Geometría de Señales Espacios Euclides / Hilbert de... · Previamente se presentaron algunas...

Geometría de SeñalesEspacios Euclides / Hilbert

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Objetivo

Exponer los fundamentos matemáticos que sustentan el tratamiento de señales digitales y su relación con sus contrapartes continuas.

El alumno aprenderá los conceptos básicos de la representación geométrica de señales y su aplicación para el diseño de los sistemas digitales.

Al finalizar esta unidad el alumno deberá tener una idea clara sobre los fundamentos matemáticos que dan sustento al análisis y procesamiento de señales.

● Previamente se presentaron algunas nociones geométricas básicas relacionadas con las señales

● Los conceptos de la Geometría Euclidiana (2D) son ampliamente conocidos:

● Vectores, Normas, Producto Interno (producto punto) y sistemas coordenados.

● Esas nociones geométricas se pueden generalizar para sistemas de N-Dimensiones (Hilbert)

● Los conceptos geométricos se aplican a señales ya que las señales pueden representarse como una abstracción de vectores

Introducción

● Procesamiento de señales vista desde la perspectiva de la Geometría Euclidiana

● Espacios vectoriales

● Vectores

● Norma

● Producto interno

● Fundamentos de los espacios de Hilbert

● Aproximaciones

Temario

Vectores en ℝ²

Geometría Euclidiana

Vectores en ℝ²


x=[ x0

x1]

Vectores en ℝ²


x=[ x0

x1]

∥x∥

Vectores en ℝ²


x=[ x0

x1]

∥x∥

y=[ y0

y1]

Vectores en ℝ²


x=[ x0

x1]

∥x∥

y=[ y0

y1]

∥y∥

Vectores en ℝ²


x=[ x0

x1]α

∥x∥

y=[ y0

y1]

∥y∥

Vectores en ℝ²


x=[ x0

x1]

y=[ y0

y1]

Vectores en ℝ²


x=[ x0

x1]α = π

2

y=[ y0

y1]

Vectores en ℝ²


x=[ x0

x1]α = π

2

y=[ y0

y1]

Vectores Ortogonales

Sistema Coordenado en 2D


x

e0

e1ℝ²



x

e0

e1

Sist. Ortogonal

ℝ²



x

e0

e1

Sist. Ortogonal

x

v0

v1

Sist. Biortogonal

ℝ² ℝ²


● Los sistemas coordenados se definen a través de un conjunto de vectores que expanden el espacio mediante combinaciones lineales entre ellos.

● Dicho conjunto se compone de vectores linealmente independientes → forma un conjunto mínimo de vectores


Demasiados vectores para un espacio:


∃{a0, a1, a2} tal que a 0 x⃗0+ a1 x⃗1+a 2 x⃗2=0

x⃗2

x⃗1 ℝ²

x⃗0

Dependencia lineal :




x⃗2

x⃗1

x⃗0


x⃗2

ℝ²




x⃗2

x⃗1

x⃗0


x⃗2

ℝ²

x⃗1+ x⃗2




x⃗2

x⃗1

x⃗0


x⃗2

ℝ²

x⃗1+ x⃗2=− x⃗0

Pocos vectores para definir un espacio:


e0

e1

ℝ³

e2

x

x̂

Pocos vectores para definir un espacio:


e0

e1

ℝ³

e2

x

x̂

Proyección en un sub-espacio:

es la aproximación mas cercana a en el sub-espacio definido entre y

x̂x

e0 e2

Espacios definidos con vectores → ∞ :

Señales

Espacio definido por las funciones continuas en el intervalo [ -1 1].

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]

N = 0


Señales


N = 1

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 2

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 3

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 4

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 10

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 25

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 50

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 100

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 100

Producto de las conversiones no uniformes, Fenómeno de Gibbs

∑k=0

N

x (2k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


N = 0


Señales


N = 1

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 2

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 3

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 4

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 10

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 25

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 50

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 100

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]


Señales


N = 100

Producto de las conversiones no uniformes, Fenómeno de Gibbs

∑k=0

N

x (k+1) , x (n)=sin( πnt )/n , t ∈ [-1 1 ]

Espacios de Hilbert

Introducción

● El concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio Euclidiano. Esta generalización permite que técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de dimensión ² o ³ ℝ ℝse extiendan a espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión infinita.

