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Espacios Vectoriales con Producto InternoEjercicios
David Choez
11 de Noviembre del 2014
Ejercicio 5:Probar o Refutar: Sea R2 un espacio con producto interno ,es tal que la
norma asociada es de la forma:
‖(x1, x2)‖ = |x1|+ |x2| (1).
Solucion: Probaremos que no existe un producto interno que tiene asociada unproducto interno de esa forma, para ello mostraremos con un contra-ejemplopor la definicion de la ley del paralelogramo tenemos:
‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
Sea u = (x1, x2) y v = (y1, y2) que satisface (1) es decir por ejemplo:u = (3, 4) y v = (0,−7) de la ecuacion (1) se obtiene
‖u‖ = |3|+ |4| = 7.
y‖v‖ = |0|+ | − 7| = 7.
por otro lado
‖u + v‖2 = ‖(3, 4) + (0,−7)‖2 = ‖(3,−3)‖2 = (√
18)2 = 18.
y
‖u− v‖2 = ‖(3, 4)− (0,−7)‖2 = ‖(3, 11)‖2 = (√
1302
= 130.
finalmente‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 18 + 130 = 148.
y2(‖u‖2 + ‖v‖2) = 2(72 + 72) = 196
entonces:‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 6= 2(‖u‖2 + ‖v‖2).
por lo tanto la igualdad (1) no es correcta.
1
Ejercicio 7:Sea V un espacio vectorial con producto interno, entonces:
〈u, v〉 =‖u + v‖2 − ‖u− v‖2 + ‖u + iv‖2 i− ‖u− iv‖2 i
4.
para todo u, v ∈ V.Solucion: primero vamos a etiquetar de la siguiente manera:
〈u, v〉 =I1 − I2 + I3 i− I4 i
4(1)
donde :
I1 = ‖u + v‖2 = 〈u + v, u + v〉 = 〈u, u〉+ 〈u, v〉+ 〈v, u〉+ 〈v, v〉= ‖u‖2 + ‖v‖2 + 〈u, v〉+ 〈u, v〉 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2Re(〈u, v〉)
I2 = ‖u− v‖2 = 〈u− v, u− v〉 = 〈u, u〉+ 〈u,−v〉+ 〈−v, u〉+ 〈v, v〉= ‖u‖2 + ‖v‖2 − 〈u, v〉 − 〈u, v〉 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2Re(〈u, v〉)
I3 = ‖u + iv‖2 = 〈u + iv, u + iv〉 = 〈u, u〉+ 〈u, iv〉+ 〈iv, u〉+ 〈iv, iv〉= ‖u‖2 + i〈u, v〉+ i〈v, u〉+ ii〈v, v〉 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + i〈v, u〉+ i〈v, u〉
= ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2=〈v, u〉
I4 = ‖u− iv‖2 = 〈u− iv, u− iv〉 = 〈u, u〉 − 〈u, iv〉 − 〈iv, u〉+ 〈iv, iv〉= ‖u‖2 − i〈u, v〉 − i〈v, u〉+ ii〈v, v〉 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − i〈v, u〉 − i〈v, u〉
= ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2=〈v, u〉
de lo anterior se tiene:I1 − I2 = 4Re(〈u, v〉)
I3 i− I4 i = i(‖u‖2 + ‖v‖2 + 2=〈v, u〉)− i(‖u‖2 + ‖v‖2 − 2=〈v, u〉)
I3 i− I4 i = 4i=〈v, u〉
Sustituimos I1, I2, I3, I4,debidamente en (1) y obtenemos:
〈u, v〉 =4Re〈u, v〉+ 4i=〈v, u〉
4= Re〈u, v〉+ i=〈v, u〉 (2)
donde:2Re(〈u, v〉) = 〈u, v〉+ 〈u, v〉
2=〈v, u〉 = i〈v, u〉+ i〈v, u〉
entonces:2i=〈v, u〉 = 〈v, u〉 − 〈v, u〉 = −〈u, v〉+ 〈u, v〉 ası:2Re(〈u, v〉) + 2i=〈v, u〉 = 2〈u, v〉 → Re(〈u, v〉) + i=〈v, u〉 = 〈u, v〉 (3) en
consecuencia de (2) y (3) se concluye ,lo que se querıa probar.
2
Ejercicio 10:Sea P2(<) En considerar el producto interno dado por:
〈p, q〉 =
∫ 1
0
p(x)q(x) dx
Aplicar el procedimiento de Gram-Schmidt a la base (1, x, x2)para obteneruna base orto-normal de P2(<)
Solucion:Sea (1, x, x2) una base ,para hallar por el proceso de Gram-Schmidt una
base orto-normal,hacemos lo siguiente: denotamos (v1, v2, v3)=(1, x, x2)e1 = v1
‖v1‖ ,es decir e1 = 1‖1‖ = 1
2√〈1,1〉
donde
〈1, 1〉 =
∫ 1
0
(1)(1) dx = 1
asi e1 = 1‖1‖ = 1
2√1 = 1parae2 = v2−〈v2,e1〉 e1
‖v2−〈v2,e1〉 e1‖ = x−〈x,1〉 1‖x−〈x,1〉 1‖ como
〈x, 1〉 =
∫ 1
0
(x)(1) dx =1
2
entonces e2 =x− 1
2
‖x− 12‖ =
x− 12
2√〈x− 1
2,x− 1
2〉
〈x− 12, x− 1
2〉 =
∫ 1
0(x− 1
2)(x− 1
2) dx = 1
12
→ e2 =x− 1
2
‖x− 12‖ =
x− 12
2√
112
por lo tanto:
e2 =2√
3(2x− 1)
Finalmente para: e3 = x2−〈x2,1〉−〈x2, 2√3(2x−1)〉 2
√3(2x−1)
‖x2−〈x2,1〉−〈x2, 2√3(2x−1)〉 2
√3(2x−1)‖ calculamos el produc-
to interno:
〈x2, 1〉 =
∫ 1
0
(x2)(1) dx =1
3
〈x2,2√
3(2x− 1)〉 =
∫ 1
0
(√
3)(x2)(2x− 1) dx =
√3
6
e3 =x2− 1
3−
√3
6
√3(2x−1)
‖x2− 13−
√3
6
√3(2x−1)‖
= 6x2−6x+1‖6x2−6x+1‖ = 6x2−6x+1√
〈6x2−6x+1,6x2−6x+1〉como:
〈6x2 − 6x + 1, 6x2 − 6x + 1〉 =∫ 1
0(6x2 − 6x + 1)2 dx = 1
5de donde:
e3 =6x2 − 6x + 1√
15
=√
5(6x2 − 6x + 1)
finalmente nuestra base orto-normal es:
(1,√
3(2x− 1),√
5(6x2 − 6x + 1))
3