + (N M) = (M+N ) ∩ (M∩N )⊥.

Demostracion:

(⊆) Sea z ∈ (MN )+(N M). Entonces, z = x+y con x ∈MN , y ∈ NM,

es decir que x ∈ M ∩ (M∩N )⊥ , y ∈ N ∩ (M∩N )⊥. De esta manera,

z = x+ y ∈ (M+N ) ∩ (M∩N )⊥.

(⊇) Sea z ∈ (M+N ) ∩ (M∩N )⊥. Ası, z = x + y con x ∈ M, y ∈ N . Ademas,

z ∈ (M∩N )⊥. En consecuencia,

z = P(M∩N )⊥z = P(M∩N )⊥x+ P(M∩N )⊥y

= P(M∩N )⊥PMx+ P(M∩N )⊥PN y

= PMP(M∩N )⊥x+ PNP(M∩N )⊥y

= PMNx+ PNMy.

Luego, z ∈ R(MN ) +R(N M) =MN +N M.

De la doble inclusion se deduce la igualdad.

Proposicion 3.3

Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Entonces,

M+N = (MN ) + (N M) +M∩N .

14


Demostracion:

En primer lugar, notar que:

(MN ) + (N M) +M∩N ⊆M+N +M∩N ⊆M+N .

Ahora bien, sea z ∈M+N . Luego, z = x+ y con x ∈M, y ∈ N . De esta manera,

z = PM∩N z + P(M∩N )⊥z

= PM∩N z + P(M∩N )⊥x+ P(M∩N )⊥y

= PM∩N z + P(M∩N )⊥PMx+ P(M∩N )⊥PN y

= PM∩N z + PMP(M∩N )⊥x+ PNP(M∩N )⊥y

= PM∩N z + PMNx+ PNMy.

Ası, z ∈ R(MN ) + R(N M) + R(M∩N ) =MN +N M+M∩N lo

que prueba que M+N ⊆MN +N M+M∩N .


Ahora daremos a conocer los conceptos de angulo entre pares de subespacios cerrados

de un espacio de Hilbert:

Definicion:

[Dixmier] SeanM, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. El angulo

mınimo entre M y N es el angulo θ0(M,N ) ∈[0, π2

]cuyo coseno coincide con:

c0(M,N ) = sup {|〈x, y〉| : x ∈ BM, y ∈ BN } .

Definicion:

[Friedrichs] Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. El

angulo entre M y N es el angulo θ(M,N ) ∈[0, π2

]cuyo coseno esta definido

por:

c(M,N ) = sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BNM} .

En realidad, Dixmier le atribuye a Friedrichs la definicion de angulo mınimo entre un

par de subespacios de un espacio de Hilbert pero, la definicion de Dixmier no es la misma

que la de Friedrichs en general, aunque obviamente coinciden cuando M∩N = {0}.

15


Ademas, por consideraciones geometricas, es natural introducir el siguiente concepto:

Definicion:

Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. El seno del angulo

de Friedrichs entre M y N coincide con:

s(M,N ) := d(M,BN ) = ınf{‖x− y‖H : x ∈M, y ∈ BN }.

A continuacion incluiremos algunas consecuencias inmediatas de las definiciones ante-

riores entre las que se destacan determinadas identidades entre los angulos de Friedrichs

y Dixmier como ası tambien, el calculo de los mismos mediante proyecciones ortogonales

adecuadas.

Lema 3.1Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Luego,

1 0 ≤ c(M,N ) ≤ c0(M,N ) ≤ 1.

2 Simetrıa:

a c(M,N ) = c(N ,M).

b c0(M,N ) = c0(N ,M).

3 c(M,N ) = c0(MN ,N M).

4 c(M,N ) = c(MN ,N ) = c(M,N M) = c(MN ,N M).

Demostracion:

1 Sale directo de la definicion que 0 ≤ c(M,N ), c0(M,N ) ≤ 1. Ademas, basta

observar que MN ⊆ M y N M ⊆ N para comprobar la desigualdad

c(M,N ) ≤ c0(M,N ). En consecuencia, 0 ≤ c(M,N ) ≤ c0(M,N ) ≤ 1.

2 Es claro, teniendo en cuenta que |〈x, y〉| =∣∣∣〈y, x〉∣∣∣ = |〈y, x〉| ∀ x, y ∈ H.

3 Consecuencia inmediata de la definicion. En efecto:

c(M,N ) = sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BNM} = c0(MN ,N M).

16


4 Observar primero que:

(MN )N = MN ∩ (MN ∩N )⊥

= M∩ (M∩N )⊥ ∩ (M∩N ∩ (M∩N )⊥)⊥

= M∩ (M∩N )⊥ ∩{~0}⊥

= M∩ (M∩N )⊥ =MN . (1)

Ademas,

N (MN ) = N ∩ (MN ∩N )⊥

= N ∩ (M∩N ∩ (M∩N )⊥)⊥

= N ∩{~0}⊥

= N . (2)

Ahora bien, sean x, y ∈ H tales que:

x ∈ B(MN )N(1)= BMN e y ∈ BN(MN )

(2)= BN .

Por la Proposicion 3.1, N = N ∩M⊕ (N M) con lo cual y ∈ H se escribe

de manera unica como y = y1 + y2 con y1 ∈ N ∩M, y2 ∈ N M. Luego,

como M∩N ⊥MN resulta que:

|〈x, y〉| = |〈x, y1 + y2〉| = |〈x, y1〉+ 〈x, y2〉| = |〈x, y2〉| .

En consecuencia,

c(MN ,N ) = sup{|〈x, y〉| : x ∈ B(MN )N , y ∈ BN(MN )

}= sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BN }

= sup {|〈x, y2〉| : x ∈ BMN , y2 ∈ BNM}

= c(M,N ).

Mas aun, por la simetrıa vista en (2) y por la igualdad anterior, se verifica

que:

c(M,N M) = c(N M,M) = c(N ,M) = c(M,N ).

17


Por otro lado se tiene que:

(MN ) (N M) = (MN ) ∩ ((MN ) ∩ (N M))⊥

= (MN ) ∩(M∩N ∩ (M∩N )⊥

)⊥= (MN ) ∩

{~0}⊥

= MN . (3)

De la misma manera,

(N M) (MN ) = (N M). (4)

Sean x, y ∈ H tales que:

x ∈ B(MN )(NM)(3)= BMN e y ∈ B(NM)(MN )

(4)= BNM.

Luego, se tiene que:

c ((MN ) (N M)) = sup{|〈x, y〉| : x ∈ B(MN )(NM), y ∈ B(NM)(MN )

}= sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BNM}

= c(M,N ).

Finalmente, resulta:

c(M,N ) = c(MN ,N ) = c(M,N M) = c(MN ,N M).

18


Lema 3.2Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Luego:

1 c(M,N ) = c0(MN ,N ) = c0(M,N M).

2 Desigualdad de Cauchy-Schwarz mejorada:

a |〈x, y〉| ≤ c0(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H ∀x ∈M, ∀y ∈ N .

b |〈x, y〉| ≤ c(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H ∀x ∈ M, ∀y ∈ N y al menos uno de

ellos en (M∩N )⊥.

3 Calculo del angulo de Dixmier mediante proyecciones ortogonales:

c0(M,N ) = ‖PMPN ‖L(H) = ‖PMPNPM‖1/2L(H) .

4 Calculo del angulo de Friedrichs mediante proyecciones ortogonales:

c(M,N ) = ‖PMPN − PM∩N ‖L(H)

=∥∥∥PMPNP(M∩N )⊥

∥∥∥L(H)

=∥∥∥PMP(M∩N )⊥PNP(M∩N )⊥

∥∥∥L(H)

.

5 c0(M,N ) = 0 sı y solo sı M⊥ N .

6 c(M,N ) = 0 sı y solo sı PM y PN conmutan.

Demostracion:

1 Como M∩N ⊆M se tiene que M⊥ ⊆ (M∩N )⊥. Luego, por el Lema 10.3,

PM⊥ y P(M∩N )⊥ conmutan. Ası, por el Lema 10.5, PM conmuta con P(M∩N )⊥ .

En consecuencia, por el Lema 10.1, PMP(M∩N )⊥ = P(M∩N )⊥PM = PMN es

una proyeccion ortogonal. Tambien, PNP(M∩N )⊥ = P(M∩N )⊥PN = PNM es

una proyeccion ortogonal.

Ahora bien, dados x ∈ BMN , y ∈ BNM resulta:

〈x, y〉 = 〈PMNx, PNMy〉

=⟨P(M∩N )⊥PMx, P(M∩N )⊥PN y

⟩=

⟨PMx, P

∗(M∩N )⊥P(M∩N )⊥PN y

⟩=

⟨PMx, P

2(M∩N )⊥PN y

⟩=

⟨PMx, P(M∩N )⊥PN y

⟩= 〈PMx, PNMy〉 .

19


De esta manera,

c(M,N ) = c0(MN ,N M)

= sup {|〈x, y〉| : x ∈ BMN , y ∈ BNM}

= sup {|〈PMx, PNMy〉| : x, y ∈ BH}

= sup {|〈x, y〉| : x ∈ BM, y ∈ BNM}

= c0(M,N M).

Mas aun, por la simetrıa y la igualdad anterior se verifica que:

c(M,N ) = c(N ,M) = c0(N ,MN ) = c0(MN ,N ).

Por lo tanto,

c(M,N ) = c0(MN ,N ) = c0(M,N M).

2 a Sean x ∈ M, y ∈ N . Supongamos que ‖x‖H ‖y‖H = 0. De esta mane-

ra, como ~0 ∈ {x, y} resulta que 〈x, y〉 = 0 = c0(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H . En

cambio, si ‖x‖H ‖y‖H 6= 0,

|〈x, y〉|‖x‖H ‖y‖H

=

∣∣∣∣⟨ x

‖x‖H,

y

‖y‖H

⟩∣∣∣∣ ≤ c0(M,N ).

Ası, |〈x, y〉| ≤ c0(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H .

b Sean x ∈M, y ∈ N M. Luego, por los ıtems 2.(a) y 1 resulta que:

|〈x, y〉| ≤ c0(M,N M) ‖x‖H ‖y‖H = c(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H .

Analogamente, si x ∈MN , y ∈ N entonces:

|〈x, y〉| ≤ c0(MN ,N ) ‖x‖H ‖y‖H = c(M,N ) ‖x‖H ‖y‖H .

3 En primer lugar notar que:

c0(M,N ) = sup {|〈x, y〉| : x ∈ BM, y ∈ BN }

= sup {|〈PMx, PN y〉| : x, y ∈ BH}

= sup {|〈x, PMPN y〉| : x, y ∈ BH}

= ‖PMPN ‖L(H) .

20


Ademas, de lo anterior y del hecho de que cualquier operador P ∈ L(H) cum-

ple ‖P ∗P‖L(H) = ‖P‖2L(H) se deduce la segunda igualdad. En efecto, tomando

P = PMPN , se tiene que:

P ∗P = (PMPN )∗ PMPN = P ∗NP∗MPMPN

= PNP2MPN = PNPMPN .

En consecuencia,

c0(M,N ) = ‖P‖L(H) = ‖P ∗P‖1/2L(H) = ‖PMPNPM‖1/2L(H) .

4 Como consecuencia directa de los resultados anteriores se tiene que:

PMNPNM = PMP(M∩N )⊥P(M∩N )⊥PN

= PMP2(M∩N )⊥PN = PMP(M∩N )⊥PN

= PMPNP(M∩N )⊥ .

Ademas,

PMPNP(M∩N )⊥ = PMPN (I − PM∩N )

= PMPN − PMPNPM∩N = PMPN − P 2M∩N

= PMPN − PM∩N .

Por lo tanto,

c(M,N ) = c0(MN ,N M) = ‖PMNPNM‖L(H)

=∥∥∥PM∩(M∩N )⊥PN∩(M∩N )⊥

∥∥∥L(H)

=∥∥∥PMPNP(M∩N )⊥

∥∥∥L(H)

= ‖PMPN − PM∩N ‖L(H) .

5 Por el ıtem 3 y el Lema 10.2,

c0(M,N ) = 0⇐⇒ ‖PMPN ‖L(H) = 0⇐⇒ PMPN = O ⇐⇒M⊥ N .

6 Por el ıtem 4 y el Lema 10.1,

c(M,N ) = 0 ⇐⇒ ‖PMPN − PM∩N ‖L(H) = 0⇐⇒ PMPN − PM∩N = O

⇐⇒ PMPN = PM∩N ⇐⇒ PMPN = PNPM.

21


El siguiente resultado muestra una relacion entre el seno de Friedrichs de dos subes-

pacios cerrados con el seno del angulo formado por uno de ellos y su diferencia ortogonal.

Proposicion 3.4

Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Entonces,

s(M,N ) = s(M,N M).

Demostracion:

Notar que M∩N ⊥ M⊥. Ası, por Lema 10.2, PM⊥PM∩N = O. Ademas, de los

Lemas 10.2 y 10.4 y la Proposicion 3.1, se tiene que PN = PM∩N + PNM con lo

cual PM⊥PN = PM⊥PNM. De esta manera:

s(M,N M) = d(M,BNM) = ınfx∈BNM

d(M, x)

= ınfx∈BNM

‖x− PMx‖H = ınfx∈BNM

‖PM⊥x‖H

= ınfx∈BH

‖PM⊥PNMx‖H = ınfx∈BH

‖PM⊥PNx‖H

= ınfx∈BN

‖PM⊥x‖H = ınfx∈BN

‖x− PMx‖H

= ınfx∈BN

d(M, x) = d(M,BN ) = s(M,N ).

Como veremos en lo que sigue, existe una generalizacion para angulos entre subespacios

cerrados de un espacio de Hilbert de la bien conocida identidad pitagorica.

Proposicion 3.5


c(M,N )2 + s(M,N )2 = 1.

Demostracion:

Sea x ∈ H tal que ‖x‖H = 1. Como x = PMx + (I − PM)x y PMx ⊥ (I − PM)x,

por Pitagoras se tiene que ‖x‖2H = ‖PMx‖2H + ‖(I − PM)x‖2H = 1.

Ahora bien, supongamos que M ∩ N = {~0}. Luego, PM∩N = O puesto que

22


Ker(PM∩N ) = (M∩N )⊥ = {~0}⊥ = H. De esta manera, uilizando el Lema 3.2,

s(M,N )2 = d(M,BN )2 = ınfx∈BN

d(M, x)2 = ınfx∈BN

‖x− PMx‖2H

= ınfx∈BN

(1− ‖PMx‖2H) = 1− supx∈BN

‖PMx‖2H

= 1− supx∈BN

‖PM(PNx)‖2H = 1− supx∈BN

‖PMPNx‖2H

= 1− ‖PMPN ‖2L(H) = 1− ‖PMPN − PM∩N ‖2L(H)

= 1− c(M,N )2.

Supongamos queM∩N 6= {~0}. Luego,M∩ (N M) =M∩N ∩ (M∩N )⊥ = {~0}

por lo que c(M,N M)2 + s(M,N M)2 = 1. Ası, por la Proposicion 3.4 y el

Lema 3.1 resulta que c(M,N )2+s(M,N )2 = c(M,N M)2+s(M,N M)2 = 1.

Corolario 3.1Sean M, N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Ası,

s(M,N ) = s(N ,M).

Demostracion:

Se sigue de la Proposicion 3.5 al notar que c(M,N ) = c(N ,M).

Dados M, N subespacios cerrados no triviales de un espacio de Hilbert H, es posible

dar una caracterizacion del seno del angulo de Friedrichs entre ellos en terminos de la

norma, en L(H), de ciertos operadores asociados a los mismos. Para la prueba de este

resultado, vale la pena recordar que, dado un operador no nulo T ∈ L(H), se verifica:

‖T‖L(H) = mın{c > 0 : ‖Tx‖H ≤ c · ‖x‖H ∀x ∈ H \ {~0}}.

Ademas, para el lector desprevenido, es elemental el siguiente comentario previo:

23


!

Observacion:

SeanM, N v H subespacios no triviales de un espacio de Hilbert H tales

que H =M⊕N . Luego, ınf C · ınf D = 1, siendo

C =

{c > 0 : ‖m+ n‖H ≥

1

c∀m ∈ BM ∀n ∈ N

}⊆ R,

D = {‖m+ n‖H : ∀m ∈ BM ∀n ∈ N} ⊆ R.

En efecto, notar que C y D son conjuntos de numeros reales no vacıos y

acotados inferiormente lo que asegura la existencia de ınf C y ınf D. Sean

α = ınf C y β = ınf D. Ahora bien, dado c ∈ C se tiene que α ≤ c.

Ademas, c > 0 y ‖m+ n‖H ≥1c ∀m ∈ BM ∀n ∈ N con lo cual

1c ≤ β. Es decir, 1

β ≤ c. Ademas,(β−1

)−1= β ≤ ‖m+ n‖H con lo que

β−1 ∈ C. Ası, α ≤ β−1. Mas aun, β−1 ≤ α. Por lo tanto, α · β = 1.

Corolario 3.2Sean M, N subespacios cerrados no triviales de un espacio de Hilbert H tales que

H =M⊕N . Luego,

‖PM//N ‖L(H) =(

1− ‖PMPN ‖2L(H)

)− 12

= s(M,N )−1.

Demostracion:

Como H =M⊕N entonces M∩N = {~0}. Ası, PM∩N = O y utilizando el Lema

3.2 se tiene que c(M,N ) = ‖PMPN ‖L(H). De esta manera, por la Proposicion 3.5:

s(M,N )−1 = (1− c(M,N ))−12 = (1− ‖PMPN ‖L(H))

− 12 .

Por otro lado, como PM//N es un operador no nulo L(H), se verifica que:

‖PM//N ‖L(H) = ınf{ρ > 0 : ‖PM//Nx‖H ≤ ρ · ‖x‖H ∀x ∈ H}

= ınf{ρ > 0 : ‖m‖H ≤ ρ · ‖m+ n‖H ∀m ∈M ∀n ∈ N}

= ınf{ρ > 0 : 1 ≤ ρ · ‖m+ n‖H ∀m ∈ BM ∀n ∈ N}

= ınf{ρ > 0 : ‖m+ n‖H ≥1

ρ∀m ∈ BM ∀n ∈ N}

= d(N ,BM)−1 = s(N ,M)−1 = s(M,N )−1.

En consecuencia,

‖PM//N ‖L(H) = s(M,N )−1 =(

1− ‖PMPN ‖2L(H)

)− 12.

24


3.2 Angulos y Modulo Mınimo Reducido

Dado un operador no nulo A ∈ L(H1,H2), se llama modulo mınimo reducido de

A al valor γ(A) := ınf{‖Ax‖H2

: x ∈ Ker(A)⊥ ∧ ‖x‖H1= 1}

.

Cabe destacar que hemos incluido en el apendice de este trabajo una presentacion, con

mayores detalles, de este nuevo concepto destinada principalmente al lector no familiari-

zado con el mismo.

A continuacion, veremos algunas aplicaciones de las nociones de angulo entre subespa-

cios que involucran esta nueva definicion entre las cuales destacamos determinar cuando

la suma de dos subespacios cerrados en un espacio de Hilbert es cerrada en terminos del

coseno de Friedrichs de dichos subespacios, como ası tambien, dar a conocer bajo que

condiciones el producto de dos operadores con rango cerrado es un operarador con tal

caracterıstica.

3.2.1 Angulos y Suma de subespacios cerrados

Con el objetivo de establecer resultados sobre angulos y suma de subespacios cerrados

empezaremos mencionando aquellos que seran de utilidad para dedudir los primeros.

La siguiente proposicion sera conveniente a la hora de tratar de caracterizar el angulo

entre dos subespacios cerrados de un espacio de Hilbert en terminos del modulo mınimo

reducido de algun operador adecuado.

Proposicion 3.6

Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Entonces,

Ker(PM⊥PN ) = (M∩N )⊕N⊥.

Demostracion:

Como N v H, por la Proposicion 10.13, H = N ⊕N⊥. Ası, todo x ∈ H se escribe

de manera unica como x = PNx + (x− PNx) con PNx ∈ N y x − PNx ∈ N⊥.

Ademas, si x ∈ Ker(PM⊥PN ) entonces se cumple que PM⊥PNx = PM⊥ (PNx) = ~0

con lo cual PNx ∈ Ker(PM⊥) = M. En consecuencia, PNx ∈ M ∩ N con lo

cual x ∈ (M∩N ) +N⊥. Esto muestra que Ker(PM⊥PN ) ⊆ (M∩N ) +N⊥. Por

otro lado, como M∩N ⊥ N⊥, por el Lema 10.2, PM∩NPN⊥ = PN⊥PM∩N = O

25


con lo cual PM∩N y PN⊥ conmutan. Ası, por el Lema 10.4, (M∩N ) + N⊥ es

cerrado y P(M∩N )+N⊥ = PM∩N + PN⊥. Ademas, por el Lema 10.3, se verifica que

PMPM∩N = PM∩N = PNPM∩N . De esta manera,

PM⊥PNP(M∩N )+N⊥ = PM⊥PN(P(M∩N ) + PN⊥

)= PM⊥PNP(M∩N ) + PM⊥PNPN⊥

= PM⊥PMP(M∩N ) + PM⊥PNPN⊥

= O · P(M∩N ) + PM⊥ ·O = O.

Ası, dado z ∈ (M∩N ) +N⊥, z = P(M∩N )+N⊥z con lo cual z ∈ Ker (PM⊥PN )

ya que PM⊥PN z = PM⊥PNP(M∩N )+N⊥z = ~0. En consecuencia se cumple que

(M∩N ) +N⊥ ⊆ Ker (PM⊥PN ). De la doble inclusion, se deduce la igualdad.

Ademas, (M∩N ) ∩N⊥ ={~0}

. Por lo tanto, Ker(PM⊥PN ) = (M∩N )⊕N⊥.

Ası, podemos expresar el seno del angulo de Friedrichs entre dos subespacios cerrados

en terminos del modulo mınimo reducido de un operador asociado a los mismos.

Proposicion 3.7

Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H tales que PM⊥PN 6= O. Luego,

γ(PM⊥PN ) = s(M,N ).

Demostracion:

Sean M,N v H tales que PM⊥PN 6= O. Ası, por las Proposiciones 10.11 y 3.6,

Ker(PM⊥PN )⊥ = N ∩ (M∩N )⊥ = N M. Luego, por la Proposicion 3.4,

γ (PM⊥PN ) = ınf{‖PM⊥PNx‖H : x ∈ Ker(PM⊥PN )⊥ ∧ ‖x‖H = 1

}= ınf {‖PM⊥PNx‖H : x ∈ N M ∧ ‖x‖H = 1}

= ınf {‖PM⊥x‖H : x ∈ N M ∧ ‖x‖H = 1}

= ınf {‖x− PMx‖H : x ∈ N M ∧ ‖x‖H = 1}

= ınf {d(M, x) : x ∈ N M ∧ ‖x‖H = 1}

= d (M,BNM) = s (M,N M)

= s(M,N ).

26


Como consecuencia de la caracterizacion antes vista y de propiedades inmediatas del

modulo mınimo reducido de un operador no nulo, veremos que relacion existe entre el

coseno de Friedrichs de dos subespacios cerrados de un espacio de Hilbert con el de sus

subespacios ortogonales.

Proposicion 3.8

Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Luego,

c (M,N ) = c(M⊥,N⊥

).

Demostracion:

Sean M,N v H. Supongamos que PM⊥PN = (I − PM)PN = O. Luego, por el

Lema 10.3, se tiene que N ⊆ M pues PMPN = PN . Notar que M ∩ N = N

y como M⊥ ⊆ N⊥, N ∩ M⊥ ⊆ N ∩ N⊥ ={~0}

con lo cual se obtiene que

N ∩M⊥ ={~0}

. Ası, M∩N +N ∩M⊥ = N . De esta manera, por el Lema 10.5,

las proyecciones PM y PN conmutan. Entonces, por el Lema 3.2, c (M,N ) = 0. Del

mismo modo, por el Lema 10.5, las proyecciones PM⊥ y PN⊥ conmutan. Entonces,

por el Lema 3.2, c(M⊥,N⊥

)= 0. Es decir que, c (M,N ) = c

(M⊥,N⊥

)= 0.

Ahora bien, supongamos que PM⊥PN 6= O. Luego, por las Proposiciones 10.20 y

3.7 y el Corolario 3.1,

s(M⊥,N⊥

)= γ (PMPN⊥) = γ ((PMPN⊥)∗)

= γ(P ∗N⊥P

∗M)

= γ (PN⊥PM)

= s(N ,M) = s(M,N ).

En consecuencia, por la Proposicion 3.5,

c(M,N ) =[1− s(M,N )2

]1/2=[1− s(M⊥,N⊥)2

]1/2= c(M⊥,N⊥).

Ahora bien, dados dos subespacios cerrados en un espacio de Hilbert, puede ser de

utilidad saber si el subespacio suma tambien es cerrado. Por eso, en los proximos resultados

mostraremos como las nociones de angulo entre un par de subespacios cerrados de un

espacio de Hilbert permiten dar facilmente una respuesta a esta cuestion.

27


Teorema 3.1Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Son equivalentes:

1 c0(M,N ) < 1.

2 M∩N = {~0} y M+N es cerrado.

3 Existe una constante ρ > 0 tal que ‖x+ y‖H ≥ ρ ‖y‖H ∀ x ∈M, y ∈ N .

4 s(M,N ) > 0.

Demostracion:

Llamaremos c0 := c0(M,N ). Luego, por el Lema 3.2 tenemos que:

|〈x, y〉| ≤ c0‖x‖H‖y‖H ∀x ∈M, ∀y ∈ N .

Ası, dados x ∈M, y ∈ N resulta:

‖x+ y‖2H = ‖x‖2H + 2Re(〈x, y〉) + ‖y‖2H

≥ ‖x‖2H − 2|〈x, y〉|+ ‖y‖2H

≥ ‖x‖2H − 2c0‖x‖H‖y‖H + ‖y‖2H

= (‖x‖H − ‖y‖H)2 + 2(1− c0)‖x‖H‖y‖H. (5)

(1) =⇒ (2) Asumamos que c0 < 1. Es claro que {~0} ⊆ M ∩ N . Supongamos que

existe z ∈ M ∩ N \ {~0}. Luego, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz

mejorada:

1 =1

‖z‖2H‖z‖2H =

1

‖z‖2H〈z, z〉 =

⟨z

‖z‖2H,

z

‖z‖2H

⟩≤ c0 < 1.

Esta contradiccion proviene de suponer queM∩N * {~0}. Ası,M∩N = {~0}.

Por otro lado, dado z ∈ M+N , existe una sucesion {zn}n∈N ⊆ M + N

tal que ‖zn − z‖H −−−−−→n→+∞

0. Notemos que para cada n ∈ N, existen unicos

xn ∈M, yn ∈ N tales que zn = xn + yn. Luego, por (5), para cada n ∈ N:

‖zn‖2 = ‖xn + yn‖2H ≥ (‖xn‖H − ‖yn‖H)2 + 2(1− c0)‖xn‖H‖yn‖H

Ademas, como {zn}n∈N es convergente, su rango esta acotado. Luego, existe

K > 0 tal que ‖zn‖H ≤ K para cada n ∈ N. Mas aun:

2(1− c0)‖xn‖H‖yn‖H ≤ ‖zn‖2 ≤ K

(‖xn‖H − ‖yn‖H)2 ≤ ‖zn‖2 ≤ K

28


En consecuencia, existen K1,K2 > 0 tales que:

‖xn‖H‖yn‖H ≤ K1

‖xn‖H − ‖yn‖H ≤ K2

Por este motivo, las sucesiones {‖xn‖H}n∈N , {‖yn‖H}n∈N son acotadas ya que,

por ejemplo,

‖xn‖2H ≤ ‖xn‖2H + ‖yn‖2H = (‖xn‖H − ‖yn‖H)2 + 2‖xn‖H‖yn‖H.

Luego, existen subsucesiones {xnk}k∈N, {ynk

}k∈N debilmente convergentes.

Ası, por el Teorema de Alaoglu, existen x ∈M e y ∈ N tales que xnk

w // x

y ynk

w // y . De esta manera, znk

w // x+ y . Como lımn−→+∞

znk= z, por

la unicidad del lımite debil, tenemos que z = x + y ∈ M + N . Esto prueba

que M+N ⊆M+N . Por lo tanto, M⊕N es un subespacio cerrado de H.

(2) =⇒ (3) Como M+N es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H se

sigue que M +N , con el producto interno inducido por H, es un espacio de

Hilbert. Sea S :=M+N . Dado que M∩N ={~0}

, por la Proposicion 10.4,

existe un unico proyector Q : S −→ S tal que R(Q) = M y Ker(Q) = N ,

es decir que Q = PM//N . Dado que Ker(Q) = N 6= H, Q es un operador

no nulo de L(S) con lo cual ‖Q‖L(S) > 0. Mas aun, por la Proposicion 10.7,

Q ∈ P(S). Ahora bien, dados x ∈M, y ∈ N resulta que:

‖x‖H = ‖x‖S = ‖Q(x+ y)‖S ≤ ‖Q‖L(S) · ‖x+ y‖S = ‖Q‖L(S) · ‖x+ y‖H.

De esta manera, ‖x‖H · ‖Q‖−1L(S) ≤ ‖x+ y‖H para cada x ∈M, y ∈ N . Por lo

tanto, ρ := ‖Q‖−1L(S) cumple la condicion.

(3) =⇒ (4) Supongamos que existe ρ > 0 tal que ‖x+ y‖H ≥ ρ ‖y‖H para cada

x ∈ M, y ∈ N . En particular, ‖x− y‖H ≥ ρ para cada x ∈ M, y ∈ BN .

De esta manera se verifica que d(M, y) = ınfx∈M

‖x− y‖H ≥ ρ > 0 para cada

y ∈ BN . En consecuencia, s(M,N ) = d(M,BN ) = ınfy∈BN

d(M, y) ≥ ρ > 0.

(4) =⇒ (1) Sea ρ := s(M,N ) = d(M,BN ) > 0. Supongamos que c0(M,N ) = 1.

De esta manera, existen sucesiones {xn}n∈N en BM y {yn}n∈N en BN tales que

29


|〈xn, yn〉| −−−−−→n→+∞

1. Ahora bien, dados xn ∈ BM, yn ∈ BN , existe θn ∈ [0, 2π)

de modo que 〈xn, yn〉 = |〈xn, yn〉| eiθn . Para cada n ∈ N, sea zn = eiθnyn. Notar

que zn ∈ N pues eiθn ∈ C e yn ∈ N . Mas aun, ‖zn‖H =∣∣eiθn∣∣ ‖yn‖H = 1 de

modo que zn ∈ BN . Ası, se verifica que:

〈xn, zn〉 =⟨xn, e

iθnyn

⟩= e−iθn 〈xn, yn〉 = |〈xn, yn〉| .

Ası, lımn→+∞

〈xn, zn〉 = lımn→+∞

|〈xn, yn〉| = 1 por lo que lımn→+∞

Re (〈xn, zn〉) = 1.

En consecuencia,

0 < ρ2 ≤ ‖xn − zn‖2H = ‖xn‖2H − 2Re 〈xn, zn〉+ ‖zn‖2H = 2(1−Re 〈xn, zn〉)

con lo cual lımn−→∞

1−Re 〈xn, yn〉 > 0 que es una contradiccion. Por lo tanto,

como s(M,N ) > 0 debe ser c0(M,N ) < 1.

Teorema 3.2Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Son equivalentes:

1 c(M,N ) < 1.

2 MN +N M es cerrado.

3 M+N es cerrado.

4 M⊥ +N⊥ es cerrado.

Demostracion:

(1)⇐⇒ (2) Como c(M,N ) = c0(M N ,N M) y ademas, se verifica que

(MN ) ∩ (N M) = (M∩N ) ∩ (M∩N )⊥ = {~0}, por el Teorema 3.1, se

tiene que c(M,N ) < 1 sı y solo sı MN +N M es cerrado.

(2) =⇒ (3) Supongamos que M N + N M es cerrado. Como se verifica que

MN +N M ⊆ (M∩N )⊥, el Lema 10.4 y la Proposicion 3.3 aseguran

que MN +N M+M∩N =M+N es cerrado.

30


(3) =⇒ (2) Supongamos que M + N es cerrado. Luego, por la Proposicion 3.2,

MN +N M es cerrado por ser interseccion finita de conjuntos cerrados.

