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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS.
CARRERA DE INGENIERÍA AGROPECUARIA ESPE. SANTO DOMINGO.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.
UNIDAD: 1
PRODUCTO DE UNIDAD
TEMA: EJERCICIOS RESUELTOS DE LAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LOS
LÍMITES Y DERIVADAS
INTEGRANTES:
Manzano AndreaSanabria Diana
Quenguán Tatiana
DOCENTE: Ing. Nelson Ninabanda
FECHA DE ENTREGA: 25/05/2015.
PERIODO ACADÉMICO:
ABRIL- AGOSTO /2015.
NCR: 1982
EJERCICIOS RESUELTOS DE LAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Y DERIVADAS
OBJETIVO GENERAL:
Resolver ejercicios de las definiciones y propiedades de los límites y derivadas
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Plantear ejercicios de los límites y derivadas. Aplicar la definición de derivadas y límites para la
resolución de los ejercicios. Explicar de manera clara y precisa los ejercicios resueltos.
Límites LateralesSea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto contiene a a, excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) conforme x se aproxima a a es L, lo que se escribe como:
lim f (x )x→a
¿ L
Si la siguiente proposición es verdadera:
Dada cualquier ∈ > 0, no importa cuán pequeña sea, existe una δ >0 tal que:
0¿ ( x−a )<δ entonces 0¿ (F (x)−L )<∈
Definición de límite por la derecha:
Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (a, c) entonces, el límite de f(x), conforme x tiende a a por la derecha, es L, lo que se denota por:
lim f (x )x→a+¿ ¿ L¿
Si para cualquier ∈ > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe una δ >0 tal que
Si 0¿ x−a<δ entonces (F (x)−L )<∈
Definición de límite por la izquierda:
Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto (d, a)
Entonces, el límite de f(x), conforme x tiende a a por la izquierda, es L, lo que se denota por:
lim f (x)x→a−¿ ¿ L¿
Si para cualquier ∈ > 0, sin importar que tan pequeña sea, existe una δ >0 tal que
Si 0¿a−x<δ entonces (F (x)−L )<∈
LIMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO
Se estudian las funciones cuyos valores crecen o decrecen sin límite conforme la variable independiente se acerca cada vez más a un número fijo.
Definición de valores de función que crecen sin límite.
Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto l que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) crece sin límite, lo cual se escribe como
I. lim f (x )x→a
¿+∞
Si para cualquier número N > o existe δ > 0 tal que
Si 0¿ ( x−a )<δ entonces f (x)<N
Definición de valores de función que decrecen sin límite.
Sea f una función definida en cada número de algún intervalo abierto l que contiene a a, excepto posiblemente en a mismo. Conforme x se aproxima a a, f(x) decrece sin límite, lo cual se escribe como
I. lim f (x )x→a
¿−∞
Si para cualquier número N < o existe δ > 0 tal que
Si 0¿ ( x−a )<δ entonces f (x)<N
Teorema de límite:
Si r es cualquier número entero positivo, entonces
lim f (x )
x→ 0+¿ 1x r ¿
= +∞
lim f (x )
x→0+¿ 1x r ¿
= −∞ si r es impar
+∞ si r es par
ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS
Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que,
por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia
entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de
asíntota de la función.
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma .
Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda
(cuando ) y otra por la derecha (cuando ). Se calculan de la siguiente
forma:
Si , entonces es una asíntota horizontal para (por la
izquierda).
Si , entonces es una asíntota horizontal para (por la derecha).
Asíntota vertical
La recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos uno de
los siguientes enunciados es verdadero:
II. lim f (x)x→a+¿ ¿+∞¿
III. lim f (x )x→a+¿ ¿−∞¿
IV. lim f (x )x→a−¿ ¿+∞¿
V. lim f (x)x→a−¿ ¿−∞¿
Asíntota oblicua:
Una recta de ecuación y = mx + n
Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.
EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO ABIERTO
Se dice que una funcion es continua en un intervalo abierto si y solo si es continua en cada número del intervalo abierto .
Se hara referencia otra vez a la funcion h del ejemplo 1 .Como h no está definida en cualquier intervalo
abierto que contenga a -2 o 2, no se puede considerar lim ¿x→−2
h ( x )o lim ¿x→2
h ( x ) .¿¿ La contnuidad es
un número, no permite que h sea continua en -2 o 2. En consecuencia para discutir la cuestion de la continuidad de h en el intervalo cerrado (-2, 2 ), para concluir le continuidad en un extremo de un intervalo cerrado. Para esto, primero se define continuidad por la derecha y continuidad por la izquierda.
Teorema
Si la funcion g es continua en a y la función ƒ es continua en g(a), entonces la función compuesta ƒ o g es continua en a.
Demostración: puesto que g es continua en a, entonces
lim ¿x→a
g ( x )=g(a)¿
Como la función ƒ es continua en g(a), se puede aplicar a la funcion compuesta ƒ o g, de lo que se obtiene
lim ¿x→a
(ƒo g ) ( x )= lim ¿x→a
ƒ (g ( x ) )¿¿
= ƒ¿
= ƒ ( g(a)) (por (4))
= ( ƒ o g ) (a) lo cual demuestra que ƒ o g es continua en a.
Continuidad en un intervalo cerrado
Se dice que una función, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado (a,b) si y solo si es continua en el intervalo abierto (a,b) así como continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.
LIMITES TRACENDENTES Y TRIGONOMÉTRICOS
Teorema
La función seno es continua en 0
Demostración : Se demostrará que se cumplen las tres condiciones necesarias para la continuidad en en número.
Demostración: se demostrará que se cumplen las tres condiciones necesarias para la continuidad en un número.
( i ) sen 0 = 0
( ii ) lim ¿t→0
sent= lim ¿t →0
sentt
. t ¿¿
¿ lim ¿t→0
sentt
.lim ¿t →0
t ¿¿
= 1 . 0
= 0
( iii ) lim ¿t→0
¿ sen t = sen 0
Por tanto, la funcion seno es continua en 0.
