Ejercicios de aplicación de las integrales dobles:

1 ) calcule el area de la superficie del paraboloide z=x2+y2 que se encuentra debajo del plano z=4.

Solucion:

Este es el grafico del paraboloide sobre el plano.

El anterior grafico muestra la superficie dada. De la ecuacion del paraboloide se ve que f(x,y)= x2+y2. La region cerrada del plano xy limitada por la circunferencia x2+y2=4 es la region R. si A unidades cuadradas es el area de la superficie requerida entonces:

representa el volumen del sólido limitado entre las superficies z = f (x, y) yz = g (x, y), siendo R la región del plano z = 0 cuya frontera es la proyecciónde la curva intersección de ambas superficies

Hallar el volúmen del sólido que se encuentra debajo del paraboloide   y arriba

de la region D del plano  , limitada por la recta   y la parábola 

Por tanto, la expresión para   es:

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Evaluar

donde D es la región limitada por las parábolas 

y 

Las parábolas se cruzan cuando:

 es decir   , o sea 

Como la frontera inferior es   y la frontera superior es   , de la tercera

ecuación obtenemos:

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Hallar el volúmen del tetraedro limitado por los planos 

En una caso como éste es aconsenjable trazar dos diagramas: uno del sólido tridimensional y otro

de la región plana D sobre la cual éste se encuentra.

 

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1) Una pirámide está delimitada por los tres planos de coordenadas y el plano x+2y+3z=6.representar el sólido y calcular su volumen.

Vol.=∬ z ( x , y )dxdy=∫0

6

∫0

3−12x

(2−23 y−13 x )dydx=6

1) Dibujar la región de integración y calcular las siguientes integrales dobles:

∬ xcos ( x+ y )dA

R triangulo de vértices (0,0),(π,0) y (π,π)

∫0

π

∫0

x

xcos ( x+ y )dydx=−32π