(3)⇐⇒ (4) Se deduce de (1)⇐⇒ (3) y de la Proposicion 3.8. En efecto:

M+N v H ⇐⇒ c(M,N ) = c(M⊥,N⊥) < 1⇐⇒M⊥ +N⊥ v H.

3.2.2 Producto de operadores con rango cerrado

Seguidamente, estudiaremos condiciones suficientes y necesarias que aseguran que el

producto de operadores con rango cerrado tambien tenga dicha caracterıstica.

En primer lugar, mencionaremos algunos resultados que seran de utilidad para deducir

tales condiciones.

La siguiente proposicion nos fascilita cotas, que involucran angulos entre subespacios

cerrados, para el modulo mınimo reducido del producto no nulo de un operador dado con

una proyeccion ortogonal.

Proposicion 3.9

Sean A ∈ L(H1,H2) yM un subespacio cerrado de H1 tales que APM 6= O. Luego,

γ(A) · s(Ker(A),M) ≤ γ(APM) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· s(Ker(A),M).

Demostracion:

Observar que, por la Proposicion 7.1 y el Teorema de la Funcion Inversa, el operador

A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl(Ker(A)⊥, R(A)). Ademas, para cada x ∈ H1,

A∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥PMx = A

∣∣Ker(A)⊥

(PKer(A)⊥PMx

)= A

(PKer(A)⊥PMx

)= A

(PMx− PKer(A)PMx

)= APMx−A

(PKer(A)PMx

)= APMx

Luego, A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥PM = APM. Ademas, notar que PKer(A)⊥PM 6= O

pues, si fuese el operador nulo, se tendrıa que PM = PKer(A)PM y, por el Lema 10.3,

M⊆ Ker(A) con lo cual APMx = ~0 para cada x ∈ H1, contradiciendo el hecho de

que APM 6= O. Ası, por la Proposicion 3.7, γ(PKer(A)⊥PM

)= s(Ker(A),M). De

31


esta manera, por las Proposiciones 10.18 y ?? resulta que:

γ(APM) = γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥PM) = γ

(A∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥PM))

≤∥∥∥A ∣∣∣Ker(A)⊥ ∥∥∥L(Ker(A)⊥,R(A))

· γ(PKer(A)⊥PM

)= ‖A‖L(H1,H2)

· s(Ker(A),M).

Analogamente, por la Proposiciones 10.18 y 3.7,

γ(APM) = γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥PM) = γ

(A∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥PM))

≥ γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ ) γ (PKer(A)⊥PM) = γ(A) · s(Ker(A),M).

Finalmente,

γ(A) · s(Ker(A),M) ≤ γ(APM) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· s(Ker(A),M).

El siguiente resultado, que es una consecuencia inmediata del anterior, establece cotas

para el modulo mınimo reducido del producto no nulo de dos operadores acotados.

Proposicion 3.10

Sean A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H3,H1) operadores con rango cerrado tales que

AB 6= O. Luego,

γ(A) · γ(B) · s(Ker(A), R(B)) ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· ‖B‖L(H3,H1)

· s(Ker(A), R(B)).

Demostracion:

Observar que, por la Proposicion 7.1 y el Teorema de la Funcion Inversa, el operador

A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl(Ker(A)⊥, R(A)). Ademas, para cada x ∈ H3,

A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥Bx = A

∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥Bx) = A(PKer(A)⊥Bx

)= A

(Bx− PKer(A)Bx

)= ABx−A

(PKer(A)Bx

)= ABx

En consecuencia, A∣∣∣Ker(A)⊥ PKer(A)⊥B = AB. Ademas, notar que PKer(A)⊥B 6= O.

En efecto, si dicho operador fuese nulo, se tendrıa que B = PKer(A)B y, por el

Lema 10.3, B ⊆ Ker(A) con lo cual ABx = ~0 para cada x ∈ H3, contradiciendo

32


que AB 6= O. Ası, esta bien definido el valor γ(PKer(A)⊥B). Ahora bien, por las

Proposiciones 10.18, 10.20, 3.8 ?? y 3.9 y el Corolario 10.3,

γ(AB) = γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥B))

≤∥∥∥A ∣∣∣Ker(A)⊥ ∥∥∥L(Ker(A)⊥,R(A))

· γ(PKer(A)⊥B

)= ‖A‖L(H1,H2)

· γ((PKer(A)⊥B

)∗)= ‖A‖L(H1,H2)

· γ(B∗PKer(A)⊥

)≤ ‖A‖L(H1,H2)

· ‖B∗‖L(H1,H3)· s(Ker(B∗),Ker(A)⊥

)= ‖A‖L(H1,H2)

· ‖B∗‖L(H1,H3)· s(Ker(B∗)⊥,Ker(A)⊥⊥

)= ‖A‖L(H1,H2)

· ‖B‖L(H3,H1)· s (Ker(A), R(B))

De la misma manera,

γ(AB) = γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ (PKer(A)⊥B))

≥ γ(A∣∣∣Ker(A)⊥ ) · γ ((PKer(A)⊥B)∗)

= γ (A) · γ(B∗PKer(A)⊥

)≥ γ(A) · γ(B∗) · s(Ker(B∗),Ker(A)⊥

= γ(A) · γ(B) · s (Ker(A), R(B)).

Por lo tanto,

γ(A) · γ(B) · s(Ker(A), R(B)) ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· ‖B‖L(H3,H1)

· s(Ker(A), R(B)).

A continuacion presentaremos una condicion sufifiente y necesaria, que involucra el

concepto de inversa generalizada de un operador, desarrollada por S. Izumino en [13],

para estudiar cuando el producto de dos operadores con rango cerrado es un operador con

tal propiedad.

Proposicion 3.11

Sean A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H3,H1) operadores con rango cerrado. Son equivelen-

tes:

1 AB ∈ L(H3,H2) tiene rango cerrado.

2 A†ABB† ∈ L(H1) tiene rango cerrado.

33


Demostracion:

Sean A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H3,H1) operadores con rango cerrado. De esta

manera, existen A† ∈ IG(A) y B† ∈ IG(B) cumpliendo que A†A = PKer(A)⊥ y

BB† = PR(B) con lo cual A†ABB† = PKer(A)⊥PR(B). Ademas, como A y B son

operadores con rango cerrado, por la Proposicion 10.19, 0 < γ(A) ≤ ‖A‖L(H1,H2)y

0 < γ(B) ≤ ‖B‖L(H3,H1). Ahora bien:

(1) =⇒ (2) Supongamos que AB ∈ L(H3,H2) tiene rango cerrado. Luego, por la

Proposicion 10.19, γ(AB) > 0. Mas aun, por la Proposicion 3.10,

0 < γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· ‖B‖L(H3,H1)

· s(Ker(A), R(B)).

Tambien, notar que, por la Proposicion 3.7,

s(Ker(A), R(B)) = γ(PKer(A)⊥PR(B)

)= γ

(A†ABB†

).

En consecuencia,

0 < γ(AB) · ‖A‖−1L(H1,H2)· ‖B‖−1L(H3,H1)

≤ γ(A†ABB†

).

Ası, por la Proposicion 10.19, el operador A†ABB† ∈ L(H1) tiene rango ce-

rrado.

(2) =⇒ (1) Supongamos que R(A†ABB†

)v H1. Entonces, por las Proposiciones

10.19 y 3.7, 0 < γ(A†ABB†

)= s(Ker(A), R(B)). Luego, por la Proposicion

3.10,

0 < γ(A) · γ(B) · s(Ker(A), R(B)) ≤ γ(AB).

En consecuencia, por la Proposicion 10.19, el operador AB ∈ L(H3,H2) tiene

rango cerrado.

Notar que Izumino redujo el problema de estudiar bajo que condiciones el producto de

dos operadores con rango cerrado tambien posee esa propiedad caracterizando cuando el

producto de dos proyecciones ortogonales adecuadas tiene rango cerrado pues, se verifica

que A†A = PKer(A)⊥ y BB† = PR(B). Esta ultima cuestion esta explicada detalladamente

en la seccion de inversas generalizadas que se encuentra en el apendice de este trabajo.

34


Por ultimo, en el siguiente resultado, se agrupan condiciones en terminos de angulos

y suma de subespacios cerrados que resultan ser equivalentes al hecho de que el producto

de dos operadores con rango cerrado tambien sea de tal caracterıstica.

Teorema 3.3

Sean A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H3,H1) operadores con rango cerrado. Son equivalen-

tes:

1 AB ∈ L(H3,H2) tiene rango cerrado.

2 c (R(B),Ker(A)) < 1.

3 c0 (R(B),Ker(A)R(B)) < 1.

4 Ker(A) +R(B) es cerrado.

5 Ker(B∗) +R(A∗) es cerrado.

Demostracion:

(1)⇐⇒ (2) Basta notar que, por la Proposicion 3.7,

s(Ker(A), R(B)) = γ(PKer(A)⊥PR(B)

)= γ

(A†ABB†

).

Luego, por la Proposiciones 3.11, 10.19 y 3.5,

R(AB) v H2 ⇐⇒ R(A†ABB†

)v H1

⇐⇒ s(Ker(A), R(B)) = γ(A†ABB†

)> 0

⇐⇒ c(Ker(A), R(B)) < 1⇐⇒ c(R(B),Ker(A) < 1.

(2)⇐⇒ (3) Es claro, pues c (R(B),Ker(A)) = c0 (R(B),Ker(A)R(B)) por el

Lema 3.2.

(2)⇐⇒ (4)⇐⇒ (5) Se deduce del Teorema 3.2. Basta notar que, por el Corolario

10.3, R(A∗) es cerrado con lo cual Ker(A)⊥ = Ker(A∗∗)⊥ = R(A∗) = R(A∗).

Ademas, R(B)⊥ = Ker(B∗).

35


36

Teorema de Factorizacion de Douglas

4 Teorema de Factorizacion de Douglas

Dedicamos esta seccion a enunciar y demostrar un resultado sobre inclusiones de rangos

y factorizacion de operadores debido a R. G. Douglas [9]. Ademas, incluiremos algunas

consecuencias inmediatas del mismo que seran utilizadas en diferentes oportunidades a lo

largo de este trabajo.

Teorema 4.1

Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3). Son equivalentes:

1 R(A) ⊆ R(B).

2 Existe λ ≥ 0 tal que AA∗ ≤ λBB∗.

3 Existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC.

Demostracion:

(3) =⇒ (1) Sea y ∈ R(A). Luego, existe x ∈ H1 tal que Ax = y. Por hipotesis,

existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC. Luego, Cx ∈ H2 y ademas se tiene

que B(Cx) = BCx = Ax = y con lo cual y ∈ R(B). Ası, R(A) ⊆ R(B).

(1) =⇒ (3) Supongamos que R(A) ⊆ R(B). Dado x ∈ H1, Ax ∈ R(A) ⊆ R(B).

Como B∣∣∣Ker(B)⊥ : Ker(B)⊥ −→ R(B) es un isomorfismo, existe un unico

y ∈ Ker(B)⊥ tal que Ax = By. Dado x ∈ H1, definimos C : H1 −→ H2

como:

Cx = y ⇐⇒ y ∈ Ker(B)⊥ es el unico tal que Ax = By.

Lo anterior nos asegura la buena definicion y ademas que A = BC pues para

todo x ∈ H1, Ax = By = B(Cx) = BCx. Mas aun, C ∈ Hom(H1,H2). En

efecto:

Sean x1, x2 ∈ H1 y α ∈ K. Luego, existen y1, y2 ∈ Ker(B)⊥ tales que

Ax1 = By1 y Ax2 = By2 con lo cual Cx1 = y1 y Cx2 = y2. Dado que

Ker(B)⊥ es un subespacio de H2 resulta que y1 + αy2 ∈ Ker(B)⊥. Mas

37


aun, por la linealidad de los operadores A y B,

A(x1 + αx2) = A(x1) + αA(x2) = B(y1) + αB(y2) = B(y1 + αy2).

De esta manera,

C(x1 + αx2) = y1 + αy2 = C(x1) + αC(x2) ∀x1, x2 ∈ H1, ∀α ∈ K.

Por otro lado, Gr(C) ⊆ Gr(C). De hecho:

Sea (x, y) ∈ Gr(C). Luego, existe una sucesion (xn, yn)n∈N ⊆ Gr(C)

tal que (xn, yn)n→+∞‖.‖ // (x, y) con lo que xnn→+∞

‖.‖ // x y ynn→+∞‖.‖ // y . Co-

mo A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) resulta que Axnn→+∞‖.‖ // Ax y

Bynn→+∞‖.‖ // By . De este modo, dado que para cada n ∈ N, yn = Cxn

resulta que Byn = BCxn = Axn con lo cual Axnn→+∞‖.‖ // By . Luego, por

unicidad del lımite, Ax = By. Ademas, y ∈ Ker(B)⊥ = Ker(B)⊥ puesto

que existe {yn}n∈N ⊆ Ker(B)⊥ tal que ynn→+∞‖.‖ // y . Ası, y ∈ Ker(B)⊥

es el unico tal que Ax = By. En consecuencia, Cx = y con lo cual

(x, y) ∈ Gr(C).

Asimismo, como Gr(C) ⊆ Gr(C) se deduce que Gr(C) = Gr(C). Por lo

tanto, por el Teorema del Grafico Cerrado, C ∈ L(H1,H2). Finalmente,

existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC.

(3) =⇒ (2) Supongamos que existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC. Luego, como

CC∗ ∈ A(H), CC∗ ≤ ‖CC∗‖L(H2)I. Ası se tiene que:

AA∗ = BC(BC)∗ = BC(C∗B∗) = B(CC∗)B∗

≤ ‖CC∗‖L(H2)BB∗ ≤ ‖C‖2L(H1,H2)

BB∗

De esta manera, existe λ := ‖C‖2L(H1,H2)≥ 0 tal que AA∗ ≤ λBB∗.

(2) =⇒ (3) Supongamos que existe λ ≥ 0 tal que AA∗ ≤ λBB∗. De esta manera,

dado x ∈ H3, 〈AA∗x, x〉 ≤ λ〈BB∗x, x〉 con lo cual ‖A∗x‖H3 ≤ λ1/2‖B∗x‖H2 .

En particular, Ker(B∗) ⊆ Ker(A∗) pues:

B∗x = 0⇒ ‖B∗x‖H2 = 0⇒ 0 ≤ ‖A∗x‖H3 ≤ 0⇒ A∗x = 0.

38


Ası, es posible definir un operador T : R(B∗) −→ R(A∗) del siguiente modo:

T (B∗x) = A∗x ∀x ∈ H3.

La buena definicion esta asegurada por la ultima inclusion vista. En efecto, si

existiesen x1, x2 ∈ H3 tales que B∗x1 = B∗x2 entonces A∗x1 = A∗x2 puesto

que x1 − x2 ∈ Ker(B∗) ⊆ Ker(A∗). Mas aun, T ∈ Hom(R(B∗),H1). De

hecho, dados x1, x2 ∈ H3 y α ∈ K se verifica:

T (B∗(x1 + αx2)) = A∗(x1 + αx2) = A∗x1 + αA∗x2 = T (B∗x1) + αT (B∗x2).

Ademas, T ∈ L(R(B∗),H1)) pues para cada y ∈ R(B∗), ‖Ty‖H1 ≤ λ1/2‖y‖H2

ya que ‖A∗x‖H3 ≤ λ1/2‖B∗x‖H2 para todo x ∈ H3.

Ahora bien, como dado y ∈ R(B∗), existe una sucesion {yn}n∈N en R(B∗)

tal que yn = B∗xn −→ y, definiendo T (y) = lımn→∞

yn, se puede extender T

(manteniendo su nombre) a R(B∗) por continuidad. Por ultimo, si

Ty = 0 ∀y ∈ R(B∗)⊥, T ∈ Hom(H2,H1). Mas aun, ‖T‖L(H2,H1) ≤ λ1/2 lo

que muestra que T ∈ L(H2,H1).

Finalmente, por definicion, es claro que A∗ = TB∗ con lo cual A = BT ∗. Por

lo tanto, existe C := T ∗ ∈ L(H1,H2) tal que A = BC.

!

Observacion:

El operador C := T ∗ ∈ L(H1,H2) construido en la prueba de

(2) =⇒ (3) del Teorema de Douglas cumple:

R(C) = R(T ∗) ⊆ Ker(T )⊥ ⊆ R(B∗) = Ker(B)⊥.

De hecho, dado y ∈ R(T ∗), existe x ∈ H1 tal que y = T ∗x. Luego,

para todo w ∈ Ker(T ), 〈y, w〉 = 〈T ∗x,w〉 = 〈x, Tw〉 = 〈x, 0〉 = 0

con lo cual y ∈ Ker(T )⊥. Esto prueba que R(T ∗) ⊆ Ker(T )⊥.

Por otro lado, dado x ∈ Ker(T )⊥ se verifica que 〈x, y〉 = 0

∀y ∈ Ker(T ). En particular, 〈x, y〉 = 0 ∀y ∈ R(B∗)⊥ pues

R(B∗)⊥ ⊆ Ker(T ). Luego, x ∈(R(B∗)⊥

)⊥= R(B∗) lo que muestra

que Ker(T )⊥ ⊆ R(B∗) = Ker(B)⊥.

39


Corolario 4.1

Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3). Si R(A) ⊆ R(B) entonces existe un unico

C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC y R(C) ⊆ Ker(B)⊥. Ademas, Ker(C) = Ker(A) y

‖C‖2L(H1,H2)= mın {λ ≥ 0 : AA∗ ≤ λBB∗}.

Demostracion:

Existecia: Dado x ∈ H1, definimos C : H1 −→ H2 como:

Cx = y ⇐⇒ y ∈ Ker(B)⊥ es el unico tal que Ax = By.

En la prueba de (1) =⇒ (3) del Teorema de Douglas vimos que este operador

esta bien definido y que es una solucion de la ecuacion A = BX en L(H1,H2).

Mas aun, por definicion, es claro que R(C) ⊆ Ker(B)⊥.

Unicidad: Supongamos que existen operadores C1, C2 ∈ L(H1,H2) que son solu-

cion de la ecuacionA = BX tales queR(C1) ⊆ Ker(B)⊥ yR(C2) ⊆ Ker(B)⊥.

Dado x ∈ H1, sea y := C1x − C2x ∈ Ker(B)⊥. Notar que y ∈ Ker(B) pues

BC1 − BC2 = O. Ası, y ∈ Ker(B) ∩Ker(B)⊥ = {0}. Por lo tanto, C1 = C2

pues para todo x ∈ H1, C1x = C2x.

Finalmente, existe un unico C ∈ L(H1,H2) con R(C) ⊆ Ker(B)⊥ que es so-

lucion de la ecuacion A = BX.

De esta manera, como el operador construido en la prueba de (2) =⇒ (3) del

Teorema de Douglas es solucion de la ecuacion A = BX, por la unicidad, coin-

cide con el operador definido en la prueba de (1) =⇒ (3) del mismo teorema,

ya que H2 = R(B∗)⊕R(B∗)⊥.

Por otro lado, como A = BC es claro que Ker(C) ⊆ Ker(A). Ademas, si

x ∈ Ker(A) entonces el unico y ∈ Ker(B)⊥ tal que By = Ax = ~0 es y = ~0

con lo cual Cx = ~0. Ası Ker(A) ⊆ Ker(C). De la doble inclusion se deduce

la igualdad.

Mas aun, dado λ ≥ 0 tal que AA∗ ≤ λBB∗, sabemos por la prueba de

(2) =⇒ (3) del Teorema de Douglas que ‖C‖2L(H1,H2)≤ λ. Ademas, segun

la prueba de (3) =⇒ (2) del mismo teorema, AA∗ ≤ ‖C‖2L(H1,H2)BB∗. En

consecuencia,

‖C‖2L(H1,H2)= mın {λ ≥ 0 : AA∗ ≤ λBB∗}.

40


Definicion:

Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) tales que R(A) ⊆ R(B). Llamaremos

solucion reducida de la ecuacion A = BX al unico operador C ∈ L(H1,H2)

tal que A = BC y R(C) ⊆ Ker(B)⊥.

Corolario 4.2

Sea T ∈ L(H1,H2). Entonces, R(T ) = R((TT ∗)1/2

).

Demostracion:

Notemos que TT ∗ ∈ L(H2)+ pues

〈TT ∗x, x〉 = 〈T ∗x, T ∗x〉 = ‖T ∗x‖2L(H1)≥ 0 ∀x ∈ H2.

Ası, existe W := (TT ∗)1/2 ∈ L(H2)+ tal que W 2 = TT ∗. Como W ∈ A(H) resulta

que TT ∗ = WW ∗. De esta manera, R(T ) ⊆ R(W ) y R(W ) ⊆ R(T ) pues, por el

Teorema de Douglas, existe λ = 1 > 0 tal que TT ∗ = λ ·WW ∗ y WW ∗ = λ · TT ∗.

Por lo tanto, de la doble inclusion se deduce la igualdad R(T ) = R((TT ∗)1/2

).

A continuacion y como una consecuencia directa de lo anterior, mencionaremos un

resultado de T. Crimmins. Adaptaremos la prueba dada por Fillmore y Williams [10].

Corolario 4.3 (Crimmins)

Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3). Entonces,

R(A) +R(B) = R(

(AA∗ +BB∗)1/2)

Demostracion:

Dados H1,H2 espacios de Hilbert, consideremos la suma ortogonal de H1 y H2,

H := H1 ⊕ H2 que resulta ser un espacio de Hilbert con la estructura usual de

C-espacio vectorial y el producto interno dado por:

〈(x1, y1), (x2, y2)〉H = 〈x1, x2〉H1 + 〈y1, y2〉H2 ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ H.

41


Dados A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) , sea T : H −→ H3 definido por:

T ((x, y)) = Ax+By ∀ (x, y) ∈ H.

Es claro que T ∈ Hom(H,H3). Ahora bien, dado (x, y) ∈ H resulta que:

‖T ((x, y)) ‖H3 ≤ ‖Ax‖H3 + ‖By‖H3

≤ ‖A‖L(H1,H3) · ‖x‖H1 + ‖B‖L(H2,H3) · ‖y‖H2

≤(‖A‖L(H1,H3) + ‖B‖L(H2,H3)

)· ‖(x, y)‖H.

Por lo tanto, T ∈ L(H,H3) pues:

‖T‖L(H,H3) ≤ ‖A‖L(H1,H3) + ‖B‖L(H2,H3) < +∞.

Ademas, dado z ∈ R(T ), existe (x, y) ∈ H tal que z = T ((x, y)) = Ax+By con lo

cual z ∈ R(A)+R(B). Es decir, R(T ) ⊆ R(A)+R(B). Mas aun, si z ∈ R(A)+R(B)

entonces z = z1 + z2 con z1 ∈ R(A) y z2 ∈ R(B). Luego, existen x ∈ H1, y ∈ H2

tales que z1 = Ax y z2 = By. Ası, existe (x, y) ∈ H tal que z = Ax+By = T ((x, y))

con lo cual z ∈ R(T ). En consecuencia se tiene que R(A) + R(B) ⊆ R(T ). Por lo

tanto, de la doble inclusion se deduce la igualdad R(T ) = R(A) +R(B).

Por otro lado, como A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) existen unicos A∗ ∈ L(H3,H1)

y B∗ ∈ L(H3,H2) tales que:

〈Ax, z〉H3 = 〈x,A∗z〉H1 ∀ (x, z) ∈ H1 ×H3,

〈By, z〉H3 = 〈y,B∗z〉H2 ∀ (y, z) ∈ H2 ×H3.

Analogamente, como T ∈ L(H,H3), existe un unico T ∗ ∈ L(H3,H) que satisface:

〈T ((x, y)) , z〉H3 = 〈(x, y), T ∗z〉H ∀ (x, y) ∈ H, ∀ z ∈ H3.

De esta manera, dados x ∈ H1, y ∈ H2 y z ∈ H3:

〈(x, y), T ∗z〉H = 〈Ax+By, z〉H3

= 〈Ax, z〉H3 + 〈By, z〉H3

= 〈x,A∗z〉H1 + 〈y,B∗z〉H2

= 〈(x, y), (A∗z,B∗z)〉H.

42


En consecuencia, T ∗ : H3 −→ H esta definido de la siguiente manera:

T ∗z = (A∗z,B∗z) ∀ z ∈ H3.

Luego, TT ∗ = AA∗ +BB∗ puesto que para cada z ∈ H3 se verifica:

TT ∗z = T ((A∗z,B∗z)) = AA∗z +BB∗z = (AA∗ +BB∗)z.

Como TT ∗ ∈ L(H3)+, existe W := (TT ∗)1/2 ∈ L(H3)

+ tal que W 2 = TT ∗. Mas

aun, R(TT ∗)1/2 = R((AA∗ +BB∗)1/2

).

Finalmente, en virtud del Corolario 4.2 se obtiene que:

R(A) +R(B) = R(T ) = R(TT ∗)1/2 = R(

(AA∗ +BB∗)1/2).

43


44

Operadores Positivos

5 Operadores Positivos

En esta seccion estudiaremos algunas propiedades de los operadores positivos, las cuales

seran de utilidad para demostrar varios de los resultados de este trabajo. Recordar que el

conjunto formado por tales operadores es un cono cerrado dentro de los autoadjuntos, es

decir, convexo, cerrado por sumas y por multiplicacion por escalares positivos. Ademas,

una caracterizacion para los positivos es la condicion 〈Tx, x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H. Por

ultimo, es para destacar que estos operadores definen un orden en A(H):

Dados A,B ∈ A(H) decimos que A ≤ B si B −A ∈ L(H)+.

Empezaremos identificando a los operadores estrictamente positivos, aquellos T ∈ L(H)+

tales que 〈Tx, x〉 ≥ c ‖x‖2H, donde x ∈ H y c > 0. El conjuto de los mismos, que constituyen

el interior de L(H)+, los denotaremos Gl(H)+.

Proposicion 5.1

Sea A ∈ A(H). Luego, A ∈ Gl(H)+ sı y solo sı existe λ > 0 tal que A ≥ λI.

Demostracion:

(=⇒) Es trivial, puesto que todo operador invertible es acotado inferiormente.

(⇐=) Dado λ > 0, supongamos que A ≥ λI. Es claro que A ∈ L(H)+ pues, para

cada x ∈ H, se tiene que 〈Ax, x〉 ≥ 〈λIx, x〉 = λ ‖x‖2H ≥ 0.

Por otro lado, como A ∈ A(H), el operador A∗ ∈ L(H) es acotado inferior-

mente. Luego A ∈ Gl(H). Ası, A ∈ Gl(H)+.

Muchas propiedades de los operadores positivos se deducen del siguiente resultado, que

es un adelando del Calculo Funcional Continuo, tema que utilizaremos mas adelante.

Teorema 5.1

Dado A ∈ L(H)+, existe un unico B ∈ L(H)+ tal que B2 = A.

En virtud de lo anterior se introduce el siguiente concepto.

45


Definicion:

Sea A ∈ L(H)+. Se denomina raız cuadrada de A al unico operador B ∈ L(H)+

tal que B2 = A y se denota B := A1/2.

Observar que cualquiera sea T ∈ L(H) se verifica que T ∗T ∈ L(H)+ puesto que

(T ∗T )∗ = T ∗T con lo cual, T ∗T ∈ A(H) y 〈T ∗Tx, x〉 = 〈Tx, Tx〉 = ‖Tx‖2H ≥ 0 para cada

x ∈ H. Ası, por el Teorema 5.1 queda garantizada la existencia de la raız cuadrada del

operador T ∗T como veremos a continuacion.

Definicion:

Dado un operador T ∈ L(H), llamaremos modulo de T al operador

|T | := (T ∗T )1/2 ∈ L(H)+.

Otras propiedades utiles de los operadores positivos se muestran en el siguiente resul-

tado.

Proposicion 5.2

Sea A ∈ L(H)+. Entonces:

1 Ker (A) = Ker(A1/2

).

2 R (A) ⊆ R(A1/2

)⊆ R (A).

3 R (A) es cerrado sı y solo sı R (A) = R(A1/2

)sı y solo sı R

(A1/2

)es cerrado.

Demostracion:

1 Dado x ∈ Ker(A1/2

)resulta que A1/2x = ~0 por eso Ax = A1/2

(A1/2x

)= ~0.

Ası, x ∈ Ker (A). En consecuencia, Ker(A1/2

)⊆ Ker (A). Por otro lado, si

x ∈ Ker (A) entonces Ax = A1/2(A1/2x

)= ~0 por lo que A1/2x = ~0 pues

A1/2x ∈ Ker(A1/2

)∩ R

(A1/2

)= R

(A1/2

)⊥ ∩ R (A1/2)

={~0}

. De esta

manera, x ∈ Ker(A1/2

)y Ker (A) ⊆ Ker

(A1/2

). De la doble inclusion, se

deduce la igualdad.

46


2 Es claro que R (A) ⊆ R(A1/2

)pues si y ∈ R (A) entonces existe x ∈ H tal

que y = Ax = A1/2(A1/2x

)con lo cual y ∈ R

(A1/2

). Por otro lado, dado

y ∈ R(A1/2

), y = A1/2x para algun x ∈ H. Ademas, como Ker

(A1/2

)v H,

cabe mencionar que H = Ker(A1/2

)⊕Ker

(A1/2

)⊥= Ker

(A1/2

)⊕R

(A1/2

).

Luego, x ∈ H se escribe de manera unica como x = w+z con w ∈ Ker(A1/2

)y z ∈ R

(A1/2

). Luego, y = A1/2x = A1/2w + A1/2z = A1/2z. Asimismo,

existe una sucesion{A1/2zn

}n∈N ⊆ R

(A1/2

)tal que lım

n−→+∞A1/2zn = z pues

z ∈ R(A1/2

). De este modo, por la continuidad de A1/2,

lımn−→+∞

Azn = lımn−→+∞

A1/2(A1/2zn

)= A1/2

(lım

n−→+∞A1/2zn

)= A1/2z = y.

En consecuencia, y ∈ R (A) dado que existe una sucesion {Azn}n∈N ⊆ R (A)

tal que lımn−→+∞

Azn = y. Por lo tanto, R(A1/2

)⊆ R (A).

3 Supongamos que R (A) es cerrado. Luego, por el ıtem anterior, es inmediato

que R (A) = R(A1/2

)pues, R

(A1/2

)⊆ R (A) = R (A) ⊆ R

(A1/2

).

Asumamos que R (A) = R(A1/2

)Es claro que R

(A1/2

)⊆ R

(A1/2

). Ahora

bien, consideremos el operador A1/2 : Ker(A1/2

)⊥ −→ R(A1/2

)que es un

isomorfismo. Luego, dado x ∈ R(A1/2

)= Ker

(A1/2

)⊥, existe y ∈ H tal que

A1/2x = Ay = A1/2(A1/2y

). Ası, A1/2

(x−A1/2y

)= ~0 con lo cual x = A1/2y

ya que Ker(T ) ={~0}

. Luego, x ∈ R(A1/2

). Ası, R

(A1/2

)⊆ R

(A1/2

). De la

doble inclusion, se deduce la igualdad.

Por ultimo, supongamos que R(A1/2

)es cerrado. Por el ıtem anterior, es claro

que R (A) ⊆ R(A1/2

). Ahora bien, dado y ∈ R

(A1/2

), existe x ∈ Ker

(A1/2

)⊥tal que y = A1/2x pues el operador A1/2 : Ker

(A1/2

)⊥ −→ R(A1/2

)es

biyectivo. Notar que Ker(A1/2

)⊥= R

(A1/2

)= R

(A1/2

). Luego, x = A1/2w

para algun w ∈ H. De esta manera, y = A1/2x = A1/2(A1/2w

)= Aw con

lo cual y ∈ R (A). Por lo tanto, R(A1/2

)⊆ R (A). De la doble inclusion, se

deduce la igualdad. En consecuencia, R (A) = R(A1/2

)es cerrado.

Probablemente uno de los teoremas mas importantes de la teorıa de espacios de Hilbert

es el teorema espectral para operadores autoadjuntos que, basicamente, nos permite gene-

ralizar la evaluacion de operadores en funciones mas generales y continuas en el espectro.