Teorema
La función seno es continua en 0.
Demostración: Se verificara que se cumplen las tres condiciones necesarias para la continuidad en un número. En la verificacion de la condición ( ii ) se utilizará el hecho de que la función seno es continua
en 0, y se sustutuirá cos t por √1−sen2 t porque cos t > o cuando −12
π<t< 12π .
( i ) sen 0 = 0
( ii ) lim ¿t→0
cos t= lim ¿t→0
√1−sen2t ¿¿
¿√ lim ¿t →0
(1−sen2 t )¿
= √1−0
= 1
( iii ) lim ¿t→0
¿ cos t = cos 0
De este modo , la función coseno es continua en 0.
Teorema
Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante son continuas en sus dominios.
Derivación por incrementos
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el símbolo
Δx, que se lee "delta x' '.
Si en y = f (x) la variable independiente x toma un incremento, Δx entonces Δx indicará el incremento correspondiente de la función f (x) (o sea, de la variable dependiente y).
El incremento Δx siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el incremento Δx. Por ejemplo, considerémosla función
Y= x2
DERIVADAS DE UNA FUNCION COMPUESTA
Reglas de la cadena
Si la funcion g es diferenciable en x y la funcion ƒ es diferenciable en g(x) ,entonces la funcion compuesta ƒ o g es diferenciable en x, y
( ƒ o g)’(x) = ƒ ‘(g (x)) g’(x)
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA
Si ƒ es una funcion uno a uno considerada como el conjunto de pares ordenados (x , y), entonces existe una funcion ƒ-1, llamada inversa de ƒ, que es el conjunto de pares ordenados ( y,x ) definida por.
X= ƒ -1 si y solo si y = ƒ (x)
1) Dx(sen u ) = cos u Dx u 4) Dx(cos u ) = -sen u Dx u 2) Dx(tan u ) = sec2 u Dx u 5) Dx(cot u ) = - csc2 u Dx u3) Dx(sec u ) = sec u tan u Dx u 6) Dx(csc u ) = -csc u cot u Dx u
El dominio de ƒ-1 es el contradominio de ƒ y el contradominio de ƒ-1 es el dominio de ƒ
Teorema
Suponga que la funcion ƒ es continua y creciente en el intervalo cerrado ( a,b ). Entonces
( i ) ƒ tiene una inversa ƒ-1 definida en [ƒ (a ) , ƒ(b) ] :
( ii ) ƒ-1 es creciente en [ƒ (a ) , ƒ(b) ] :
( iii ) ƒ-1 es continua en [ƒ (a ) , ƒ (b ) ] .
Teorema
Suponga que la funcion ƒ es continua y decreciente en el intervalo cerrado ( a,b ). Entonces
( i ) ƒ tiene una inversa ƒ-1 definida en [ƒ (b ) , ƒ(a) ] :
( ii ) ƒ-1 es creciente en [ƒ (b ) , ƒ(a) ] :
( iii ) ƒ-1 es continua en [ƒ (b ) , ƒ (a ) ] .
Teorema
Suponga que la función ƒ es continua y monotona en el intervalo cerrado (a,b) y sea y = ƒ’(x). Si ƒ’(x) existe y es diferente de cero para toda x en (a,b), entonces la derivada de la funcion inversa ƒ-1 , defina por x = ƒ-1 (y), existe y esta dada por.
dxdy
= 1dydx
Derivación de funciones implícitas
Cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x. Por ejemplo, la ecuación
X2 - 4 Y = O
Define y como función implícita de x . Es claro que por medio de esta ecuación x se define igualmente como función implícita de y.
A veces es posible resolver la ecuación que define una función implícita con respecto a una de las variables, obteniendo así una función explícita. Así, por ejemplo, la ecuación (1) puede resolverse con respecto a y, obteniéndose
Y = -x2, 4Donde aparece y como función explícita de x. En un caso dado, sin embargo I puede ocurrir que semejante resolución sea imposible I o demasiado complicada para una aplicación cómoda.
Derivación de funciones implícitas.
Cuando y se define como función implícita de x I puede no ser conveniente (como hemos dicho en el artículo anterior) el resolver la ecuación para obtener y como función explícita de x, o x como función explícita de y.Entonces para calcular la derivada seguimos la siguiente regla:Derivar la ecuación, término a término, considerando y corno función de X, y de la
ecuación resultante despejar dydx
DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS E INVERSAS.
Seno inversa:
La función seno inversa está definida por:
Coseno inversa:
La función coseno inversa está definida por:
Tangente inversa:
La función tangente inversa está definida por:
Cotangente inversa:
La función cotangente inversa está definida por:
Secante inversa:
La función secante inversa está definida por:
Cosecante inversa:
La función cosecante inversa está definida por:
Identidades Trigonométricas
Estas identidades son:
sin2θ + cos2θ = 1
1 + cot2θ = csc2
tan2θ + 1 = sec2
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
cos(2θ) = cos2(θ) − sin2(θ)
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDADLa noción de derivada se asocia a la de límite. Por tanto, una derivada puede no existir por las mismas causas que un límite. Cuando para una función en un punto existen derivadas por la derecha y por la izquierda y ambas coinciden, la función se denomina derivable en ese punto. De ello se deduce que existen dos clases de funciones claramente no derivables:
Cuando no existe el límite que define la derivada: por ejemplo, por la presencia de un salto o una discontinuidad.
Cuando existen las dos derivadas laterales, pero no coinciden (puntos angulosos): en este caso, es evidente que las pendientes de las rectas tangentes por la derecha y por la izquierda, serán distintas.
Ejemplo de función no derivable en m por la existencia de una discontinuidad, ni en n porque no coinciden las derivadas laterales.
