Post on 09-Jul-2020
19
2Equacions i sistemes de primer grau
Equacions de primer grau amb una incògnita. Resolució
1. a) Llegeix atentament l’endevinalla numèrica següent i resol-la començant amb tres nombres diferents:
Pensa un nombre.Suma-li 5.Multiplica el resultat per 3.Resta-li el doble del nombre que has pensat.Resta-li 15.
Què observes?
b) Escriu la igualtat que correspon a l’endevinalla de l’apartat anterior: anomena a el nombre que has pensat i tradueix per ordre cada frase al llenguatge algèbric. La igualtat que obtindràs és una identitat.
c) Practica una mica amb l’endevinalla següent. Pensa un nombre.Suma-li 1.Eleva la suma al quadrat.Resta-li 1.Resta-li el doble del nombre que has pensat.
Quin nombre obtens?
Escriu la identitat corresponent.
d) Determina si les igualtats següents són identitats o no.
2x �5x −3x : 2x �5�3x :
2(m�1)�3�2m�1: 2(m�1)�3��1:
:a�
a2
�a3
�116
a�a2
�a3
�11a
6:
Una identitat és una igualtat algèbrica que es compleix per a qualsevol valor numèric que assignem a la lletra o a les lletres que apareixen en els seus membres.
6553_Mates3_Q_02.indd 19 04/04/11 15:40
20
Equacions i sistemes de primer grau 2
2. a) Donada la igualtat 3(m + 1) – 5 = 4 + 2(m – 1):
Substitueix m per 4 a cada membre de la igualtat i fes els càlculs.
Substitueix m per –4 a cada membre de la igualtat i fes els càlculs.
Què observes?
b) Comprova quins dels valors següents són solució de l’equació 3x2 + 5x = 4 + x.
x = –2.
x = 5.
x =
23
.
x = –1.
c) Comprova que x = 3 és una solució de l’equació (x – 1)(x + 2)(x – 3) = 0 i busca’n dues solucions més.
d) Busca quins nombres són solució de les equacions següents i indica quines equacions són equivalents:
A. 6 + x = 12 B. 24 = 3x C.
x �45
�2
D.
369
�x4
E. 2(x + 2) = 16 F. x2 – 6 = 30
G. x + 10 = 2x – 2 H. 20 = 2x + 4 I. x(x + 2) = 80
Una equació és una igualtat algèbrica que només es compleix per a un valor deter-minat de la lletra (incògnita) que apareix en els seus membres.
El grau d’una equació fa referència a l’exponent al qual està elevada la incògnita.
La solució d’una equació és el valor numèric de la incògnita que veri� ca la igualtat algèbrica.
Si dues equacions tenen les mateixes solucions, direm que són equivalents.
6553_Mates3_Q_02.indd 20 04/04/11 15:40
21
Equacions i sistemes de primer grau 2
3. a) Agrupa tots els termes amb la incògnita en un membre de l’equació i tots els termes numèrics en l’altre i determina la solució de les equacions següents:
3�5x �1�2x
17�2�3x
6x �45�9
x �2�7x �0
5x �2�1�7x �12
24�24 x �24�25x
b) Aplica la propietat distributiva per treure els parèntesis i transposa termes per resol-dre les equacions següents:
3 x �2( ) � 4 �7 x � 4( )
5 x �3( ) �10
1�3x � 4 x �5� 4 � x( )
15x �5 x �1( ) �120 �5x
7 �3 2� x( ) − 3x � 9 �2 x
4 �2 x �3( ) �13�5 x � 4( )
c) Per resoldre les equacions següents, aplica la propietat fonamental de les fraccions
equivalents (si
ab
�cd
, llavors es veri� ca que a · d = b · c).
x �14
�x �2
3
x �13
�2x �4
5
5�2x �x �3
2
x �1x �1
�2
Resoldre una equació de primer grau amb una incògnita és trobar el valor numèric de la incògnita que veri� ca la igualtat.