Dado A ∈ L(H), sea σ(A) su espectro. Consideremos tambien una funcion f continua en

47


el espectro de A. Luego, por el Teorema de Stone-Weierstrass, existe una susecion de po-

linomios {pn}n∈N que converge uniformemente a f , con lo cual tiene sentido considerar la

evaluacion f(A) := lımn∈N

pn(A) ∈ L(H). Observar que, por ejemplo, si A ∈ L(H)+, el ope-

rador A1/2 ∈ L(H)+ definido anteriormente no es otra cosa que f(A) para f(λ) = λ1/2,

definida para todo λ ≥ 0. Esta herramienta es conocida en la literatura como Calculo

Funcional Continuo y brinda propiedades magnıficas entre las que vale la pena citar la

siguiente: f(A) ∈ L(H)+ sı y solo sı f ≥ 0. En consecuencia, dado t > 0, considerando

la funcion f(x) = xt continua para x ≥ 0, se puede considerar y estudiar el operador

f(A) = At ∈ L(H)+ que es lo que haremos seguidamente.

Proposicion 5.3

Sea A ∈ L(H)+. Entonces:

1 R (A) ⊆ R(At)

para cada t ∈ [0, 1].

2 R(A1/2k

)⊆ R(A) para cada k ∈ N.

3 R(A) ⊆ R(A2k

)para cada k ∈ N.

4 R (A) = R (At) para cada t ∈ R+.

Demostracion:

1 Si t = 0 entonces At = I con lo cual R(A) ⊆ H = R(I) = R(At). En cambio,

si t ∈ (0, 1], existe A1−t ∈ L(H)+ tal que A = AtA1−t. Luego, por el Teorema

de Douglas, R(A) ⊆ R(At).

2 Por induccion sobre k ∈ N. Si k = 1 es claro por la Proposicion 5.2. Dado

h ∈ N, supongamos que R(A1/2h

)⊆ R(A). Como A1/2h ∈ L(H)+, su raız

cuadrada A1/2h+1 ∈ L(H)+, con lo cual, por la Proposicion 5.2 se verifica que

R(A1/2h+1

)⊆ R

(A1/2h

)⊆ R(A).

Por lo tanto, R(A1/2k

)⊆ R(A) para cada k ∈ N.

3 Por induccion sobre k ∈ N. Para k = 1 se verifica que, A2 ∈ L(H)+ y su raız

cuadrada A ∈ L(H)+, con lo cual, por la Proposicion 5.2, R(A) ⊆ R (A2).

Ası, R(A) ⊆ R (A2). Dado h ∈ N, supongamos que R(A) ⊆ R(A2h

). Como

48


A2h+1 ∈ L(H)+ y su raız cuadrada A2h ∈ L(H)+, por la Proposicion 5.2:

R(A) ⊆ R(A2h

)⊆ R

(A2h+1

).

Por lo tanto, R(A) ⊆ R(A2k

)para cada k ∈ N.

4 Supongamos que t ∈ [0, 1]. Luego, por el ıtem 1, R(A) ⊆ R (At). Sea k ∈ N tal

que 0 < 12k< t < 1. Notar que At = A1/2kA1−1/2k por lo cual, por el Teorema

de Douglas, R(At) ⊆ R(A1/2k

). En consecuencia, por el ıtem 2,

R(At) ⊆ R(A1/2k

)⊆ R(A).

Ası, R(At) ⊆ R(A). De la doble inclusion se deduce la igualdad.

Supongamos que t > 1. Sea n ∈ N tal que t ≤ 2n, es decir que 0 < t2n < 1.

Luego, por el caso anterior:

R(At) = R(

(A2n)t/2n)

= R (A2n).

De esta manera, se verifica que R (A) = R (At) para cada t ∈ R+.

El estudio de desigualdades con normas de operadores sobre un espacio de Hilbert H

es muy prolıfero. Cordes, en [7] prueba lo siguiente:

Si A,B ∈ L(H)+ entonces∥∥AtBt

∥∥L(H)

≤ ‖AB‖tL(H) para cada t ∈ [0, 1].

Furuta da una prueba alternativa en [11] del resultado anterior mostrando ademas la

equivalencia del mismo con la bien conocida desigualdad de Lowner-Heinz:

Dados A,B ∈ L(H)+ tales que A ≤ B entonces At ≤ Bt para cada t ∈ [0, 1].

Diferentes resultados referidos a estos temas son expuestos en la literatura por medio de

numerosos artıculos que son una excelente fuente de consulta. Por ejemplo, en [12], M. C.

Gonzalez extiende la desigualdad de Cordes, entre otras, para el caso en que se considera

la seminorma de operadores asociada a un operador lineal acotado semidefinido positivo.

A continuacion, utilizaremos la desigualdad de Cordes para dar una prueba del siguiente

resultado:

49


Proposicion 5.4

Sea A ∈ L(H)+. Si ‖A‖L(H) ≤ 1 entonces A ≤ At para todo t ∈ [0, 1].

Demostracion:

Por la Proposicion 5.3, para cada t ∈ [0, 1], R(A1/2

)= R

((A1/2

)t). Luego, por

el Teorema de Douglas, la ecuacion(A1/2

)tX = A1/2 es resoluble y el operador

C = Aα con α = 1−t2 es su solucion reducida pues

(A1/2

)tAα = A1/2 y ademas,

R (Aα) = Ker (Aα)⊥ = Ker (A)⊥ = R (A) = R((A1/2

)t)= Ker

((A1/2

)t)⊥con lo cual R (Aα) ⊆ Ker

((A1/2

)t)⊥. De esta manera, por la desigualdad de Cordes

se verifica:

‖Aα‖L(H) =

∥∥∥∥(A1/2)2α∥∥∥∥

L(H)

=∥∥∥(A1/2

)α (A1/2

)α∥∥∥L(H)

≤∥∥∥A1/2A1/2

∥∥∥αL(H)

= ‖A‖αL(H) .

Ası, ‖Aα‖L(H) ≤ 1. Mas aun, por el Corolario 4.1 se tiene que:

A1/2(A1/2

)∗≤ ‖Aα‖2L(H)

(A1/2

)t((A1/2

)t)∗.

En consecuencia, para cada t ∈ [0, 1],

A ≤ ‖Aα‖2L(H)At ≤ ‖Aα‖L(H)A

t ≤ At.

El siguiente resultado establece que relaciones existen entre el rango y el nucleo de

la suma de dos operadores positivos, en terminos del rango y nucleo de cada uno de los

operadores considerados.

Proposicion 5.5

Sean A,B ∈ L(H)+. Entonces:

1 R(A+B) = R(A) +R(B).

2 Ker(A+B) = Ker(A) ∩Ker(B).

50


Demostracion:

1 Dado que R(A + B) ⊆ R(A) + R(B) ⊆ R(A) + R(B) es claro que se veri-

fica la inclusion R(A+B) ⊆ R(A) +R(B). Por otro lado, el Corolario 4.3

(Crimmins) garantiza que R(A1/2

)+ R

(B1/2

)= R

((A+B)1/2

). Mas aun,

combinando los resultados de la Proposicion 5.2 se tiene que:

R(A) ⊆ R(A1/2

)⊆ R

(A1/2

)+R

(B1/2

)= R

((A+B)1/2

)⊆ R(A+B).

Analogamente, R(B) ⊆ R(A+B) con lo cual R(A) + R(B) ⊆ R(A+B).

Por lo tanto, R(A) +R(B) ⊆ R(A+B). De la doble inclusion se deduce la

igualdad.

2 Por el ıtem anterior resulta:

Ker(A+B)⊥ = R(A+B) = R(A) +R(B) = Ker(A)⊥ +Ker(B)⊥.

Luego, combinando los resultados vistos en las Preposiciones 10.9 y 10.11 se

obtiene que:

Ker(A+B) = Ker(A+B) = Ker(A+B)⊥⊥ =(Ker(A)⊥ +Ker(B)⊥

)⊥= (Ker(A)⊥ +Ker(B)⊥)

⊥=(Ker(A)⊥ +Ker(B)⊥

)⊥= Ker(A)⊥⊥ ∩Ker(B)⊥⊥ = Ker(A) ∩Ker(B)

= Ker(A) ∩Ker(B).

51


52

Aditividad de Rangos

6 Aditividad de Rangos

En esta seccion presentaremos la nocion de aditividad de rangos de operadores sobre

un espacio de Hilbert y estudiaremos algunas aplicaciones de la misma con el Teorema de

Douglas.

Definicion:

Diremos que A,B ∈ L(H) tienen la propiedad de aditividad de rangos si

R(A+B) = R(A) +R(B).

Notacion

Sea H un espacio de Hilbert. Denotaremos por R al conjunto de todos los pares de

operadores acotados en H que tienen la propiedad de aditividad de rangos. Es decir,

R := {(A,B) ∈ L(H)× L(H) : R(A+B) = R(A) +R(B)}.

Veremos ahora un resultado elemental de algebra lineal que sera de utilidad para dar

una caracterizacion de la aditividad de rangos.

Lema 6.1

Sean A,B ∈ L(H). Entonces R(A) +R(B) = R(A−B) +R(A+B).

Demostracion:

Sea y ∈ R(A−B)+R(A+B). Luego, y = y1+y2 con y1 ∈ R(A−B), y2 ∈ R(A+B).

En consecuencia, existen x1, x2 ∈ H tales que y1 = (A−B)x1, y2 = (A+B)x2. Por

la linealidad de A y B resulta,

y = (A−B)x1 + (A+B)x2 = A(x1 + x2) +B(x2 − x1)

Luego, como existen x1 + x2, x2 − x1 ∈ H tales que y = A(x1 + x2) + B(x2 − x1),

y ∈ R(A) +R(B). Esto muestra que R(A−B) +R(A+B) ⊆ R(A) +R(B).

Por otro lado, sea y ∈ R(A) + R(B). Ası, y = y1 + y2 con y1 ∈ R(A), y2 ∈ R(B).

De esta manera, existen x1, x2 ∈ H tales que y1 = Ax1, y2 = Bx2. Por la linealidad

53


de A y B se tiene que:

Ax1 = (A−B)(x1

2

)+ (A+B)

(x12

)Bx2 = (A−B)

(−x2

2

)+ (A+B)

(x22

)Por lo tanto, como se puede escribir:

y = Ax1 +Bx2 = (A−B)

(x1 − x2

2

)+ (A+B)

(x1 + x2

2

)con x1+x2

2 , x1−x22 ∈ H resulta que y ∈ R(A − B) + R(A + B). Esto prueba que

R(A) +R(B) ⊆ R(A−B) +R(A+B). Finalmente, de la doble inclusion se deduce

la igualdad buscada.

Corolario 6.1

Sean A,B ∈ L(H). Luego, R(A)+R(B) = R(A+B) si y solo si R(A−B) ⊆ R(A+B).

Demostracion:

(=⇒) Sea y ∈ R(A−B). Luego, existe x ∈ H tal que y = (A−B)x. De esta manera,

como se puede expresar:

y = (A−B)x = Ax−Bx = A(x) +B(−x)

resulta que y ∈ R(A) +R(B) = R(A+B). Ası, R(A−B) ⊆ R(A+B).

(⇐=) Sea y ∈ R(A+B). Luego, existe x ∈ H tal que y = (A+B)x = A(x) +B(x)

con lo cual y ∈ R(A) + R(B). En consecuencia, R(A + B) ⊆ R(A) + R(B).

Por otro lado, por el Lema 6.1, R(A)+R(B) = R(A−B)+R(A+B) y como

R(A − B) ⊆ R(A + B), es claro que R(A) + R(B) ⊆ R(A + B). De la doble

inclusion se deduce:

R(A) +R(B) = R(A+B).

54


Proposicion 6.1

Sean A,B ∈ L(H). Son equivalentes:

1 (A,B) ∈ R.

2 R(A) ⊆ R(A+B).

3 R(B) ⊆ R(A+B).

4 R(A−B) ⊆ R(A+B).

Demostracion:

(1) =⇒ (2) Supongamos que (A,B) ∈ R. Luego, R(A + B) = R(A) + R(B). En

consecuencia, R(A) ⊆ R(A) +R(B) = R(A+B).

(2) =⇒ (3) Supongamos que R(A) ⊆ R(A+B). Luego, Ax ∈ R(A+B) para cada

x ∈ H. Ahora bien, dado y ∈ R(B), existe x ∈ H tal que y = Bx. De este

modo, como B = (A+B)−A, resulta que y = Bx ∈ R(A+B). Por lo tanto,

R(B) ⊆ R(A+B).

(3) =⇒ (4) Supongamos que R(B) ⊆ R(A+B). Luego, Bx ∈ R(A+B) para cada

x ∈ H. Sea y ∈ R(A−B). Ası, existe x ∈ H tal que y = (A−B)x. Entonces,

como A− B = (A+ B)− 2B, resulta que y = (A− B)x ∈ R(A+ B). Por lo

tanto, R(A−B) ⊆ R(A+B).

(4) =⇒ (1) Se deduce del Corolario 6.1.

A continuacion mostraremos una serie de resultados que seran de utilidad para dar

una caracterizacion, puramente algebraica, de la aditividad de rangos de operadores sobre

un espacio de Hilbert.

55


Lema 6.2Sean A,B ∈ L(H), T := A+B y W := R(A) ∩R(B). Se verifican:

1 T−1 (R(A)) = B−1 (R(A)) y T−1 (R(B)) = A−1 (R(B)).

2 A−1 (R(A)) = B−1 (R(B)) = T−1 (R(T )) = H.

3 A−1(W) = A−1(R(B)) y B−1(W) = B−1(R(A)).

4 Si W ⊆ R(B) entonces B(B−1(W)

)=W.

5 Si W ⊆ R(A) entonces A(A−1(W)

)=W.

6 W +B(A−1(W)

)=W + T

(A−1(W)

).

7 T−1(W) = A−1(W) ∩B−1(W).

8 Si W ⊆ R(T ) entonces W = T(T−1(W)

).

9 Si W ⊆ R(T ) entonces W + T(A−1(W)

)= T

(A−1(W)

).

Demostracion:

1 Dado x ∈ T−1 (R(A)) resulta que Tx ∈ R(A) con lo cual existe w ∈ H tal

que Aw = Tx = Ax+ Bx. Entonces Bx ∈ R(A) puesto que Bx = A(w − x).

Ası, x ∈ B−1 (R(A)), es decir, T−1 (R(A)) ⊆ B−1 (R(A)). Por otro lado, si

x ∈ B−1 (R(A)), Bx ∈ R(A) por lo que existe z ∈ H tal que Bx = Az. De este

modo, Tx = (A + B)x = A(x + z). Luego, x ∈ T−1 (R(A)) pues Tx ∈ R(A).

En consecuencia, B−1 (R(A)) ⊆ T−1 (R(A)). De la doble inclusion se deduce

la igualdad.

Analogamente, se demuestra que T−1 (R(B)) = A−1 (R(B)).

2 Es claro que A−1 (R(A)) ⊆ H. Ademas, dado x ∈ H, se tiene que Ax ∈ R(A)

con lo cual x ∈ A−1 (R(A)), i.e., H ⊆ A−1 (R(A)). De la doble inclusion, se

deduce la igualdad. Las otras igualdades se deducen de manera analoga.

3 Basta aplicar el ıtem anterior y propiedades de la imagen inversa. En efecto:

B−1(W) = B−1 (R(A)) ∩B−1 (R(B)) = B−1 (R(A)) ∩H = B−1 (R(A)) .

Analogamente, A−1(W) = B−1 (R(A)).

4 Supongamos que W ⊆ R(B). Luego, si y ∈ W entonces existe x ∈ H tal

que y = Bx ∈ W con lo cual x ∈ B−1(W). Ası, y ∈ B(B−1(W)

)de donde

56


se deduce que W ⊆ B(B−1(W)

). Por otro lado, si y ∈ B

(B−1(W)

), existe

x ∈ B−1(W) tal que y = Bx con lo cual y = Bx ∈ W. Esto prueba que

B(B−1(W)

)⊆ W. De la doble inclusion se deduce la igualdad.

5 Se deduce del ıtem anterior.

6 Observar que, T(A−1(W)

)⊆ W +B

(A−1(W)

)pues, dado y ∈ T

(A−1(W)

),

existe x ∈ A−1(W) tal que y = Tx = Ax + Bx cumpliendose que Ax ∈ W

y Bx ∈ B(A−1(W)

)con lo cual y ∈ W + B

(A−1(W)

). De esta manera se

verifica queW+T(A−1(W)

)⊆ W+B

(A−1(W)

). Ahora bien, si consideramos

y ∈ W + B(A−1(W)

), y = w + Bx con w ∈ W y x ∈ A−1(W). Entonces,

y = w − Ax + Tx donde w − Ax ∈ W y Tx ∈ T(A−1(W)

)por lo que

y ∈ W + T(A−1(W)

), es decir que, W + B

(A−1(W)

)⊆ W + T

(A−1(W)

).

Luego, de la doble inclusion, W +B(A−1(W)

)=W + T

(A−1(W)

).

7 Sea x ∈ H tal que x ∈ A−1(W) ∩ B−1(W). Entonces, {Ax,Bx} ⊆ W. Dado

que W es un subespacio de H se cumple que Tx = Ax+Bx ∈ W con lo cual

x ∈ T−1(W), i.e., A−1(W) ∩B−1(W) ⊆ T−1(W). Por otro lado, supongamos

que x ∈ T−1(W). Luego, Tx ∈ R(A) ∩ R(B). Como {Tx,Ax} ⊆ R(A), es

claro que Bx = Tx− Ax ∈ R(A) por lo que x ∈ B−1 (R(A)) = B−1(W). Del

mismo modo, como {Tx,Bx} ⊆ R(B), es claro que Ax = Tx − Bx ∈ R(B)

por lo que x ∈ A−1 (R(B)) = A−1(W). Ası, T−1(W) ⊆ A−1(W)∩B−1(W) ya

que x ∈ A−1(W) ∩B−1(W). De la doble inclusion, se deduce la igualdad.

8 Supongamos que y ∈ T(T−1(W)

). Luego, existe x ∈ T−1(W) tal que y = Tx.

Ası, y = Tx ∈ W por lo que T(T−1(W)

)⊆ W. Por otro lado, si y ∈ W

entonces y ∈ R(T ) con lo cual existe x ∈ H tal que y = Tx. Ası, como

Tx ∈ W, x ∈ T−1(W). En consecuencia, y ∈ T(T−1(W)

)pues y = Tx con

x ∈ T−1(W). De esta manera, W ⊆ T(T−1(W)

). De la doble inclusion se

deduce la igualdad.

9 Es claro que T(A−1(W)

)⊆ W + T

(A−1(W)

). Por otro lado, notar que

T−1(W) = A−1(W) ∩ B−1(W) ⊆ A−1(W). Luego, como W ⊆ R(T ) se tiene

queW = T(T−1(W)

)⊆ T

(A−1(W)

). Ası,W+T

(A−1(W)

)⊆ T

(A−1(W)

).

De la doble inclusion, se deduce la igualdad.

57


Teorema 6.1


1 (A,B) ∈ R.

2 R(A) ∩R(B) ⊆ R(A+B) y H = A−1 (R(B)) +B−1 (R(A)).

Demostracion:

Dados A,B ∈ L(H), sean T := A + B y W := R(A) ∩ R(B). Supongamos que

(A,B) ∈ R, es decir, R(T ) = R(A) +R(B). Luego, por la Proposicion 6.1, se tiene

que R(A) ⊆ R(T ) y R(B) ⊆ R(T ) con lo cual W ⊆ R(T ). Mas aun, como R(A) y

R(B) son subconjuntos de R(T ), por el Lema 6.2, se verifica:

H = T−1 (R(T ))

= T−1 (R(A) +R(B))

= T−1 (R(A)) + T−1 (R(B))

= A−1 (R(B)) +B−1 (R(A))

Recıprocamente, supongamos que W ⊆ R(T ) y H = A−1 (R(B)) + B−1 (R(A)).

Observar que, por el Lema 6.2, B−1(W) = B−1(R(A)) y, como W ⊆ R(B),

B(B−1(W)

)= W. De la misma manera, se cumple que A−1(W) = A−1(R(B)) y

A(A−1(W)

)=W puesW ⊆ R(A). En consecuencia, por la linealidad de B ∈ L(H)

resulta:

R(B) = B(H) = B(A−1 (R(B)) +B−1 (R(A))

)= B

(A−1 (R(B))

)+B

(B−1 (R(A))

)= B

(A−1 (W)

)+B

(B−1 (W)

)= W +B

(A−1(W)

).

Mas aun, por el Lema 6.2 se verifica:

R(B) =W +B(A−1(W)

)=W + T

(A−1(W)

)= T

(A−1(W)

).

Por lo tanto,

R(B) = T(A−1(W)

)= T

(A−1 (R(B))

)⊆ T (H) = R(T ).

Finalmente, como R(B) ⊆ R(T ), por la Proposicion 6.1, (A,B) ∈ R.

58


Corolario 6.2

Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ∩R(B) ={~0}

. Son equivalentes:

1 (A,B) ∈ R.

2 Ker(A) +Ker(B) = H.

Demostracion:

Supongamos que R(A) ∩R(B) ={~0}

. Luego, por el Lema 6.2, se cumple que:

Ker(A) = A−1({~0})

= A−1 (R(A) ∩R(B))

= A−1 (R(A)) ∩A−1 (R(B))

= H ∩A−1 (R(B))

= A−1 (R(B)) .

Analogamente, Ker(B) = B−1 (R(A)). En consecuencia,

Ker(A) +Ker(B) = A−1 (R(B)) +B−1 (R(A)) .

Ademas, es claro que R(A)∩R(B) ={~0}⊆ R(A+B). Por lo tanto, por el Teorema

6.1, se cumple:

(A,B) ∈ R ⇐⇒ Ker(A) +Ker(B) = H.

6.1 Teorema de Douglas y Aditividad de Rangos

En lo que sigue estudiaremos algunas consecuencias del Teorema de Douglas que se

desprenden de los resultados anteriores. Ademas, mencionaremos una caracterizacion de

la aditividad de rangos en terminos del concepto de operadores Thompson equivalentes.

Corolario 6.3


1 La ecuacion AX = B tiene solucion en L(H).

2 (A−B,B) ∈ R.

59


Demostracion:

Supongamos que la ecuacion AX = B tiene solucion en L(H). Luego, por el Teore-

ma de Douglas, R(B) ⊆ R(A), es decir que R(B) ⊆ R ((A−B) +B). Ası, por la

Proposicion 6.1, (A − B,B) ∈ R. Recıprocamente, si (A − B,B) ∈ R, por la Pro-

posicion 6.1, R(B) ⊆ R ((A−B) +B) = R(A). Luego, por el Teorema de Douglas,

existe un operador C ∈ L(H) tal que AC = B, es decir que la ecuacion AX = B

tiene solucion en L(H).

Corolario 6.4

Sean A,B ∈ L(H)+. Se verifican:

1((A+B)1/2 −A1/2, A1/2

)∈ R.

2((A+B)1/2 −B1/2, B1/2

)∈ R.

Demostracion:

Como A,B ∈ L(H)+, A + B ∈ L(H)+. Ası, estan bien definidos los operadores

A1/2, B1/2, (A+B)1/2 ∈ L(H)+. Ahora bien:

1 Como A,B ∈ L(H)+ se tiene que A ≤ A + B. Luego, existe λ = 1 > 0 tal

que A1/2A1/2 ≤ λ · (A+B)1/2(A+B)1/2. Ası, por el Teorema de Douglas, la

ecuacion (A+B)1/2X = A1/2 tiene solucion en L(H). De esta manera, por el

Corolario 6.3,((A+B)1/2 −A1/2, A1/2

)∈ R.

2 Como A,B ∈ L(H)+ se tiene que B ≤ A + B. Luego, existe λ = 1 > 0 tal

que B1/2B1/2 ≤ λ · (A+B)1/2(A+B)1/2. Ası, por el Teorema de Douglas, la

ecuacion (A + B)1/2X = B1/2 tiene solucion en L(H). En consecuencia, por

el Corolario 6.3,((A+B)1/2 −B1/2, B1/2

)∈ R.

Definicion:

Dados A,B ∈ L(H)+ diremos que son Thompson equivalentes y lo notaremos

A ∼T B, si existen r, s ∈ R+ tales que rA ≤ B ≤ sA.

60


Proposicion 6.2

Sean A,B ∈ L(H)+. Luego,

A ∼T B sı y solo sı R(A1/2) = R(B1/2).

Demostracion:

(=⇒) Supongamos que A ∼T B. De esta manera, existen r, s ∈ R+ tales que

rA ≤ B ≤ sA. Luego, existen r, s > 0 tales que A1/2A1/2 ≤ 1rB

1/2B1/2 y

B1/2B1/2 ≤ sA1/2A1/2. En consecuencia, por el Teorema de Douglas se verifica

que R(A1/2) ⊆ R(B1/2) y R(B1/2) ⊆ R(A1/2), i.e., que R(A1/2) = R(B1/2).

(⇐=) Asumamos ahora que R(A1/2) = R(B1/2), i.e., R(A1/2) ⊆ R(B1/2) y

R(B1/2) ⊆ R(A1/2). Ası, por el Teorema de Douglas, existen λ > 0 y µ > 0 ta-

les que A1/2A1/2 ≤ λB1/2B1/2 y B1/2B1/2 ≤ µA1/2A1/2. Por lo tanto, A ∼T B

pues 1λA

1/2A1/2 ≤ B1/2B1/2 ≤ µA1/2A1/2.

Proposicion 6.3

Sean A,B ∈ L(H)+. Luego,

(A,B) ∈ R sı y solo sı (A+B)2 ∼T A2 +B2.

Demostracion:

Supongamos que (A,B) ∈ R. Luego, R(A+B) = R(A) +R(B). Ahora bien, como

A + B ∈ L(H)+, la raız cuadrada de (A + B)2 es A + B. De esta manera, por el

Corolario 4.3,

R([

(A+B)2]1/2)

= R (A+B) = R(A) +R(B) = R(

(A2 +B2)1/2).

Luego, por la Proposicion 6.2, (A + B)2 ∼T A2 + B2. Recıprocamente, suponga-

mos que los operadores (A + B)2 y A2 + B2 son Thompson equivalentes. Ası, por

la Proposicion 6.2, R([

(A+B)2]1/2)

= R((A2 +B2)1/2

). Luego, por el Corola-

rio 4.3, R(A + B) = R([

(A+B)2]1/2)

= R((A2 +B2)1/2

)= R(A) + R(B). En

consecuencia, (A,B) ∈ R.

61


62

Extension del Teorema de Bikchentaev a la aditividad de rangos

7 Extension del Teorema de Bikchentaev

a la aditividad de rangos

A. M. Bikchentaev prueba en [4] que la invertibilidad de A+B fuerza la invertibilidad

de |A|p + |B|q para cada p, q ∈ R+. Sin embargo, Arias, M. L., Corach G. y Gonzalez, M.

C. en [2] muestran algunas propiedades mas debiles de este resultado, utiles para estudiar

la aditividad de rangos.

7.1 Resultados de Bikchentaev

Cabe destacar que la tecnica empleada por Arias, M. L., Corach G. y Gonzalez, M.

C. en [2] para probar la equivalencia entre los ıtems 2 y 3 del Teorema 7.3 se basa en los

siguientes resultados obtenidos por Bikchentaev, A.M. en [4].

Lema 7.1

Sean A, B ∈ L(H)+ tales que A+B tenga rango cerrado. Se verifican:

1 R(A) +R(B) es cerrado.

2 R(A2n

)+R

(B2n

)= R

(A2n +B2n

)es cerrado para cada n ∈ N.

3 R(A2n

)+R

(B2n

)= R (A2n) +R (B2n) para cada n ∈ N.

Demostracion:

1 Asumamos que R(A+B) es cerrado. Luego, por la Proposicion 5.5,

R(A+B) ⊆ R(A) +R(B) ⊆ R(A) +R(B) = R(A+B) = R(A+B).

Por lo tanto, R(A) +R(B) = R(A+B) es cerrado.

2 Por induccion sobre n ∈ N. Supongamos que R(A + B) es cerrado. Luego,

por el ıtem anterior, R(A) + R(B) es cerrado. Mas aun, por el Corolario 4.3

y la Proposicion 5.2, R(A) + R(B) = R((A2 +B2)1/2

)= R

(A2 +B2

). Ası,

R(A2 +B2

)⊆ R

(A2)

+ R(B2)⊆ R(A) + R(B) = R

(A2 +B2

)con lo cual

R(A2 +B2

)= R

(A2)

+ R(B2). Ahora bien, dado h ∈ N, asumamos que

63


R(A2h

)+ R

(B2h

)= R

(A2h +B2h

)es cerrado. Por el Corolario 4.3 y la

Proposicion 5.2,

R(A2h

)+R

(B2h

)= R

((A2h+1

+B2h+1)1/2)

= R(A2h+1

+B2h+1).

Ası, R(A2h+1

+B2h+1)

es cerrado. Mas aun:

R(A2h+1

+B2h+1)⊆ R

(A2h+1

)+R

(B2h+1

)⊆ R

(A2h

)+R

(B2h

)= R

(A2h +B2h

)= R

(A2h+1

+B2h+1).

En consecuencia, R(A2h+1

)+ R

(B2h+1

)= R

(A2h+1

+B2h+1)v H. Por lo

tanto, R(A2n

)+R

(B2n

)= R

(A2n +B2n

)es cerrado para cada n ∈ N.

3 Sea n ∈ N. Es claro que R(A2n

)+ R

(B2n

)⊆ R (A2n) + R (B2n). Por otro

lado, R(A2n

)⊆ R

(A2n

)+R

(B2n

)con lo cual R (A2n) ⊆ R (A2n) +R (B2n).

Analogamente, R (B2n) ⊆ R (A2n) +R (B2n). De este modo se verifica que

R (A2n) + R (B2n) ⊆ R (A2n) +R (B2n) = R(A2n

)+ R

(B2n

)pues, por el

ıtem anterior, R(A2n

)+R

(B2n

)es cerrado. De la doble inclusion se deduce

la igualdad.

Lema 7.2

Sean A,B ∈ L(H)+. Dados p, q ∈ R+, sea n ∈ N tal que max {p, q} ≤ 2n. Entonces

existe λ > 0 tal que A2n +B2n ≤ λ (Ap +Bq) .

Demostracion:

Dados p, q ∈ R+, sea n ∈ N tal que max {p, q} ≤ 2n. Analizaremos distintos casos:

1 Supongamos que ‖A‖L(H) ≤ 1 y ‖B‖L(H) ≤ 1. Ası, por la Proposicion 5.4,

A2n ≤(A2n

)p/2ny B2n ≤

(B2n

)q/2ncon lo cual

A2n +B2n ≤(A2n

)p/2n+(B2n

)p/2n= Ap +Bq.

Luego, existe λ = 1 > 0 que cumple la condicion.

64


2 Supongamos que ‖A‖L(H) > 1 y ‖B‖L(H) > 1. Luego,∥∥∥∥∥ A

‖A‖L(H)

∥∥∥∥∥L(H)

=

∥∥∥∥∥ B

‖B‖L(H)

∥∥∥∥∥L(H)

= 1.

Por la Proposicion 5.4,(A

‖A‖L(H)

)2n≤(

A‖A‖L(H)

)py(

B‖B‖L(H)

)2n≤(

B‖B‖L(H)

)q.

En consecuencia,(A

‖A‖L(H)

)2n

+

(B

‖B‖L(H)

)2n

≤

(A

‖A‖L(H)

)p+

(A

‖A‖L(H)

)q.

Equivalentemente,

‖B‖2n

L(H) ·A2n + ‖A‖2

n

L(H) ·B2n ≤ ‖A‖2

n

L(H) · ‖B‖2n

L(H) ·

(Ap

‖A‖pL(H)

+Bq

‖B‖qL(H)

).

Como ‖A‖L(H) > 1, ‖A‖pL(H) > 1 por lo que

(1− 1

‖A‖pL(H)

)Ap ∈ L(H)+

y(‖A‖2

n

L(H) − 1)B2n ∈ L(H)+. Ası, Ap

‖A‖pL(H)

≤ Ap y B2n ≤ ‖A‖2n

L(H)B2n .

Analogamente, Bq

‖B‖qL(H)

≤ Bq y A2n ≤ ‖B‖2n

L(H)A2n . Por lo tanto,

A2n +B2n ≤ ‖A‖2n

L(H) · ‖B‖2n

L(H) · (Ap +Bq).

Luego, λ = ‖A‖2n

L(H) · ‖B‖2n

L(H) > 0 cumple la condicion.

3 Supongamos que ‖A‖L(H) ≤ 1 y ‖B‖L(H) > 1. Luego,∥∥∥ B‖B‖L(H)

∥∥∥L(H)

= 1. Por

la Proposicion 5.4, A2n ≤ Ap y(

B‖B‖L(H)

)2n≤(

B‖B‖L(H)

)q. En consecuencia,

A2n +

(B

‖B‖L(H)

)2n

≤ Ap +

(B

‖B‖L(H)

)q.