Funciones continuas y derivables
Las nociones de derivabilidad y continuidad de una función están estrechamente relacionadas. Los principios que relacionan ambos conceptos son los siguientes:
Una función f (x) derivable en un punto x = a, o en un intervalo (a, b), es necesariamente continua en dicho punto o intervalo.
Una función f (x) continua en un punto x = a o un intervalo (a, b) puede ser o no derivable en dicho punto o intervalo. Por ejemplo, una función con un punto anguloso es continua en él, pero no puede derivarse en el mismo (existen derivadas por la derecha y por la izquierda, pero son diferentes).
Ejemplo de función no derivable en x = 1 por la presencia de un punto anguloso.
Así pues, la noción de derivabilidad es más restringida que la de continuidad, ya que todas las funciones derivables son continuas, pero no a la inversa.
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
En la definición de límites de una función Se la determinaba la existencia de un límite en base a una gráfica o tabla de valores numéricos, por lo que esto no es práctico y es aconsejable evaluar los límites de manera análitica.Para ello es importante considerar y utilizar las propiedades de los límites:
LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO
LIMITES INFINITOS
Decimos que lim f(x)= si para los valores de x próximos a a, x→ a los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.
Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a, ∂) y x ≠ a, entonces f(x)>k.
Análogamente, lim f(x) = – x→a
LIMITES AL INFINITO
Cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:
• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.x→
•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L. x→
DERIVADA DE UNA FUNCION TRIGONOMETRICA
Trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la Es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x).
FORMULAS DE LAS DERIVADAS TRIGONOMETRICAS
DERIVADA DE UNA FUNCION LOGARITMICA
Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada logarítmica, aun cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que
Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la derivada del producto y así obtener
, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).
Lmb(x)=1lnb
lmx
DEFINICIÓN E INTERPRETACIÓN DEL LÍMITE (INTUITIVA Y RIGUROSA)
limx→3
(7−3 x)=−2 ∈ =4cm
7-3x=0 x y f(x)= (7−3 x)
-3x=-7 7 0 L=-2
X=73
0 2.33
X=2.33 Condición: 0¿ (a−x1 )<δ−¿ 0¿ (Y−L )<∈ 0¿ (x2−a )<δ+¿ 0¿ (L−Y )<∈ 0¿ ( x−a )<δ 0¿ (F (x)−L )<∈
Si 0¿ ( x−a )<δ → 0¿ (F (x)−L )<∈ 7-3X-(-2) <4 7-3X-(-2) >-4
-3x<4-2-7 -3x>-4-2-7
-3x<-5 -3x>-13
X=−5−3
X=−13−3
X=1.67 x=4.33
+ 3-1.67=1.33 -4.33-3=1.33
δ=1.33
limx→3
(1+3 x)=−5 ∈ =4cm
1+3x=0 x y f(x)= (1+3 x)
3x=-1 1 0 L=-5
X=−13
0 -0.33
X=-0.33 Condición: 0¿ (a−x1 )<δ−¿ 0¿ (Y−L )<∈ 0¿ (x2−a )<δ+¿ 0¿ (L−Y )<∈ 0¿ ( x−a )<δ 0¿ (F (x)−L )<∈
Si 0¿ ( x−a )<δ → 0¿ (F (x)−L )<∈
1+3X-+5 <1.8 1+3X-+5 >-1.8
3x<1.8-5-1 3x>-1.8-5-1
3x<-4.2 3x>-7.8
X=−4.2
3 X=−7.8
3