6553_Mates3_Q_02.indd 21 04/04/11 15:40
22
Equacions i sistemes de primer grau 2
4. a) Per resoldre l’equació següent:
x − 62
�x �5
4�
1� x6
.
• Calcula el mínim comú múltiple dels denominadors:
• Multiplica els dos membres de l’equació pel m. c. m. dels denominadors:
• Resol l’equació equivalent sense denominadors:
• Quantes solucions te l’eqüació?
b) Resol les equacions següents multiplicant-les pel m. c. m. dels denominadors:
2x5
�1� x �13
x �37
�x �1
2�
314
x �22
�x �3
3− x �4
4�0
c) Aplica la propietat distributiva per treure els parèntesis i multiplica pel m. c. m. dels denominadors per resoldre les equacions següents:
x �23
�x �3
2�
5 1�2x( )6
2 x �1( )9
�2 3� x( )
3� 4
2 x �1( )�x �3
2�
1�2x6
Una equació de primer grau amb una incògnita té sempre una única solució o bé no en té.
6553_Mates3_Q_02.indd 22 04/04/11 15:40
23
Equacions i sistemes de primer grau 2
d) Efectua primer les potències i els productes per resoldre les equacions següents:
x �2( ) x �2( )�3� x �1( ) x �4( )
10� x 2 � 4 x� x �3( )2
x �2( )2� x �2( ) x �3( )� x −2
4 x 3� x( )��3x � 2x �3( )2
1� x( ) 2x �5( )� x �4( ) 3�2x( )
e) Aïlla la lletra x de les fórmules següents:
Ax �B�C A� xB�C A�B( x �C )
Ax �B �C A( x �B)�C A� x �B�C
A� x �B A�Bx �C A�B� x
f ) Aïlla la lletra y de les fórmules següents:
yA
�B A�by
y � AB
�C
A� yB
�CA�By
C�D A�
B�CyD
A( y �B)C
�DA
y �B�C A�
By
�C
6553_Mates3_Q_02.indd 23 04/04/11 15:40
24
Equacions i sistemes de primer grau 2
Equacions de primer grau amb dues incògnites
5. a) En la igualtat x + 2y = 6, substitueix x pel valor que s’indica i calcula en cada cas el valor de y:
x = 0
x = 2
x = –1
x = 4
x = –6
b) Completa la taula, representa grà� cament les cinc solucions de l’equació de l’apartat a) i dibuixa la recta que les conté:
Solució equació x + 2y = 6 Punt
x = 0 y =
x = 2
x = –1
x = 4
x = –6
c) Busca cinc punts que siguin solució de l’equació 2x + y = 5 i representa’ls grà� cament:
Solució equació 2x + y = 6 Punt
x = y =
Una equació de primer grau amb dues incògnites és una igualtat del tipus ax + by = c, en què a, b i c són nombres racionals tals que a i b són diferents de zero, i x i y són les incògnites.
Les equacions d’aquest tipus tenen un nombre il·limitat de solucions, les represen-tacions grà� ques de les quals són punts que pertanyen a una mateixa recta.
-1
-7-6-5-4-3-2-1
1234567
-2-3-4-5-6-7 7654321
-1
-7-6-5-4-3-2-1
1234567
-2-3-4-5-6-7 7654321
6553_Mates3_Q_02.indd 24 04/04/11 15:40
25
Equacions i sistemes de primer grau 2
Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.Resolució grà� ca
6. a) Completa la taula de solucions per a cada equació i representa grà� cament les so-lucions als mateixos eixos.
2x + y = 7 Punt
x = 1 2 · 1 + y = 7 y =
x = 3
x – y = –1 Punt
x = 0
x = –2
b) Busca dues solucions de cada equació i resol grà� cament el sistema format per les equacions x – y = –4 i 6x – y = 1.
x – y = –4 Punt
x =
x =
6 x – y = 1 Punt
x =
x =
La solució del sistema és el punt P ( , ).
c) Resol grà� cament el sistema
3x � y �5
x �2y � 4
.