Equivalentemente,

‖B‖2n

L(H) ·A2n +B2n ≤ ‖B‖2

n

L(H)

(Ap +

Bq

‖B‖qL(H)

).

Como ‖B‖L(H) > 1, ‖B‖qL(H) > 1 por lo que

(1− 1

‖B‖qL(H)

)Bq ∈ L(H)+ y(

‖B‖2n

L(H) − 1)A2n ∈ L(H)+. Ası, Bq

‖B‖qL(H)

≤ Bq y A2n ≤ ‖B‖2n

L(H)A2n . Por

lo tanto,

A2n +B2n ≤ ‖B‖2n

L(H) · (Ap +Bq).

Luego, λ = ‖B‖2n


65


4 Supongamos que ‖A‖L(H) > 1 y ‖B‖L(H) ≤ 1. Luego,∥∥∥ A‖A‖L(H)

∥∥∥L(H)

= 1. Por

la Proposicion 5.4,(

A‖A‖L(H)

)2n≤(

A‖A‖L(H)

)py B2n ≤ Bq. En consecuencia,

(A

‖A‖L(H)

)2n

+B2n ≤

(A

‖A‖L(H)

)p+Bq.

Equivalentemente,

A2n + ‖A‖2n

L(H) ·B2n ≤ Ap + ‖A‖2

n

L(H) ·Bq.

Como ‖A‖L(H) > 1, ‖A‖pL(H) > 1 por lo que

(1− 1

‖A‖pL(H)

)Ap ∈ L(H)+ y(

‖A‖2n

L(H) − 1)B2n ∈ L(H)+. Ası, Ap

‖A‖pL(H)

≤ Ap y B2n ≤ ‖A‖2n

L(H)B2n . Por lo

tanto,

A2n +B2n ≤ ‖A‖2n

L(H) · (Ap +Bq).

Luego, λ = ‖A‖2n


Finalmente, existe λ > 0 tal que A2n +B2n ≤ λ (Ap +Bq) .

Lema 7.3

Sean A,B ∈ L(H). Si A + B es invertible entonces |A|2n

+ |B|2n

es invertible para

cada n ∈ N.

Demostracion:

Por Induccion sobre n ∈ N. Dados A,B ∈ L(H) y n ∈ N, consideremos el operador

Tn ∈ L(H) definido por Tn = |A|2n

+ |B|2n

. Supongamos que A + B es invertible.

Luego, como (A + B)∗ es invertible, (A + B)∗(A + B) ∈ Gl(H)+ con lo cual existe

µ > 0 tal que (A+B)∗(A+B) ≥ µI. Ademas, (A−B)∗(A+B) ∈ L(H)+. De esta

manera, dado que

(A+B)∗(A+B) + (A−B)∗(A−B) = 2(A∗A+B∗B) = 2(|A|2 + |B|2) = 2T1,

66


se verifica:

0 <µ

2I ≤ (A+B)∗(A+B)

2≤ (A+B)∗(A+B)

2+

(A−B)∗(A−B)

2= T1.

Luego, por la Proposicion 5.1, T1 ∈ Gl(H)+. Ahora bien, dado h ∈ N, supongamos

que Th ∈ Gl(H)+. Por la Proposicion 5.1, existe µh > 0 tal que Th ≥ µhI. Ademas,

como |A| , |B| ∈ L(H)+, |A|2h

− |B|2h

∈ A(H) pues |A|2h

, |B|2h

∈ L(H)+ ⊆ A(H).

De este modo,(|A|2

h

− |B|2h)2

=(|A|2

h

− |B|2h)∗ (|A|2

h

− |B|2h)≥ 0. Asimismo,

como Th ≥ µhI entonces T 2h ≥ µ2hI puesto que para cada x ∈ H se satisface:

⟨µ2hIx, x

⟩= µh 〈µhIx, x〉 ≤ µh 〈Thx, x〉 = 〈µhThx, x〉

=⟨T1/2h µhIT

1/2h x, x

⟩=⟨µhI

(T1/2h x

), T

1/2h x

⟩≤

⟨Th

(T1/2h x

), T

1/2h x

⟩=⟨T1/2h ThT

1/2h x, x

⟩=

⟨T1/2h T

1/2h T

1/2h T

1/2h x, x

⟩=⟨T 2hx, x

⟩.

En consecuencia,

Th+1 = |A|2h+1

− |B|2h+1

=

(|A|2

h

+ |B|2h)2

2+

(|A|2

h

− |B|2h)2

2

≥

(|A|2

h

+ |B|2h)2

2=T 2h

2≥µ2h2I.

Por lo tanto, por la Proposicion 5.1, Th+1 ∈ Gl(H)+. Finalmente, Tn ∈ L(H) es

invertible y positivo para todo n ∈ N.

Como consecuencia de los lemas anteriores, es inmediata la demostracion del siguiente

resultado:

Teorema 7.1 (Bikchentaev)

Sean A,B ∈ L(H). Si A+B es invertible entonces |A|p+ |B|q es invertible para cada

p, q ∈ R+.

67


Demostracion:

Sean A,B ∈ L(H). Por el Lema 7.3, se verifica que el operador Tn ∈ L(H) definido

por Tn = |A|2n

+ |B|2n

es invertible y positivo para cada n ∈ N. Luego, por la

Proposicion 5.1, existe µn > 0 tal que Tn ≥ µnI. Ahora bien, dados p, q ∈ R+, sea

n ∈ N tal que max {p, q} ≤ 2n. Luego, como |A| , |B| ∈ L(H)+, por el Lema 7.2,

existe λ > 0 tal que:

0 < µnI ≤ Tn = |A|2n

+ |B|2n

≤ λ · (|A|p + |B|q)

Por lo tanto, por la Proposicion 5.1, |A|p + |B|q ∈ Gl(H)+ pues |A|p + |B|q ≥ µnλ I.

7.2 Resultados de Arias, Corach y Gonzalez

A partir del Teorema de Bikchentaev, Arias, Corach y Gonzalez examinan en diferentes

casos, las siguientes propiedades relativas a la aditividad de rangos:

7.2.1 R(A) +R(B) es denso

Teorema 7.2

Sean A, B ∈ L(H)+. Son equivalentes:

1 R(A) +R(B) es denso.

2 A+B es inyectivo.

3 Ap +Bq es inyectivo para cada p, q ∈ R+.

Demostracion:

(1)⇐⇒ (2) Si R(A) + R(B) es denso entonces H = R(A) +R(B). Luego, por la

Proposicion 5.5, H = R(A) +R(B) ⊆ R(A) +R(B) = R(A+B). Ası, por

la Proposicion 10.10, Ker(A + B) = Ker ((A+B)∗) = R(A + B)⊥ ={~0}

.

Por lo tanto, A+B es inyectivo. Recıporcamente, supongamos que A+B es

68


inyectivo. Luego, Ker(A+B) = Ker ((A+B)∗) ={~0}

. De esta manera,

R(A+B) = Ker ((A+B)∗)⊥ ={~0}⊥

= H

Ası, H = R(A+B) ⊆ R(A) +R(B) ⊆ H por lo que R(A) +R(B) = H. En

consecuencia, R(A) +R(B) es denso en H.

(2)⇐⇒ (3) Notar que, como A,B ∈ L(H)+, por la Proposicion 5.5, para p, q ∈ R+,

Ker(Ap + Bq) = Ker(Ap) ∩ Ker(Bq) = Ker(A) ∩ Ker(B) = Ker(A + B).

Ası, A+ B es inyectivo sı y solo si Ker(Ap + Bq) = Ker(A+ B) ={~0}

sı y

solo sı Ap +Bq es inyectivo.

Corolario 7.1

Sean A, B ∈ L(H). Son equivalentes:

1 R(A) +R(B) es denso.

2 |A∗|+ |B∗| es inyectivo.

3 |A∗|p + |B∗|q es inyectivo para cada p, q ∈ R+.

Demostracion:

Basta notar que, por el Corolario 4.2, R(A) = R (|A∗|) al igual que R(B) = R (|B∗|).

En efecto:

(1) =⇒ (2) Supongamos que R(A)+R(B) = R (|A∗|)+R (|B∗|) es denso. Ası, como

|A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, por el Teorema 7.2, |A∗|+ |B∗| es inyectivo.

(2) =⇒ (3) Dado que |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, si |A∗| + |B∗| es inyectivo entonces, por

el Teorema 7.2, |A∗|p + |B∗|q es inyectivo para p, q ∈ R+.

(3) =⇒ (1) Asumamos que |A∗|p + |B∗|q es inyectivo para p, q ∈ R+. Luego, por el

Teorema 7.2 y el Corolario 5.1, R (|A∗|) + R (|B∗|) = R(A) + R(B) es denso

pues |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+.

69


7.2.2 R(A) +R(B) es cerrado

Teorema 7.3


1 R(A) +R(B) es cerrado

2 A+B tiene rango cerrado

3 Ap +Bq tiene rango cerrado para cada p, q ∈ R+.

Demostracion:

(1)⇐⇒ (2) Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por la Proposicion

5.2 y el Corolario 4.3 resulta que R((A+B)1/2

)= R(A) +R(B) pues:

R(A) +R(B) ⊆ R(A1/2

)+R

(B1/2

)= R

((A+B)1/2

)R((A+B)1/2

)⊆ R(A+B) ⊆ R(A) +R(B) = R(A) +R(B)

En consecuencia, R((A+B)1/2

)= R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por la

Proposicion 5.2, R(A+B) = R((A+B)1/2

)es cerrado. Ademas, el recıproco

fue demostrado en el Lema 7.1.

(2)⇐⇒ (3) Supongamos que A + B tiene rango cerrado. Luego, por el Lema 7.1,

R(A) + R(B) es cerrado y R(A2n

)+ R

(B2n

)= R

(A2n +B2n

)es cerrado

para cada n ∈ N. Ademas, R(A2n

)+ R

(B2n

)= R (A2n) + R (B2n). Ahora

bien, dados p, q ∈ R+, sea n ∈ N tal que max {p, q} ≤ 2n. Por el Lema 7.2,

existe λ > 0 tal que A2n +B2n ≤ λ (Ap +Bq). Ası,

(A2n +B2n

)1/2 ((A2n +B2n

)1/2)∗ ≤ λ (Ap +Bq)1/2(

(Ap +Bq)1/2)∗.

De este modo, por el Teorema de Douglas,

R((A2n +B2n

)1/2) ⊆ R((Ap +Bq)1/2)

.

Mas aun, por la Proposicion 5.2,

R(A2n

)+R

(B2n

)= R

(A2n +B2n

)= R

(A2n +B2n

)1/2.

70


En consecuencia, combinando las Proposiciones 5.2, 5.3 y 5.5,

R(A2n

)+R

(B2n

)⊆ R (Ap +Bq)1/2 ⊆ R (Ap +Bq)

= R (Ap) +R (Bq) = R (A2n) +R (B2n)

= R (A2n) +R (B2n) = R(A2n

)+R

(B2n

)Es decir que R (Ap +Bq)1/2 = R

(A2n

)+R

(B2n

)es cerrado. Por lo tanto, por

la Proposicion 5.2, R (Ap +Bq) es un subespacio cerrado. Recıprocamente, si

para cada p, q ∈ R+,Ap+Bq tiene rango cerrado, en particular, para p = q = 1,

se verifica que R(A+B) v H.

Corolario 7.2

Sean A, B ∈ L(H)+. Si alguna de las condiciones del teorema anterior se satisface

entonces R(A) +R(B) = R(A+B) = R(Ap +Bq) para cada p, q ∈ R+.

Demostracion:

Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por la prueba de (1) =⇒ (2) del

Teorema 7.3, R(A+B) = R(A) +R(B) v H. Ademas, combinando el Lema 7.1, la

Proposicion 5.2 y el Corolario 4.3,

R(A2)

+R(B2)

= R(A2 +B2

)= R

((A2 +B2)1/2

)= R(A) +R(B) = R(A+B).

Ahora bien, dado h ∈ N, supongamos que R(A2h

)+ R

(B2h

)= R(A) + R(B).

Luego, por el Corolario 4.3, la Preposicion 5.2 y el Lema 7.1,

R(A) +R(B) = R(A2h

)+R

(B2h

)= R

((A2h+1

+B2h+1)1/2)

= R(A2h+1

+B2h+1)

= R(A2h+1

)+R

(B2h+1

).

En consecuencia, por el Principio de Induccion, para cada n ∈ N, se verifica:

R(A2n

)+R

(B2n

)= R

(A2n +B2n

)= R(A) +R(B).

Mas aun, dados p, q ∈ R+, sea n ∈ N tales que max {p, q} ≤ 2n. Por la prueba de

(2) =⇒ (3) del Teorema 7.3,

R (Ap +Bq) = R(A2n

)+R

(B2n

)= R(A) +R(B) = R(A+B).

71


Corolario 7.3



2 |A∗|+ |B∗| tiene rango cerrado.

3 |A∗|p + |B∗|q tiene rango cerrado para cada p, q ∈ R+.

4 R(AA∗ +BB∗) = R(A) +R(B).

5 R(AA∗ +BB∗) = R(A) +R(B).

Demostracion:

(1) =⇒ (2) Por el Corolario 4.2, R(A) = R (|A∗|) y R(B) = R (|B∗|). Supongamos

que R(A) +R(B) = R (|A∗|) +R (|B∗|) es denso. Luego, como se verifica que

|A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, por el Teorema 7.3, |A∗|+ |B∗| tiene rango cerrado.

(2) =⇒ (3) Dado que |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, si |A∗|+ |B∗| tiene rango cerrado enton-

ces, por el Teorema 7.3, el operador |A∗|p + |B∗|q tiene rango cerrado para

p, q ∈ R+.

(3) =⇒ (1) Asumamos que |A∗|p+ |B∗|q tiene rango cerrado para p, q ∈ R+. Luego,

por el Teorema 7.3 y el Corolario 5.1, R (|A∗|) + R (|B∗|) = R(A) + R(B) es

cerrado pues |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+.

(1)⇐⇒ (4) Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por el Corolario 4.3

y la Proposicion 5.2, R(A)+R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2

)= R (AA∗ +BB∗).

Recıprocamente, por el Corolario 4.3 y la Proposicion 5.2, R(A) +R(B) v H

pues R(AA∗ +BB∗) = R(A) +R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2

).

(1)⇐⇒ (5) Supongamos que R(A) +R(B) es cerrado. Luego, por el Corolario 7.2,

R(A) + R(B) = R(A + B). Ası, R(A) ⊆ R(A+B) y R(B) ⊆ R(A+B) por

lo que R(A) + R(B) ⊆ R(A+B) = R(A+ B) = R(A) + R(B). Ademas, por

el Corolario 4.3 y la Proposicion 5.2,

R(A) +R(B) = R(

(AA∗ +BB∗)1/2)

= R(AA∗ +BB∗)

⊆ R(AA∗) +R(BB∗) ⊆ R(A) +R(B)

⊆ R(A) +R(B)

72


En consecuencia, de la doble inclusion, R(AA∗ + BB∗) = R(A) + R(B).

Recıprocamente, si R(A) + R(B) = R(AA∗ + BB∗) entonces se cumple que

R(A) ⊆ R(AA∗ + BB∗) y R(B) ⊆ R(AA∗ + BB∗). De esta manera, por el

Corolario 4.3 y la Proposicion 5.2,

R(A) +R(A) ⊆ R(AA∗ +BB∗) ⊆ R((AA∗ +BB∗)1/2

)⊆ R(A) +R(B).

Ası, R(A) + R(A) = R(AA∗ + BB∗) = R((AA∗ +BB∗)1/2

)= R(A) + R(B)

es cerrado.

En lo que sigue, demostraremos dos resultados validos para operadores acotados sobre

un espacio de Hilbert que nos seran de ayuda para probar un teorema de Fillmore y

Williams dado en [10] que vincula la propiedad “R(A) +R(B) v H”.

Proposicion 7.1

Sea T ∈ L(H). Entonces T∣∣∣Ker(T )⊥ : Ker(T )⊥ −→ R(T ) es un isomorfismo.

Ademas, si R(T ) es cerrado entonces T∣∣∣Ker(T )⊥ ∈ L(Ker(T )⊥, R(T )).

Demostracion:

Sean x, y ∈ Ker(T )⊥ tales que T (x) = T (y). De este modo, se verifica la igualdad

T (x−y) = T (x)−T (y) = ~0 con lo cual x−y ∈ Ker(T )∩Ker(T )⊥ ={~0}

. Ası, x = y

por lo que T ∈ Hom(H) es un monomorfismo. Por otro lado, dado y ∈ R(T ), existe

x ∈ H tal que T (x) = y. Luego, como Ker(T ) v H, Ker(T ) ⊕Ker(T )⊥ = H con

lo cual existen unicos x1 ∈ Ker(T ) y x2 ∈ Ker(T )⊥ tales que x = x1 + x2. De esta

menera, T ∈ Hom(H) es un epimorfismo pues, dado y ∈ R(T ), existe x2 ∈ Ker(T )⊥

tal que y = T (x) = T (x1 + x2) = T (x1) + T (x2) = ~0 + T (x2) = T (x2). Por lo tanto

resulta que T∣∣∣Ker(T )⊥ : Ker(T )⊥ −→ R(T ) es un isomorfismo.

Ahora bien, supongamos que R(T ) v H. Como Ker(T )⊥ y R(T ) son subespacios

cerrados de H, con el producto interno inducido por H, son espacios de Hilbert. De

esta manera, como T ∈ L(H) resulta que:∥∥T ∣∣Ker(T )⊥∥∥L(Ker(T )⊥,R(T ))

= supx∈B

Ker(T )⊥

‖Tx‖R(T )

≤ supx∈BH

‖Tx‖H = ‖T‖L(H) < +∞.

Esto muestra que T∣∣∣Ker(T )⊥ ∈ L(Ker(T )⊥, R(T )).

73


Proposicion 7.2

Sea A ∈ L(H). Si existe B ∈ L(H) tal que BA = I, se tiene que R(A) es cerrado.

Demostracion:

Es claro que R(A) ⊆ R(A). Supongamos que y ∈ R(A). Luego, existe una sucesion

{Axn}n∈N ⊆ R(A) tal que lımn−→∞

Axn = y. Ahora bien, como B ∈ L(H) se tiene

que, lımn−→∞

xn = lımn−→∞

BAxn = B(

lımn−→∞

Axn

)= By. De esta manera, por la

continuidad de A ∈ L(H), lımn−→∞

Axn = A(

lımn−→∞

xn

)= ABy. Ası, por la unicidad

del lımite, y = ABy por lo que R(A) ⊆ R(A) pues y ∈ R(A). De la doble inclusion

se deduce la igualdad R(A) = R(A) mostrando que R(A) v H.

Teorema 7.4

Sean A,B ∈ L(H). Si R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado entonces R(A) y R(B)

son subespacios cerrados.

Demostracion:

Sean A,B ∈ L(H). Luego, por la Proposicion 7.1, las siguientes aplicaciones son

isomorfismos:

A∣∣∣Ker(A)⊥ : Ker(A)⊥ −→ R(A) y B

∣∣∣Ker(B)⊥ : Ker(B)⊥ −→ R(B).

Consideremos el operador T ∈ L(H) definido de la siguiente manera:

T : Ker(A)⊥ ⊕Ker(B)⊥ −→ R(A)⊕R(A)

T (w1 + w2) = Aw1 +Bw2

donde w1 ∈ Ker(A)⊥ y w2 ∈ Ker(B)⊥. Notar que es un isomorfismo. En efecto:

Inyectividad: Sea w ∈ Ker(T ) ⊆ Ker(A)⊥⊕Ker(B)⊥. Luego Tw = ~0 y ademas,

w = w1 + w2 con w1 ∈ Ker(A)⊥ y w2 ∈ Ker(B)⊥. De esta manera se tiene

que Tw = T (w1 + w2) = Aw1 + Bw2 = ~0. Como ~0 ∈ R(A)⊕R(B) se escribe

de una unica manera, la obvia, resulta que Aw1 = ~0 y Bw2 = ~0, con lo

cual w1 ∈ Ker(A) y w2 ∈ Ker(B). Ası, w1 ∈ Ker(A) ∩ Ker(A)⊥ ={~0}

y

w2 ∈ Ker(B)∩Ker(B)⊥ ={~0}

, lo que implica que w1 = w2 = ~0, i.e., w = ~0.

En consecuencia, Ker(T ) ={~0}

con lo cual el operador T es inyectivo.

74


Suryectividad: Sea y ∈ R(A) ⊕ R(B). Luego, y ∈ H se escribe de manera unica

como y = y1+y2 con y1 ∈ R(A), y2 ∈ R(B), con lo cual existen x1 ∈ Ker(A)⊥

y x2 ∈ Ker(B)⊥ tales que, y1 = Ax1 e y2 = Bx2. De este modo se ve que

existe x := x1 + x2 ∈ Ker(A)⊥ ⊕Ker(B)⊥ cumpliendo que

T (x1 + x2) = Ax1 +Bx2 = y1 + y2 = y.

Entonces, para todo y ∈ R(A) ⊕ R(B), existe x ∈ Ker(A)⊥ ⊕ Ker(B)⊥ tal

que Tx = y. En consecuencia, T es suryectivo.

Mas aun, como T es biyectivo, R(T ) = R(A)⊕R(B) v H. Consideremos el operador,

S : R(A)⊕R(B) −→ Ker(A)⊥ ⊕Ker(B)⊥ definido de la siguiente manera:

S(y1 + y2) = x1 + x2 ⇐⇒ x1 ∈ Ker(A)⊥ y x2 ∈ Ker(B)⊥

son los unicos tales que Ax1 = y1 y Bx2 = y2.

Es claro, por definicion, que S = T−1. Ademas,

S∣∣R(A) A

∣∣∣Ker(A)⊥ = Id∣∣∣Ker(A)⊥

S∣∣R(B) B

∣∣∣Ker(B)⊥ = Id∣∣∣Ker(B)⊥

Con lo cual ambos operadores, A∣∣∣Ker(A)⊥ y B

∣∣∣Ker(B)⊥ tienen inversa a izquierda

y por ende, por la Proposicion 7.2, rango cerrado. En consecuencia,

R(A∣∣∣Ker(A)⊥ ) = R(A) v H

R(B∣∣∣Ker(B)⊥

)= R(B) v H.

Corolario 7.4

Sean A,B ∈ L(H)+ tales que R(A) ∩R(B) ={~0}

. Son equivalentes:


2 R(A) y R(B) son cerrados y R(A+B) = R(A) +R(B).

75


Demostracion:

(1) =⇒ (2) Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, como resulta que

R(A) ∩ R(B) ={~0}

, por el Teorema 7.4, R(A) y R(B) son cerrados. Mas

aun, por el Corolario 7.2, R(A+B) = R(A) +R(B).

(2) =⇒ (1) Supongamos que R(A) y R(B) son cerrados y R(A+B) = R(A)+R(B).

Luego, por la Proposicion 5.2, R(A) = R(A1/2

)y R(B) = R

(B1/2

). Ademas,

por el Corolario 4.3,

R(A+B) = R(A) +R(B) = R(A1/2

)+R

(B1/2

)= R

((A+B)1/2

).

De esta manera, por la Proposicion 5.2, R(A) +R(B) = R(A+B) es cerrado.

7.2.3 R(A) +R(B) = H

Teorema 7.5


1 R(A) +R(B) = H.

2 A+B es invertible.

3 Ap +Bq es invertible para cada p, q ∈ R+

Demostracion:

(1) =⇒ (2) Supongamos que R(A) +R(B) = H. Luego, R(A) +R(B) es cerrado y,

por el Corolario 7.2, R(A + B) = R(A) + R(B) = H por lo que A + B es un

epimorfismo. Ademas, por el Teorema 7.2, A+B es un monomorfismo puesto

que R(A) +R(B) es denso en H. Por lo tanto, A+B es un isomorfismo y en

consecuencia, A+B es invertible.

(2) =⇒ (3) Sean p, q ∈ R+. Supongamos que A+B es invertible. Dado que A+B

es inyectivo, por el Teorema 7.2, Ap + Bq es inyectivo. Por otro lado, como

A + B es suryectivo, R(A + B) = H es cerrado. Luego, por el Corolario 7.2,

76


Ap +Bq es suryectivo pues R(Ap +Bq) = R(A) +R(B) = R(A+B) = H. De

esta manera, Ap +Bq es invertible.

(3) =⇒ (1) Supongamos que Ap + Bq es invertible para p, q ∈ R+. Luego, por el

Teorema 7.2, R(A)+R(B) es denso en H ya que Ap+Bq es inyectivo. Ademas,

como Ap + Bq es suryectivo, R(Ap + Bq) = H es cerrado y, por el Teorema

7.3, R(A) +R(B) es cerrado. Ası, R(A) +R(B) = R(A) +R(B) = H.

Corolario 7.5


1 R(A) +R(B) = H.

2 |A∗|+ |B∗| es invertible.

3 |A∗|p + |B∗|q es invertible para cada p, q ∈ R+.

Demostracion:

(1) =⇒ (2) Por el Corolario 4.2, R(A) = R(|A∗|) y R(B) = R(|B∗|). Supongamos

que R(A) +R(B) = R(|A∗|) +R(|B∗|) = H. Luego, como |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+,

por el Teorema 7.5, |A∗|+ |B∗| es invertible.

(2) =⇒ (3) Dado que |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+, si |A∗|+ |B∗| es invertible entonces, por

el Teorema 7.5, |A∗|p + |B∗|q es invertible para cada p, q ∈ R+.

(3) =⇒ (1) Supongamos que |A∗|p + |B∗|q es invertible para cada p, q ∈ R+. Luego,

por el Corolario 4.2 y el Teorema 7.5, R(A) +R(B) = R(|A∗|) +R(|B∗|) = H

pues |A∗| , |B∗| ∈ L(H)+.

Como consecuencia del Corolario 7.5, se obtiene la siguiente extension del Teorema de

Bikchentaev.

77


Corolario 7.6

Sean A, B ∈ L(H). Si A+B es inyectivo con rango cerrado entonces |A|p + |B|q es

invertible para cada p, q ∈ R+.

Demostracion:

Supongamos que A+B es inyectivo y R(A+B) v H. Luego, A∗ +B∗ tiene rango

cerrado. Mas aun, R(A∗ +B∗) = R(A∗) +R(B∗) = H. En efecto,

H = {0}⊥ = Ker(A+B)⊥ = R ((A+B)∗) = R(A∗ +B∗) ⊆ R(A∗) +R(B∗) ⊆ H.

Ası, por el Corolario 7.5, |(A∗)∗|p + |(B∗)∗|q = |A|p + |B|q es invertible para cada

p, q ∈ R+.

78

¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?

8 ¿Cuando R(A)⊕R(B) es cerrado ?

En la siguiente seccion estudiaremos la condicion “R(A) ⊕ R(B) es un subespacio

cerrado” para A,B ∈ L(H).

Para esto introduciremos nuevos conceptos y resultados que nos seran de utilidad.

Definicion:

Se dice que un operador T ∈ L(H) es una reflexion si T 2 = I.

Definicion:

Sea H un espacio de Hilbert y S, T subespacios de H. Se dice que H es suma

directa ortogonal de S y T , y se nota H = S � T , si H = S ⊕ T y S ⊥ T .

Proposicion 8.1

Sea P ∈ Hom(H). P es un proyector sı y solo sı 2P − I es una reflexion.

Demostracion:

Basta observar que (2P − I)2 − I = 4(P 2 − P ). En efecto:

(2P − I)2 − I = (2P − I)2 − I2 = [(2P − I) + I] [(2P − I)− I]

= 2P · 2(P − I) = 4P (P − I) = 4(P 2 − P ).

Ası, P es proyector ⇐⇒ (2P − I)2 − I = 4(P 2 − P ) = O ⇐⇒ P es una reflexion.

Lema 8.1

Sean A,B ∈ L(H). Si R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado entonces

H = R(A)⊕(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)

).

79


Demostracion:

Sean A,B ∈ L(H). Supongamos que R(A) ⊕ R(B) v H. Por la Proposicion 5.5 se

verifica:

R(A) +R(B) = R(A) +R(B) = R(A+B)

= Ker ((A+B)∗)⊥ = Ker (A∗ +B∗)⊥

= (Ker (A∗) ∩Ker (B∗))⊥ .

Ademas, dado que A∗, B∗ ∈ L(H), los subespacios Ker (A∗) ,Ker (B∗) son cerrados

por lo que Ker (A∗) ∩Ker (B∗) v H. Ası, por la Preposicion 10.9,(R(A) +R(B)

)⊥= (Ker (A∗) ∩Ker (B∗))⊥⊥ = Ker (A∗) ∩Ker (B∗) .

Luego, por la Proposicion 10.13, H =(R(A) +R(B)

)⊕(R(A) +R(B)

)⊥, es decir

que H =(R(A) +R(B)

)⊕Ker (A∗) ∩Ker (B∗).

Observemos que R(B) ∩ Ker (A∗) ∩ Ker (B∗) ={~0}

pues R(B) = Ker(B∗)⊥.

Ademas, los subespacios Ker (A∗) ∩Ker (B∗) y R(B) son ortogonales ya que

R(B) ⊆ R(A) +R(B) = (Ker (A∗) ∩Ker (B∗))⊥ .

En consecuencia, el subespacio R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗) esta bien definido.

Dado z ∈ H, existen unicos x ∈ R(A) + R(B), y ∈ Ker(A∗) ∩ Ker(B∗) tales

que z = x + y. Tambien, x ∈ R(A) + R(B) se escribe de la forma x = s + t

donde s ∈ R(A) y t ∈ R(B). Luego, z = x + y = (s + t) + y = s + (t + y)

con s ∈ R(A) y t + y ∈ R(B) � Ker(A∗) ∩ Ker(B∗) con lo cual se verifica que

z ∈ R(A) +(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)

). Por lo tanto, como la otra inclusion es

trivial, se cumple que R(A) +(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)

)= H.

Por otro lado, supongamos que existe w ∈ R(A) ∩(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)

).

Como w ∈ R(A), w se puede escribir de manera unica como w = (w+~0) +~0 donde

w + ~0 ∈ R(A) + R(B) y ~0 ∈ Ker(A∗) ∩Ker(B∗). De igual modo, w se expresa de

manera unica como w = (~0+s)+t con ~0+s ∈ R(A)+R(B) y t ∈ Ker(A∗)∩Ker(B∗)

puesto que w ∈ R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗). Ası, w = (w+~0) +~0 = (~0 + s) + t con

lo cual w − s = (w +~0)− (~0 + s) = (t−~0) = t = ~0 pues

w − s = t ∈(R(A) +R(B)

)∩ (Ker (A∗) ∩Ker (B∗)) =

{~0}.

80


En consecuencia, w = s = t = ~0 pues w = s ∈ R(A)∩R(B) ={~0}

. Por tal motivo,

R(A) ∩(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)

)={~0}

ya que la otra inclusion es evidente.

Finalmente, H = R(A)⊕(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)

).

Proposicion 8.2

Sea H un espacio de Hilbert. Si M y N son subespacios cerrados ortogonales de H

entonces M+N es un subespacio cerrado de H.

Demostracion:

Sabemos que si M y N son subespacios de H entonces M + N es un subespacio

de H. Ademas, M + N ⊆ M+N . Sea z ∈ M+N . Luego, existe una sucesion

{zn}n∈N ⊆ M +N tal que lımn−→+∞

zn = z por lo que {zn}n∈N es de Cauchy en H.

Tambien, para cada n ∈ N, existen xn ∈M, yn ∈ N tales que zn = xn + yn. Luego,

como M⊥ N , dados n,m ∈ N resulta:

‖zn − zm‖2H = ‖(xn − xm) + (yn − ym)‖2H = ‖xn − xm‖2H + ‖yn − ym‖2H .

Ası, {xn}n∈N, {yn}n∈N son de Cauchy en H pues ‖xn − xm‖H ≤ ‖zn − zm‖H y

‖yn − ym‖H ≤ ‖zn − zm‖H. Dado que H es completo y M,N v H, existen x ∈M,

y ∈ N tales que lımn−→+∞

xn = x y lımn−→+∞

yn = y. En consecuencia, z ∈M+N pues:

z = lımn−→+∞

zn = lımn−→+∞

xn + yn = lımn−→+∞

xn + lımn−→+∞

yn = x+ y.

Por lo tanto, M+N ⊆M+N . De la doble inclusion se deduce la igualdad.

!