X=--1.4 x=-2.6
+[−2−(−1.4) ] =-0.6 -[−2.6−(−2)]=-0.6
δ=0.66
lim ¿x→4
(2x+1 )=9¿ L=9
2x+1=0 f(x)=2x+1
2x=-1 ∈=1cm
x=−12
X=-0,5
Condición
−0< (a−x1 )<δ 0<(L−Y )<∈
+0<(x2−a)<δ 0<(Y−L)<∈
0<(X−a)<δ 0<( f ( x )−L)<∈
2 x+1−9<1 2 x+1−9>−1 x y
2 x<1+9−1 2 x>−1+9−1 1 0
x=92 x=7
2 0 -0,5
x<4.5 x=3.5
(+) 4.5-4=0.5
δ=( x−a )=0.5
(-) 4-3.5=0.5
lim ¿x→−4
(2x+7 )=−1¿
2x+3=0 f(x)= 2x+7
2x=-7 L= -1
X= -72
є= 3
X=3,5
Condicion
−0< (a−x1 )<δ 0<(L−Y )<∈
+0<(x2−a)<δ 0<(Y−L)<∈
0<(X−a)<δ 0<( f ( x )−L)<∈
2 x+7−(−1)<3 2 x+7−(−1)>−3
2 x+7+1<3 2 x+7+1>−3
2 x<3−7−1 2 x>−3−7−1
2 x←5 2 x>−112 x y
x=−52
x=-5.5 7 0
x←2.5 0 - 72
(+)-4-(-2.5)=-1.5
δ= (x-a)=1.5
(-)-4-(-5.5)=1.5
Lim=x= X2−1X+1
=−2 X Y
-1 0
0 1
(X+1) (X-1) =(X-1)
X+1
CONDICION:
0¿ (a−x )<δ 0¿¿
0¿ ( x−a )<δ 0¿ ( y−l )<∈
0¿(x−a)<δ 0¿( f ( x )−l)<∈
X-1-(-2)¿1.5 X-1-(-2)¿−1.5
X-1+2¿1.5 X-1+2¿−1.5
X¿1.5+1−2 X¿−1.5+1−2
X¿0.5 X ¿−2.5
=-1.5 R -2.5-(-1)
-2,5+1 = -1.5
PROPIEDADES DE LÍMITES
Lim¿ x2−49x−7
X→7
(X+7)(x-7) (X+7)
X-7
Lim=(x+7) = (7+7)
X→7 =14 R
Lim= z2−25z+5
Z→−5
(Z+5)(z-5) (Z+5)
Z+5
Lim= (z-5) = (-5-5)
Lim→−5 lim =-10 R
Lim¿ s3−1s−1
S→1
(S-1)(S2+5+12) (S-1) (S2+5+1¿
(S-1)( S2+S+1¿ S-1
Lim= 12+1+1
Lim= 3 R
Lim¿ y3+8y+2
Y→−2
(Y+2)(y2−2 y+ y2)
Y+2
=(y2−2 y+ y2 ¿
= (-2)2-2 (-2)+ (-2)2
Lim=4+4+4 lim=12
Lim=x=√x –1x−1
X→1
(√ x2-12 ¿
X-1(√ x+1)
X-1 1
X-1(√ x+1) √ x+1
= 12 = 0.5 R
LÍMITES LATERALES
Ejercicios:
1.− limx→−5−¿ ¿∨x−5∨¿¿¿
¿
(x-5) ≥ 0 x y x y -(x-5) < 0 5 0 4 1 6 1 3 2 7 2 1 4
|x|= x-5, si x ≥ 5 -x+5, si x < 5
limx→5−¿ (− x+5 )=0¿
¿
limx→5−¿ (x−5 )=0¿
¿
R= El límite de lim
x→5−¿ f ( x )=¿ limx→5−¿f ( x ) ¿
¿ ¿¿¿
Es una función discontinua en 0
2.-F(x) = 2, si x < -2 √4−x2, si -2 ≤ x ≤ 2 -2 si x > 2
limx→ 2−¿ √4−x2=0¿
¿
= √4−¿¿
= √4−4
= 0
limx→−2−¿ 2=2¿
¿
R= El límite de lim
x→ 2−¿ f ( x )=¿ limx→−2−¿ f ( x ) ¿
¿¿¿¿
Es una función discontinua en 2
3.-F(x) = 3+|2x-4 |
F(x) =3+2x-4 F(x) =3-2x-4 =2x-4 =2x+7 2x > -1 =2x < 7
X y x y
-1 -3 7 -7 0 -1 6 -5 1 1 5 -3 2 3 4 -1
F(x) =2x-1 F(x) =2x+7 =2(2)-1 =-2(2)+7 =4-1 =-4+7 =3 =3
R= El límite de F(x) =3+2x-4 =F(x) =3-2x-4
Es una función discontinua
4.-F(x) = x- 2, si x < 0 x2 Si x ≥ 0
limx→0−¿ ( x−2 )=−2¿
¿
limx→ 0−¿ (x2 )=0¿
¿
x- 2 x2 X y x y -1 -3 0 0 -2 -4 1 1 -3 -5 2 4
R= El límite de limx→ 0−¿ f ( x )≠ lim
x→ 0−¿ f (x ) ¿¿¿
¿
Es una función discontinua
5.-F(x) = 2x si 0 ≤ x ≤ 1 0 1.8 x Si 10 < x
limx→10−¿ f ( x )= lim
x →2−¿2 x¿¿ ¿
¿
limx→10+¿ f ( x )= lim
x →2+¿1.8 x¿¿ ¿
¿
=20 =18
R= El límite de limx→10−¿ f ( x )≠ lim
x→10+¿f (x )¿¿¿
¿es
Es una función discontinua
Grafica:
LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO
1) Lim= 3 x2x−1
Lim→12
=x=3
12
212
=32 = ∞
0
2) Lim= 3x+52x+2
Lim x→∞
Lim→∞ x=3 xx
+ 5x
2 xx
+2x
Lim→∞ x=3+ 5
x
2+2x
= x=3+ 5
∞
2+2∞
=32 R
3) F(x)= 4 (x-5)2
X→∞
Lim= 4
x2
x2 −10x2 + 25
x2
4
1−−10∞
+25∞
= 0 R
Lim= 4
X→5 (x2-5)2
=4
(4.99) =40 =-∞
Lim= 4
X→5 (x2-5)2
=4
(4.99) =4
0+¿¿ = +∞
4) x= 3X+1
Lim→1
= 3
1+1=3
0=+∞
= 3
1+1=3
0=−∞
5) Lim= 6 x+24 x+3
Lim x→∞
Lim→∞ x=6 xx
+ 2x
4 xx
+3x
Lim→∞ x=6+ 2
