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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
•Energía y energía complementaria de deformación
Carga estática: fuerza aumentando lentamente desde cero hasta el valor finalSe supone que la línea de acción de P no varía durante el proceso de carga -- = indeformada-- = deformada = desplazamiento total = desplazamiento correspondiente o eficaz con P
A
A’
P
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
f d
d W= P.d
PP f
PW
f
d P W0W = trabajo de deformaciónW U, Q, T, c conservación de la energíaW = UU0 = 0 W = U = Energía de deformación o elásticaFunción potencial, sólo depende de la deformación final
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
f PdP W0 *
f
d P d W*= .d P
PP f
P
W*
W* = trabajo complementario de deformaciónW* = U* = Energía de complementaria de deformaciónW+W* = Pf.f
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
•Fórmula de Clapeyron
Si la respuesta del sistema es lineal y no hay variaciones térmicas
f
PP f
W
W*
k
PkPUUWW f
fff
22
21
21
21
**
kP
5
n
P1
P 2Pn
ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
i = desplazamiento correspondiente a la carga i-ésimadebido a la acción simultánea de todas las cargas
n
iiiPU
1 21
Caso de varias cargas
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
En función de la matriz de tensiones
n, desacopladas: los trabajos de cada una se pueden calcular independientemente
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nx, ny, nz acopladas: cada una produce deformaciones en su propia dirección y en las transversales
ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
x . d x
z . d z
y . d y y . d x.d z
x.d y.d z
z.d x.d y
x
y
z
d x
d y
d z
dzdydxdW znzynyxnxn 21
x, y, z debidas a la acción simultánea de nx, ny, nz
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x y
xy.d y xy.d x.d z
x
y
z d x
d y
ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
xy, yz, zx desacopladas: cada una sólo produce deformación angular en su propia dirección
dzdydxdW zxzxyzyzxyxyt 21
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
tn dWdWdW
dzdydxdW zxzxyzyzxyxyznzynyxnx 21
El trabajo elemental total será
Expresando las deformaciones en función de las tensionesa través de la ley generalizada de Hooke, se llega a
dzdydxGE
dU zxxyzxynxnznznynynxnznynx
222222
21
221
Integrando en todo el volumen, se obtiene la energía elásticatotal almacenada en el sólido
V zxxyzxynxnznznynynxnznynx dzdydxGE
U 222222
21
221
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n
i
d i
P1
P 2 P i
Pn
ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
•Primer teorema de Castigliano
Sistema elástico lineal o no lineal
ii
dU
dU
ii dPdW
ii
PU
En un sistema elástico la derivada parcial de la energía de deformación respecto de uno de los desplazamientos es igual
a la carga correspondiente a dicho desplazamiento
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
•Teorema de Crotti-Engesser
Sistema elástico lineal o no lineal
ii
dPPU
dU*
iidPdW *
iiP
U *
En un sistema elástico la derivada parcial de la energía complementaria de deformación respecto de una de las cargas
es igual al desplazamientos correspondiente a dicha carga
n
i
d P iP1
P2 P i
P n
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
•Segundo teorema de Castigliano
Sistema elástico lineal UU *
iiPU
En un sistema elástico lineal la derivada parcial de la energía de deformación respecto de una de las cargas es igual al
desplazamiento correspondiente a dicha carga
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
•Criterios de agotamiento
Tratan de predecir la condición de agotamiento en estados tensionales complejos a partir de los resultados de ensayos
de tracción y compresión uniaxiales
Agotamiento
Deformación
Rotura
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
ct 3
•Criterio de la tensión principal máxima (Rankine)
El agotamiento en un punto de un sólido elástico se produce cuando la tensión principal positiva máxima alcanza la tensión de
agotamiento en el ensayo de tracción, o cuando la negativa mínima alcanza la tensión de agotamiento en el ensayo de compresión
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
eqt 3
El agotamiento en un punto de un sólido elástico se inicia cuando la tensión tangencial máxima alcanza la correspondiente en el
ensayo de tracción
•Criterio de la tensión tangencial máxima (Tresca)
oagotamientteq
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ELASTICIDAD. Teoremas Energéticos
2
13
2
3
2
21 221
eq
El agotamiento en un punto de un sólido elástico se inicia cuando la energía de distorsión unitaria iguala a la correspondiente del
ensayo de tracción
•Criterio de von Mises
oagotamientteq