Observacion:

Si bien la prueba dada anteriormente es elemental, con la teorıa que

hemos desarrollado hasta aquı, podemos dar una prueba mas breve.

En efecto, comoM y N son subespacios cerrados ortogonales por el

Lema 3.2, c0(M,N ) = 0 < 1. Ası, por el Teorema 3.1,M+N v H.

81


Proposicion 8.3

Sea T ∈ L(H). Luego, Ker(T ∗T ) = Ker(T ).

Demostracion:

Es evidente que Ker(T ) ⊆ Ker(T ∗T ) pues si Tx = ~0 entonces T ∗Tx = T ∗(Tx) = ~0.

Mas aun, si x ∈ Ker(T ∗T ) entonces se tiene que T ∗Tx = ~0 con lo cual se deduce

que ‖Tx‖2H = 〈Tx, Tx〉 = 〈T ∗Tx, x〉 = 0. Ası, Tx = ~0 y Ker(T ∗T ) ⊆ Ker(T ). De

la doble inclusion se deduce la igualdad.

Proposicion 8.4


. Entonces

Ker(AA∗ −BB∗) = Ker(A∗) ∩Ker(B∗).

Demostracion:

Es claro que Ker(A∗) ∩ Ker(B∗) ⊆ Ker(AA∗ − BB∗). En efecto, si se tiene que

z ∈ Ker(A∗) ∩Ker(B∗) entonces A∗z = B∗z = ~0 con lo cual (AA∗ − BB∗)z = ~0

pues (AA∗ − BB∗)z = AA∗z − BB∗z = A(A∗z) − B(B∗z) = ~0. Por otro lado,

supongamos que z ∈ Ker(AA∗ − BB∗). Luego, (AA∗ − BB∗)z = ~0 con lo cual

AA∗z = BB∗z = ~0 ya que R(A) ∩ R(B) ={~0}

. Ası, por la Proposicion 8.3,

z ∈ Ker(AA∗) ∩ Ker(BB∗) = Ker(A∗) ∩ Ker(B∗). En consecuencia se verifica

que Ker(AA∗ − BB∗) ⊆ Ker(A∗) ∩ Ker(B∗). De la doble inclusion se deduce la

igualdad.

Teorema 8.1


1 R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado.

2 Existe una reflexion W ∈ L(H) tal que W (A+B) = A−B.

3 Existe una reflexion W ∈ L(H) tal que W (T1 + T2) = T1 − T2 para cada

T1, T2 ∈ L(H) cumpliendo que R(T1) = R(A) y R(T2) = R(B).

4

∥∥∥PR(A)PR(B)

∥∥∥L(H)

< 1.

82


Demostracion:

(1)⇐⇒ (2) Supongamos que R(A) ⊕ R(B) es un subespacio cerrado. Luego, por

el Lema 8.1, H = R(A) ⊕(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)

)por lo que tiene

sentido considerar el proyector P = PR(A)//R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗), i.e. el unico

cumpliendo que R(P ) = R(A) y Ker(P ) = R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗). Notar

que, por la Proposicion 8.2, R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗) v H. Luego, por la

Proposicion 10.7, P es un proyector acotado. Ahora bien, como para cada

x ∈ H se verifica que Ax ∈ R(A) ⊆ R(A) = R(P ), PAx = P (Ax) = Ax con

lo cual, PA = A. Del mismo modo, como Bx ∈ R(B) ⊆ R(B) ⊆ Ker(P ),

PBx = P (Bx) = ~0 para cada x ∈ H por lo que PB = O. Por tales motivos,

sea W ∈ L(H) dado por W = 2P − I. Luego, por la Proposicion 8.1, W es

una reflexion. Mas aun:

W (A+B) = (2P − I)(A+B) = 2PA+ 2PB −A−B = A−B.

Recıprocamente, supongamos que existe una reflexion W ∈ L(H) cumpliendo

que W (A+B) = A−B. Sea P ∈ L(H) dado por P = W+I2 . Por la Proposicion

8.1, P ∈ P(H) pues 2P − I = W es una reflexion. Ademas, se verifica:

P (A−B) =W + I

2(A−B) =

W (A−B)

2+A−B

2

=W 2(A+B)

2+A−B

2=A+B

2+A−B

2= A.

Del mismo modo,

(P − I)(A−B) = P (A−B)− (A−B) = A− (A−B) = B.

Por la Proposicion 10.6, Ker(P ) = R(P − I) y R(P ) = Ker(P − I) son

subespacios cerrados de H. Luego, R(A) = R (P (A−B)) ⊆ R(P ) = R(P ) y

R(B) = R ((P − I)(A−B)) ⊆ R(P − I) = Ker(P ). Luego, como se cumple

que Ker(P )⊕R(P ) = H, por el Teorema 3.1,

c0

(R(A), R(B)

)≤ c0 (R(P ),Ker(P )) < 1.

Ası, nuevamente por el Teorema 3.1, R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado.

(1)⇐⇒ (3) Sean T1, T2 ∈ L(H) cumpliendo que R(T1) = R(A) y R(T2) = R(B).

Supongamos que R(A) ⊕ R(B) es un subespacio cerrado. Luego, por el Le-

ma 8.1, H = R(A)⊕(R(B) �Ker(A∗) ∩Ker(B∗)

)por lo que tiene sentido

83


considerar el proyector P = PR(A)//R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗) ∈ P(H), i.e. el unico

cumpliendo que R(P ) = R(A) y Ker(P ) = R(B)�Ker(A∗)∩Ker(B∗). Aho-

ra bien, como para cada x ∈ H se verifica que T1x ∈ R(T1) ⊆ R(A) = R(P ),

PT1x = P (T1x) = T1x con lo cual, PT1 = T1. Del mismo modo, co-

mo T2x ∈ R(T2) ⊆ R(B) ⊆ Ker(P ), PT2x = P (T2x) = ~0 para cada

x ∈ H por lo que PT2 = O. Por tales motivos, sea W ∈ L(H) dado por

W = 2P − I. Luego, por la Proposicion 8.1, W es una reflexion. Mas aun,

W (T1 + T2) = (2P − I)(T1 + T2) = 2PT1 + 2PT2 − T1 − T2 = T1 − T2.

Recıprocamente, supongamos que existe una reflexion W ∈ L(H) cumpliendo

que W (T1 + T2) = T1 − T2 para cada T1, T2 ∈ L(H) con R(T1) = R(A) y

R(T2) = R(B). En particular, considerando T1 = A y T2 = B, existe una

reflexion W ∈ L(H) tal que W (A+B) = A−B. Luego, por (1)⇐⇒ (2) vale

que R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado.

(1)⇐⇒ (4) Basta notar que por el Lema 3.2,

∥∥∥PR(A)PR(B)

∥∥∥L(H)

= c0

(R(A), R(B)

).

Luego, el resultado se deduce directamente del Teorema 3.1.

Corolario 8.1

Sean A,B ∈ L(H). Si R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado entonces

R(A∗ +B∗) = R(A∗ −B∗) = R(A∗) +R(B∗).

Demostracion:

Supongamos que R(A)⊕R(B) es un subespacio cerrado de H. Por el Teorema 8.1,

existe una reflexion W ∈ L(H) tal que W (A + B) = A − B. Mas aun, dado que

W 2 = I, W ∈ Gl(H) y W−1 = W con lo cual A+B = W (A−B). De esta manera,

(A∗ + B∗)W ∗ = A∗ − B∗ y (A∗ − B∗)W ∗ = A∗ + B∗. Luego, por el Teorema de

Douglas, R(A∗ − B∗) ⊆ R(A∗ + B∗) y R(A∗ + B∗) ⊆ R(A∗ − B∗). Ası resulta

que R(A∗ − B∗) = R(A∗ + B∗). Ademas, como R(A∗ − B∗) ⊆ R(A∗ + B∗), por el

Corolario 6.1, R(A∗ −B∗) = R(A∗ +B∗) = R(A∗) +R(B∗).

84


Corolario 8.2

Sean A,B ∈ L(H). Si R(A∗)⊕R(B∗) es un subespacio cerrado entonces

R(A+B) = R(A−B) = R(A) +R(B).

Demostracion:

Se deduce del Corolario 8.1 ya que (A∗)∗ = A y (B∗)∗ = B.

Corolario 8.3


. Son equivalentes:


2 R(AA∗ +BB∗) es cerrado.

3 R(AA∗ −BB∗) es cerrado.

Demostracion:

(1)⇐⇒ (2) Supongamos que R(A) +R(B) es cerrado. Luego, por el Corolario 4.3,

R(A) + R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2

). Ası, por la Proposicion 5.2 se verifi-

ca que R (AA∗ +BB∗) = R((AA∗ +BB∗)1/2

)= R(A) + R(B) es cerrado.

Recıprocamente, si R (AA∗ +BB∗) es cerrado entonces por la Proposicion

5.2 y el Corolario 4.3, R(A) +R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2

)es cerrado.

(1)⇐⇒ (3) Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Luego, por el Teorema 7.4,

R(A) yR(B) son subespacios cerrados. Mas aun, por el Corolario 7.3 se verifica

que R(AA∗+BB∗) = R(A)+R(B) es cerrado. Ası, como AA∗, BB∗ ∈ L(H)+,

por el Corolario 7.2, R(AA∗) +R(BB∗) = R(AA∗ +BB∗) = R(A) +R(B) es

cerrado. Ademas, combinando el Corolario 4.3, la Proposicion 5.2 y el Coro-

lario 7.3,

R(AA∗) +R(BB∗) = R(

(AA∗(AA∗)∗ +BB∗(BB∗)∗)1/2)

= R (AA∗(AA∗)∗ +BB∗(BB∗)∗)

= R(AA∗) +R(BB∗) v H.

85


Tambien,{~0}⊆ R(AA∗) ∩R(BB∗) ⊆ R(A) ∩R(B) =

{~0}

. De esta manera,

R(AA∗)⊕R(BB∗) es cerrado. Luego, como AA∗ y BB∗ son operadores auto-

adjuntos, R ((AA∗)∗)⊕R ((AA∗)∗) = R(AA∗)⊕R(BB∗) es cerrado. Ası, por

el Corolario 8.2, R(AA∗−BB∗) = R(AA∗+BB∗) = R(AA∗) +R(BB∗) v H.

Recıprocamente, si R(AA∗−BB∗) es cerrado, como R(A)∩R(B) ={~0}

, por

la Proposicion 8.4, Ker(AA∗−BB∗) = Ker(A∗)∩Ker(B∗). Mas aun, por la

Proposicion 5.5, se cumple que:

R(A) +R(B) ⊆ R(A) +R(B) = R(A+B) = Ker(A∗ +B∗)⊥

= (Ker(A∗) ∩Ker(B∗))⊥ = Ker(AA∗ −BB∗)⊥

= R(AA∗ −BB∗)⊥⊥ = R(AA∗ −BB∗)

= R(AA∗ −BB∗) ⊆ R(A) +R(B).

Por lo tanto, dado que R(A) + R(B) ⊆ R(A) +R(B), R(A) + R(B) es un

subespacio cerrado de H.

Corolario 8.4

Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A)∩R(B) ={~0}

. Si R(A)+R(B) es cerrado entonces

R(AA∗ +BB∗) = R(AA∗ −BB∗) = R(A) +R(B).

Demostracion:

Supongamos que R(A) + R(B) es cerrado. Entonces, por la prueba de (1) ⇐⇒ (3)

del Corolario 8.3, R(A) +R(B) ⊆ R(AA∗ − BB∗) ⊆ R(A) + R(B) con lo cual

R(AA∗−BB∗) = R(A) +R(B). Mas aun, por el Corolario 4.3 y la Proposicion 5.2,

R(A) +R(B) = R((AA∗ +BB∗)1/2

)= R(AA∗ +BB∗). De esta manera,

R(AA∗ +BB∗) = R(AA∗ −BB∗) = R(A) +R(B).

86


Corolario 8.5


1 R(A)⊕R(B) = H.

2 R(A) ∩R(B) ={~0}

y AA∗ +BB∗ es invertible.

3 R(A) ∩R(B) ={~0}

y AA∗ −BB∗ es invertible.

Demostracion:

(1) =⇒ (3) Supongamos que R(A) ⊕ R(B) = H. Luego, R(A) ∩ R(B) ={~0}

y

R(A) +R(B) = H. Por el Corolario 8.4, R(AA∗−BB∗) = R(A) +R(B) = H.

Luego, por el Teorema 7.5, A+B es invertible con lo cual A∗ +B∗ ∈ Gl(H).

De esta manera, por las Proposiciones 5.5 y 8.4, AA∗−BB∗ es inyectivo pues

Ker(AA∗−BB∗) = Ker(A∗)∩Ker(B∗) = Ker(A∗+B∗) ={~0}

. Por lo tanto

AA∗ −BB∗ es invertible.

(3) =⇒ (2) Supongamos que R(A)∩R(B) ={~0}

y AA∗−BB∗ es invertible. Luego,

por los Corolarios 8.3 y 8.4, R(AA∗ − BB∗) = R(A) + R(B) = H. Segun

la prueba de (1) ⇐⇒ (3) del Corolario 8.3, como R(A) + R(B) es cerrado,

R(AA∗) ⊕ R(BB∗) es cerrado. En consecuencia, por el Teorema 8.1, existe

una reflexion W ∈ Gl(H) tal que W (AA∗ + BB∗) = AA∗ − BB∗. Dado que

W−1 = W , AA∗ + BB∗ = W (AA∗ − BB∗) por lo que AA∗ + BB∗ ∈ Gl(H)

por ser producto de operadores invertibles.

(3) =⇒ (2) Supongamos que R(A)∩R(B) ={~0}

y AA∗−BB∗ es invertible. Luego,

por los Corolarios 8.3 y 8.4,

R(AA∗ +BB∗) = R(AA∗ −BB∗) = R(A) +R(B) = H.

Ası, por el Teorema 7.5, A+B es invertible con lo cual A∗ +B∗ ∈ Gl(H). De

esta manera, por las Proposiciones 5.5 y 8.3, AA∗ + BB∗ es inyectivo puesto

que

Ker(AA∗ +BB∗) = Ker(AA∗) ∩Ker(BB∗)

= Ker(A∗) ∩Ker(B∗) = Ker(A∗ +B∗) ={~0}.

87


De este modo, AA∗ + BB∗ es un isomorfismo. En consecuencia, AA∗ + BB∗

es invertible.

(2) =⇒ (1) Supongamos que R(A) ∩R(B) ={~0}

y AA∗ +BB∗ es invertible. Ası,

por los Corolarios 8.3 y 8.4, R(AA∗ + BB∗) = R(A) + R(B) = H. De esta

manera, R(A)⊕R(B) = H.

Dados A,B ∈ L(H)+, Bikchentaev en [4] probo que si A−B es invertible, A+B tambien

lo es. Observar que esta afirmacion puede ser derivada del Teorema 7.5. De hecho, si A−B

es invertible entonces H = R(A−B) ⊆ R(A) +R(B). Ası R(A) +R(B) = H con lo cual

A+B es invertible.

En la siguiente proposicion estudiaremos la invertibilidad simultanea de A+B y A−B

para A,B ∈ L(H).

Proposicion 8.5


. Luego,

A−B es invertible sı y solo sı A+B es invertible.

Demostracion:

Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ∩ R(B) ={~0}

. Supongamos que A − B es

invertible. Luego, H = R(A−B) ⊆ R(A)+R(B) ⊆ H por lo que R(A)⊕R(B) = H.

De este modo, por el Teorema 7.4, R(A) y R(B) son subespacios cerrados. Ası, por

la Proposicion 10.7, el operador P = PR(A)//R(B) ∈ P(H). Notar que, dado x ∈ H,

Ax ∈ R(A) = R(P ) y Bx ∈ R(B) = Ker(P ) con lo cual PAx = Ax y PBx = ~0. Es

decir, PA = A y PB = O. Sea W ∈ L(H) dado por W = 2P −I. Por la Proposicion

8.1, se tiene que W es una reflexion. Mas aun:

W (A−B) = (2P − I)(A−B) = 2PA− 2PB −A+B = A+B.

De esta manera, como W 2 = I, W ∈ Gl(H) y W−1 = W se tiene que A+B ∈ Gl(H)

por ser producto de operadores invertibles. Recıprocamente, asumamos que A+B

es invertible. Luego, por el Corolario 7.2, R(A+B) = R(A)+R(B) = H. Ası resulta

88


que R(A)⊕R(B) = H. De aquı que, por el Teorema 7.4, R(A) y R(B) son cerrados.

Ası, por la Proposicion 10.7, el operador P = PR(A)//R(B) ∈ P(H). Ademas, como

PA = A y PB = O, el operador W ∈ L(H) dado por W = 2P − I es una reflexion

tal que W (A − B) = A + B. Dado que W ∈ Gl(H) y W−1 = W se cumple que

A−B = W (A+B). En consecuencia, A−B ∈ Gl(H) por ser producto de operadores

invertibles.

Corolario 8.6

Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ∩ R(B) ={~0}

. Si A − B es invertible entonces

R(A) y R(B) son subespacios cerrados.

Demostracion:

Supongamos que A − B es invertible. Luego, por la Proposicion 8.5, A + B es

invertible. Ası, por el Corolario 7.2, R(A) + R(B) = R(A + B) = H con lo cual

R(A)⊕R(B) = H. Por lo tanton, por el Teorema 7.4, R(A) y R(B) son subespacios

cerrados.

89


90

Proyecciones

9 Proyecciones

Comenzaremos con dos extensiones de una bella formula de T. Ando, dada en [1],

quien probo que para un par subespacios cerrados S, T v H tales que S ⊕ T = H, vale la

siguiente formula:

PS//T = PS(PS + PT )−1.

Teorema 9.1

Sean A,B ∈ L(H)+ tales que R(A)⊕R(B) = H. Entonces,

PR(A)//R(B) = A(A+B)−1 = A(A−B)−1.

Demostracion:

Sean A,B ∈ L(H)+ tales que R(A) ⊕ R(B) = H. Por el Teorema 7.4, R(A) y

R(B) son subespacios cerrados de H. Luego, por la Proposicion 10.7 se obtiene que

P := PR(A)//R(B) ∈ L(H). Mas aun, por el Teorema 7.5, A+B es invertible y, por la

Proposicion 8.5, A−B tambien lo es. Ademas, como para todo x ∈ H, Ax ∈ R(A)

y Bx ∈ R(B), P (Ax) = Ax y P (Bx) = ~0 con lo cual PA = A y PB = O. De esta

manera se tiene que P (A ± B) = PA ± PB = A ± O = A. Ası, P = A(A ± B)−1.

Es decir que, PR(A)//R(B) = A(A+B)−1 = A(A−B)−1.

Corolario 9.1

Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A)⊕R(B) = H. Entonces,

PR(A)//R(B) = AA∗(AA∗ ±BB∗)−1.

Demostracion:

Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) ⊕ R(B) = H. Por el Corolario 8.5, AA∗ ± BB∗

es invertible con lo cual R(AA∗ +BB∗) = H. Ademas,

H = R(AA∗ +BB∗) ⊆ R(AA∗) +R(BB∗) ⊆ R(A) +R(B) = H.

91

Proyecciones

Ası, R(AA∗) + R(BB∗) = H. Tambien, R(AA∗) ∩ R(BB∗) ={~0}

pues se verifica

que ~0 ∈ R(AA∗) ∩ R(BB∗) y R(AA∗) ∩ R(BB∗) ⊆ R(A) ∩ R(B) ={~0}

. De esta

manera, R(AA∗)⊕R(BB∗) = H y, como AA∗, BB∗ ∈ L(H)+, por el Teorema 9.1,

PR(AA∗)//R(BB∗) = AA∗(AA∗ ±BB∗)−1.

Mas aun, notar que, como R(AA∗)⊕R(BB∗) = R(A)⊕R(B) = H, para cada x ∈ H,

existen unicos w ∈ R(AA∗) ⊆ R(A) y z ∈ R(BB∗) ⊆ R(B) tales que x = w+ z con

lo cual PR(AA∗)//R(BB∗)x = w = PR(A)//R(B)x. Por lo tanto,

PR(A)//R(B) = PR(AA∗)//R(BB∗) = AA∗(AA∗ ±BB∗)−1.

El siguiente resultado sobre proyecciones ortogonales fue demostrado por J. J. Koliha

y V. Rakocevic en [14]. Sin embargo, adaptaremos la prueba dada por Arias, Corach y

Gonzalez en [2] que no utiliza propiedades espectrales de las proyecciones consideradas.

Proposicion 9.1

Sean P,Q ∈ P(H). Luego,

R(P +Q) es cerrado sı y solo sı R(P −Q) es cerrado.

Demostracion:

Supongamos que R(P +Q) es cerrado. Como P,Q ∈ P(H), por la Proposicion 10.6,

los subespaciosR(P ) yR(Q) cerrados y por ende, espacios de Hilbert con el producto

interno inducido por H. Sean S := R(Q) ∩ R(P ) v H y T := R(Q) R(P ) v H.

Ası, por la Proposicion 3.1, se verifica que S ⊕ T = R(Q) y ademas,

(R(P ) ∩R(Q))⊕ (R(P )R(Q)) = S ⊕(R(P ) ∩ S⊥

)= R(P ).

De esta manera, por la Proposicion 3.3,

R(P ) +R(Q) = R(P )R(Q) +R(P ) ∩R(Q) +R(Q)R(P ) = R(P ) + T .

En consecuencia, R(P ) + R(Q) = R(P ) ⊕ T ya que R(P ) ∩ T ={~0}

. Ahora

bien, considerando a R(Q) como espacio de Hilbert, por el Corolario 10.2, resulta

que PS + PT = IR(Q) puesto que T ⊥ =(R(Q) ∩ S⊥

)⊥= S⊥⊥ = S. Luego, dado

92

Proyecciones

que Q ∈ P(H), actua como la identidad en su rango, con lo cual PS + PT = Q.

Analogamente, considerando a R(P ) como espacio de Hilbert y dado que P ∈ P(H),

PS + PS⊥ = P . De este modo, R(PS⊥) = R(P ) ∩ S⊥ y R(PT ) = T = R(Q) ∩ S⊥

por lo que se cumple que R(PS⊥) ∩ R(PT ) = S ∩ S⊥ ={~0}

. Ademas, por el

Corolario 7.2, R(P ) +R(Q) = R(P +Q) es cerrado con lo cual, por el Teorema 3.2,

R(PS⊥)+R(PT ) es cerrado ya que R(PS⊥)+R(PT ) = R(P )R(Q)+R(Q)R(P ).

Luego, como R(PS⊥)⊕R(PT ) = R(PS⊥)⊕R(PT ) , por el Corolario 8.1,

R (PS⊥) +R (PT ) = R(P ∗S⊥

)+R (P ∗T ) = R

(P ∗S⊥ + P ∗T

)= R

(P ∗S⊥ − P

∗T)

= R (PS⊥ − PT )

= R (P − PS − PT ) = R (P −Q) .

Por lo tanto, R (P −Q) es cerrado. Recıprocamente, supongamos que R (P −Q) es

cerrado. Luego, H = R (P −Q) ⊕ R (P −Q)⊥ = R (P −Q) ⊕ Ker (P −Q) pues,

dado que P,Q ∈ P(H), R (P −Q)⊥ = Ker ((P −Q)∗) = Ker (P −Q). Ası, por el

Teorema 3.11, el operador (P −Q)2 ∈ L(H) tiene rango cerrado. En consecuencia,

por la Proposicion 8.3, se verifica:

R(P −Q) = R(P −Q) = Ker ((P −Q)∗)⊥ = Ker (P −Q)⊥

= Ker ((P −Q)∗(P −Q))⊥ = R ((P −Q)∗(P −Q))

= R ((P −Q)2) = R((P −Q)2

)Ahora bien, como P,Q ∈ P(H), (P −Q)2 = (P +Q) · (2I − P −Q). Luego, por

el Teorema de Douglas, R(

(P −Q)2)⊆ R (P +Q) con lo cual se cumple que

R (P −Q) ⊆ R (P +Q). Ası, por los Corolarios 6.1 y 4.3,

R (P +Q) = R (P ) +R (Q) = R(

(P +Q)1/2)

.

Por lo tanto, por la Proposicion 5.2, R (P +Q) es cerrado.

93

Proyecciones

Los siguientes resultados de J. J. Koliha y V. Rakocevic se encuentran en [14].

Lema 9.1

Sean P,Q ∈ Q(H). Se verifican:

1 Ker(I − PQ) = R(P ) ∩R(Q).

2 Ker(P −Q) = (R(P ) ∩R(Q))⊕ (Ker(P ) ∩Ker(Q)) .

3 Ker (P (I −Q)) = R(Q)⊕ (Ker(P ) ∩Ker(Q)).

Demostracion:

Recordar que, por la Proposicion 10.2, un operador es proyector sı y solo sı actua

como la identidad en su rango. Ahora bien,

1 Sea y ∈ R(P ) ∩ R(Q). Luego, como P,Q ∈ Q(H), Py = Qy = y con lo cual

PQy = P (Qy) = Py = y. Ası, y ∈ Ker(I−PQ) puesto que (I−PQ)y = ~0. En

consecuencia, R(P ) ∩ R(Q) ⊆ Ker(I − PQ). Por otro lado, supongamos que

x ∈ Ker(I − PQ). Luego, (I − PQ)x = ~0 por lo que x = PQx = Px ∈ R(P ).

De esta manera, como x−Qx ⊥ Qx para cada x ∈ H resulta:

‖x−Qx‖2H = 〈x−Qx, x−Qx〉H = 〈x−Qx, x〉H − 〈x−Qx,Qx〉H

= 〈x−Qx, x〉H = 〈x−Qx,Px〉H = 〈P ∗(x−Qx), x〉H

= 〈P (x−Qx), x〉H = 〈Px− PQx, x〉H = 0.

Ası, x = Qx ∈ R(Q) por lo que x ∈ R(P )∩R(Q). En consecuencia se verifica

que Ker(I−PQ) ⊆ R(P )∩R(Q). De la doble inclusion se deduce la igualdad.

2 Como P,Q ∈ Q(H), por la Proposicion 10.3, es claro que

(R(P ) ∩R(Q)) ∩ (Ker(P ) ∩Ker(Q)) ={~0}

.

Sea z ∈ (R(P ) ∩R(Q))+(Ker(P ) ∩Ker(Q)). Luego, existen y ∈ R(P )∩R(Q)

y x ∈ Ker(P )∩Ker(Q) tales que z = y+x. Entonces se tiene que Px = Qx = ~0

y Py = Qy = y. Ası, z ∈ Ker(P −Q). En efecto:

(P −Q)z = Pz −Qz = P (y + x)−Q(y + x)

= Py + Px−Qy −Qx = Py −Qy = ~0.

94

Proyecciones

De esta manera, (R(P ) ∩R(Q)) + (Ker(P ) ∩Ker(Q)) ⊆ Ker(P − Q). Por

otro lado, sea x ∈ Ker(P −Q). Luego, (P −Q)x = ~0 con lo cual existe w ∈ H

tal que Px = Qx = w. Ası, w ∈ R(P ) ∩ R(Q). Ademas, como P,Q ∈ Q(H),

Pw = Qw = w = Qx = Px por lo que x − w ∈ Ker(P ) ∩ Ker(Q) pues

P (x − w) = Q(x − w) = ~0. Luego, x = w + (x − w) con w ∈ R(P ) ∩ R(Q) y

x− w ∈ Ker(P ) ∩Ker(Q). Por lo tanto,

Ker(P −Q) ⊆ (R(P ) ∩R(Q)) + (Ker(P ) ∩Ker(Q)).

De la doble inclusion se deduce la igualdad buscada.

3 Observar que R(Q) ⊆ Ker (P (I −Q)) pues, dado y ∈ R(Q), Qy = y, por

lo que y ∈ Ker (P (I −Q)) ya que P (I − Q)y = P (y − Qy) = ~0. Asimismo,

Ker(P ) ∩ Ker(Q) ⊆ Ker (P (I −Q)). En efecto, si x ∈ Ker(P ) ∩ Ker(Q)

entonces Px = Qx = ~0. Luego, P (I −Q)x = P (x−Qx) = Px = ~0 con lo cual

x ∈ Ker (P (I −Q)). En consecuencia,

R(Q) + (Ker(P ) ∩Ker(Q)) ⊆ Ker (P (I −Q)) .

Por otro lado, notar que si x ∈ Ker (P (I −Q)) entonces P (x −Qx) = ~0 por

lo que x − Qx ∈ Ker(P ). Ademas, x − Qx ∈ Ker(Q) pues Q ∈ Q(H). Ası,

como x = Qx + (x − Qx) donde Qx ∈ R(Q) y x − Qx ∈ Ker(P ) ∩Ker(Q),

se cumple que Ker (P (I −Q)) ⊆ R(Q) + (Ker(P ) ∩Ker(Q)). De la doble

inclusion se deduce la igualdad buscada. Mas aun, como Q ∈ Q(H), por la

Proposicion 10.3, es evidente que R(Q) ∩ (Ker(P ) ∩Ker(Q)) ={~0}

.

Proposicion 9.2

Sean P,Q ∈ Q(H). Si P −Q ∈ L(H) es inyectivo entonces

Ker(P +Q) = Ker(P ) ∩Ker(Q).

95

Proyecciones

Demostracion:

Sea x ∈ H tal que x ∈ Ker(P ) ∩ Ker(Q). Luego, Px = Qx = ~0 con lo cual

x ∈ Ker(P + Q) pues (P + Q)x = Px + Qx = ~0. De esta manera, se verifica que

Ker(P ) ∩Ker(Q) ⊆ Ker(P +Q). Por otro lado, si x ∈ Ker(P +Q), existe w ∈ H

tal que Px = −Qx = Q(−x) = w con lo cual Pw = w = Qw. Ası, w ∈ Ker(P −Q).

De esta manera, w = ~0 pues P − Q es inyectivo, i.e., Ker(P − Q) ={~0}

. En

consecuencia, Px = Qx = ~0 por lo que x ∈ Ker(P ) ∩ Ker(Q). Por lo tanto,

Ker(P +Q) ⊆ Ker(P ) ∩Ker(Q). De la doble inclusion se deduce la igualdad.

Finalizaremos mostrando una serie de resultados vinculados con proyecciones oblicuas

que siguen el mismo espıritu que los demostrados en la seccion “Extension del Teorema

de Bikchentaev a la aditividad de rangos”.

Teorema 9.2

Sean E ∈ Q(H) y P := PR(E) ∈ P(H). Son equivalentes:

1 R(E − E∗) es un subespacio denso de H.

2 R(E + E∗) es un subespacio denso de H y R(E) ∩R(E∗) ={~0}

.

3 R(E)⊕R(E∗) es un subespacio denso de H

Demostracion:

(1) =⇒ (2) Supongamos que R(E−E∗) es un subespacio denso de H. Luego, por la

Proposicion 10.10, Ker(E−E∗) = Ker(E∗−E) = R(E−E∗)⊥ ={~0}

y, por

el Lema 9.1, Ker(E − E∗) = (R(E) ∩R(E∗))⊕ (Ker(E) ∩Ker(E∗)) ={~0}

con lo cual R(E)∩R(E∗) = Ker(E)∩Ker(E∗) ={~0}

. Como E−E∗ ∈ L(H)

es inyectivo, por la Proposicion 9.2, Ker(E+E∗) = Ker(E)∩Ker(E∗) ={~0}

.

En consecuencia, R(E + E∗) = Ker(E + E∗)⊥ ={~0}⊥

= H. Por lo tanto,

R(E + E∗) es un subespacio denso de H.

(2) =⇒ (3) Supongamos que R(E + E∗) es denso en H y R(E) ∩ R(E∗) ={~0}

.

Ası, H = R(E + E∗) ⊆ R(E) +R(E∗) ⊆ H con lo cual R(E) +R(E∗) = H.

De esta forma, R(E)⊕R(E∗) es un subespacio denso de H.

96

Proyecciones

(3) =⇒ (1) Supongamos que R(E) ⊕ R(E∗) es denso en H. Luego, se tiene que,

R(E) ∩R(E∗) ={~0}

. Y, por la Proposicion 10.9, Ker(E) ∩Ker(E∗) ={~0}

puesto que, por la Proposiciones 10.11 y 10.6, se verifica:

(Ker(E) ∩Ker(E∗))⊥ = Ker(E)⊥ +Ker(E∗)⊥

= R(E∗) +R(E) = R(E∗) +R(E) = H.

Por el Lema 9.1,

Ker(E − E∗) = (R(E) ∩R(E∗))⊕ (Ker(E) ∩Ker(E∗)) ={~0}

.