x
4+3x
¿6+ 2
∞
4+3∞
=64 R
CÁLCULO DE ASÍNTOTAS HORIZONTALES, VERTICALES Y OBLICUAS
1.- f ( x )= x3+2x2−4
ASÍNTOTA OBLICUA: y=mx+b
m= limx→∞
f (x)x
=limx→∞
x3+2x2−4x
m= limx→∞
x3+2x (x2−4 )
m= limx→∞
x3+2x3−4 x
m= limx→∞
x3
x3 +2x3
x3
x3−2x
x3
m= limx→∞
1+ 2
x3
1− 4x3
=1+ 2
∞
1− 4∞
=1
b=limx→∞
[ f ( x )−x ]= limx→∞ [ x3+2
x2−4−x ]
b=limx→∞ [ x3+2−x (x2−4 )
x2−4 ]=¿
b=lim x→∞ [ x3+2−x3+4 x
x2−4 ]
b=limx→∞
4 x+2x2−4
=limx→∞
4 x
x2+ 2
x2
x2
x2 −4x2
b=limx→∞
4x+ 2
x2
1− 4x2
=
4∞
+ 2∞
1− 4∞
=0
y=x+0
ASÍNTOTA VERTICAL EN: x=−2 y x=2
f ( x )= x3+2x2−4
limx→−2+¿ f (x)= lim
x→−2+¿ x3+2
x2−4=+∞ ¿
¿¿¿
limx→−2−¿ f (x)= lim
x →−2−¿ x3+2
x2−4=−∞ ¿
¿¿¿
limx→2+¿ f (x)= lim
x →2+¿ x3+2
x2−4=+∞ ¿
¿¿¿
limx→ 2−¿ f (x)= lim
x →2−¿ x3+2
x2−4=−∞¿
¿¿¿
GRAFICO DE f(x)
2.-f ( x )= x2−2 x+2x−1
ASÍNTOTA OBLICUA: y=mx+b
m= limx→∞
f (x)x
=limx→∞
x2−2 x+2x−1x
m= limx→∞
x2−2 x+2x (x−1)
=¿ limx→∞
x2−2 x+2x2−x
¿
m= limx→∞
x2
x2 −2xx2 + 2
x2
x2
x2− x
x2
m=1
b=limx→∞
[ f ( x )−x ]= limx→∞ [ x2−2x+2
x−1−x ]
b= limx→∞
−x+2x−1
=−1
Y=x-1
Grafica:
3.- f ( x )=5 x2−3 x+4x+1
ASÍNTOTA OBLICUA: y=mx+b
m= limx→∞
f (x)x
=limx→∞
5 x2−3 x+4x+1x
m= limx→∞
5 x2−3 x+4x (x+1)
=¿ limx→∞
5 x2−3 x+4x2+ x
¿
m= limx→∞
5x2
x2 −3xx2 + 4
x2
x2
x2+ x
x2
=¿
m= limx→∞
5−3x+ 4
x2
1+ 1x
=5− 3
∞+ 4∞
1+ 1∞
=¿
m=5
b=limx→∞
[ f ( x )−5 x ]= limx→∞ [ 5 x2−3 x+4
x+1−5x ]
b=limx→∞
5x2−3 x+4−5 x ( x+1 )x+1
= limx→∞
5 x2−3 x+4−5x2−5 xx+1
b=limx→∞
−8 x+4x+1
= limx→∞
−8 xx
+ 4x
xx+
1x
b=limx→∞
−8+ 4
x2
1+ 1x
=−8+ 4
∞
1+ 1∞
=−8
y=5 x−8
ASÍNTOTA VERTICAL EN: x=−1
limx→−1+¿ f (x)= lim
x→−1+ ¿5 x2−3 x+4x+1
=+∞ ¿
¿¿¿
limx→−1−¿ f (x)= lim
x →−1−¿ 5x2−3 x+4x+1
=−∞ ¿
¿¿¿
4. f (x )= x2+1x−1
m= limx→∞
f (x)x
=limx→∞
x2+1x−1x
m= limx→∞
x2+1x (x−1)
=¿ limx→∞
x2+1x2−x
¿
m= limx→∞
x2
x2 +1x2
x2
x2− x
x2
m= limx→∞
1+ 1
x2
1−1x
=1+ 1
∞2
1− 1∞
=1
b=limx→∞
[ f ( x )−x ]= limx→∞ [ x2+1
x−1−x ]
b=limx→∞ [ x2+1−x ( x−1 )
x−1 ]=¿
b=limx→∞ [ x2+1−x2+x
x−1 ]
limx→∞
x+1x−1
=+∞
Grafica:
4. f (x )= x+1x−1
m= limx→∞
f (x)x
=limx→∞
x+1x−1x
m= limx→∞
x+1x (x−1)
=¿ limx→∞
x+1
x2−x¿
m= limx→∞
x
x2+ 1
x2
x2
x2 −xx2
m= limx→∞
1x+ 1
x2
1− 1x
=
1∞
+ 1
∞2
1− 1∞
=1
b=limx→∞
[ f ( x )−x ]= limx→∞ [ x+1
x−1−x]
limx→∞
x+1x−1
=+∞
Grafica:
EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO ABIERTO
f(x)=√ x:g(x)= 9-x2
f= [g(x)]=√9− x2
9−x2≥0 −∞ ∞ −(9−x2 )≥0 -3 0 3
x2−9≤0
x2≤9x≤±3−3≤ x≤3
x2−9≤0 −3≤ x≤3
( x−3 ) ( x+3 )≤0x−3=0 x+3=0
x=3 x=−3
f [ g ( x ) ]=√9−x2
Y
-X X
-Y
(X-3) - - +
(X-+3) - + +
(X-3)(X+3) + - +
X Y-3 0 1 2.8-2 2.2-3 01 0.282 2.23 0
f [ g( x)]=√a−(3)2=0
lim √a−x2=√9¿¿ Si es continua Si a=3
f (3 )=lim f [ g(x )]
f ( x )=√x ;g ( x )=x2−16
h ( x )=f [g ( x ) ]
¿√ x2−16
¿ f [ x2−16 ]
x2−16≥0
x2≥16
x≥±4
Y
lim ¿x→4
√ x2−16¿
¿√16−16
=0
lim ¿x→4
√ x2−16¿ -X X
¿√16−16
=0
X Y
± 4 0
± 5 3
± 6 4.5
f ( X )=√X ; g ( x )=x2+4
f [ g( x)]=√ x2+4
√ x2+4
Y
-X X
-Y
X Y
± 4 4.5
± 3 3.6
± 2 2.8
±1 2.2
f ( x )=√x g ( x )= 1x−2
1x−2
≥0 Y
lim √ 1x−2
√1√x−2
1√x−2
x-2=0 x-2¿0
x=2 x>2
-X X
√ 1x−2
-Y
X Y3 1 5 0.56 0.38 0.4
lim ¿