Espacios de Hilbert

Introducción (resumen)

● ℝ² / ³ ℝ → Espacios de dimensión = ∞ ● Vectores → Vectores de longitud finita● ❬∙,∙❭ → Medición || v || y α ● 2D / 3D → Espacio de Hilbert

Espacios de Hilbert

Definición:

1) Espacio vectorial definido por:

donde

2) Operación de producto interno (punto)

(mapea 2 vectores en un valor complejo)

3) Completo: toda sucesión de Cauchy converge

H (V ,ℂ)V : conjunto de vectores {v(k)}, k∈ℤ

⟨ ∙ , ∙ ⟩ : V x V→ ℂ

Espacios de Hilbert

1) Espacio vectorial:

● Multiplicación escalar

● Re-dimensionamiento de vectores

● Adición vectorial

● Combinación lineal de vectores

Espacios de Hilbert

1) Espacio vectorial: Multiplicación escalar

x=[ x0

x1]

e0

e1

a ∈ ℂ

ℝ²

x

e0

e1

ℝ²a x=[ a x0

a x1]

E.g. a = 1.5

Espacios de Hilbert

Multiplicación escalar en L2 [-1, 1]

Espacios de Hilbert

Multiplicación escalar en L2 [-1, 1]

E.g. a = 1.5

Espacios de Hilbert

1) Espacio vectorial: Adición vectorial

x=[ x0

x1]

ℝ²

e0

e1

y=[ y0

y1]

Espacios de Hilbert


x=[ x0

x1]

x + yℝ²

e0

e1

y=[ y0

y1]

Espacios de Hilbert


x=[ x0

x1]

x + yℝ²

e0

e1

y=[ y0

y1]

x+ y=[ x0+ y 0

x1+ y1]

Espacios de Hilbert

Adición de señales en L2 [-1, 1]

x = sin (π t)

Espacios de Hilbert


y = sin (4 π t)

Espacios de Hilbert


x + y = sin (π t ) + sin ( 4π t)

Espacios de Hilbert

Propiedades de un espacio vectorial:

● Para : ●

●

●

●

●

●

x , y , z ∈ V & α ,β ∈ ℂx + y = y + x (x + y) + z = x + (y + z) α (x + y) = α x + α y(α + β) x = α x + β xα (β x) = (α β)x∃ 0 ∈ V | x + 0 = 0 + x = x ∀ x ∈ V ∃ (-x) | x + (-x) = 0

Espacios de Hilbert

Sub-espacio vectorial:

● Intuición ℝ² ⊂ ℝ³ ● El resultado de la Suma vectorial y la Multiplicación escalar en el sub-espacio permanece en el sub-espacio.

e0

e1

ℝ³

e2

y

2x

ℝ²

2x + y

Espacios de Hilbert

Subespacios en L2 [-1, 1]

Espacios de Hilbert

Subespacio: señales simétricas en L2 [-1, 1]

x = cos (π t)

Espacios de Hilbert


y = cos (6 π t)

Espacios de Hilbert


x + y = cos (π t) + cos (6 π t)

Espacios de Hilbert


x + y = simétrica

Espacios de Hilbert

2) Producto interno (Producto punto)

● Medida de la similitud entre vectores

● Similitudes

● Longitud

● Ángulox=[ x0

x1]

⟨ x , y⟩ = x0 y0 + x1 y1

ℝ²

e0

e1

y=[ y0

y1]

Espacios de Hilbert


● Medida de la similitud entre vectores

● Similitudes

● Longitud

● Ángulox=[ x0

x1]

⟨ x , y⟩ = x0 y0 + x1 y1

ℝ²

e0

e1

y=[ y0

y1]

α

Espacios de Hilbert


⟨x , y ⟩= x0 y0 + x1 y1

⟨x , y ⟩= √( x02+ x1

2)( y0

2+ y1

2) cosα

⟨x , y ⟩ =∥x∥∥y∥ cosα

Espacios de Hilbert


● Cuando el resultado es igual a 0, los vectores son lo más distintos posible

● Vectores Ortogonales

⟨ x , y⟩ = 0

x=[ x0

x1]

α = π2

y=[ y0

y1]

⟨ x , y⟩ = 0

Espacios de Hilbert


● Cuando el resultado es igual a 0, los vectores son lo más distintos posible

● Vectores Ortogonales

⟨ x , y⟩ = 0

x=[ x0

x1]

α = π2

y=[ y0

y1]

⟨ x , y⟩ = 0

⟨ x , y ⟩ =∥x∥∥y∥ cosα

Espacios de Hilbert

Producto interno: señales en L2 [-1, 1]

Definición:

Señal ortogonal (sin similitudes)

Misma señal

⟨ x , y ⟩ =∫−1

1

x (t ) y (t) dt

⟨ x , y ⟩ = 0

⟨ x , x ⟩ = 1

Espacios de Hilbert


x = sin (π t)

Espacios de Hilbert


y = t

Espacios de Hilbert


⟨ x , y ⟩

Espacios de Hilbert


⟨ x , y⟩ = 2 / π ≈ 0.6367

⟨ x , y⟩ =∫−1

1

x (t) y(t) dt

Espacios de Hilbert


Magnitud = ⟨ x , x ⟩

x = sin (π t)