En consecuencia, R(E − E∗) = Ker(E − E∗)⊥ ={~0}⊥

= H. Por lo tanto,

R(E − E∗) es un subespacio denso de H.

Proposicion 9.3

Sean E ∈ Q(H) y P := PR(E) ∈ P(H). Se verifican:

1 EP = P y PE = E.

2 R(E − P ) ⊥ R(E∗ − P ).

3 R(E − E∗) = R(E − P ) �R(E∗ − P ).

4 Ker(E + E∗) = Ker(E∗) ∩Ker(E − P ).

5 R(E + E∗) = R(E) �R(E∗ − P ).

Demostracion:

1 Dado x ∈ H, por la Proposicion 10.13, Px ∈ R(E). Luego, como E ∈ Q(H),

por la Proposicion 10.2, E(Px) = Px con lo cual EP = P . Por otro lado,

como para cada x ∈ H, Ex ∈ R(E), por la Proposicion 10.13, P (Ex) = Ex

por lo que PE = P .

2 Sean y ∈ R(E − P ) y z ∈ R(E∗ − P ). Luego, existen x,w ∈ H tales que

97

Proyecciones

y = (E − P )x y z = (E∗ − P )w. De esta manera,

〈y, z〉 = 〈(E − P )x, (E∗ − P )w〉

= 〈(E − P )x,E∗w〉 − 〈(E − P )x, Pw〉

= 〈E(E − P )x,w〉 − 〈P ∗(E − P )x,w〉

= 〈E(E − P )x,w〉 − 〈P (E − P )x,w〉

=⟨(E2 − EP )x,w

⟩−⟨(PE − P 2)x,w

⟩= 〈(E − P )x,w〉 − 〈(E − P )x,w〉

= 0.

Por lo tanto, R(E − P ) y R(E∗ − P ) son subespacios ortogonales de H.

3 Dado y ∈ R(E − E∗), existe x ∈ H tal que y = (E − E∗)x. Luego,

y = (E − P )x+ (P − E∗)x = (E − P )x+ (E∗ − P )(−x).

Ası, y ∈ R(E − P ) +R(E∗ − P ) con lo cual

R(E − E∗) ⊆ R(E − P ) +R(E∗ − P ).

Recıprocamente, supongamos que y ∈ R(E −P ) +R(E∗−P ). Luego, existen

x, z ∈ H tales que y = (E − P )x + (E∗ − P )z. Como R(E) ⊕ R(E)⊥ = H,

existen unicos x1, z1 ∈ R(E) y x2, z2 ∈ R(E)⊥ cumpliendo que x = x1 + x2 y

z = z1 + z2. De este modo se verifica que y ∈ R(E − E∗) pues:

y = (E − P )x1 + (E − P )x2 + (E∗ − P )z1 + (E∗ − P )z2

= Ex1 − Px1 + Ex2 − Px2 + E∗z1 − Pz1 + E∗z2 − Pz2

= Ex2 + E∗z1 − z1 = Ex2 + E∗z1 − Ez1

= Ex2 − (E − E∗)z1 = Ex2 − (E − E∗)z1 − E∗x2

= (E − E∗)x2 − (E − E∗)z1

= [E − E∗] (x2 − z1).

Ası, R(E − P ) +R(E∗ − P ) ⊆ R(E − E∗) y, de la doble inclusion, se deduce

la igualdad. Por otro lado, del ıtem 1, es claro que E(I − P ) = E − P y

(E∗− I)P = E∗−P . Luego, por el Teorema de Douglas, R(E−P ) ⊆ R(E) y

98

Proyecciones

R(E∗−P ) ⊆ R(E∗−I). Ademas, como E∗−I ∈ Q(H), por la Proposicion 10.6,

R(E∗−P ) ⊆ R(E)⊥ ya que R(E∗−I) = Ker(E∗) = R(E)⊥. En consecuencia,

R(E − P ) ∩R(E∗ − P ) ⊆ R(E) ∩R(E)⊥ ={~0}

.

De esta manera, como E − P y E∗ − P son subespacios de H resulta que

R(E−P )∩R(E∗−P ) ={~0}

. Mas aun, como R(E−P ) ⊥ R(E∗−P ) resulta

que R(E − E∗) = R(E − P ) �R(E∗ − P ).

4 Como R(E) ⊕ R(E)⊥ = H, dado x ∈ H, existen y son unicos x1 ∈ R(E),

x2 ∈ R(E)⊥

(E + E∗)x = E(x1 + x2) + E∗(x1 + x2)

= E(x1) + E(x2) + E∗(x1) + E∗(x2)

= x1 + E(x2) + E∗(x1) = 2x1 + (−x1 + E∗(x1)) + Ex2

= 2x1 + (E − P )x2 − (P − E∗)x1 = ~0.

Ası, 2x1 + (E − P )x2 = (P −E∗)x1 = ~0 puesto que 2x1 + (E − P )x2 ∈ R(E)

y (P − E∗)x1 ∈ R(E∗ − P ) ⊆ R(E)⊥. Luego,

(P − E∗)(E − P )x2 = 2(P − E∗)x1 + (P − E∗)(E − P )x2

= [P − E∗] (2x1 + (E − P )x2) = ~0.

En consecuencia, Ex2 = (E − P )x2 ∈ R(E − P ) ∩ Ker(E∗ − P ) ={~0}

ya

que Ker(E∗ − P ) = R(E − P )⊥. Ası, si Ex2 = ~0 entonces x1 + E∗(x1) = ~0

por lo que E∗ (x1 + E∗(x1)) = 2E∗(x1) = ~0, i.e., x1 ∈ Ker(E∗) ∩ R(E).

De este modo, x = x2 ∈ R(E)⊥ con Ex2 = (E − P )x2 = ~0 con lo cual

x ∈ R(E)⊥ ∩ Ker(E − P ) = Ker(E∗) ∩ Ker(E − P ). Esto muestra que

Ker(E + E∗) ⊆ Ker(E∗) ∩ Ker(E − P ). Recıprocamente, supongamos que

x ∈ Ker(E∗) ∩ Ker(E − P ) = R(E)⊥ ∩ Ker(E − P ). Entonces E∗x = ~0 y,

como x ∈ R(E)⊥, Px = ~0 con lo cual Ex = (E − P )x = ~0. Por consiguiente,

(E + E∗)x = Ex + E∗x = ~0, es decir que x ∈ Ker(E + E∗). Esto ultimo

muestra que Ker(E∗)∩Ker(E−P ) ⊆ Ker(E+E∗). De la doble inclusion se

deduce la igualdad.

99

Proyecciones

5 En primer lugar, observar que, dado y ∈ R(E), Ey = Py = y con lo cual

(E − P )y = ~0, i.e., y ∈ Ker(E − P ). Ası, R(E) ⊆ Ker(E − P ) por lo que

R(E) y Ker(E − P ) son subespacios cerrados ortogonales de H. Ası, por la

Proposicion 8.2, R(E) +R(E∗ − P ) v H. De este modo, la igualdad buscada

es consecuencia directa del ıtem 4 y de la Proposicion 10.11. En efecto:

R(E + E∗) = Ker(E + E∗)⊥

= (Ker(E∗) ∩Ker(E − P ))⊥

= Ker(E∗)⊥ +Ker(E − P )⊥

= R(E) +R(E∗ − P )

= R(E) +R(E∗ − P )

= R(E) +R(E∗ − P ).

Ademas, como R(E) ∩ R(E∗ − P ) ⊆ Ker(E − P ) ∩Ker(E − P )⊥ ={~0}

, se

verifica que R(E) ∩R(E∗ − P ) ={~0}

pues se trata de la interseccion de dos

subespacios de H. En consecuencia, R(E + E∗) = R(E) �R(E∗ − P ).

Teorema 9.3


1 R(E − E∗) es un subespacio cerrado de H.

2 R(E − P ) es un subespacio cerrado de H.

3 R(E) +R(E∗) es un subespacio cerrado de H.

4 R(EE∗ + E∗E) es un subespacio cerrado de H.

5 R(E + E∗) es un subespacio cerrado de H.

Demostracion:

(1)⇐⇒ (2) Supongamos que R(E − E∗) es un subespacio cerrado de H. Luego,

como por la Proposicion 9.3, R(E −E∗) = R(E −P )�R(E∗−P ), se deduce

100

Proyecciones

del Teorema 7.4 que R(E−P ) es un subespacio cerrado de H. Recıprocamen-

te, suponiendo que R(E − P ) v H, por el Corolario 10.3, R(E∗ − P ) v H.

Luego, dado que, por la Proposicion 9.3, R(E − P ) y R(E∗ − P ) son subes-

pacios ortogonales, por el Lema 3.2, c0 (R(E − P ), R(E∗ − P )) = 0 < 1. En

consecuencia, por el Teorema 3.1, R(E − E∗) = R(E − P ) � R(E∗ − P ) es

cerrado.

(2)⇐⇒ (3) Observar que, por la Proposicion 9.3, E(I − P ) = E − EP = E − P .

Ası, R(E − P ) = R (E(I − P )). Luego, dado que I − P ∈ L(H) es proyector,

por el Teorema 3.3 y la Proposicion 10.6,

R(E − P ) v H ⇐⇒ Ker(I − P ) +R(E∗) v H

⇐⇒ R(P ) +R(E∗) v H

⇐⇒ R(E) +R(E∗) v H.

(3)⇐⇒ (4) Es claro pues, por el Corolario 7.3, R(E) +R(E∗) = R(EE∗ + E∗E).

(3)⇐⇒ (5) Supongamos que R(E) +R(E∗) es cerrado. Luego, por la equivalencia

entre los ıtems 1 y 3, R(E − E∗) v H y, como R (E − E∗)⊥ = Ker (E − E∗)

resulta que H = R (E − E∗) ⊕ Ker (E − E∗). Ası, por el Teorema 3.3, el

operador (E − E∗)2 ∈ L(H) tiene rango cerrado. En consecuencia, por la

Proposicion 8.3, se verifica:

R(E − E∗) = R(E − E∗) = Ker ((E − E∗)∗)⊥ = Ker (E − E∗)⊥

= Ker ((E − E∗)∗(E − E∗))⊥ = R ((E − E∗)∗(E − E∗))

= R ((E − E∗)2) = R((E − E∗)2

)Ahora bien, como E,E∗ ∈ Q(H), (E − E∗)2 = (E + E∗) · (2I − E − E∗).

Luego, por el Teorema de Douglas, R(

(E − E∗)2)⊆ R (E + E∗) con lo cual

se cumple que R (E − E∗) ⊆ R (E + E∗). Ası, por el Corolario 6.1, se tiene

que, R (E + E∗) = R (E) + R (E∗) es cerrado. Recıprocamente, supongamos

que R (E + E∗) v H. Ası, por la Proposicion 9.3,

R(E) �R(E∗ − P ) = R(E + E∗) = R(E + E∗) ⊆ R(E) +R(E∗).

101

Proyecciones

Ademas, dado y ∈ R(E∗), existe x = x1 +x2 ∈ H con x1 ∈ R(E), x2 ∈ R(E)⊥

tal que y = E∗x = E∗x1+E∗x2 = E∗x1 = x1+(E∗x1−x1) = Ex1+(E∗−P )x1

con lo cual R(E∗) ⊆ R(E)+R(E∗−P ) ⊆ R(E)⊕R(E∗ − P ) = R(E∗ − E). En

consecuencia, R(E)+R(E∗) ⊆ R(E)⊕R(E∗ − P ) = R(E∗ − E) = R(E+E∗).

Por lo tanto, R(E) +R(E∗) = R(E + E∗) es cerrado.

Corolario 9.2

Sean E ∈ Q(H) y P := PR(E) ∈ P(H). Si R(E − E∗) es un subespacio cerrado de

H entonces R(E) +R(E∗) = R(EE∗ + E∗E) = R(E + E∗).

Demostracion:

Supongamos que R(E−E∗) es un subespacio cerrado de H. Luego, por la prueba de

(3)⇐⇒ (5) del Teorema 9.3, R(E)+R(E∗) = R(E+E∗). Mas aun, por el Corolario

7.3, R(E)+R(E∗) = R(EE∗+E∗E) con lo cual se deducen las igualdades buscadas.

Teorema 9.4


1 R(E − E∗) = H.

2 R(E + E∗) = H y R(E) ∩R(E∗) ={~0}

.

3 R(E)⊕R(E∗) = H.

Demostracion:

(1) =⇒ (2) Supongamos que R(E−E∗) = H. Luego, R(E−E∗) es cerrado y denso

en H. Por el Teorema 9.2, R(E) ∩ R(E∗) ={~0}

. Ademas, por el Teorema

9.3 y el Corolario 9.2, R(E) +R(E∗) = R(E +E∗). Ası, por el Corolario 6.1,

H ⊆ R(E − E∗) ⊆ R(E + E∗) ⊆ H con lo cual R(E + E∗) = H.

(2) =⇒ (3) Supongamos que R(E+E∗) = H y R(E)∩R(E∗) ={~0}

. Luego, como

102

Proyecciones

R(E + E∗) es cerrado, por el Teorema 9.3 y el Corolario 9.2 se verifica que

R(E) +R(E∗) = R(E + E∗) = H. Ası, R(E)⊕R(E∗) = H.

(3) =⇒ (1) Supongamos que R(E) ⊕ R(E∗) = H. Luego, por los Teoremas 9.2 y

9.3, se cumple que R(E − E∗) es un subespacio cerrado y denso en H pues

R(E) + R(E∗) tambien posee esas caracterısticas. Por lo tanto, se concluye

que, R(E − E∗) = R(E − E∗) = H.

103

Proyecciones

104

Apendice

10 Apendice

10.1 Proyecciones Oblicuas y Ortogonales

Desde los inicios de la teorıa de operadores y el analisis matricial, las proyecciones han

cumplido un papel principal en la solucion de problemas de aproximacion y optimizacion.

Recientemente, las proyecciones han sido utilizadas como una herramienta central en las

mas variadas areas de la matematica, la estadıstica y la ingenierıa. Sus diversas aplica-

ciones, y solo por mencionar algunas, en procesamiento de senales, teorıa de muestreo,

wavelets, marcos, teorıa de la informacion, metodos iterativos en algebra lineal numerica,

regresion lineal, ecuaciones integrales, entre otras areas de la matematica, mantiene el

interes en esta clase de operadores.

En esta seccion se estudiaran algunas de las propiedades que cumplen las proyec-

ciones en el algebra de operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert H. Ası,

dada una proyeccion P , las mismas permitiran pensarla como un operador idempotente

definido sobre H, que proyecta los vectores de H sobre su rango R(P ) a lo largo de su

nucleo Ker(P ), de acuerdo con la descomposicion en suma directa H = Ker(P )⊕R(P ).

Mas aun, en base a esto, daremos una clasificacion posible de tales operadores en L(H)

Comenzaremos esta seccion con algunos resultados elementales de algebra lineal.

10.1.1 Propiedades basicas

Definicion:

Sea V un K-espacio vectorial y S, T subespacios de V. Se dice que V es suma

directa de S y T , y se nota V = S ⊕ T , si V = S + T y S ∩ T ={~0}

.

Proposicion 10.1

Sea V un K-espacio vectorial y S, T subespacios de V tales que V = S⊕T . Entonces,

para cada v ∈ V, existen unicos x ∈ S , y ∈ T tales que v = x+ y.

105

Apendice

Demostracion:

Existencia: Como V = S + T , para cada v ∈ V, existen x ∈ S , y ∈ T tales que

v = x+ y.

Unicidad: Supongamos que v = x + y y v = x′ + y′ con x, x′ ∈ S , y, y′ ∈ T .

Entonces x−x′ = y− y′ y x−x′ ∈ S , y− y′ ∈ T . Ası, x−x′ ∈ S ∩T ={~0}

.

En consecuencia, x− x′ = y − y′ = ~0, de donde x = x′, y = y′.

Definicion:

Sea V un K-espacio vectorial. Diremos que una transformacion lineal T : V → V es

un proyector si T ◦ T = T .

Proposicion 10.2

Sea V un K-espacio vectorial, y sea T : V → V una transformacion lineal. Entonces

T es un proyector si y solo si T (x) = x para cada x ∈ R(T ).

Demostracion:

(=⇒) Supongamos que T : V → V es un proyector. Sea x ∈ R(T ). Entonces existe

v ∈ V tal que x = T (v). Luego, T (x) = T (T (v)) = (T ◦ T ) (v) = T (v) = x.

Como esto vale para cada x ∈ R(T ), vemos que T = I∣∣R(T ) .

(⇐=) Sea v ∈ V. Entonces T (v) ∈ R(T ) y, por hipotesis, T (T (v)) = T (v), es decir

(T ◦ T ) (v) = T (v). Como esto vale para cada v ∈ V, resulta que T ◦ T = T .

Proposicion 10.3

Sea V un K-espacio vectorial, y sea T : V → V un proyector. Ası, V = Ker(T )⊕R(T ).

106

Apendice

Demostracion:

Es claro que{~0}⊆ Ker(T )∩R(T ) puesto que al ser T proyector, T (~0) = ~0. Por otro

lado, sea x ∈ Ker(T )∩R(T ). Como x ∈ R(T ), T (x) = x pues al ser T proyector, por

la Proposicion 10.2, actua como la identidad en su rango. Pero x ∈ Ker(T ), de donde

T (x) = ~0. Luego, x = ~0. Esto prueba que Ker(T )∩R(T ) ⊆{~0}

. Consecuentemente,

de la doble inclusion, se deduce la igualdad Ker(T ) ∩R(T ) ={~0}

.

Ahora bien, comoKer(T ), R(T ) son subespacios de V,Ker(T )+R(T ) ⊆ V. Ademas,

dado v ∈ V, podemos escribirlo como v = (v − T (v))+T (v) donde v−T (v) ∈ Ker(T )

y T (v) ∈ R(T ) mostrando que V ⊆ Ker(T ) + R(T ). Por lo tanto, deducimos que

Ker(T ) +R(T ) = V.

Ası, V = Ker(T )⊕R(T ) pues Ker(T ) ∩R(T ) ={~0}

y Ker(T ) +R(T ) = V.

Proposicion 10.4

Sea V un K-espacio vectorial y S, T subespacios de V tales que V = S⊕T . Entonces

existe un unico proyector T : V → V tal que R(T ) = S y Ker(T ) = T .

Demostracion:

Como V = S ⊕ T , para cada x ∈ V, por la Proposicion 10.1, existen unicos s ∈ S,

t ∈ T tales que x = s+t. Entonces, si T : V → V es un proyector tal que Ker(T ) = T

y R(T ) = S, se tiene que

T (x) = T (s+ t) = T (s) + T (t) = s+~0 = s

donde la penultima igualdad es consecuencia de la Proposicion 10.2 pues T es pro-

yector y s ∈ R(T ). Consideremos entonces la funcion T : V → V definida por:

T (x) = s si x = s+ t con s ∈ S, t ∈ T .

Observemos que T : V → V es una transformacion lineal. En efecto:

Sean x, x′ ∈ V tales que x = s+ t, x′ = s′ + t′ con s, s′ ∈ S, t, t′ ∈ T . Notemos que

T (x) = s y T (x′) = s′. Sea λ ∈ K. Luego,

λx+ x′ = λ (s+ t) +(s′ + t′

)=(λs+ s′

)+(λt+ t′

)

107

Apendice

con λs + s′ ∈ S y λt + t′ ∈ T ya que S, T son subespacios de V. Ası, para todo

x, x′ ∈ V y para todo λ ∈ R resulta que T (λx + x′) = λs + s′ = λT (x) + T (x′) lo

que prueba la linealidad de T .

Ademas, dado x ∈ V, existen unicos s ∈ S, t ∈ T tales que x = s + t con lo cual

T (x) = T (s+ t) = s y (T ◦ T )(x) = T (T (x)) = T (s) = T (s+ ~0) = s = T (x) lo que

muestra que T : V → V es un proyector.

Por otro lado, por definicion, es claro que R(T ) ⊆ S. Tambien, S ⊆ R(T ) pues dado

s ∈ S, como s = s + ~0, T (s) = T (s + ~0) = s con lo cual s ∈ R(T ). Esto demuestra

que R(T ) = S.

Ahora bien, si x ∈ Ker(T ) y x = s + t con s ∈ S, t ∈ T , entonces ~0 = T (x) = s,

mostrando que x = t ∈ T y ası, Ker(T ) ⊆ T . Por otra parte, si t ∈ T entonces

t = ~0 + t con ~0 ∈ S, t ∈ T y ası, T (t) = ~0 lo que prueba que T ⊆ Ker(T ). De esta

manera, Ker(T ) = T

Luego, la funcion T : V → V que hemos definido es un proyector con R(T ) = S

y Ker(T ) = T . Mas aun, la unicidad de la descomposicion vista en la Proposicion

10.1 nos asegura que la funcion hallada es la unica en tales condiciones.

Definicion:

Sea V un K-espacio vectorial y S, T subespacios de V tales que V = S⊕T . Llamamos

proyeccion sobre S paralela a T al unico proyector PS//T : V → V tal que

R(PS//T

)= S y Ker

(PS//T

)= T .

Es relevante determinar bajo que condiciones podremos estudiar las proyecciones en

el algebra de operadores lineales acotados sobre un espacio de Hilbert H. Para eso, las

representaremos como sigue:

Notacion

Sea H un espacio de Hilbert. Denotaremos P(H) al conjunto de proyecciones acotadas

en H. Es decir, P(H) ={P ∈ L(H) : P 2 = P

}.

Ademas, los resultados vistos anteriormente se pueden extender a espacios de Hilbert

en general dado que solo hacen uso de las propiedades algebraicas que les dota su estruc-

tura de K-espacio vectorial.

108

Apendice

De este modo, lo visto en las Proposiciones 10.2, 10.3 y 10.4, se despliega natural-

mente de la siguiente manera:

Proposicion 10.5

Sean H un espacio de Hilbert y P ∈ P(H). Entonces:

1 P actua como la identidad en su rango.

2 H = Ker(P )⊕R(P ).

3 P = PR(P )//Ker(P ).

Otras propiedades utiles de las proyecciones se agrupan en el siguiente resultado:

Proposicion 10.6

Sean P ∈ P(H) y Q := I − P ∈ Hom(H). Se verifican:

1 El operador Q := I − P ∈ P(H).

2 PQ = QP = O.

3 R(P ) = Ker(Q) v H y R(Q) = Ker(P ) v H.

Demostracion:

1 Dado que P es un proyector se tiene que:

Q2 = (I − P )(I − P ) = I2 − 2P + P 2 = I − 2P + P = I − P = Q.

Ası, Q es un proyector. Mas aun, como P ∈ L(H), Q ∈ L(H) puesto que:

‖Q‖L(H) = ‖I − P‖L(H) ≤ ‖I‖L(H) + ‖P‖L(H) = 1 + ‖P‖L(H) < +∞.

De esta manera, Q ∈ P(H).

2 Basta notar que P 2 = P puesto que:

PQ = P (I − P ) = P − P 2 = (I − P )P = QP = O.

3 Como P actua como la identidad en su rango, dado y ∈ R(P ) resulta que

Py = y. En consecuencia, Qy = (I − P )y = y − Py = ~0 con lo cual

109

Apendice

y ∈ Ker(Q). Ası, R(P ) ⊆ Ker(Q). Ademas, dado x ∈ Ker(Q) se tiene que

Qx = (I−P )x = x−Px = ~0. Luego x ∈ R(P ) pues Px = x. En consecuencia,

Ker(Q) ⊆ R(P ). De la doble inclusion se deduce la igualdad buscada. Asimis-

mo, como Q ∈ L(H) se verifica que Ker(Q) = Q−1({~0})

es un subespacio

cerrado de H, es decir, Ker(Q) = R(P ) v H.

Por otro lado, notemos que R(Q) ⊆ Ker(P ) pues, dado y ∈ R(Q), existe

x ∈ H tal que y = Qx con lo cual y ∈ Ker(P ) ya que Py = PQx = ~0. Analo-

gamente, dado x ∈ Ker(P ) se tiene que Px = ~0 por lo que x ∈ R(Q) pues

Qx = x. Ası, Ker(P ) ⊆ R(Q). De la doble inclusion se deduce la igualdad.

Tambien, como P ∈ L(H) resulta que Ker(P ) = P−1({~0})

es un subespacio

cerrado de H, es decir, Ker(P ) = R(Q) v H.

Segun mencionamos previamente, nos interesa determinar bajo que condiciones podre-

mos estudiar proyecciones en el algebra de operadores lineales acotados sobre un espacio

de Hilbert H. Como hemos visto, si S y T son subespacios de H tales que H = S ⊕T , te-

nemos bien definida la proyeccion sobre S paralela a T y es la unica transformacion lineal

idempotente PS//T : H → H tal que R(PS//T

)= S y Ker

(PS//T

)= T . Analicemos, por

ejemplo, cuando tal descomposicion produce un proyector acotado, es decir, las hipotesis

necesarias para que PS//T ∈ L(H).

Proposicion 10.7

Sea H un espacio de Hilbert y S, T v E subespacios de H tales que H = S ⊕ T .

Entonces PS//T ∈ P(H).

Demostracion:

La prueba de la Proposicion 10.4 nos asegura que PS//T es un proyector.

Sea (z, x) ∈ Gr(PS//T ). Luego, existe una sucesion {(zn, xn)}n∈N ⊆ Gr(PS//T ) tal

que (zn, xn)‖.‖H×H−−−−−→n→+∞

(z, x). Ası, zn‖.‖H−−−−−→n→+∞

z y xn‖.‖H−−−−−→n→+∞

x. Como zn ∈ H = S ⊕T

y PS//T (zn) = xn entonces existe {yn}n∈N tal que zn = PS//T (zn) + yn = xn + yn.

Ahora bien, dado que {xn}n∈N es una sucesion en S tal que xn‖.‖H−−−−−→n→+∞

x resulta

que x ∈ S = S. Ademas, {yn}n∈N = {zn − xn}n∈N es una sucesion en T tal que

110

Apendice

yn‖.‖H−−−−−→n→+∞

y con lo cual y ∈ T = T . Pero zn−xn‖.‖H−−−−−→n→+∞

z−x. Ası, por unicidad del

lımite, y = z − x, es decir, z = x+ y con x ∈ S, y ∈ T . Por lo tanto, PS//T (z) = x.

De esta manera, (z, x) = (z, PS//T (z)) ∈ Gr(PS//T ). Esto ultimo muestra que

Gr(PS//T ) ⊆ Gr(PS//T ) y por ende, Gr(PS//T ) = Gr(PS//T ). De esta manera,

como PS//T ∈ Hom(H) y Gr(PS//T ) v H×H, por el Teorema del Grafico Cerrado,

PS//T ∈ L(H).

Finalmente, PS//T ∈ P(H) puesto que se trata de un proyector acotado sobre H.

10.1.2 Ortogonalidad en espacios de Hilbert

Como hemos visto, cada vez que podamos descomponer a un espacio de Hilbert H

como suma directa de dos subespacios cerrados, la proyeccion asociada a esa descomposicon

resulta ser acotada. A continuacion, estudiaremos el caso en el cual los subespacios, ademas

de cerrados, sean ortogonales.

Para eso, comenzaremos con algunas definiciones y resultados clasicos de ortogonalidad

en espacios de Hilbert.

Definicion:

Sea H un espacio de Hilbert.

1 Diremos que x, y ∈ H son ortogonales y lo escribimos x ⊥ y si 〈x, y〉 = 0.

2 Dado A ⊆ H, llamaremos ortogonal de A y lo simbolizamos A⊥ al conjunto

formado por los elementos de H que son ortogonales a cualquier elemento de

A, es decir A⊥ := {y ∈ H : x ⊥ y ∀ x ∈ A}.

3 Diremos que A,B ⊆ H son ortogonales y lo denotamos A ⊥ B si B ⊆ A⊥.

!

Observacion:

Sean H un espacio de Hilbert y A,B ⊆ H. Luego, si A ⊆ B entonces

B⊥ ⊆ A⊥. En efecto, dado x ∈ B⊥ se tiene que 〈x, b〉 = 0 ∀b ∈ B,

pero como A ⊆ B, en particular, 〈x, a〉 = 0 ∀a ∈ A, lo que nos

dice que x ∈ A⊥.

111

Apendice

Proposicion 10.8

Sea H un espacio de Hilbert y sea A ⊆ H un conjunto cualquiera. Entonces:

1 A⊥ es un subespacio cerrado de H.

2 Si S = span {A} entonces A⊥ = S⊥ =(S)⊥

.

Demostracion:

Sea H un espacio de Hilbert y sea A ⊆ H un conjunto cualquiera.

1 Definimos A⊥ := {x ∈ H : 〈x, a〉 = 0 ∀a ∈ A}. En primer lugar, notemos

que ~0 ∈ A⊥ puesto que⟨~0, a⟩

= 0 ·⟨~0, a⟩

= 0 para todo a ∈ A. Ademas,

dados x, y ∈ A⊥, λ ∈ K se tiene que x+ λy ∈ A⊥. En efecto:

〈x+ λy, a〉 = 〈x, a〉+ 〈λy, a〉 = 〈x, a〉+ λ 〈y, a〉 = 0 + 0 = 0 ∀a ∈ A.

De esta manera, A⊥ es un subespacio deH. Por otro lado, dado x ∈ A⊥, existe

una sucesion {xn}n∈N ⊆ A⊥ tal que xn‖.‖H−−−−−→n→+∞

x. Sea z ∈ A. Consideremos

el funcional Φz : H → K definido por Φz(x) = 〈x, z〉. Notemos que Φz ∈ H∗

puesto que ‖Φz‖L(H,K) < +∞. En efecto:

‖Φz‖L(H,K) = sup‖x‖H=1

|Φz(x)| = sup‖x‖H=1

|〈x, z〉| ≤ sup‖x‖H=1

‖x‖H ‖z‖H = ‖z‖H < +∞.

Luego, Φz(xn)|.|−−−−−→

n→+∞Φz(x). Pero Φz(xn) = 〈xn, z〉 = 0 ∀n ∈ N ya que

z ∈ A. Ası, {Φz(xn)}n∈N no es otra sucesion que la nula. Luego, por unicidad

del lımite, Φz(x) = 0 con lo cual 〈x, z〉 = 0 ∀z ∈ A. En consecuencia,

x ∈ A⊥. Esto prueba que A⊥ ⊆ A⊥. Como ademas A⊥ ⊆ A⊥, se deduce la

igualdad. Por lo tanto, A⊥ es un subespacio cerrado de H.

2 Sea S = span {A} =

{∑a∈A

λa · a : a ∈ A

}.Como A ⊆ S ⊆ S resulta que

(S)⊥ ⊆ S⊥ ⊆ A⊥.

Ahora bien, dados x ∈ A⊥, z ∈ S se tiene que z =∑a∈A

λa · a y ademas,

〈x, a〉 = 0 ∀a ∈ A. Ası, 〈x, z〉 =

⟨x,∑a∈A

λa · a

⟩=∑a∈A

λa · 〈x, a〉 = 0. Luego,

como 〈x, z〉 = 0 ∀z ∈ S resulta que x ∈ S⊥. Esto muestra que A⊥ ⊆ S⊥.

Por otro lado, sean x ∈ S⊥, y ∈ S. Entonces 〈x, s〉 = 0 ∀s ∈ S y

112

Apendice

ademas, existe una sucesion {yn}n∈N ⊆ S tal que yn‖.‖H−−−−−→n→+∞

y. Ası, dado

x ∈ S⊥, consideremos Γx ∈ H∗ dado por Γx(z) = 〈x, z〉. De esta manera,

Γx(yn)|.|−−−−−→

n→+∞Γx(y). Pero Γx(yn) = 〈x, yn〉 = 0 ∀n ∈ N ya que x ∈ S⊥.

En consecuencia, {Γx(yn)}n∈N es la sucesion nula y, por unicidad del lımite,

Γx(y) = 〈x, y〉 = 0. Luego, 〈x, y〉 = 0 ∀y ∈ S con lo cual, x ∈ (S)⊥. Por lo

tanto, S⊥ ⊆ (S)⊥.

Finalmente, A⊥ ⊆ S⊥ ⊆ (S)⊥ con lo que se deduce la igualdad buscada.

!

Observacion:

Sea H un Espacio de Hilbert. Es claro que{~0}⊥⊆ H. Mas aun,

H ⊆{~0}⊥

puesto que dado x ∈ H,⟨x,~0⟩

= 0 ∀x ∈ H con lo cual

x ∈{~0}⊥

. En consecuencia se deduce que H ={~0}⊥

.