x→2+¿√ 1x−2
¿¿
√ 12+¿ 2 ¿ = Si existe
f ( x )={ x2
√9−x2
x+5
3< xcamposde existenciade la f (x)
x←3
f ( x )=x2+2
limx→3
x2+2=32+2=1
f ( x )=x+5
limx→−3
x+5=−3+5=2 -3 0 3
√9−¿x2 ¿ 9-x2¿ 0 [−3 ,3 ]
|9−x2|>0
x2−9=0
x<±3
−3<x<3
Y
X Y
4 18
4.1 18
X Y
-4 1
-5 0
(X-3) - -+
(X-3)(X+3) + - +(X+3) -
+ +
CONTINUIDAD DE UN INTERVALO CERRADO
EJERCICIOS:
1.- h(x)= √4−x2
limx→2−¿ h( x )= lim
x→2−¿√ 4−x2¿¿ ¿
¿
limx→2+¿ h ( x )= lim
x→ 2+ ¿√4 −x2 ¿¿ ¿
¿
=h (-2) =h (2)
R= La h(x) es continua en el intervalo cerrado [-2; 2]
Grafica:
2.- F(x) = x - 1, si 0 ≤ x ≤ 2
x2 Si 2< x ≤ 3
limx→2−¿ f (0 )= lim
x→ 2−¿ x−1 ¿¿ ¿
¿
limx→2+¿ f ( 3)= lim
x →2+¿X2 ¿¿ ¿
¿
=-1 =9
La F(x) es discontinua en 2 en el intervalo cerrado [0; 3]
Grafica:
3. - h(x) = √25−x2
limx→5−¿ h (x )= lim
x→5−¿√ 25−x2 ¿¿¿
¿
limx→5+¿ h ( x )= lim
x→ 5+¿√25−x2¿¿¿
¿
=h (-5) =h (5)
R= La h(x) es continua en el intervalo cerrado [-5; 5]
Grafica:
4. g ( x )= 2x−4
limx→4−¿ g ( x )= lim
x→4−¿ 2x−4
¿
¿¿¿
limx→4+¿ g ( x )= lim
x→ 4+¿ 2x−4
¿
¿¿¿
g (2 )= limx→ 2−¿ 2
x−4¿
¿
g (5 )= limx→ 2+¿ 2
x−4¿
¿
= - 1 = 2
La g(x) es discontinua en 4 en el intervalo cerrado [2; 5]
Grafica
5.- h(x)= √9− x2
limx→3−¿ h (x )= lim
x→3−¿√ 9−x2 ¿¿ ¿
¿
limx→3+¿ h ( x )= lim
x→ 3+¿√9−x2 ¿¿¿
¿
=h (-3) =h (3)
R= La h(x) es continua en el intervalo cerrado [-3; 3]
Grafica:
. LÍMITES TRASCENDENTES Y TRIGONOMÉTRICOS
1.−f ( x )= xcos x
¿
lim xx→0
lim cosxx→0
¿ 01=0
2.−f ( x )=1−cos 4 xx
¿4lim ¿
4 x→01−cos4 x
4 x¿
¿4.0=0
3.−f ( x )= tan x2x
¿lim ¿x→0
sin xcos x2 x
¿
¿ 12
lim ¿x→0
sin xx
¿
¿ lim ¿x→0
1cos x
¿
¿ 12∗1.1=1
2
4.−f ( x )= x2+3xsen x
¿ lim ¿x→0
( x+3 ) xsin x
¿
¿ lim ¿x→0
( x+3 ) lim ¿x→0
xsin x
¿¿
¿3.1=3
5.−f ( x )=1 cos2 xsen3x
=¿
lim ¿x→0
1−cos2 xx
∗x
sin 3 x¿
¿2lim ¿
2 x→0
1−cos2 x2x
∗1
3∗3x
sin 3 x¿
¿2.0 .13∗1=0
DERIVACIÓN POR INCREMENTOS
Ejercicios:1.-F ( x )=7−6 x−x2
F ( x )=−x2−6x+7
dydx
lim∆ x→0
¿¿
dydx
lim∆ x→0 [ x
2+2x ∆ x−∆ x2−6 x−6∆ x+7∆x ]
dydx
lim∆ x→0 [ 2 x ∆x−∆ x2−6∆ x
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ 2 x ∆x
∆x−∆ x2
∆x−6 ∆ x
∆ x ]dydx
lim∆ x→0
¿2 x−¿∆ x−6¿
dydx
¿2 x−6
2.-F ( x )=x3−6x2−9x−¿2
dydx
lim∆ x→0
¿¿
dydx
lim∆ x→0 [ ( x3−3 x2∆ x+3 x ∆ x2+∆ x 3 )−6 (x2+2 x ∆ x+∆ x2)– 9 x – 9∆ x – 2
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ x3−3 x2∆ x+3 x ∆ x2+∆ x 3−6 x 2+12x ∆ x+6∆ x 2– 9 x – 9∆ x – 2
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [−3 x2 ∆x
∆ x+3 x ∆ x2
∆ x+∆ x3
∆ x−12x ∆ x
∆ x−6∆ x
∆ x−9∆ x
∆ x ]dydx
lim∆ x→0
(−3 x 2∆ x+3 x ∆ x2+∆ x3−12x ∆ x−6 ∆x 2– 9∆ x )
dydx
¿−3 x2−12x−9
3. F ( x )=x3+2x2– 3 x – 1
dydx
lim∆ x→0 [ (x+∆ x)3+2(x+∆ x )2 –3 (x+∆ x) –1
∆ x ] dydx
lim∆ x→0 [ (x3+3 x 2∆x+3 x ∆ x2+∆x 3)+2(x2+2 x ∆ x+∆ x2)– 3 x – 3∆ x – 1
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ x3+3x 2∆ x+3x ∆ x 2+∆ x3+2x 2+4 x ∆ x+2∆ x2 –3 x – 3∆ x – 1
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ 3 x2∆ x+3 x ∆ x2+∆ x 3+4 x∆ x+2∆ x 2– 3∆ x
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ 3 x2+3 x ∆ x+∆ x2+4 x+2∆ x – 3
∆ x ]dydx
