Engranajes Hiperbólicos

En la transmisión de movimientos de ejes que se cruzan se utilizan distintas soluciones:

1. Engranajes hiperbólicos con ruedas cilíndricas helicoidales.2. Engranajes hiperbólicos con ruedas cónicas. Engranajes Hipoide. Se

trata de engranajes cónicos GLEASON sometidos a una talla especial.3. Engranajes de rueda y tornillo sin fin.4. Engranaje de rueda y tornillo glóbico.

Engranajes hiperbólicos con ruedas helicoidales

Consideremos la fig. 1, un plano ruleta C y un plano generador H, y supongamos un cilindro primitivo C1 tangente al plano C según la recta AB, y un segundo cilindro primitivo C2 tangente también a C, pero según la recta DE. Ambos cilindros serían tangentes en el punto M y sus ejes se cruzan según el ángulo ϕ. La distancia mínima entre ejes será d=R1+R2.

Figura 1.

Al rodar el plano C sobre el cilindro C1 engendrará una superficie helicoidal S1 de ángulo de inclinación aparente βa1 cuyo plano de engrane será el T1 (ABF) siendo la característica de contacto, de S1 y H en el instante considerado la BF. De análoga manera, al rodar el plano C sobre el cilindro C2, engendrará otra superficie helicoidal S2, de ángulo de inclinación aparente βa2 y cuyo plano de engrane será T2 (DLG).

Siendo la característica de contacto de S2 y H en el mismo instante considerado la GL. Por consiguiente, las dos superficies helicoidales S1 y S2 se tocarán en este instante en el punto N de intersección de ambas características BF y GL, y al moverse las dos ruedas alrededor de sus ejes, este punto de

contacto se desplazará sobre la recta NM, intersección de los dos planos de engrane, T1 y T2 mientras el plano H se desplaza paralelamente a sí mismo.

La recta MN resulta ser la perpendicular a H, levantada desde M y el ángulo que forma esta recta con el plano C será el ángulo de presión α r (no indicado en la figura 1).

Por consiguiente, dos ruedas helicoidales cilíndricas sirven para transmitir el movimiento entre dos ejes que se cruzan según un ángulo.

ó

Y cuya distancia mínima sea:

d=R1+R2

siendo R1 y R2 los radios de los cilindros primitivos C1 y C2 de las ruedas.

Para deducir la relación de transmisión que se establece entre ambas ruedas consideramos, fig. 2, el plano C y sobre él las rectas AB y DE de contacto de este plano con los cilindros primitivos C1 y C2, respectivamente, así como dos posiciones sucesivas de la traza del plano H, con una TS, cuando pasa por el punto M y otra, T’S’, anterior o posterior. La velocidad tangencial V1, del cilindro C1, será igual a la velocidad de traslación de la traza de H en la dirección MN1 normal a AB y así mismo la velocidad tangencial V2, del cilindro C2 será igual a la velocidad de traslación de la traza H en la dirección MM2

normal a DE.

Figura 2.

La primera velocidad será.

V1=ω1*R1

Y la segunda valdrá:

V2= ω2*R2

Y ambas son respectivamente proporcionales a los segmentos MM1 y MM2, que corresponden a las traslaciones de la traza de H en las direcciones indicadas.

Se tendrá, por tanto:

Pero en el triángulo MM1M2, se tiene:

Luego:

, y de aquí:

Para que el engranaje sea posible es además necesario, que el módulo normal mn sea el mismo en ambas ruedas, y por tanto, si ma1 y ma2 son los módulos aparentes de C1 y C2 respectivamente, se tendrá:

igualándolas, queda: ,

De donde:

y por tanto

Fórmula que nos dice, la relación de transmisión en estos engranajes, como en todos los demás, es igual a la relación inversa de los números de dientes:

La relación:

nos indica que una determinada relación de transmisión se obtiene con distintas relaciones R1/R2, variando adecuadamente los ángulos βa1 y βa2; o sea, que con dos ruedas aparentemente iguales se pueden obtener relaciones de

transmisión muy distintas de la unidad, bastando para ello que los ángulos indicados sean muy distintos.

Esta propiedad, permite realizar estas ruedas con un módulo mn

prefijado, y deducir los ángulos correspondientes mediante la construcción gráfica de la fig. 3.

Figura 3.

Tomemos dos ejes coordenados OX, OY, que formen entre sí el mismo ángulo φ que formen los ejes de la transmisión. Normalmente a ellos tomemos las magnitudes OD y OE respectivamente proporcionales a los números de dientes z1 y z2 de casa rueda; por los puntos D y E tracemos las paralelas DB y EB a los ejes; por el punto B, así definido, se hace pasar una recta de modo que limite entre los ejes un segmento AC=2d/mn siendo d=R1+R2 la distancia mínima entre los ejes de transmisión.

De esta forma quedarán determinados los ángulos βa1 y βa2 que son los indicados en la figura 3. En efecto:

, pero

; , y

Luego:

El problema de colocar el segmento AC=2d; mn en forma que se apoye en los ejes y pase por B, tiene en general dos soluciones, si bien puede dar lugar a una o ninguna.

De la observación del triángulo OAC, se deduce que se verifica:

βa1+ βa2=φ

En el caso de ser φ=90º, fig. 4, las fórmulas y la construcción se simplifican, puesto que φ= βa1+ βa2=90º.

En ambos casos, las longitudes de AB y BC multiplicadas por 0.5mn nos darán los radios R1 y R2.

Figura 4.