8/13/2019 Enfriando Un Huevo Duro

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Problema de transmisión de calor Problema de transmisión de calor Un cuerpo de masa  M y superficie S intercambia una cantidad de calor por unidad de tiempo

δQ/dt estando sumergido en un fluido a temperatura θ=20oC. Si inicialmente la temperatura del

cuerpo es T0=50oC y suponiendo que el mismo tiene una conductividad λ   →  ∞  y

emisividad ε → 0,

Un cuerpo de masa  M y superficie S intercambia una cantidad de calor por unidad de tiempo

δQ/dt estando sumergido en un fluido a temperatura θ=20

 

oC. Si inicialmente la temperatura del

cuerpo es T0=50oC y suponiendo que el mismo tiene una conductividad λ   →  ∞  y

emisividad ε → 0,

a)  Obtener la expresión de la temperatura en función del tiempo T (t ).a)  Obtener la expresión de la temperatura en función del tiempo T (t ).

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MLF

2/ f T 

 b)  Calcular la temperatura final T  f   del cuerpo. b)  Calcular la temperatura final T 

c)  Calcular el tiempo para el cual T c)  Calcular el tiempo para el cual T  2/ f T  f   del cuerpo.

= .

Datos:

 M = 1 kg; S = 100 cm2

;  T 0= 50°C, θ  = 10°C ; h = 50W/m2K;

c = 0,84 J/(g.°C) (calor específico de la masa M ).

Del enunciado tenemos:

•  conductividad λ  → ∞: quiere decir que la temperatura del cuerpo es la misma en todos sus

 puntos, es decir que no hay gradiente de temperatura en su interior.

•  emisividad ε → 0: que el cuerpo no pierde calor por radiación.

a)  Obtener la expresión de la temperatura en función del tiempo T ( t).

Por lo dicho, plantearemos que la transferencia de calor entre el cuerpo y el fluido se produce

sólo debido a convección y describiremos el proceso mediante la Ley de convección térmica:

)(   θ δ  

−= T S hdt 

Q  (1) 

 Donde:

  h es el coeficiente de convección de transferencia de calor del fluido.

  S es el área de contacto entre el cuerpo (a la temperatura T) y el fluido circundante (a temperatura θ  ).

Si la temperatura es mayor que la del fluido0T    θ  , el cuerpo pierde una cantidad de calor Qδ    ,

disminuyendo su temperatura. La tasa de pérdida de calor del cuerpo puede escribirse como:

dt 

dT  M c

dt 

Q−=

δ   (2)

 Donde:  c y M son el calor específico y la masa del cuerpo respectivamente (datos del problema).

Todo el calor que cede el cuerpo para disminuir su temperatura es el que está entregando al

fluido, entonces igualamos (1)  y (2)  y llegamos así a la  Ley de enfriamiento de Newton, que

establece que la rapidez de variación de la temperatura del cuerpo es proporcional a la diferencia

de la temperatura de éste y la del medio ambiente que lo rodea:

)(   θ −=− T S hdt 

dT  M c (3)

Que también puede escribirse, llamando k a 

 M c

S h , como: )(   θ −−= T k 

dt 

dT (4)

 Donde:

  k es un parámetro de enfriamiento que es constante y que depende del cuerpo.

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Partiremos de (3), que es una ecuación diferencial de primer orden a coeficientes constantes, y la

resolveremos por el método de variables separadas:

∫∫=

−=−

t 

t 

T 

T 

dt  M c

S h

T 

dT 

000)(   θ 

 

( )t t 

 M c

S hT T 

00 )ln()ln(   −=−−−  

Entonces, la expresión de la temperatura en función del tiempo T (t ) será:

( )t 

 M c

S h

eT t T −

−+=   θ θ  0)(  (5)

Con los datos: 1680Cº30Cº20)(

t 

et T −

+=   y donde hemos supuesto que el coeficiente deconvección no cambia con la temperatura (lo que es una aproximación).

b)  Calcular la temperatura final del cuerpo T  f  

La temperatura final o estacionaria del cuerpo será la obtenida de hacer t→   para (5):∞

Siendo que: 0lim t   =⎟⎟

 ⎠

 ⎞

⎜⎜

⎝ 

⎛    −∞→

t  M c

S h

e , entonces es fácil ver de (5) que:

θ = f T    (6) 

Con los datos: C T  f  º20== θ  .

c) Calcular el tiempo para el cual2

 f T T  =  

O sea, el tiempo para el cualt 22

θ ==  f T 

T  , de (5): 

( )   ⇒−+=  − t 

 M c

S h

eT    θ θ θ 

0

2   ( ) ( )

t  M c

S h

eT T 

−

=−

−=

−

−

00

22

θ 

θ θ 

θ 

θ θ 

 

( )  ⇒−=

−

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −

t  M c

S h

T 0

2ln

θ 

θ θ 

  ( )θ 

θ θ 

−

⎟ ⎠

 ⎞⎜⎝ 

⎛ −

−=0

2ln

T S h

 M ct    (7) 

Reemplazando con los datos: 

( ) ( ) min3010,116806/1ln1680   ≈−−=−= st   

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