¿3 x2+4 x – 3
4.-F ( x )=2 x2−9 x+4
dydx
lim∆ x→0
¿¿
dydx
lim∆ x→0 [ 2 (x2+2x ∆ x+∆ x2 )−9 x−9∆ x+4
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ 2 x2+4 x ∆ x+2∆x2−9x−9∆ x+4
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ 2 x2+4 x ∆ x+2∆x2−9x−9∆ x+4
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ 4 x ∆x
∆ x+2 ∆x2
∆ x−9∆ x
∆ x ]dydx
lim∆ x→0
¿ 4 x+¿2∆ x−9¿
dydx
¿4 x−9
5.-F ( x )=3 x2−12 x+8
dydx
lim∆ x→0
¿¿
dydx
lim∆ x→0 [ 3 (x2+2x ∆ x+∆ x2 )−12 x−12∆ x+8
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ 3 x2+6 x∆ x+3∆ x2−12 x−12∆ x+8
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ 3 x2+6 x∆ x+3∆ x2−12 x−12∆ x+8
∆ x ]dydx
lim∆ x→0 [ 6 x ∆ x
∆ x+ 3∆ x2
∆x−12∆ x
∆ x ]dydx
lim∆ x→0
¿6 x+¿3∆ x−12¿
dydx
¿6 x−12
DERIVADAS COMPUESTAS
y=(x−2)12 (x+3)
13
¿ [(x−2)12 ]
,
(x+3)13 +(x−2)
12 [(x+3)
13 ]
,
dydx
=[ 12(x−2)
−12 ( x ),]
❑
(x+3)13+(x−2)
12 [ 1
3(x+3)
−23 ( x ), ]
,
dydx
=( x+3 )
13
2 ( x−2 )12
+( x−2 )
12
2 ( x+3 )23
dydx
=3 (x+3)
23 (x+3)
13+(x−2)
12 (x−2)
12
6 (x−2)12 (x−3)
23
dydx
=3 ( x+3 )+2 ( x−2 )
6 ( x−2 )12 (x−3 )
23
dydx
= 3 x+9+2 x−4
6 (x−2)12 (x−3)
23
dydx
= 5x+5
66√( x−2 )3 ( x−3 ) 4
56
(x+1)6√(x−2)3(x−3)4
y=(2+x)13 (1−x)
23
dydx
=[(2+x )13 ]
,
(1−x )23+(2+x)
13 [(1−x)
23 ]
,
dydx
=[ 13(2+ x)
−13 ( x ), ]
,
(1−x )23 +(2+x)
13 [ 2
3(1−x)
−13 (−x ),]
,
dydx
=(1−x )
23
3 (2+x )23
+2 (2+x )
13
3 (1−x )13
dydx
=(1−x )
23(1−x)
13 +2(2+x )
13 (2+x)
23
3 (2+x)23 (1−x)
13
dydx
=(1−x )−2 (2+ x )
3 (2+x )23 (1−x )
13
dydx
= 1−x−4−x
3 (2+x)23 (1−x )
13
−3−2 x
33√(2+x)3(1−x)
y= ax
x2+a2
dydx
=(ax ), (x2+a2 )+ax (x2+a2),
x2+a2
dydx
=a x2+a3+2ax2
x2+a2
dydx
=−a x2+a3
x2+a2
dydx
=a(−x2+a3)
x2+a2
−a(x2−a3)x2+a2
y= x2
x+a
dydx
=(x2), ( x+a )+(x¿¿2)(x+a),
(x+a)2 ¿
dydx
=2 x (x+a)x2(1)
(x+a)2
dydx
=2 x2+2ax−x2
(x+a)2
dydx
=2ax−x2
(x+a)2
y= x2
x2+a2
dydx
=(x2), (x2+a2 )+(x¿¿2)(x2+a2),
(x2+a2)2 ¿
dydx
=(2x ) (x2+a2 )−(x¿¿2)(2 x),
( x2+a2)2 ¿
dydx
=2 x3+2a2 x−2x3
(x2+a2)2
2a2 x(x2+a2)2
DERIVADA INVERSA
y=(a+ bx2 )
3
3(a+ bx2 )
2
b x−2−1
3(a+ bx2 )
2
−2b x−3 . bx
−6bx3 ( a+bx2 )
2
√ a2−x2
a2+x2= ¿
y=12¿¿¿
y=− x¿¿¿¿
y=−a x2−x3−ax2−x3
¿¿¿ ¿
y=2a x2
¿¿¿ ¿
y= 2ax2
(a¿¿2−x2)¿¿¿¿
y= 2ax2
(a¿¿2−x2)√a2−x2√a2+x2 ¿
y=a2+x2
a2−x2
y=¿¿¿
y=x2(a¿¿2−x2)−
(a¿¿2+x2)−(2x2)¿¿ ¿¿
y= x2a2−x4+x2a2−x4
¿¿
y=−2 x4
¿¿
s= t √a2+t 2
¿
√a2+t2
1+t 1
2√a2+t 2
2(a¿¿2+t2)12 ¿¿¿¿
2(a¿¿2+t 2)
12 +t
2√a2+t 2¿
a2+2 t2
√a2+t2
y= 2xx+3
yx+3 y=2 xyx-2x=3y
x(y-2)=-3y
x= 3 yy−2
y=−3xx−2
y1=¿¿
y1=(−3 ) ( x−2 )−(−3 x)
¿¿
y1=−3 x+6+3 x¿¿
y1= 6¿¿
DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
Ejercicios:
1.−√x+√ y=√a
x12+ y
12=0
( 12 ) x
12−1
( x )´+( 12 ) y
12−1
( y )´
12x
−12 + 1
2y
−12 ( y ) ´
12√x
= −12√ y
( y ) ´
y ´=
12√ x−12√ y
y ´=−2√ y2√x
y ´=−√ y√x
y ´=−√ yx
2.-x2+ y2=r2
2 x2−1 ( x )´+2 y2−1 ( y ´ )=0
=2x+2yy ´
2x=2yy ´
y ´=−2 x2 y
y ´=−xy
3.−x23 + y
23=a
23
( 23 ) x
23−1
( x )´+( 23 ) y
23−1
( y ) ´=0
2x−1
3
3+
2 y−13
3( y ) ´
2
3 3√x= 2
3 3√ y( y )´
y ´=
−2
3 3√ x−2
3 3√ y
y ´=−6 3√ x6 3√ y
y ´=− 3√ xy