Punt
x =
x =
Punt
x =
x =
La solució del sistema és el punt P ( , ).
Resoldre un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites consisteix a trobar els valors d’aquestes incògnites que veri� quen a la vegada les dues equacions.
Quan trobem la solució del sistema a partir de la representació grà� ca de les solucions de cadascuna de les equacions, diem que hem resolt el sistema grà� cament.
-1
-7-6-5-4-3-2-1
1234567
-2-3-4-5-6-7 7654321
-1
-7-6-5-4-3-2-1
1234567
-2-3-4-5-6-7 7654321
-1
-7-6-5-4-3-2-1
1234567
-2-3-4-5-6-7 7654321
6553_Mates3_Q_02.indd 25 04/04/11 15:40
26
Equacions i sistemes de primer grau 2
Tipus de sistemes
7. a) Representa grà� cament les equacions 3x + y = 2, 6x + 2y = 4 i 3x + y = –1.
Punt
x =
x =
Punt
x =
x =
Punt
x =
x =
Com són les rectes corresponents al sistema
3x � y �2
6x �2y � 4
?
Com són les rectes corresponents al sistema
3x � y �2
3x � y ��1
?
b) Determina el valor de m en cada cas perquè les solucions siguin les indicades:
x �2y �5
mx �4 y �10
Té in� nites solucions.
x �3y �5
x �my �10
No té solució.
x �2y �5
x � y �m
Solució: x = 1, y = 2.
En representar en una mateixa grà� ca les solucions de les dues equacions de primer grau amb dues incògnites que formen el sistema, podem trobar-nos amb tres situa-cions diferents:
Les dues rectes es tallen en un punt: el sistema té una única solució i diem que és compatible determinat.
Les dues rectes són paral·leles: les dues rectes no tenen cap punt en comú, el sistema no té solució i diem que és incompatible.
Les dues rectes són coincidents: el sistema té un nombre il·limitat de solucions i diem que és compatible indeterminat.
-1
-7-6-5-4-3-2-1
1234567
-2-3-4-5-6-7 7654321
6553_Mates3_Q_02.indd 26 04/04/11 15:40
27
Equacions i sistemes de primer grau 2
Resolució algèbrica de sistemes d’equacions de primer grau
8. a) Resol aquests sistemes seguint les indicacions donades en cada pas:
x �2y ��6
3x � y ��4
Multiplica la segona equació per 2:
Suma les dues equacions:
Troba el valor de x:
Substitueix aquest valor a la primera equació i troba y:
5x �2y �1
4 x �3y �10
Aïlla x de les dues equacions:
Iguala les dues expressions de x:
Resol l’equació i troba el valor de y:
Substitueix aquest valor en una de les expressions de x:
x � y ��4
6x � y �6
Aïlla x de la primera equació:
Substitueix x en la segona:
Resol l’equació i troba el valor de y:
Substitueix aquest valor en l’expressió aïllada de x:
b) Resol els sistemes següents per reducció eliminant la incògnita que s’indica:
5x �2y �13
3x �7y �2
(Elimina x.)
x � y �0
2x �4 y �6
(Elimina y.)
Utilitzem tres mètodes algèbrics per resoldre sistemes d’equacions: els mètodes de reducció, igualació i substitució.
Podem trobar-nos amb una d’aquestes tres situacions:
Sistema compatible determinat: ax = b o cy = d amb a ≠ 0 i c ≠ 0.
Sistema compatible indeterminat: 0x = 0 o 0y = 0.
Sistema incompatible: 0x = b o 0y = d amb b ≠ 0 i d ≠ 0.
6553_Mates3_Q_02.indd 27 04/04/11 15:40
28
Equacions i sistemes de primer grau 2
c) Resol els sistemes següents per igualació aïllant la incògnita que s’indica:
x �3y ��1
3x �4 y �2
(Aïlla x.)