Espacios de Hilbert


⟨ x , x ⟩ =1

⟨ x , x ⟩=∫−1

1

x(t ) x (t ) dt

Espacios de Hilbert


⟨ x , x ⟩ =1

∥x∥= ⟨ x , x⟩ =∫−1

1

x (t)2 dt

Espacios de Hilbert

Subespacios Ortogonales en L2 [-1, 1]

x = sin (π t) antisimetrica

Espacios de Hilbert


y =1 −∣t∣ simetrica

Espacios de Hilbert


⟨ x , y ⟩

⟨ x , y⟩ =∫−1

1

x (t) y(t) dt

Espacios de Hilbert


⟨ x , y ⟩ = 0

⟨ x , y⟩ =∫−1

1

x (t) y(t) dt

Espacios de Hilbert


x = sin (2π t) antisimetrica

Espacios de Hilbert


y = sin (5 π t) antisimetrica

Espacios de Hilbert


x = sin (2π t) y = sin (5 π t)

Espacios de Hilbert


⟨ x , y ⟩

Espacios de Hilbert


⟨ x , y ⟩ = 0

⟨ x , y⟩ =∫−1

1

x (t) y(t) dt

Espacios de Hilbert


Propiedad:

● Sinusoidales con frecuencia igual a un múltiplo entero de una frec. Fundamental

● Por lo tanto ambas señales son ortogonales entre si :

E.g. : [2π , 5π , ... ] ∃ ω = π

⟨ x , y ⟩ = 0

Espacios de Hilbert

x=sin(2πt), y=cos(5πt) : ❮x,y❯ ???

Espacios de Hilbert


x = sin (2π t) antisimetrica

Espacios de Hilbert


y = cos (5 π t) simetrica

Espacios de Hilbert


x = sin (2π t) y = cos (5 π t)

Espacios de Hilbert


⟨ x , y ⟩ = 0

⟨ x , y⟩ =∫−1

1

x (t) y(t) dt

Espacios de Hilbert

Propiedades del producto interno:

● Para : ●

●

●

●

●

●

●

x , y , z ∈ V & α ∈ ℂ⟨ x+ y , z⟩ = ⟨ x , z⟩ + ⟨ y , z⟩⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x⟩∗ ∗: complejo conjugado⟨α x , y ⟩ = α∗⟨ x , y⟩ ⟨ x ,α y ⟩ = α⟨ x , y ⟩ ⟨ x , x⟩ ≥ 0⟨ x , x⟩ = 0 ⟺ x = 0Si ⟨ x , y ⟩ = 0, x , y ≠ 0 →x,y: ortogonales

Espacios de Hilbert

Producto interno para señales tipo n[ ]

● Definición:

● Valida para todos los vectores de longitud finita. i.e. vectores en ℂN

⟨ x , y ⟩ = ∑n=0

N-1

x * [n] y[n]

x=[ x0

x1] y=[ y0

y1] ⟨ x , y⟩ = [ x0

*x1*][ y0

y1]

Espacios de Hilbert

Producto interno para señales continuas

● Definición:

Precaución: El resultado de la sumatoria puede no convergir. Si no converge, el producto punto NO está definido.

⟨ x , y ⟩ = ∑n=-∞

∞

x* [n] y[n]

Espacios de Hilbert


● Definición:

Secuencias que cumplan :

⟨ x , y ⟩ = ∑n=-∞

∞

x* [n] y[n]

∑∣x [n]∣2 <∞ Norma vectorial cuadrada

Espacios de Hilbert


● Definición:


⟨ x , y ⟩ = ∑n=-∞

∞

x* [n] y[n]


l2 (ℤ)Espacio de secuencias de norma vectorial cuadrada (secuencias del curso)

Espacios de Hilbert


● Definición:


⟨ x , y ⟩ = ∑n=-∞

∞

x* [n] y[n]


l2 (ℤ)ℤ : indices

Espacio de secuencias de norma vectorial cuadrada (secuencias del curso)

Espacios de Hilbert

Norma

● Definición:

● La norma define la distancia entre vectores

∥x∥ = √⟨ x , x ⟩

d (x , y ) = ∥x − y∥

Espacios de Hilbert

Norma y distancia en ℝ²

∥x∥

ℝ²

Espacios de Hilbert


∥x∥ = √⟨ x , x ⟩ = √x0

2 + x12

∥x∥

ℝ²

Espacios de Hilbert


∥x∥

∥y∥

ℝ²

Espacios de Hilbert


∥y∥ = √ ⟨ y , y ⟩ = √ y 0

2 + y12

∥x∥

∥y∥

ℝ²

Espacios de Hilbert


∥x∥

∥y∥∥x− y∥

ℝ²

Espacios de Hilbert


∥x− y∥ = √(x 0− y0)

