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8/13/2019 Enfriando Un Huevo Duro
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Problema de transmisión de calor Problema de transmisión de calor Un cuerpo de masa M y superficie S intercambia una cantidad de calor por unidad de tiempo
δQ/dt estando sumergido en un fluido a temperatura θ=20oC. Si inicialmente la temperatura del
cuerpo es T0=50oC y suponiendo que el mismo tiene una conductividad λ → ∞ y
emisividad ε → 0,
Un cuerpo de masa M y superficie S intercambia una cantidad de calor por unidad de tiempo
δQ/dt estando sumergido en un fluido a temperatura θ=20
oC. Si inicialmente la temperatura del
cuerpo es T0=50oC y suponiendo que el mismo tiene una conductividad λ → ∞ y
emisividad ε → 0,
a) Obtener la expresión de la temperatura en función del tiempo T (t ).a) Obtener la expresión de la temperatura en función del tiempo T (t ).
- 1 - LIP
MLF
2/ f T
b) Calcular la temperatura final T f del cuerpo. b) Calcular la temperatura final T
c) Calcular el tiempo para el cual T c) Calcular el tiempo para el cual T 2/ f T f del cuerpo.
= .
Datos:
M = 1 kg; S = 100 cm2
; T 0= 50°C, θ = 10°C ; h = 50W/m2K;
c = 0,84 J/(g.°C) (calor específico de la masa M ).
Del enunciado tenemos:
• conductividad λ → ∞: quiere decir que la temperatura del cuerpo es la misma en todos sus
puntos, es decir que no hay gradiente de temperatura en su interior.
• emisividad ε → 0: que el cuerpo no pierde calor por radiación.
a) Obtener la expresión de la temperatura en función del tiempo T ( t).
Por lo dicho, plantearemos que la transferencia de calor entre el cuerpo y el fluido se produce
sólo debido a convección y describiremos el proceso mediante la Ley de convección térmica:
)( θ δ
−= T S hdt
Q (1)
Donde:
h es el coeficiente de convección de transferencia de calor del fluido.
S es el área de contacto entre el cuerpo (a la temperatura T) y el fluido circundante (a temperatura θ ).
Si la temperatura es mayor que la del fluido0T θ , el cuerpo pierde una cantidad de calor Qδ ,
disminuyendo su temperatura. La tasa de pérdida de calor del cuerpo puede escribirse como:
dt
dT M c
dt
Q−=
δ (2)
Donde: c y M son el calor específico y la masa del cuerpo respectivamente (datos del problema).
Todo el calor que cede el cuerpo para disminuir su temperatura es el que está entregando al
fluido, entonces igualamos (1) y (2) y llegamos así a la Ley de enfriamiento de Newton, que
establece que la rapidez de variación de la temperatura del cuerpo es proporcional a la diferencia
de la temperatura de éste y la del medio ambiente que lo rodea:
)( θ −=− T S hdt
dT M c (3)
Que también puede escribirse, llamando k a
M c
S h , como: )( θ −−= T k
dt
dT (4)
Donde:
k es un parámetro de enfriamiento que es constante y que depende del cuerpo.
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Partiremos de (3), que es una ecuación diferencial de primer orden a coeficientes constantes, y la
resolveremos por el método de variables separadas:
∫∫=
−=−
t
t
T
T
dt M c
S h
T
dT
000)( θ
( )t t
M c
S hT T
00 )ln()ln( −=−−−
Entonces, la expresión de la temperatura en función del tiempo T (t ) será:
( )t
M c
S h
eT t T −
−+= θ θ 0)( (5)
Con los datos: 1680Cº30Cº20)(
t
et T −
+= y donde hemos supuesto que el coeficiente deconvección no cambia con la temperatura (lo que es una aproximación).
b) Calcular la temperatura final del cuerpo T f
La temperatura final o estacionaria del cuerpo será la obtenida de hacer t→ para (5):∞
Siendo que: 0lim t =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −∞→
t M c
S h
e , entonces es fácil ver de (5) que:
θ = f T (6)
Con los datos: C T f º20== θ .
c) Calcular el tiempo para el cual2
f T T =
O sea, el tiempo para el cualt 22
θ == f T
T , de (5):
( ) ⇒−+= − t
M c
S h
eT θ θ θ
0
2 ( ) ( )
t M c
S h
eT T
−
=−
−=
−
−
00
22
θ
θ θ
θ
θ θ
( ) ⇒−=
−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
t M c
S h
T 0
2ln
θ
θ θ
( )θ
θ θ
−
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
−=0
2ln
T S h
M ct (7)
Reemplazando con los datos:
( ) ( ) min3010,116806/1ln1680 ≈−−=−= st
- 2 - LIP
MLF