!

Observacion:

Sea H un Espacio de Hilbert. Luego,{~0}⊆ H⊥ ya que si z ∈

{~0}

entonces 〈z, x〉 = 0 ∀x ∈ H y de este modo, z ∈ H⊥. Ademas, si

x ∈ H⊥, 〈x, h〉 = 0 ∀h ∈ H. En particular, ‖x‖2H = 〈x, x〉 = 0 con

lo que x = ~0. Luego, H⊥ ⊆{~0}

. De la doble inclusion, se deduce

que H⊥ ={~0}

.

Esto sera de ayuda para probar los siguientes resultados.

Proposicion 10.9

Dado un Espacio de Hilbert H, sean A ⊆ H y S un subespacio de H. Se verifican:

1(S⊥)⊥

= S.

2(A⊥)⊥

= span {A}.

113

Apendice

Demostracion:

1 Sea S un subespacio de H.

Si S ={~0}

entonces(S⊥)⊥

=

({~0}⊥)⊥

= H⊥ ={~0}

= S = S. Ademas,

por Corolario 10.1, el resultado es valido en el caso en que S v H es un

subespacio no nulo de H. Por ultimo, sea S un subespacio cualquiera de H.

Como S ⊆ S entonces(S)⊥ ⊆ S⊥ con lo cual

(S⊥)⊥ ⊆ ((S)⊥)⊥ = S pues S

es un subespacio cerrado de H. Por otro lado, dado x ∈ S, existe una sucesion

{xn}n∈N ⊆ S tal que xn‖.‖H−−−−−→n→+∞

x. Dado y ∈ S⊥, sea Φy ∈ L(H,K) definido

por Φy(z) = 〈z, y〉. De esta manera resulta que Φy(xn)|.|−−−−−→

n→+∞Φy(x) pero

Φy(xn) = 〈xn, y〉 = 0 ∀n ∈ N ya que y ∈ S⊥. Luego, {Φy(xn)}n∈N no es otra

sucesion que la nula. Ası, por unicidad del lımite, Φy(x) = 0 mostrando que

〈x, y〉 = 0 ∀y ∈ S⊥. En consecuencia, x ∈(S⊥)⊥

con lo cual S ⊆(S⊥)⊥

.

De la doble inclusion se deduce la igualdad buscada.

2 Basta usar (1) notando que A⊥ =(span {A}

)⊥y que ademas span {A} es

un subespacio cerrado de H.

Proposicion 10.10

Sea H un espacio de Hilbert. Sea S ⊆ H un subespacio de H. Entonces S es denso

en H si y solo si S⊥ ={~0}

.

Demostracion:

(⇐=) Por la Proposicion 10.9 resulta que S =(S⊥)⊥

={~0}⊥

= H con lo que S

es denso en H.

(=⇒) Usando que S⊥ es un subespacio cerrado de H y la Proposicion 10.9 resulta

que:

S⊥ = S⊥ =

((S⊥)⊥)⊥

= S⊥ = H⊥ ={~0}

pues S es denso en H.

114

Apendice

Proposicion 10.11

Sean S y T subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H. Se verifican:

1 (S + T )⊥ = S⊥ ∩ T ⊥.

2 (S ∩ T )⊥ = S⊥ + T ⊥.

Demostracion:

1 Sea z ∈ S⊥ ∩ T ⊥. Luego, 〈x, z〉 = 〈y, z〉 = 0 ∀ x ∈ S, ∀ y ∈ T . Ası:

〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 = 0 + 0 = 0 ∀ x+ y ∈ S + T .

En consecuencia, z ∈ (S+T )⊥. De esta manera, S⊥∩T ⊥ ⊆ (S+T )⊥. Por otro

lado, supongamos que z ∈ (S + T )⊥. Luego, 〈x, z〉 = 0 para cada x ∈ S + T .

Ahora bien, para cada s ∈ S ⊆ S+T , 〈s, z〉 = 0 con lo cual z ∈ S⊥. Ademas,

z ∈ T ⊥ ya que para cada t ∈ T ⊆ S + T , 〈t, z〉 = 0. Luego, z ∈ S⊥ ∩ T ⊥.

Esto muestra que (S + T )⊥ ⊆ S⊥ ∩ T ⊥. De la doble inclusion se deduce la

igualdad.

2 Como S y T son subespacios cerrados de H resulta que S⊥⊥ = S y T ⊥⊥ = T .

Luego, por el ıtem anterior:

S ∩ T = S⊥⊥ ∩ T ⊥⊥ =(S⊥)⊥∩(T ⊥)⊥

=(S⊥ + T ⊥

)⊥.

De esta manera, por la Proposicion 10.9 resulta que:

(S ∩ T )⊥ =(S⊥ + T ⊥

)⊥⊥= span {S⊥ + T ⊥} = S⊥ + T ⊥.

Continuaremos con un resultado bien conocido en la literatura de espacios de Hilbert

donde es esencial la completitud de los mismos.

Teorema 10.1Sea H un espacio de Hilbert. Sea C ⊆ H convexo, cerrado y no vacıo. Dado x0 ∈ H,

existe un unico c0 ∈ C tal que d(x0, C) = ‖x0 − c0‖H, es decir, que minimiza la

distancia del conjunto convexo al punto.

115

Apendice

Demostracion:

Existencia: Supongamos que xo = ~0. Sea d := d(~0, C) = ınfc∈C‖c‖H. Ası, ∀ c ∈ C,

d ≤ ‖c‖H y existe una sucesion {cn}n∈N ⊆ C tal que ‖cn‖H|.|−−−−−→

n→+∞d. Ahora

bien, dados n,m ∈ N, sean cn, cm ∈ C. Por la regla del paralelogramo tenemos

que

‖cn − cm‖2H = 2 ·(‖cn‖2H + ‖cm‖2H

)− ‖cn + cm‖2H .

Dado que cn, cm ∈ C, cn+cm2 ∈ C pues C es conexo. Luego, 2d ≤ ‖cn − cm‖H

con lo cual −‖cn − cm‖2H ≤ −4d2. Ahora bien, ‖cn‖H|.|−−−−−→

n→+∞d entonces

‖cn‖2H|.|−−−−−→

n→+∞d2. Ası, dado ε2/4 > 0, existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0

entonces∣∣∣‖cn‖2H − d2∣∣∣ < ε2/4. De esta manera, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal

que si n,m ≥ n0 entonces:

‖cn − cm‖2H = 2 ·(‖cn‖2H + ‖cm‖2H

)− ‖cn + cm‖2H ≤ 4 ·

(d2 +

ε2

4

)− 4d2 = ε2

obteniendose que ‖cn − cm‖H < ε. Esto prueba que {cn}n∈N es una sucesion de

Cauchy. Ademas, por la completitud de H, existe c0 ∈ H tal que cn‖.‖H−−−−−→n→+∞

c0.

Luego, c0 ∈ C = C. Pero como ‖cn‖H|.|−−−−−→

n→+∞‖c0‖H, por la unicidad del lımite

se tiene que d = ‖c0‖H. Por lo tanto, existe c0 ∈ C tal que ‖c0‖H = d = d(~0, C).

Unicidad: Supongamos que existe b0 ∈ C tal que ‖b0‖H = d. Entonces

‖b0 − c0‖2H ≤ 0 pues:

‖b0 + c0‖2H ≥ 4d2 = 2 ‖b0‖2H + 2 ‖c0‖2H = ‖b0 + c0‖2H + ‖b0 − c0‖2H .

En consecuencia ‖b0 − c0‖2H = 0 con lo cual b0 = c0. Vemos entonces que si

x0 = ~0 ∈ H, existe un unico c0 ∈ C tal que d(x0, C) = ‖c0‖H.

Supongamos ahora que x0 ∈ H, x0 6= ~0. Dado C ⊆ H convexo, cerrado y no

vacıo, consideremos el conjunto C − x0 := {c− x0 ∈ H : c ∈ C} que conserva

las mismas propiedades. Luego, existe un unico c′0 ∈ C − x0 cumpliendo que

d(~0, C−x0) = ‖c′0‖H. De esta manera, existe un unico c0 ∈ C tal que c′0 = c0−x0con lo cual:

d(x0, C) = ınfc∈C‖c− x0‖H = ınf

c′∈C−x0

‖c′‖H = d(~0, C − x0)

= ‖c′0‖H = ‖c0 − x0‖H

= ‖x0 − c0‖H .

Finalmente, dados C ⊆ H convexo, cerrado y no vacıo y x0 ∈ H, existe un

unico c0 ∈ C tal que d(x0, C) = ‖x0 − c0‖H.

116

Apendice

El teorema anterior, como veremos en el proximo resultado, es particuarmente util

cuando el rol de conjunto convexo, cerrado y no vacıo lo cumple un subespacio cerrado de

un espacio de Hilbert.

Proposicion 10.12

Sea S v H un C−subespacio de H. Dado h ∈ H, siempre existe un unico s0 ∈ S tal

que d(h,S) = d(h, s0) = ‖h− s0‖H, y esta caracterizado por ser el unico vector tal

que s0 − h ⊥ S.

Demostracion:

Como S v H es un subespacio de H, es claro que S es cerrado, convexo y no vacıo.

Luego, por el Teorema 10.1, dado h ∈ H, siempre existe un unico s0 ∈ S tal que

d(h,S) = d(h, s0) = ‖h− s0‖H. Mas aun, dicho s0 ∈ S esta caracterizado por ser el

unico vector tal que s0 − h ⊥ S. En efecto:

(=⇒) Sea s0 ∈ S tal que d(h,S) = ‖h− s0‖H. Dados s ∈ S, λ ∈ K resulta que

s0 + λs ∈ S con lo cual ‖h− s0‖H = d(h,S) ≤ ‖h− (s0 + λs)‖H. Ası:

0 ≤ ‖h− (s0 + λs)‖2H − ‖h− s0‖2H

= ‖(h− s0)− λs)‖2H − ‖h− s0‖2H

= ‖h− s0‖2H − 2Re (〈h− s0, λs〉) + |λ|2 ‖s‖2H − ‖h− s0‖2H

= −2λRe (〈h− s0, s〉) + λ2 ‖s‖2H .

Sean a = ‖s‖2H, b = −2Re(〈h− s0, s〉) y p(x) = ax2 + bx. Notemos que

p(x) ∈ R [x], gr(p) = 2 y p(x) ≥ 0. En consecuencia, p(−b2a

)= −b2

4a ≥ 0 con

lo cual debe ser b = 0. Luego, Re(〈h− s0, s〉) = 0 ∀ s ∈ S. Ahora bien, para

algun θ ∈ [0, 2π) se tiene que:

〈h− s0, s〉 = |〈h− s0〉| · (cos θ + i sin θ) = |〈h− s0〉| eiθ.

De esta manera,

⟨h− s0, eiθs

⟩= e−iθ 〈h− s0, s〉 = e−iθ |〈h− s0, s〉| eiθ = |〈h− s0, s〉|.

Ası, |〈h− s0, s〉| = Re (|〈h− s0, s〉|) = Re(⟨h− s0, eiθs

⟩)= 0 pues eiθs ∈ S.

Por lo tanto, h− s0 ⊥ S ya que 〈h− s0, s〉 = 0 ∀s ∈ S.

117

Apendice

(⇐=) Sea s0 ∈ S tal que s0− h ⊥ S. Entonces, dado s ∈ S, h− s0 ⊥ s0− s. Luego,

por Pitagoras se tiene que:

‖h− s‖2H = ‖(h− s0) + (s0 − s)‖2H = ‖h− s0‖2H + ‖s0 − s‖2H ≥ ‖h− s0‖2H ∀s ∈ S

Ası, ‖h− s0‖H ≤ ‖h− s‖H para cada s ∈ S con lo que ‖h− s0‖H ≤ d(h,S).

Ademas, es claro por definicion que d(h,S) ≤ ‖h− s0‖H. De esta manera

s0 ∈ S minimiza la distancia de S a h, i.e. d(h,S) = ‖h− s0‖H.

La proposicion anterior nos permite definir un operador en P(H) con algunas propie-

dades interesantes como veremos en los proximos resultados.

Definicion:

SeaH un espacio de Hilbert. Dado un subespacio cerrado no nulo S v H, llamaremos

proyeccion ortogonal sobre S a la aplicacion PS : H −→ H definida por:

PS(x) = y ⇐⇒ y ∈ S es el unico tal que x− y ⊥ S.

Proposicion 10.13

Sea H un espacio de Hilbert. Dado un subespacio cerrado no nulo S v H, conside-

remos la aplicacion PS : H −→ H definida de la siguiente manera:

PS(x) = y ⇐⇒ y ∈ S es el unico tal que x− y ⊥ S.

Se verifican:

1 La diferencia x− PS(x) ∈ S⊥ ∀ x ∈ H.

2 H = S ⊕ S⊥.

3 PS(x) = x ∀ x ∈ S.

4 PS ∈ Hom(H).

5 R(PS) = S y Ker(PS) = S⊥.

6 PS ∈ P(H). Mas aun, ‖PS‖L(H) = 1.

7 H = R(PS)⊕Ker(PS). Mas aun, PS = PS//S⊥ .

118

Apendice

Demostracion:

1 Dado x ∈ H, por definicion, PS(x) ∈ S es el unico vector tal que x−PS(x) ⊥ S,

i.e. x− PS(x) ∈ S⊥.

2 Como S y S⊥ son subespacios de H resulta que{~0}⊆ S ∩S⊥ y S+S⊥ ⊆ H.

Ademas, dado x ∈ S∩S⊥ resulta que 〈x, s〉 = 0 para todo s ∈ S. En particular,

〈x, x〉 = ‖x‖2H = 0 con lo cual x = 0. Por lo tanto, S ∩ S⊥ ⊆{~0}

. Por otro

lado, para cada x ∈ H es claro que PS(x) ∈ S y, por el ıtem anterior, la

diferencia x− PS(x) ∈ S⊥. De esta manera, x ∈ S + S⊥ puesto que se puede

escribir x = PS(x) + (x− PS(x)). Ası, H ⊆ S +S⊥. Finalmente, H = S ⊕S⊥.

3 Dado x ∈ S resulta que la diferencia x − PS(x) ∈ S ∩ S⊥ ={~0}

. Luego,

PS(x) = x ∀ x ∈ S.

4 Sean x1, x2 ∈ H tales que PS(x1) = y1 y PS(x2) = y2. Luego, y1, y2 ∈ S son

los unicos que verifican x1−y1 ⊥ S, x2−y2 ⊥ S. De esta manera, x1 +x2 ∈ S

es el unico vector tal que (x1 + x2)− (y1 + y2) ⊥ S. En efecto:

〈(x1 + x2)− (y1 + y2), s〉 = 〈x1 − y1, s〉+ 〈x2 − y2, s〉 = 0 + 0 = 0 ∀s ∈ S.

En consecuencia,

PS(x1 + x2) = y1 + y2 = PS(x1) + PS(x2) ∀x1, x2 ∈ S.

Ademas, dados λ ∈ K, x1 ∈ H, el vector λ·y1 es el unico tal que λ·x1−λ·y1 ⊥ S

pues:

〈λ · x1 − λ · y1〉 = 〈λ · (x1 − y1), s〉 = λ · 〈x1 − y1, s〉 = λ · 0 = 0 ∀s ∈ S.

De este modo resulta que PS(λ · x1) = λ · y1 = λ · PS(x1).

Por lo tanto, PS ∈ Hom(H).

5 Por definicion, es claro que R(PS) ⊆ S. Ademas, por el ıtem (3), se verifica

que S ⊆ R(PS) pues dado x ∈ S, PS(x) = x con lo cual x ∈ R(PS). De la

doble inclusion, se deduce la igualdad R(PS) = S.

Por otro lado, Ker(PS) = S⊥ puesto que para todo x ∈ H se verifica:

x ∈ Ker(PS) ⇐⇒ PS(x) = ~0

⇐⇒ ~0 ∈ S es el unico tal que x−~0 ⊥ S

⇐⇒ x ⊥ S ⇐⇒ x ∈ S⊥.

119

Apendice

6 De los ıtems (3) y (5) resulta que PS(x) = x para todo x ∈ R(PS) = S con lo

cual PS actua como la identidad en su rango. Luego, por la Proposicion 10.2,

PS es un proyector. Por los ıtems (1) y (2), todo x ∈ H se escribe de manera

unica como x = PS(x) + (x− PS(x)) con PS(x) ∈ S y x − PS(x) ∈ S⊥. Ası,

PS(x) ⊥ x−PS(x). Luego, por Pitagoras, ‖x‖2H = ‖x− PS(x)‖2H+ ‖PS(x)‖2H.

En consecuencia, PS ∈ P(H) ya que ‖PS‖L(H) ≤ 1. En efecto:

‖PS‖L(H) = sup‖x‖H=1

‖PS(x)‖H ≤ sup‖x‖H=1

‖x‖H = 1.

Ademas, por los ıtems (3) y (4), ‖PS(z)‖H = ‖z‖H para cada z ∈ S. De esta

manera:

1 =

∥∥∥∥ z

‖z‖H

∥∥∥∥H

=

∥∥∥∥PS ( z

‖z‖H

)∥∥∥∥H≤ sup‖x‖H=1

‖PS(x)‖H = ‖PS‖L(H) .

Esto prueba que ‖PS‖L(H) = 1.

7 Por los ıtems (2) y (5) resulta que H = S ⊕ S⊥ = R(PS)⊕Ker(PS). De esta

manera, por la Proposicion 10.4, PS es el unico proyector con R(PS) = S y

Ker(PS) = S⊥. Es decir, PS = PS//S⊥ .

Corolario 10.1

Sea S v H un subespacio no nulo de H. Entonces(S⊥)⊥

= S.

Demostracion:

Es claro que S ⊆(S⊥)⊥

pues dado x ∈ S, x ⊥ S⊥ con lo cual x ∈(S⊥)⊥

. Ademas,

dado x ∈(S⊥)⊥

, como PS(x) ∈ S ⊆(S⊥)⊥

, x − PS(x) ∈ S⊥ ∩(S⊥)⊥

={~0}

con

lo cual x = PS(x) ∈ R(PS) = S. Ası,(S⊥)⊥ ⊆ S. De la doble inclusion se deduce

la igualdad buscada.

Corolario 10.2Sea S v H un subespacio no nulo de H. Entonces PS⊥ = I − PS .

120

Apendice

Demostracion:

Como S⊥ v H, esta bien definido el operador PS⊥ ∈ P(H). Mas aun, PS⊥ = PS⊥//S .

Ademas, por la Proposicion 10.6, I − PS ∈ P(H) con Ker(I − PS) = R(PS) = S y

R(I −PS) = Ker(PS) = S⊥. Ası, la unicidad vista en la Proposicion 10.4 garantiza

que PS⊥ = PS⊥//S = I − PS .

A continuacion, caracterizaremos dentro del conjunto de las proyecciones acotadas

sobre un espacio de Hilbert a la subclase formada por las proyecciones ortogonales.

Teorema 10.2

Sea H un Espacio de Hilbert. Dado P ∈ P(H), sea S = R(P ) v H. Son equivalentes:

1 P = PS .

2 Ker(P ) = S⊥.

3 ‖P‖L(H) = 1.

4 P ∈ L(H)+.

5 P ∈ A(H).

6 P es normal.

Demostracion:

(1) =⇒ (2) Si P = PS entonces Ker(P ) = Ker(PS) = S⊥.

(2) =⇒ (1) Como Ker(P ) = S⊥ y R(P ) = S entonces

P = PR(P )//Ker(P ) = PS//S⊥ = PS .

(2) =⇒ (3) Dado h ∈ H, h = (h− P (h)) + P (h) con h − P (h) ⊥ P (h) puesto que

P ∈ P(H) y H = Ker(P )⊕R(P ) = S⊥ ⊕ S. Luego, por Pitagoras,

‖h‖2 = ‖h− P (h)‖2 + ‖P (h)‖2 .

En consecuencia,

‖P‖L(H) = sup‖h‖H=1

‖P (h)‖H ≤ sup‖h‖H=1

‖h‖H = 1.

121

Apendice

Ademas, como P ∈ P(H) es no nulo, ‖P‖L(H) 6= 0 con lo cual ‖P‖L(H) ≥ 1

puesto que ‖P‖L(H) =∥∥P 2

∥∥L(H)

≤ ‖P‖2L(H). Por lo tanto, ‖P‖L(H) = 1.

(3) =⇒ (2) Dado P ∈ P(H), sean Q := I−P ∈ P(H) yM = R(Q) = Ker(P ) v H.

Dado y ∈M resulta que Qy = (I − P )y = y − Py = y. Luego, para x ∈ H se

verifica que,

‖x−Qx‖H = ‖x− y + y −Qx‖H = ‖x− y +Qy −Qx‖H

= ‖(x− y)−Q(x− y)‖H = ‖P (x− y)‖H

≤ ‖P‖L(H) ‖x− y‖H = ‖x− y‖H .

Ası, ‖x−Qx‖H ≤ ınfy∈M

‖x− y‖H = d(x,M). Pero ademas, Qx ∈ M con lo

cual d(x,M) = ınfy∈M

‖x− y‖H ≤ ‖x−Qx‖H. Luego, d(x,M) = ‖x−Qx‖H.

Como la aplicacion PM : H −→ H esta definida por PM(x) = y ⇐⇒ y ∈ M

es el unico tal que d(x,M) = ‖x− y‖H resulta que PM = Q puesto que

PMx = Qx ∀x ∈ H. Ası, Ker(PM) = Ker(Q) =M⊥ y R(PM) = R(Q) =M.

Ademas, S = R(P ) = Ker(Q) =M⊥. Por lo tanto,

Ker(P ) = R(Q) =M =M =(M⊥

)⊥= S⊥.

(1) =⇒ (4) Dado x ∈ H, x = xS +xS⊥ . Luego P ∈ L(H)+ ya que para cada x ∈ H,

〈Px, x〉 = 〈PSx, x〉 = 〈xS , xS + xS⊥〉

= 〈xS , xS〉+ 〈xS , xS⊥〉 = ‖xS‖2H ≥ 0.

(4) =⇒ (5) =⇒ (6) Trivial.

(6) =⇒ (2) Si P es normal entonces Ker(P ) = Ker(P ∗) = R(P )⊥ = S⊥.

En virtud de lo anterior introducimos la siguiente simbologıa:

Notacion

Denotaremos Q(H) al conjunto de proyecciones ortogonales sobre un espacio de

Hilbert H. Es decir,

Q(H) = {P ∈ P(H) : P = P ∗}.

122

Apendice

Con el objetivo de dar una clasificacion de las proyecciones acotadas sobre un espacio

de Hilbert H, fijaremos el siguiente concepto:

Definicion:

Se dice que un operador P ∈ P(H) es una proyeccion oblicua si P ∈ P(H)\Q(H).

En conclusion, las proyecciones acotadas sobre un espacio de Hilbert H se dividen en

dos grandes grupos: las oblicuas y las ortogonales.

Sin embargo, como resulta mas fructıfero estudiar a las ortogonales, nos concentraremos

en estas para obtener otros resultados de interes.

10.1.3 Proyecciones Ortogonales

Seguidamente, mostraremos algunos lemas bien conocidos sobre proyecciones ortogo-

nales en espacios de Hilbert que fueron utilizados a lo largo de este trabajo.

Lema 10.1Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Luego, PM y PN conmutan sı y

solo sı PMPN es una proyeccion ortogonal. Mas aun PMPN = PM∩N .

Demostracion:

(=⇒) Sea P = PMPN = PNPM ∈ L(H). Entonces:

P 2 = PMPNPMPN = PMPNPNPM = PMP2NPM

= PMPNPM = PMPMPN = P 2MPN

= PMPN = P.

Ademas,

P ∗ = (PMPN )∗ = P ∗MP∗N = PNPM = PMPN = P.

De esta manera, por el Teorema 10.2, P = PR(P ) es una proyeccion ortogonal.

(⇐=) Si P = PMPN = PR(P ) es una proyeccion ortogonal entonces por el Teorema

10.2, P ∈ A(H). Luego:

PMPN = (PMPN )∗ = P ∗NP∗M = PNPM.

123

Apendice

En consecuencia, PM y PN conmutan.

Ademas resulta que R(P ) ⊆M∩N pues dado y ∈ R(P ), existe x ∈ H tal que

y = Px = PM(PNx) = PN (PMx) con lo cual y ∈ R(PM)∩R(PN ) =M∩N .

Por otro lado, si x ∈ M ∩ N entonces x = PMx = PNx. De esta manera,

x ∈ R(P ) puesto que Px = PMPNx = PM(PNx) = PMx = x. Por lo tanto,

M∩ N ⊆ R(P ). Ası, R(P ) = M∩ N v H pues M,N v H. Finalmente,

P = PMPN = PR(P ) = PM∩N .

Lema 10.2Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Son equivalentes:

1 PMPN = O.

2 PNPM = O.

3 M⊥ N .

Demostracion:

(1) =⇒ (2) Basta notar que PNPM = P ∗NP∗M = (PMPN )∗ = O∗ = O.

(2) =⇒ (3) Dados x ∈M, y ∈ N se verifica:

〈x, y〉 = 〈PMx, PN y〉 = 〈PMx, P ∗N y〉 = 〈PN (PMx), y〉

= 〈PNPMx, y〉 = 〈0, y〉 = 0.

Por lo tanto, M y N son ortogonales.

(3) =⇒ (1) Como M⊥ N resulta que 〈PNx, PM(PNx)〉 = 0 con lo cual

‖PMPNx‖2 = 〈PMPNx, PMPNx〉 = 〈PNx, P ∗MPMPNx〉

=⟨PNx, P

2MPNx

⟩= 〈PNx, PMPNx〉

= 〈PNx, PM(PNx)〉 = 0.

En consecuencia, para cada x ∈ H, PMPNx = 0 con lo que PMPN = O.

124

Apendice


1 PMPN = PM.

2 PNPM = PM.

3 M⊆ N .

En particular, PM y PN conmutan con PM∩N y PMPM∩N = PM∩N = PNPM∩N .

Demostracion:

(1) =⇒ (2) Observar que PNPM = P ∗NP∗M = (PMPN )∗ = P ∗M = PM.

(2) =⇒ (3) Dado x ∈M, x = PMx = PN (PMx) con lo cual x ∈ R(PN ) = N .

En consecuencia, M⊆ N .

(3) =⇒ (1) Como M ⊆ N , dado x ∈ H, x − PNx ∈ N⊥ ⊆ M⊥ = Ker(PM) con

lo cual PMx− PMPNx = PM (I − PN )x = PM(x− PNx) = 0. Por lo tanto,

PMPN = PM.

Ademas por el Lema 10.1, PM y PM∩N conmutan pues como M∩N ⊆ M,

PMPM∩N = PM∩N es una proyeccion ortogonal. Analogamente, PN y PM∩N

conmutan ya que como M∩N ⊆ N , PNPM∩N = PM∩N es una proyeccion

ortogonal. Mas aun, PMPM∩N = PM∩N = PNPM∩N .

Lema 10.4Dado H un espacio de Hilbert, sean M,N v H. Si PM y PN conmutan entonces

PM+N = PM + PN − PMPN . Consecuentemente, si M⊂ N⊥ entonces M+N es

cerrado y PM+N = PM + PN .

125

Apendice

Demostracion:

Sea Q = PM + PN − PMPN ∈ L(H). Entonces:

Q2 = (PM + PN − PMPN )(PM + PN − PMPN )

= P 2M + PMPN − P 2

MPN + PNPM + P 2N − PNPMPN − PMPNPM − PMP 2

N + (PMPN )2

= PM + PMPN − PMPN + PNPM + PN − PNPMPN − PMPNPM − PMPN + PMPN

= PM + PNPM + PN − PNPMPN − PMPNPM

= PM + PNPM + PN − P 2NPM − P 2

MPN

= PM + PNPM + PN − PNPM − PMPN

= PM + PN − PMPN = Q.

Ademas,

Q∗ = (PM + PN − PMPN )∗ = P ∗M + P ∗N − (PMPN )∗

= P ∗M + P ∗N − P ∗NP ∗M = PM + PN − PNPM

= PM + PN − PMPN = Q.

De esta manera, por el Teorema 10.2, Q = PR(Q) ∈ Q(H). Mas aun, observar que

R(Q) = R(PM + PN − PMPN ) ⊆ R(PN + PMPN⊥) ⊆ R(PN ) +R(PMPN⊥)

⊆ R(PM) +R(PN ) =M+N ⊆M+N .

Por otro lado, dado x ∈ M+N , existe una sucesion {xn}n∈N ⊆ M + N tal que

xn‖.‖H−−−−−→n→+∞

x. Luego, para cada n ∈ N, existen yn ∈M, zn ∈ N tales que

xn = yn + zn. Ademas, como PM, PN ∈ L(H), PM(xn)‖.‖H−−−−−→n→+∞

PM(x) y

PN (xn)‖.‖H−−−−−→n→+∞

PN (x). De esta manera,

PM(xn) + PN (xn) = yn + zn = xn‖.‖H−−−−−→n→+∞

PM(x) + PN (x).

Ası, por unicidad del lımite, PM(x)+PN (x) = x. En consecuencia, x ∈ R(Q) puesto

que Qx = x. En efecto:

Qx = Q(PMx+ PNx) = Q (PMx) +Q (PNx)

= P 2Mx+ PNPMx− PMPNPMx+ PMPNx+ P 2

Nx− PMP 2Nx

= PMx+ PNPMx− P 2MPNx+ PMPNx+ PNx− PMPNx

= PMx+ PNPMx− PMPNx+ PMPNx+ PNx− PNPMx

= PMx+ PNx = x.

126

Apendice

Ası,M+N ⊆ R(Q) y, de la doble inclusion, se verifica la igualdad buscada. Final-

mente,

PM+N = PR(Q) = Q = PM + PN − PMPN .

Consecuentemente, si M⊂ N⊥ entonces M⊥ N . Luego, por el Lema 10.2,

PMPN = PNPM = O con lo cual PM y PN conmutan. Mas aun, PM+N = PM+PN .

Ahora bien, dado x ∈ M+N se verifica que x = PM+Nx = PMx + PNx con lo

cual x ∈M+N . Ası, M+N ⊆M+N por lo que M+N es cerrado.


1 PM conmuta con PN .

2 PM⊥ conmuta con PN .

3 PM conmuta con PN⊥ .

4 PM⊥ conmuta con PN⊥ .

5 M =M∩N +M∩N⊥.

Demostracion:

En primer lugar, advertir que por el Corolario 10.2 se verifica la siguiente identidad:

PM + PM⊥ = PN + PN⊥ = I.

Ahora bien:

(1) =⇒ (2) Basta observar que:

PM⊥PN = (I − PM)PN = PN − PMPN

= PN − PNPM = PN (I − PM) = PNPM⊥ .

En consecuencia, PM⊥ conmuta con PN .

127

Apendice

(2) =⇒ (3) Como PM⊥ y PN conmutan,

PMPN⊥ = (I − PM⊥) · (I − PN ) = I − PN − PM⊥ + PM⊥PN

= I − PN − PM⊥ + PNPM⊥ = (I − PN )− (I − PN )PM⊥

= (I − PN ) (I − PM⊥) = PN⊥PM.

Ası, PM conmuta con PN⊥ .

(3) =⇒ (4) Notar que:

PM⊥PN⊥ = (I − PM)PN⊥ = PN⊥ − PMPN⊥

= PN⊥ − PN⊥PM = PN⊥(I − PM) = PN⊥PM⊥ .

Por lo tanto, PM⊥ y PN⊥ conmutan.

(4) =⇒ (1) Como PM⊥ y PN⊥ conmutan se verifica que:

PMPN = (I − PM⊥) · (I − PN⊥) = I − PN⊥ − PM⊥ + PM⊥PN⊥

= I − PN⊥ − PM⊥ + PN⊥PM⊥ = I − PM⊥ − PN⊥ + PN⊥PM⊥

= (I − PM⊥)− PN⊥ (I − PM⊥) = (I − PN⊥) · (I − PM⊥) = PNPM.

De esta manera, PM y PN conmutan.

(1) =⇒ (5) Es claro que M∩N +M∩N⊥ ⊆ M. Por otro lado, como PM y PN

conmutan tambien lo hacen PM y PN⊥ . Ası, por el Lema 10.1, se tiene que:

PM∩N + PM∩N⊥ = PMPN + PMPN⊥ = PM(PN + PN⊥) = PM.