2 + (x1− y1)2

∥x∥

∥y∥∥x− y∥

ℝ²

Espacios de Hilbert

Norma y distancia en señales en L2 [-1, 1]

x = sin (π t)

∥x−y∥2=∫−1

1

∣x (t )−y (t)∣2 dt

Espacios de Hilbert


y = t

∥x−y∥2=∫−1

1

∣x (t )−y (t)∣2 dt

Espacios de Hilbert


x− y

∥x−y∥2=∫−1

1

∣x (t )−y (t)∣2 dt

Espacios de Hilbert


∥x− y∥2 = 0.39359

∥x−y∥2=∫−1

1

∣x (t )−y (t)∣2 dt

Sistemas Coordenados

Espacios de Hilbert

x

e(0 )

e(1 )

Sist. Ortogonal

ℝ²

x=α0 e(0 ) + α1e(1)


Espacios de Hilbert

x

e(0 )

e(1 )

Sist. Ortogonal

x

v(0 )

v(1 )

Sist. Biortogonal

ℝ²

x=α0 v(0 )+ α1 v(1 )x=α0 e(0 ) + α1e(1)

ℝ²


Espacios de Hilbert

x

e(0 )

e(1 )

Sist. Ortogonal

x

v(0 )

v(1 )

Sist. Biortogonal

ℝ²x

g(0 )g(1 )

g(0 ) + g(1 )= 0

No existe sistema

x≠α0 g (0 ) + α1 g(1) para cualquier α0,α1

x=α0 v(0 )+ α1 v(1 )x=α0 e(0 ) + α1e(1)

ℝ² ℝ²

Espacios de Hilbert


● Si dentro de un espacio vectorial H, existe un conjunto de K vectores ∈ H, tal que:

W={w (k )} k=0,1,. .. K−1

Espacios de Hilbert


● Si dentro de un espacio vectorial H, existe un conjunto de K vectores ∈ H, tal que:

● W se definirá como un sistema coordenado si:

● Se puede encontrar para cualquier x ∈ H :

● Y si los coeficientes αk son únicos

W={w (k )} k=0,1,. .. K−1

x = ∑k=0

K−1αk w(k ), αk∈ℂ

Dim(H)=K

Espacios de Hilbert

Sistemas Coordenados● En consideración con la definición anterior, si se encuentra que la representación del conjunto de vectores W es única, esto implicaría forzosamente la independencia lineal del conjunto entre sí:

∑k=0

K−1

αk w(k) = 0 ⬄ αk = 0, k = 0, 1, ... , K−1

Espacios de Hilbert

Sistemas Coordenados especiales● Sistemas ortogonales :

● Sistemas ortonormales :

⟨w(k) , w(n )⟩ = 0 para k≠n

⟨w(k) ,w(n )⟩ = δ[ n− k ] δ [ n ]={1 n=00 n≠0}

Algoritmo Gram-Schmidt

Espacios de Hilbert

Expansión de los Sistemas Coordenados

● ¿Como se determinan los valores de α(k) ?

● Sistemas ortonormales :

● Proyección del vector x sobre el Eigenvector w

(k) deseado

αk=⟨w(k) , x⟩

x = ∑k=0

K−1

αk w(k )

Espacios de Hilbert

E.g.: Sistemas Coordenados en ℂN

● El sistema contiene N eigenvectores

● Para el sistema ortonormal canónico :

e(k )= [0⋮010⋮0]

1 corresponde al k-esimo vector, 0 ≤ k < N

Espacios de Hilbert

E.g.: Sist. Coor. de secuencias en L2 [ ℤ ]

● El sistema contiene infinito número de vectores

● Para el sistema ortonormal canónico :

e(k )= [0⋮010⋮0]

1 corresponde al k-esimo vector, k ∈ ℤ

Espacios de Hilbert

3) Espacio completo «completeness»

● Cuando un espacio esta acotado por límites debemos asegurarnos que los límites de las secuencias de vectores aún caen dentro del espacio vectorial en cuestión.

● Para que el espacio se considere completo se debe cumplir que toda sucesión de Cauchy converja.

Espacios de Hilbert

3) Espacio completo «completeness»● Para demostrar la importancia de un espacio completo se pueden ilustrar los efectos al mostrar un espacio incompleto.

● E.g.: Conjunto de los número racionales.

xn = ∑k=0

n1

k !∈ ℚ pero lim

n→∞xn= e ∉ ℚ

ℚ : {ab } a , b ∈ ℤ

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