2x � y �3
5x � y �9
(Aïlla y.)
d) Resol els sistemes següents per substitució aïllant la incògnita que s’indica:
3x � y �3
x �2y �11
(Aïlla x de la segona.)
5x � y �7
3x �2y �12
(Aïlla y de la primera.)
e) Efectua les operacions que calgui en cada equació i expressa-la de la forma ax + by = c; després, utilitza el mètode indicat per resoldre algèbricament el sistema:
Reducció
4 x �3 y �1( )�5
3( y �1)�2x �1
Substitució
x �2y �1
2x �13
�2y �3
2�
52
Igualació
3x �22
� y ��1
y �22
� x �1
f ) Resol el sistema següent amb el mètode que prefereixis:
x �13
�y �2
5�
115
2x �3 2� x( )
2�
5y2
�2( y �2)�32
6553_Mates3_Q_02.indd 28 04/04/11 15:40
29
Equacions i sistemes de primer grau 2
Resolució de problemes
9. a) Dos nombres sumen 45 i la diferència entre el doble del més petit i el triple del més gran és 50. Quins nombres són? Fem-ho per passos:
• Considera les incògnites: nombre més petit ⇒ x nombre més gran ⇒ y
• Tradueix al llenguatge algèbric les frases següents:
«Els dos nombres sumen 45»:
«La diferència entre el doble del més petit i el triple del més gran és 50»:
• Resol, emprant el mètode que vulguis, el sistema format per les dues equacions anteriors:
• Comprova que la solució del problema és coherent amb l’enunciat i escriu-la:
Els dos nombres són i
b) Una prova consta de 20 qüestions. Per cada qüestió contestada correctament, un alumne té 3 punts, però per cada qüestió no contestada o incorrecta, en perd 2. Al � nal de la prova aconsegueix 30 punts. Quantes qüestions contesta correctament?
• Considera les incògnites: Qüest. correctes ⇒ Qüest. incorrectes ⇒
• Tradueix al llenguatge algèbric:
La frase que fa referència al nombre de qüestions:
La frase que fa referència als punts de la prova:
• Resol el sistema:
• Comprova la solució i escriu-la: Contesta correctament qüestions.
Per resoldre un problema utilitzant mètodes algèbrics:
Escriu quines són les incògnites i assigna una lletra a cadascuna. Tradueix cada frase al llenguatge algèbric. Resol el sistema d’equacions. Comprova que les solucions són coherents amb l’enunciat. Escriu la solució del problema.
6553_Mates3_Q_02.indd 29 04/04/11 15:40
30
Equacions i sistemes de primer grau 2
c) Volem barrejar dos tipus de vi, un de 5,20 €/L i un altre de 6,20 €/L, per obtenir 100 litres de vi que tingui un preu de 6 €/L. Quants litres de cada tipus hem de barrejar?
• Incògnites: L de vi del primer tipus ⇒ L de vi del segon tipus ⇒
• Tradueix al llenguatge algèbric:
La frase que fa referència al nombre de litres:
La frase que fa referència al preu:
• Resol el sistema:
• Solució: Hem de barrejar L del primer tipus de vi i L del segon.
d) Les dues xifres d'un nombre sumen 10. Si se n’inverteix l’ordre, s’obté un nombre 36 unitats més gran. De quin nombre es tracta?
• Xifra de les desenes ⇒ Xifra de les unitats ⇒
• Nombre que busquem ⇒ 10 +
• Tradueix al llenguatge algèbric:
La suma de les dues xifres del nombre és 10:
La diferència entre el nombre amb les xifres invertides i el nombre inicial és 36:
• Resol el sistema:
• Solució: Es tracta del nombre
e) En un hotel hi ha 120 habitacions, de les quals algunes són dobles i la resta individuals. En total hi ha 195 llits. Quantes habitacions hi ha de cada tipus?• Incògnites: habitacions individuals ⇒ habitacions dobles ⇒
• Tradueix al llenguatge algèbric:
La frase que fa referència al nombre d’habitacions:
La frase que fa referència al nombre de llits:
• Resol el sistema:
• Solució: Hi ha habitacions individuals i dobles.