Luego, M⊆M∩N +M∩N⊥ puesto que dado x ∈M se verifica:

x = PMx = PM∩Nx+ PM∩N⊥x

con lo cual x ∈M∩N +M∩N⊥. De la doble inclusion se deduce la igualdad

buscada.

(5) =⇒ (1) En primer lugar, notar que M∩N ⊥M∩N⊥. Ası, por Lema 10.2,

PM∩NPM∩N⊥ = O = PM∩N⊥PM∩N .

128

Apendice

Ademas, dado que M∩N⊥ ⊆ (M∩N )⊥, por el Lema 10.4,

PM = PM∩N+M∩N⊥ = PM∩N + PM∩N⊥ .

De esta manera,

PNPM = PNPM∩N + PNPM∩N⊥ .

Ahora bien, por el Lema 10.3, PNPM∩N = PM∩N y como N ⊥ M ∩ N⊥,

por el Lema 10.2, PNPM∩N⊥ = O. En consecuencia, PNPM = PM∩N . Por lo

tanto, por el Lema 10.1, PM y PN conmutan.

129

Apendice

10.2 Inversas Generalizadas

En la teorıa de operadores sobre un espacio de Hilbert, la nocion de inversa generalizada

reemplaza la inversa de un operador en los casos en que este no sea un isomorfismo. Una

gran variedad de inversas generalizadas han sido desarrolladas en la literatura para resolver

distintos problemas. Una de ellas, la inversa de Moore Penrose, que goza de la propiedad

de su unicidad, esta relacionada con el problema de cuadrados mınimos.

A continuacion se estuadiaran algunas de sus propiedades, utiles para probar algunos

resultados de este trabajo.

Definicion:

Dado A ∈ L(H1,H2), se dice que B ∈ L(H2,H1) es inversa generalizada de A

si es solucion del siguiente sistema:AXA = A

XAX = X

En virtud de lo anterior introducimos la siguiente simbologıa:

Notacion

Dado A ∈ L(H1,H2), denotamos IG(A) al conjunto formado por sus inversas generali-

zadas. Es decir,

IG(A) = {B ∈ L(H2,H1) : ABA = A ∧ BAB = B}.

Teorema 10.3

Sea A ∈ L(H1,H2). Se verifican:

1 Si B ∈ IG(A) entonces AB y BA son proyectores con R(AB) = R(A) y

Ker(BA) = Ker(A).

2 Si R(A) es cerrado, dados P ∈ P(H2) y Q ∈ P(H1) con R(P ) = R(A) y

Ker(Q) = Ker(A), existe un unico operador B ∈ IG(A) tal que AB = P y

BA = Q.

3 A tiene rango cerrado sı y solo sı IG(A) 6= φ.

130

Apendice

Demostracion:

1 Como B ∈ IG(A) entonces ABA = A Y BAB = B. Luego, AB y BA son

proyectores puesto que:

(AB)2 = (AB)(AB) = ABAB = (ABA)B = AB.

(BA)2 = (BA)(BA) = BABA = (BAB)A = BA.

Mas aun, es claro que R(AB) ⊆ R(A). Ademas, R(A) = R(ABA) ⊆ R(AB)

con lo cual R(AB) = R(A). Por otra parte, Ker(A) = Ker(BA) ya que

Ker(A) ⊆ Ker(AB) ⊆ Ker(ABA) = Ker(A).

2 Existencia: Supongamos que R(A) es cerrado. Sean P ∈ P(H2) yQ ∈ P(H1)

tales que R(P ) = R(A) y Ker(Q) = Ker(A). Luego, por la Proposicion

10.3:

Ker(P )⊕R(P ) = Ker(P )⊕R(A) = H2.

Ker(Q)⊕R(Q) = Ker(A)⊕R(Q) = H1.

Consideremos el operador A∣∣R(Q) : R(Q) −→ R(A). Ahora bien, obser-

var que dado y ∈ R(A), existe x ∈ H1 tal que Ax = y donde x ∈ H1 se

escribe de manera unica como x = (x−Qx)+Qx con x−Qx ∈ Ker(A) y

Qx ∈ R(Q). De esta manera, y = Ax = A(x−Qx)+A(Qx) = A(Qx). En

consecuencia, dado y ∈ R(A), existe Qx ∈ R(Q) tal que y = A(Qx). Ası,

A∣∣R(Q) : R(Q) −→ R(A) es un epimorfismo. Ademas, dicho operador es

un monomorfismo puesto que

Ker(A∣∣R(Q)

)={x ∈ R(Q) : Ax = ~0

}= Ker(A) ∩R(Q) =

{~0}.

En consecuencia, A∣∣R(Q) : R(Q) −→ R(A) es un isomorfismo. Mas aun,

como A ∈ L(H1,H2) se tiene que A∣∣R(Q) ∈ L(R(Q), R(A)). En efecto:

∥∥A ∣∣R(Q)

∥∥L(R(Q),R(A))

= supx∈BR(Q)

‖Ax‖R(A)

≤ supx∈BH

‖Ax‖H2= ‖A‖L(H1,H2)

< +∞.

Por lo tanto, A∣∣R(Q) ∈ Gl(R(Q), R(A)). Sea Γ : R(A) −→ R(Q)

el inverso de dicho operador. Luego, como A∣∣R(Q) ◦ Γ = IR(A) y

131

Apendice

Γ ◦ A∣∣R(Q) = IR(Q), dados w ∈ R(A) y z ∈ R(Q), se verifica que

AΓw = w y ΓAz = z. Ademas, por el Teorema de la Funcion Inver-

sa, Γ ∈ L(R(A), R(Q)). Ahora bien, como cada x ∈ H2 se puede escribir

de manera unica como x = (x − Px) + Px donde x − Px ∈ Ker(P ) y

Px ∈ R(A), tiene sentido considerar el operador B ∈ Hom(H2,H1) da-

do por Bx = Γ(PR(A)//Ker(P )x

)= Γ(Px). Observar que B ∈ L(H2,H1)

pues ‖B‖L(H2,H1)≤ ‖Γ‖L(R(A),R(Q)) · ‖P‖L(H2)

< +∞. Tambien, dado

x ∈ H1, PAx = Ax puesto que Ax ∈ R(P ) = R(A) con lo cual:

ABAx = AB(Ax) = AΓ(PAx) = AΓ(Ax) = Ax.

Es decir que ABA = A. De igual modo, BAB = B ya que, dado y ∈ H2

se verifica:

BABy = BA(By) = BAΓ(Py) = B (AΓ(Py))

= B(Py) = Γ (P (Py)) = Γ(P 2y) = Γ(Py) = By.

Por lo tanto, B ∈ IG(A). Mas aun, AB = P pues, para cada y ∈ H2 se

obtiene que ABy = A(By) = AΓ(Py) = Py. De igual modo, BA = Q ya

que, dado x ∈ H1, que se escribe de manera unica como x = (x−Qx)+Qx

con x−Qx ∈ Ker(A) y Qx ∈ R(Q), se verifica:

BAx = B(Ax) = Γ(P (Ax)) = ΓAx

= ΓA(x−Qx) + ΓA(Qx) = ΓA(Qx) = Qx.

Unicidad: Supongamos que existe C ∈ IG(A) tal que AC = P y CA = Q.

De esta manera se cumple que C = B. En efecto:

C = CAC = C(AC) = CP = C(AB)

= (CA)B = QB = (BA)B = BAB = B.

Finalmente, si R(A) v H2, dados P ∈ P(H2) y Q ∈ P(H1) cumpliendo

que R(P ) = R(A) y Ker(Q) = Ker(A), existe un unico B ∈ IG(A) tal

que AB = P y BA = Q.

132

Apendice

3 Supongamos que R(A) es cerrado. Entonces, como A ∈ L(H1,H2) se verifi-

ca que Ker(A) ⊕ Ker(A)⊥ = H1 y R(A) ⊕ R(A)⊥ = H2. Ası, por la Pro-

posicion 10.7, PKer(A)⊥//Ker(A) ∈ P(H1) y PR(A)//R(A)⊥ ∈ P(H2). Ademas,

R(PR(A)//R(A)⊥

)= R(A) y Ker

(PKer(A)⊥//Ker(A)

)= Ker(A). Luego, por

el ıtem 2, existe un unico operador B ∈ IG(A) tal que AB = PR(A)//R(A)⊥ y

BA = PKer(A)⊥//Ker(A). Por lo tanto, IG(A) 6= φ. Recıprocamente, suponga-

mos que IG(A) 6= φ. Luego, existe B ∈ IG(A). Ası, por el ıtem 1 se tiene que

AB ∈ P(H2) con R(AB) = R(A). De esta manera, por la Proposicion 10.6,

R(A) = R(AB) = Ker(I −AB) v H2.

Corolario 10.3

Sea A ∈ L(H1,H2). Se verifican:

1 IG(A)∗ := {B∗ ∈ L(H1,H2) : B ∈ IG(A)} = IG(A∗).

2 R(A) es cerrado sı y solo sı R(A∗) es cerrado.

Demostracion:

1 Sea T ∈ IG(A∗). Luego, A∗TA∗ = A∗ y TA∗T = T con lo cual T ∗ ∈ IG(A)

pues AT ∗A = A y T ∗AT ∗ = T ∗. Ası, como (T ∗)∗ = T resulta que T ∈ IG(A)∗.

De esta manera, IG(A∗) ⊆ IG(A)∗. Por otro lado, si T ∈ IG(A)∗ entonces

existe U ∈ IG(A) tal que T = U∗. Como AUA = A y UAU = U se cumple

que A∗U∗A∗ = A∗ y U∗A∗U∗ = U∗ con lo cual resulta que A∗TA∗ = A∗ y

TA∗T = T , es decir que T ∈ IG(A∗). Esto muestra que IG(A)∗ ⊆ IG(A∗).


2 Supongamos que R(A) es cerrado. Entonces, por el Teorema 10.3, existe un

operador B ∈ IG(A). Ası, B∗ ∈ IG(A∗) con lo cual IG(A∗) 6= φ. De esta

manera, por el Teorema 10.3, A∗ ∈ L(H2,H1) tiene rango cerrado. Recıpro-

camente, si R(A∗) es cerrado entonces R (A) = R ((A∗)∗) es cerrado.

El resultado anterior es la motivacion para introducir el siguiente concepto:

133

Apendice

!

Observacion:

Sea A ∈ L(H1,H2) un operador con rango cerrado. Entonces, se

cumple que Ker(A) ⊕Ker(A)⊥ = H1 y R(A) ⊕ R(A)⊥ = H2. En

consecuencia, por la Proposicion 10.7, PKer(A)⊥//Ker(A) ∈ P(H1) y

PR(A)//R(A)⊥ ∈ P(H2).

Mas aun, observar que Ker(PR(A)//R(A)⊥) = R(A)⊥ y

Ker(PKer(A)⊥//Ker(A)

)= Ker(A) = Ker(A)⊥⊥. Luego, por la

Proposicion 10.13, se tiene que PR(A)//R(A)⊥ = PR(A) ∈ Q(H2)

y PKer(A)⊥//Ker(A) = PKer(A)⊥ ∈ Q(H1). Luego, por el Teorema

10.3, existe un unico operador B ∈ IG(A) tal que AB = PR(A) y

BA = PKer(A)⊥ .

Definicion:

Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Se llama pseudoinversa de Moore-

Penrose de A al unico operador A† ∈ IG(A) tal AA† = PR(A) y A†A = PKer(A)⊥ .

Proposicion 10.14

Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Entonces, A† es la unica solucion en L(H2,H1)

del sistema:

AXA = A

XAX = X

(AX)∗ = AX

(XA)∗ = XA

Demostracion:

Como A† ∈ IG(A), es claro que AA†A = A y A†AA† = A†. Ademas, se cumple

que(AA†

)∗= P ∗R(A) = PR(A) = AA† y

(A†A

)∗= P ∗

Ker(A)⊥= PKer(A)⊥ = A†A.

Luego, A† ∈ L(H2,H1) es solucion del sistema. Ahora bien, supongamos que el

operador B ∈ L(H2,H1) es otra solucion del sistema. Luego, B ∈ IG(A) y, por el

Teorema 10.3, AB y BA son proyectores autoadjuntos cumpliendo R(AB) = R(A)

134

Apendice

y Ker(BA) = Ker(A). Ası, por el Teorema 10.2, AB = PR(A) y BA = PKer(A)⊥ .

En consecuencia,

B = BAB = (BA)B = PKer(A)⊥B =(A†A

)B

= A†(AB) = A†PR(A) = A†(AA†) = A†AA† = A†.

Proposicion 10.15

Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Se verifican:

1 A† =(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 PR(A).

2 Ker(A†)

= R(A)⊥ y R(A†)

= Ker(A)⊥.

Demostracion:

1 Como R(A) v H, por la Proposicion 7.1, A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl (Ker(A)⊥, R(A)

)pues si Γ : R(A) −→ Ker(A)⊥ es su inverso i.e. Γ :=

(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 enton-

ces, por el Teorema de la Funcion Inversa, Γ ∈ L(R(A),Ker(A)⊥

). Ademas,

A∣∣∣Ker(A)⊥ ◦ Γ = IR(A) y Γ ◦ A

∣∣∣Ker(A)⊥ = IKer(A)⊥ por lo que para cada

w ∈ R(A) y z ∈ Ker(A)⊥, AΓw = w y ΓAz = z. Ahora bien, observar que

AΓPR(A) = PR(A) pues, para cada y ∈ H2 se verifica:

AΓPR(A)y = AΓ(PR(A)y

)= PR(A)y.

Ademas, como la escritura x =(x− PKer(A)⊥x

)+ PKer(A)⊥x es unica para

todo x ∈ H1 donde x−PKer(A)⊥x ∈ Ker(A) y PKer(A)⊥x ∈ Ker(A)⊥, resulta

que:

ΓPR(A)Ax = Γ(PR(A)Ax

)= Γ (Ax)

= ΓA(x− PKer(A)⊥x

)+ ΓAPKer(A)⊥x

= ΓAPKer(A)⊥x = ΓA(PKer(A)⊥x

)= PKer(A)⊥x.

Es decir que ΓPR(A)A = PKer(A)⊥ . De la misma manera, AΓPR(A)A = A

puesto que AΓPR(A)Ax = AΓPR(A)(Ax) = AΓ(Ax) = Ax para cada x ∈ H1.

135

Apendice

Tambien se verifica la igualdad ΓPR(A)AΓPR(A) = ΓPR(A) ya que, para cada

y ∈ H2,

ΓPR(A)AΓPR(A)y = ΓPR(A)AΓ(PR(A)y

)= ΓPR(A)

(PR(A)y

)= ΓP 2

R(A)y = ΓPR(A)y.

En consecuencia, ΓPR(A) es una inversa generalizada del operador A tal que

A(ΓPR(A)

)= PR(A) y

(ΓPR(A)

)A = PKer(A)⊥ . Luego, por la unicidad, debe

ser A† = ΓPR(A) =(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 PR(A).

2 Dado que A†A = PKer(A)⊥ y(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 PR(A) = A†, por el Teorema de

Douglas resulta que R(A†)

= Ker(A)⊥. En efecto:

Ker(A)⊥ = R(PKer(A)⊥

)⊆ R

(A†)⊆ R

((A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1) = Ker(A)⊥.

Ademas, si x ∈ Ker(A†) entonces A†x = ~0 por lo que PR(A)x = AA†x = ~0.

Luego, x ∈ Ker(PR(A)

)= R(A)⊥. Ası, Ker

(A†)⊆ R(A)⊥. Por otro lado, si

x ∈ R(A)⊥, PR(A)x = ~0 con lo cual A†x =(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 PR(A)x = ~0. De

este modo, x ∈ Ker(A†), lo que muestra que R(A)⊥ ⊆ Ker

(A†). De la doble

inclusion se deduce la igualdad buscada.

Proposicion 10.16

Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Se verifican:

1 (A∗)† =(A†)∗

.

2(A†)†

= A.

Demostracion:

Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado.

1 Como A† ∈ IG(A) entonces(A†)∗ ∈ IG(A∗). Ademas, dado que A†A ∈ A(H1)

y AA† ∈ A(H2) se tiene que A∗(A†)∗ ∈ A(H1) y

(A†)∗A∗ ∈ A(H2). De esta

136

Apendice

manera,(A†)∗ ∈ L(H1,H2) es la unica solucion del sistema:

A∗XA∗ = A∗

XA∗X = X

(A∗X)∗ = A∗X

(XA∗)∗ = XA∗

Ası, por la Proposicion 10.14, (A∗)† =(A†)∗

.

2 Por la Proposicion 10.14, A† ∈ L(H2,H1) es la solucion del sistema:

AXA = A

XAX = X

(AX)∗ = AX

(XA)∗ = XA

En consecuencia, A ∈ L(H1,H2) es solucion del sistema:

A†XA† = A†

XA†X = X

(A†X)∗ = A†X

(XA†)∗ = XA†

Luego, por la Proposicion 10.14,(A†)†

= A.

Proposicion 10.17

Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Entonces,∥∥A†∥∥L(H2,H1)= mın

{‖B‖L(H2,H1)

: B ∈ IG(A)}

.

137

Apendice

Demostracion:

Sea A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado. Luego, por el Teorema 10.3, IG(A) 6= φ.

Sea B ∈ IG(A). Entonmces, por la Proposicion 7.1, se cumple que el operador

A∣∣∣Ker(A)⊥ : Ker(A)⊥ −→ R(A) es un isomorfismo. Luego, dado y ∈ R(A), existe

un unico x ∈ Ker(A)⊥ tal que Ax = y. Ası, x = PKer(A)⊥x = A†Ax = A†y.

Tambien resulta que y = Ax = ABAx = ABy con lo cual A(By − x) = ~0, es decir,

By − x ∈ Ker(A). Luego, por Pitagoras,

‖By‖2H1= ‖x+ (By − x)‖2H1

= ‖x‖2H1+ ‖By − x‖2H1

≥ ‖x‖2H1=∥∥∥A†y∥∥∥2

H1

En consecuencia, para cada y ∈ R(A) se cumple que∥∥A†y∥∥H1

≤ ‖By‖H1. Por otro

lado, como R(A) v H2 entonces H2 = R(A)⊕R(A)⊥. Luego, dado z ∈ H2, existen

unicos y ∈ R(A), w ∈ R(A)⊥ tales que z = y + w. De este modo,∥∥∥A†z∥∥∥H1

=∥∥∥A†AA†z∥∥∥

H1

=∥∥∥A† (AA†z)∥∥∥

H1

=∥∥∥A†PR(A)z

∥∥∥H1

=∥∥∥A†y∥∥∥

H1

≤ ‖By‖H1≤ ‖B‖L(H2,H1)

‖y‖H2.

Ademas, si z ∈ BH2 , como ‖z‖2H2= ‖y‖2H2

+‖w‖2H2, resulta que ‖y‖H2

≤ ‖z‖H2= 1.

Por lo tanto, para todo B ∈ IG(A) se verifica:∥∥∥A†∥∥∥L(H2,H1)

= supz∈BH2

∥∥∥A†z∥∥∥H1

≤ ‖B‖L(H2,H1).

Mas aun, dado que A† ∈ IG(A) resulta que:∥∥A†∥∥L(H2,H1)= mın

{‖B‖L(H2,H1)

: B ∈ IG(A)}

.

138

Apendice

10.3 Modulo Mınimo Reducido

Esta subseccion estara destinada al estudio del modulo mınimo reducido, un parametro

que, entre otras cosas, nos ayudara a determinar facilmente cuando un operador acotado

sobre un espacio de Hilbert dado tiene rango cerrado.

Definicion:

Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo. Se llama modulo mınimo reducido de

A al valor

γ(A) := ınf{‖Ax‖H2

: x ∈ Ker(A)⊥ ∧ ‖x‖H1= 1}

.

A continuacion, mencionaremos una forma practica de calcular el modulo mınimo

reducido de operadores acotados e invertibles como ası tambien, daremos a conocer un

par de cotas de este parametro para el producto de dos operadores acotados sobre un

espacio de Hilbert dado, siendo uno de ellos invertible.

Proposicion 10.18

Sea A ∈ Gl(H1,H2). Se verifican:

1 γ(A) =∥∥A−1∥∥−1L(H2,H1)

.

2 Si B ∈ L(H3,H1) entonces γA · γ(B) ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· γ(B).

Demostracion:

1 Supongamos que A ∈ Gl(H1,H2). Entonces Ker(A) ={~0}

con lo cual

Ker(A)⊥ = H1. De esta manera resulta que:

γ(A) = ınf{‖Ax‖H2

: ‖x‖H1= 1}

= ınf{‖y‖H2

:∥∥A−1y

∥∥H1

= 1}

= ınf

{‖y‖H2

‖A−1y‖H1

: y ∈ H2 \{~0}}

=

[sup

{(‖y‖H2

‖A−1y‖H1

)−1

: y ∈ H2 \{~0}}]−1

=

[sup

{∥∥A−1y∥∥H1

‖y‖H2

: y ∈ H2 \{~0}}]−1

=

sup

∥∥∥∥∥A−1

(y

‖y‖H2

)∥∥∥∥∥H1

: y ∈ H2 \{~0}−1

=[sup

{∥∥A−1z∥∥H1

: ‖z‖H2= 1}]−1

=∥∥A−1

∥∥−1

L(H2,H1).

139

Apendice

2 Es claro que Ker(B) ⊆ Ker(AB). Ademas, si ABx = ~0 entonces resulta que

Bx ∈ Ker(A) ={~0}

con lo cual x ∈ Ker(B) y Ker(AB) ⊆ Ker(B). De esta

manera, Ker(AB) = Ker(B). Ahora bien, como Ker(A)⊥ = H1, para cada

x ∈ H3,

γ(A) = ınf{‖Az‖H2

: ‖z‖H1= 1}≤

∥∥∥∥∥A(

Bx

‖Bx‖H1

)∥∥∥∥∥H2

=‖ABx‖H2

‖Bx‖H1

.

De esta manera, para cada x ∈ H3, se verifica:

γ(A) · ‖Bx‖H1≤ ‖ABx‖H2

≤ ‖A‖L(H1,H2)· ‖Bx‖H1

.

Por lo tanto, tomando ınfimo en Ker(AB)⊥ = Ker(B)⊥ sobre los vectores

unitarios, se obtiene:

γA · γ(B) ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖L(H1,H2)· γ(B).

Proposicion 10.19

Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo. Luego,

γ(A) > 0 sı y solo sı A tiene rango cerrado.

Demostracion:

Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo. Supongamos que γ(A) > 0. Sea y ∈ R(A).

Luego, existe una sucesion {yn}n∈N ⊆ R(A) tal que lımn−→+∞

yn = y. Dado que por

la Proposicion 7.1, el operador A∣∣∣Ker(A)⊥ : Ker(A)⊥ −→ R(A) es un isomorfismo,

para cada yn ∈ R(A) existe un unico xn ∈ Ker(A)⊥ tal que Axn = yn. De esta

manera, existe una sucesion {xn}n∈N ⊆ Ker(A)⊥ tal que lımn−→+∞

Axn = y. Observar

que para cada x ∈ Ker(A)⊥ \{~0}

se verifica:

γ(A) ≤

∥∥∥∥∥A(

x

‖x‖H1

)∥∥∥∥∥H2

=‖Ax‖H2

‖x‖H1

.

Luego, como γ(A) > 0, ‖x‖H1≤ γ(A)−1 ‖Ax‖H2

para cada x ∈ Ker(A)⊥. Ademas,

como {yn}n∈N es convergente resulta ser una sucecion de Cauchy. En consecuencia,

140

Apendice

dado γ(A)ε > 0, existe n0 ∈ N tal que, si n,m ≥ n0 entonces:

‖xn − xm‖H1≤ γ(A)−1 ‖Axn −Axm‖H2

= γ(A)−1 ‖yn − ym‖H2< ε.

Esto muestra que {xn}n∈N ⊆ Ker(A)⊥ es una sucecion de Cauchy. Mas aun,

Ker(A)⊥ es completo pues Ker(A)⊥ v H1 resulta ser un espacio de Hilbert con

el producto interno inducido por H1. Por lo tanto, existe un unico x ∈ Ker(A)⊥

tal que lımn−→+∞

xn = x y, como A ∈ L(H1,H2), se cumple que lımn−→+∞

Axn = Ax.

Ası, por la unicidad del lımite, y = Ax por lo que y ∈ R(A). Entonces, se verifica

que R(A) ⊆ R(A) y, como es evidente que R(A) ⊆ R(A), de la doble inclusion, se

cumple la igualdad R(A) = R(A). Finalmente, R(A) es cerrado en H2.

Recıprocamente, supongamos que A tiene rango cerrado. Luego, por

la Proposicion 7.1 y el Teorema de la Funcion Inversa, el operador

A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl

(Ker(A)⊥, R(A)

). En consecuencia, existe λ > 0 de modo

que

∥∥∥∥(A ∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 y∥∥∥∥Ker(A)⊥

≤ λ · ‖y‖R(A). Ademas, observar que para cada

y ∈ R(A) existe un unico x ∈ Ker(A)⊥ tal que(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 y = x con lo cual

0 < ‖x‖Ker(A) ≤ λ · ‖Ax‖R(A). Es decir, 0 < 1λ · ‖x‖Ker(A)⊥ ≤ ‖Ax‖R(A) . Por lo

tanto,

γ(A) = ınf{‖Ax‖R(A) : x ∈ Ker(A)⊥ ∧ ‖x‖Ker(A)⊥ = 1

}≥ 1

λ> 0.

Proposicion 10.20

Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo con rango cerrado. Ası,

γ(A) =∥∥A†∥∥−1L(H2,H1)

= γ(A∗).

Demostracion:

Como R(A) v H, por la Proposicion 7.1 y el Teorema de la Funcion Inversa,

A∣∣∣Ker(A)⊥ ∈ Gl (Ker(A)⊥, R(A)

). Ademas, por la Proposicion 10.15, se verifica

que(A∣∣∣Ker(A)⊥ )−1 = A†

∣∣R(A) pues, para cada z ∈ R(A),

A†∣∣R(A) z = A†z =

(A∣∣Ker(A)⊥

)−1PR(A)z =

(A∣∣Ker(A)⊥

)−1z.

141

Apendice

De esta manera, por la Proposicion 10.18,

γ(A∣∣Ker(A)⊥

)=∥∥∥(A ∣∣Ker(A)⊥

)−1∥∥∥−1L(R(A),Ker(A)⊥)

=∥∥A† ∣∣R(A)

∥∥−1L(R(A),Ker(A)⊥)

.

Ahora bien, es evidente que∥∥A† ∣∣R(A)

∥∥L(R(A),Ker(A)⊥) ≤

∥∥A†∥∥L(H2,H1). En efecto:

∥∥A† ∣∣R(A)

∥∥L(R(A),Ker(A)⊥)

= supx∈BR(A)

∥∥A†x∥∥Ker(A)⊥

≤ supx∈BH2

∥∥A†x∥∥H1=∥∥A†∥∥L(H2,H1)

.

Por otro lado, como R(A) v H2 entonces H2 = R(A)⊕R(A)⊥. Luego, dado z ∈ H2,

existen unicos y ∈ R(A), w ∈ R(A)⊥ tales que z = y+w. De este modo, si z ∈ BH2 ,

como ‖z‖2H2= ‖y‖2H2

+ ‖w‖2H2, resulta que ‖y‖H2

≤ ‖z‖H2= 1. Ademas,

∥∥A†z∥∥H1=

∥∥A†AA†z∥∥H1=∥∥A†PR(A)z

∥∥H1

=∥∥A†y∥∥H1

=∥∥A† ∣∣R(A) y

∥∥Ker(A)⊥

≤∥∥A† ∣∣R(A)


‖y‖R(A) .

≤∥∥A† ∣∣R(A)


Por lo tanto,

∥∥A†∥∥L(H2,H1)= supz∈BH2

∥∥A†z∥∥H1≤∥∥A† ∣∣R(A)


.

Ası, queda verificada la igualdad∥∥A† ∣∣R(A)


=∥∥A†∥∥L(H2,H1)

. Mas

aun, como el operador A∣∣∣Ker(A)⊥ es inyectivo, Ker

(A∣∣∣Ker(A)⊥ )⊥ = Ker(A)⊥. En

consecuencia,

γ(A∣∣Ker(A)⊥

)= ınf

{∥∥A ∣∣Ker(A)⊥ w∥∥R(A)

: w ∈ Ker (A)⊥ ∧ ‖w‖Ker(A)⊥ = 1

}= ınf

{‖Aw‖H2

: w ∈ Ker (A)⊥ ∧ ‖w‖Ker(A)⊥ = 1

}= γ(A).

Combinando las identidades anteriores resulta:

γ(A) = γ(A∣∣Ker(A)⊥

)=∥∥A† ∣∣R(A)

∥∥−1L(R(A),Ker(A)⊥)

=∥∥A†∥∥−1L(H2,H1)

.

Finalmente, por la Proposicion 10.16,

γ(A∗) =∥∥∥(A∗)

†∥∥∥−1L(H2,H1)

=∥∥∥(A†)∗∥∥∥−1

L(H2,H1)=∥∥A†∥∥−1L(H2,H1)

= γ(A).

En conclusion,

γ(A) =∥∥A†∥∥−1L(H2,H1)

= γ(A∗).

142

Apendice

!

Observacion:

Sea A ∈ L(H1,H2) un operador no nulo con rango cerrado. Ası,

1

∥∥∥A ∣∣∣Ker(A)⊥ ∥∥∥L(Ker(A)⊥,R(A))= ‖A‖L(H1,H2)

.

2∥∥A† ∣∣R(A)

∥∥L(R(A),Ker(A)⊥) =

∥∥A†∥∥L(H2,H1).

143

Apendice

144

Agradecimientos

11 Agradecimientos

Finalmente, nos gustarıa expresar nuestra gratitud a las siguientes personas por su

incondicional ayuda y colaboracion en la escritura de estas notas:

A la Dra. Marıa Laura Arias, por fascilitarnos la presentacion de su exposicion como

ası tambien por sus valiosas sugerencias.

A la Dra. Julieta Ferrario, sin ella, la edicion de este trabajo no hubiera sido posible.

A los Dres. Mariano Ruız y Francisco Martınez Perıa, quienes colaboraron con pro-

vechosas ideas para demostrar algunos de los resultados aquı expuestos.

145

Agradecimientos

146

REFERENCIAS

Referencias

[1] Ando, T. Unbounded or bounded idempotent operators in Hilbert spaces, Linear Algebra Appl.

438, (2013), 3769-3775.

[2] Arias, M. L., Corach G. y Gonzalez, M. C. Additivity properties of operator ranges,

Linear Algebra and its Applications 414 (2006), 570-588.

[3] Arias, M. L., Corach G. y Maestripieri A. Range additivity, shorted operator and the

Sherman-Morrison-Woodbury formula, Linear Algebra and its Applications 467 (2015), 86-99.

[4] Bikchentaev, A.M. On a Lemma of Berezin, Mathematical Notes 5 (2010), 768-773.

[5] Conway, J. B., A Course in Functional Analysis, Second Edition, Springer (1990).

[6] Corach, G., Andruchow, E., Notas de Analisis Funcional, (1997).

[7] Cordes, H.O., Spectral Theory of Linear Differential Operators and Comparison Algebras,

London Mathematical Society. Lecture Note Series, vol. 76, Cambridge University Press, Cam-

bridge, 1987.

[8] Deutsch, F., On majorization, factorization, and range inclusion of operators in Hilbert

spaces, Approximation Theory, Wavelets and Applications, (1995), 107-130.

[9] Douglas, R.G., On majorization, factorization, and range inclusion of operators in Hilbert

spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 413-416.

[10] Fillmore, P.A., Williams, J.P., On operator ranges, Advances in Math. 7 (1971), 254-281.

[11] Furuta, T. Norm inequalities equivalent to Lowner–Heinz theorem, Rev. Math. Phys. 1 (1)

(1989) 135–137.

[12] Gonzalez, M. C. Operator norm inequalities in semi-Hilbertian spaces, Linear Algebra and

its Applications (2010).

[13] Izumino, S., The product of operators with closed range and an extension of the reverse order

law, Tohoku Math. J., 34 (1982), 43-52.

[14] Koliha, J. J., Rakocevic, V. Fredholm properties of the difference of orthogonal projections

in a Hilbert space, Integr. Equ. Oper. Theory 52, (2005), 125-134.

[15] Rudin, W., Functional Analysis, McGraw-Hill (1973).

[16] Stojanoff, D., Un Curso de Analisis Funcional, (2016).

147

Aditividad de rangos de operadores sobre espacios de Hilbert

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