4. y=x3−3axy+ y3
3 x3−1 ( x )´−3a ( x ´ . y+x . y ´ )+3 y3−1 ( y ´ )=0
3 x2−3a(x+ y )+3 y2 ( y ´ )
3 x2−3ax−3ay+3 y2 ( y ´ )
(3 y2 ( y ´ )−3ay ¿)=3 x2−3ax
Y´=3 y ( y−a)3 x (x−a)
5.¿ .√ yx+√ x
y=6
( yx )1 /2
+( xy )1 /2
=6
12 ( yx )
−12 ( yx )´+ 1
2 ( xy )−1 /2
( xy )´=0
12 ( xy )
1 /2
( y ´ x− yx´x2 )+ 1
2 ( yx )1 /2
( x ´ y−xy´y2 )=0
12 ( xy )
1 /2
( y ´ x− yx2 )=−1
2 ( yx )1/2
( y−xy´y2 )
( y ´ x− y
x2 )=√ y2
x2 ( y−xy ´
y2 )
( y ´ x− y
x2 )= xy ( y−xy´
y2 )
( y ´ x− yx )=( y−xy ´
y )y ´ xx
− yx= y
y− xy´
y
y ´+ xy´y
=1+ yx
y ´1+xy
=1+ yx
y ´y+xy
= x+ yx
y ´=
x+ yx
y+ xy
y ´= xy
DERIVADA DE UNA FUNCION TRIGONOMETRICA
1) eax senbx
y= (senbx)2
= 2(senbx)2-1(senbx)=2(senbx) (cosbx) (bx)= 2cosbx × senbx= eax 2senbx+eax 2senbx (cosbx) (b)= eax2senbx+2eax (cosbx) (senbx)=eax senbx (senbx)+b cosbx R
2) y=e2x cos26x
= (cos6x)2
= 2(cos6x)2-1 (cos6x)= 2(cos6x) (-sen6x) (6x)= -12 sen6x *cos6x= e2x 2cos26x+e2x2cos6x (-sen6x) (6)=2e2x2cos26x-12e2xsen6x cos6x=2e2xcos6x (cos6x-6sen6x) R
3) y=lm senax
=1
sen (ax ) sen (ax)
= 1
sen (ax ) cos (ax) (ax)
= cos (ax) (a)dydx
=cos a R
4) S= e-tcos2t=e-t (cos2t)+ (cos2t) (e-t)=e-t (-sen2t) (2t)+ (cos2t) e-t (-t)
= e-t (sen2t) (2)+ (cos2t) (1)=-2e-t (sen2t)-(cos2t) e-t
=-e-t (sen2t)-(cos2t) R
5) Y= lm tg x2
= 1
tgx2
(tg x2 )
=1
tgx2
(senc-2 x2
¿( x2)
=( sec
x2
tgx2
) 12
= 12sen2
x2 ( 1
tgx2 )
=12senc
x2
cotx2 R
DERIVADA DE UNA FUNCION LOGARITMICA
y= lm √2 X−53 X+1
= 1
2 X−53 X+1
( 2 X−53 X+1
¿
=√ 3 X+12 X−5 1
2¿ 2 X−5
3 X+1¿
(2 X−5 ) (3 X+1 )−(2 X−5)(3 X+1)(3 X+1)
=√ 3 X+12 X−5
√ 3 X+12 (3 X+1 ) ¿
(2 ) (3 X+1 )−(2 X−5 ) (3 )(3 X+1 )
=√ 3 X+12 X−5
6 X+2−6 X+15(3 X+1 )
=17
2(2 X−5)(3 X+1) R
2) lm√ 1+senx1−senx
=12
11+senx1−senx
[ (1+senx ) (1−senx )−(1+senx)(1−senx)(1+senx) ]
=12
11+senx1−senx
[ ( cosx ) (1−senx )−(1+senx)(−cosx)(1+senx) ]
=12
11+senx1−senx
[ 2cosx(1+senx)(1−senx) ]
= cosx
(1+senx )(1−senx)
= cosx
(1−senx)
= cosxcosx
= 1cosx
=secx R
3) lm √X2+1−x
√X2+1+x
Lm (√X2+1−x ¿−lm (√X2+1+x)
= 1
√X2+1−1(√X2+1−x)-
1
√X2+1−1(√X2+1+ x)
= 1
√X2+1−1 ( x
√X 2+1
−11 )− 1
√X 2+1+1 ( x
√X2+1
−11 )
=x√X2+1
√X2−x (
x−√X2+1
√X2+1¿ –
1
√X2+1+1 (
x+√X 2+1
√X2+1¿
x−√X 2+1
√X2+1
√X2+1−x
− x+√X2+1
√X2+1
√X2+1+x
= x−√X2+1
√X2+1−x− x+√X2+1
√X2+1+x
=√X2+1X2+1
- √X2+1
X2+1
= √X2+1−√X2+1X 2+1
= =−2√X 2+1X2+1
R
4) lm. xx
= ( lm ) x− (lm ) x (x )
x2
= 1xx−lm (1)
x2
= xx−lmx
x2
= x−xlmx
x
x2
=x (1 )−lmx
x2
=1−lmx
x2R
5) lm (x2 . ex ¿
= lm 1
(x2) . ex(x2 . ex)
= 1
(x2) . ex2 x ex+x2 x
= x . ex (2+x)x2 . ex
= 1
(x2) . ex¿)
=2x R
CONCLUSIONES
Se realizó los ejercicios planteados de los límites y derivadas. Se aplicó la teoría de cada uno de los temas. Se explicó los ejercicios paso a paso para una mejor comprensión
RECOMENDACIONES
Leer cuidadosamente los ejercicios planteados y tratar de entenderlo.
Antes de realizar cualquier ejercicio leer primero la teoría.
BIBLIOGRAFIA:
http://www.vitutor.com/fun/4/a_1.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniforme
http://www.vitutor.com/fun/3/c_1.html