El efecto Allee

Jos Luis Lpez Fernndez

12 de diciembre de 2011

Se dice que una poblacin experimenta el efecto Allee (tambin denomina-do efecto Alle fuerte en algunos textos) cuando existe un tamao crtico de lamisma por debajo del cual esta decae hasta desaparecer y por encima del cualesta aumenta hasta su capacidad de carga. La manifestacin de este fenmenopuede apreciarse claramente en el siguiente ejemplo (Ejercicio 22 de la Relacinde Ejercicios 3):

La dinmica de una determinada poblacin viene descrita por la siguiente ecua-cin diferencial

P = P (P 0.3)(8 P ) , (1)donde P (t) denota el nmero de individuos (en miles) que hay en el hbitat enel instante t.

(a) Determina los puntos de equilibrio de la ecuacin (1).

(b) Dibuja el correspondiente retrato de fases y estudia la estabilidad de lospuntos de equilibrio.

(c) Explica el significado de los resultados obtenidos en el apartado anterioren trminos de la dinmica de la poblacin.

(d) Determina qu ocurrir con la poblacin a largo plazo si en el instanteinicial hay 250 individuos en el hbitat. Repite el argumento en el caso enque inicialmente hay 500 individuos.

Solucin: Los puntos de equilibrio son claramente P = 0, P = 0.3 y P = 8, queson los nicos tres valores constantes de P que anulan el segundo miembro dela ecuacin (1). La presencia de estas tres soluciones constantes plantea cuatroalternativas para la correspondiente condicin inicial P0 del problema de valoresiniciales: P0 < 0, 0 < P0 < 0.3, 0.3 < P0 < 8 o bien P0 > 8.

En el primer caso (tmese por ejemplo P = 1 como valor test) se tieneque P = 1 (1.3) 9 > 0, luego la correspondiente solucin es creciente.En el segundo caso (tmese por ejemplo P = 0.1 como valor test) setiene que P = 0.1 (0.2) 7.9 < 0, luego la correspondiente solucin esdecreciente.

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En el tercer caso (tmese por ejemplo P = 1 como valor test) se tiene queP = 1 0.7 7 > 0, luego la correspondiente solucin es creciente.En el ltimo de los casos (tmese por ejemplo P = 9 como valor test)se tiene que P = 9 8.7 (1) < 0, luego la correspondiente solucin esdecreciente.

Luego el retrato de fases es el siguiente:

> s0< >s0.3 s8 < ,de donde se desprende que P = 0 y P = 8 son asintticamente estables, entanto que P = 0.3 es inestable.

Lo anteriormente expuesto significa que la poblacin est condenada a ex-tinguirse a menos que consiga alcanzar un tamao crtico, determinado en estecaso por el punto de equilibrio P = 0.3 (es decir, 300 individuos). Por el con-trario, la poblacin est destinada a crecer hacia P = 8 una vez que tal tamaocrtico es alcanzado. Se observa, por tanto, la presencia clara del efecto Alle enel modelo de nuestro ejemplo.

Por ltimo, si inicialmente hay 250 individuos (es decir, P0 = 0.25), nosencontramos con que el tamao de la poblacin no es suficiente para rebasar elumbral marcado por el efecto Alle (P = 0.3), por lo que sta tender a extin-guirse a largo plazo. Sin embargo, si inicialmente se dispone de 500 individuos(P0 = 0.5), entonces la poblacin crecer hacia su capacidad de carga P = 8.

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