Ejercicios de Aplicación de Las Integrales Dobles
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Ejercicios de aplicación de las integrales dobles: 1 ) calcule el area de la superficie del paraboloide z=x 2 +y 2 que se encuentra debajo del plano z=4. Solucion: Este es el grafico del paraboloide sobre el plano. El anterior grafico muestra la superficie dada. De la ecuacion del paraboloide se ve que f(x,y)= x 2 +y 2 . La region cerrada del plano xy limitada por la circunferencia x 2 +y 2 =4 es la region R. si A unidades cuadradas es el area de la superficie requerida entonces: representa el volumen del sólido limitado entre las super cies z = fi f (x, y) yz = g (x, y), siendo R la región del plano z = 0 cuya frontera es la proyecciónde la curva intersección de ambas superficies
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son ejercicios que servirán para cursos de calculo 3
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Ejercicios de aplicación de las integrales dobles:
1 ) calcule el area de la superficie del paraboloide z=x2+y2 que se encuentra debajo del plano z=4.
Solucion:
Este es el grafico del paraboloide sobre el plano.
El anterior grafico muestra la superficie dada. De la ecuacion del paraboloide se ve que f(x,y)= x2+y2. La region cerrada del plano xy limitada por la circunferencia x2+y2=4 es la region R. si A unidades cuadradas es el area de la superficie requerida entonces:
representa el volumen del sólido limitado entre las superficies z = f (x, y) yz = g (x, y), siendo R la región del plano z = 0 cuya frontera es la proyecciónde la curva intersección de ambas superficies
Hallar el volúmen del sólido que se encuentra debajo del paraboloide y arriba
de la region D del plano , limitada por la recta y la parábola
Por tanto, la expresión para es:
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Evaluar
donde D es la región limitada por las parábolas
y
Las parábolas se cruzan cuando:
es decir , o sea
Como la frontera inferior es y la frontera superior es , de la tercera
ecuación obtenemos:
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Hallar el volúmen del tetraedro limitado por los planos
En una caso como éste es aconsenjable trazar dos diagramas: uno del sólido tridimensional y otro
de la región plana D sobre la cual éste se encuentra.
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1) Una pirámide está delimitada por los tres planos de coordenadas y el plano x+2y+3z=6.representar el sólido y calcular su volumen.
Vol.=∬ z ( x , y )dxdy=∫0
6
∫0
3−12x
(2−23 y−13 x )dydx=6
1) Dibujar la región de integración y calcular las siguientes integrales dobles:
∬ xcos ( x+ y )dA
R triangulo de vértices (0,0),(π,0) y (π,π)
∫0
π
∫0
x
xcos ( x+ y )dydx=−32π