6553_Mates3_Q_02.indd 30 04/04/11 15:40
31
Equacions i sistemes de primer grau 2
10. a) Indica clarament quines són les incògnites i resol aquests problemes:
• En Carles ha comprat a l’estanc 52 segells de correus: uns per a l’estranger, que costen 65 cèntims, i uns altres per al país, que costen 0,35 €. Si en total ha pagat 25,40 €, quants segells ha comprat de cada classe?
• Tenim monedes de 50 ct. i 20 ct. En total tenim 68 monedes i 23,2 €. Quantes monedes de cada tipus tenim?
• Una botiga d’esports ha venut 60 raquetes de pàdel de competició el preu origi-nal de les quals era de 240 € cadascuna, amb un descompte del 20 % en unes i d’un 30 % en les altres, i ha ingressat 11 088 €. Quantes raquetes ha venut amb el 30 % de descompte?
b) Un professor de tennis reparteix pilotes entre els alumnes per fer un entrenament. En dóna 3 a cada un i en sobren 12. Com que vol que cada alumne en tingui 5, calcula que ha de comprar 18 pilotes més. Quants alumnes són?
c) Quan 32 professors de matemàtiques arriben a un congrés, l’organitzador observa que falten 14 persones perquè el nombre d’assistents sigui el triple dels que hi havia inicialment. Quantes persones hi ha ara a la reunió?
6553_Mates3_Q_02.indd 31 04/04/11 15:40
32
Equacions i sistemes de primer grau 2
Activitats
1. De quina de les equacions següents és solució x = 2?
a) 3(x + 1) – 2 = 4x
b) 5 – 2(x + 2) = 2x
c) 6(x – 2) + 2x = 4
d) 2x – 4 = –(x + 5)
2. Si una de les solucions de l’equació
mx – 4y = 2 és x = 0 i y =
�
12
, podem assegurar que:
a) m = 1
b) m = 0
c) m = 2
d) m pot ser qualsevol nombre.
3. La recta que conté les solucions de l’equació 3x – 2y = 5 passa pel punt:
a) A 0, 52
b) B(1, 1)
c) C(9, 2)
d) D(–1, 4)
4. Considera el sistema
x �2y �2
mx �4 y ��4
a) Si m = 0, és incompatible.
b) Si m = –2, és compatible indeterminat.
c) Mai no serà compatible determinat.
d) Sempre serà incompatible.
5. La traducció al llenguatge algèbric de la frase «La base b d’un rectangle és el doble que l’altura a, i el seu perímetre és 78 cm» pot ser:
a ) 2b � a � 78
b )2b � a
2b �2a � 78
c )b � 2a
2a �2b � 78
d ) 2b �2(2b )� 78
6. Resol l’equació:
35
⋅ x �33
�
x �53
�1�x �210
Escriu aquí el resultat � nal.
7. Resol l’equació:
x �3( )2� x �2( ) x �2( )�6 x �4( )
Escriu aquí el resultat � nal.
8. Resol el sistema:
x �12
� y
2x �13
�2y �3
2�
52
Escriu aquí el resultat � nal.
9. El perímetre d’un quadrat després d’augmentar 5 cm el costat és 168 cm. Quant mesura el costat del quadrat ini-cial?
Escriu aquí el resultat � nal.
10. A la cantina de l’institut venen entre-pans de pernil a 1,20 € i entrepans de formatge a 1,10 €. En un matí han venut 56 entrepans i la recaptació ha estat de 64,60 €. Quants entrepans han venut de cada classe?
Escriu aquí el resultat � nal.
6553_Mates3_Q_02.indd 32 04/04/11 15:40