CÁLCULOS EN MINITAB SE OBTIENE:

Taguchi Analysis

Linear Model Analysis:

Stem-and-Leaf Display: D, CONC., HUMEDAD, Yi

Análisis de varianza

1) como primer paso, se obtienen los totales de la variable de respuesta o lecturas, para cada uno de los niveles de los factores.

Para calcular los totales para cada nivel del factor A, observamos que las primeras cuatro pruebas del arreglo se efectuaron con el factor a su nivel 1 (Resina tipo I) y las siguientes cuatro a su nivel 2 (resina tipo II).

Los totales son por lo tanto:

A1= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 1 = 0.49+0.42+0.38+0.30=1.59

A2= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a su nivel 2 = 0.21+0.24+0.32+0.28= 1.05

Para el factor D se tiene que las pruebas 1,3,5 y 7 se efectuaron a su nivel 1 (humedad del 5%), por lo tanto los totales son:

D1= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 1 = 0.49+0.38+0.21+0.32= 1.40

D2= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 2 = 0.42+0.30+0.24+0.28= 1.24

En resumen se tiene:

Factor A B C D E e e

Nivel 1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35

Nivel 2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29

2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64

Observe que la suma de los dos niveles debe dar siempre el total de las ocho lecturas 2.64.

2) En seguida se obtiene una cantidad que llamaremos suma de cuadrados esta se calcula como sigue:

Suma de los cuadrados del factor x= SS X= (Total nivel 2 – Total nivel 1)2/ nDonde “n” representa el número total de lecturas que se tomaron.

Así por ejemplo, para el factor A, tendremos que dado que n=8 SSA= (A2 –A1) 2/ 8= (1.59-1.05) 2/ 8=0.03645 con 1 g .1

Para el factor B se tieneSSB= (B2 –B1) 2/ 8= (1.28-1.36) 2/ 8= 0.00080 con 1 g.1

Similarmente

SSC= (C2 –C1) 2/ 8= (1.13-1.51) 2/ 8= 0.01805 con 1 g.1

SSD= (D2 –D1) 2/ 8= (1.24-1.40) 2/ 8= 0.00320 con 1 g.1

SSE= (E2 –E1) 2/ 8= (1.25-1.39) 2/ 8= 0.00245 con 1 g.1

SSe= 0.00080 con 1 g.1

SSe= 0.00045 con 1 g.1

La suma de cuadrados de las columnas donde no se asignó factor (SSe) se toman como estimaciones del error y se suman.

SSe= 0.00080+0.00045= 0.00125 con 2 g.1

3) Se construye una tabla ANOVA, ésta es:

Efecto SS G.l. V Fexp

A 0.03645 1 0.03645 58.32

B 0.00080 1 0.00080 1.28

C 0.01805 1 0.01805 28.88

D 0.00320 1 0.00320 5.12

E 0.00245 1 0.00245 3.92

Error 0.00125 2 0.000625

Total 0.0622 7

Bajo la columna SS se tienen las sumas de cuadrados. Bajo la columna G.l. (grados de libertad), tendremos el número de columnas que se usaron para evaluar el factor, en este caso, sólo puede ser de uno para cada factor y más de uno únicamente para el caso del error.

La columna V, se obtiene dividiendo el número bajo la columna SS, entre el número de la columna G.L.

Así por ejemplo, para el factor A se tiene

SSA= 0.03645, G.L. de A=1

V= SSA/G.L.= 0.03645/1= 0.03645

Por último, el valor de Fexp, se obtiene de dividir el valor de V de cada factor, entre el valor de V para la estimación del error.

Fexp de A= V(A) / V(error)= 0.03645/0.000625=58.32

4) Obtenemos las siguientes conclusiones:

Todos aquellos factores, que tienen un valor de Fexp mayor que 2 se considera que afectan la variable de respuesta, emisión de formaldehído en este caso. Estos son llamados factores significantes.

En este ejemplo resultan significantes los factores A, C, D y E, tipo de resina, tiempo de ciclo, humedad y presión respectivamente.

Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron significantes, se consideren como error aleatorio, a fin de obtener una mejor estimación (con mayor número de grados de libertad).

En este caso por ejemplo, una mejor estimación de SSe es: SSe= SSB + SSe= 0.00080+0.00125= 0.00205

Con 1 + 2 = 3 grados de libertad y (Ve)= (SSe)/3= 0.00205/3= 0.00068

Las estimaciones que se obtienen de esta manera suelen escribirse entre paréntesis.

La tabla ANOVA queda ahora

Efecto SS G.1 V Fexp

A 0.03645 1 0.03645 53.60

C 0.01805 1 0.01805 26.54

D 0.00320 1 0.00320 4.71

E 0.00245 1 0.00245 3.60

Error 0.00205 3 0.00068

Total 0.0622 7

Con Minitab

Stat > DOE > Taguchi > Analyze Taguchi DesignResponse data in YAnalysis. Fit linear model for Signal to Noise Ratios MeansGraphs: Signal to Noise Ratios MeansTerms: A B C D E FAnalysis graphs: Residuals for plots Standardized Residual Plots Individual

plots Normal plotOptions: Smaller is betterStorage: Signal to Noise Ratios MeansOK

Los resultados son los siguientes: Factores significativos a 0.1 de nivel de significancia

Taguchi Analysis: Yi versus A, B, C, D, E Linear Model Analysis: SN ratios versus A, B, C, D, E

Estimated Model Coefficients for SN ratios

Term Coef SE Coef T PConstant 9.93728 0.3034 32.753 0.001A 1 -1.78903 0.3034 -5.897 0.028B 1 -0.01666 0.3034 -0.055 0.961C 1 -1.26604 0.3034 -4.173 0.053D 1 -0.42402 0.3034 -1.398 0.297E 1 -0.42402 0.3034 -1.398 0.297

S = 0.8581 R-Sq = 96.6% R-Sq(adj) = 88.0%

Analysis of Variance for SN ratios

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 25.6050 25.6050 25.6050 34.77 0.028B 1 0.0022 0.0022 0.0022 0.00 0.961C 1 12.8230 12.8230 12.8230 17.41 0.053D 1 1.4384 1.4384 1.4384 1.95 0.297E 1 1.4384 1.4384 1.4384 1.95 0.297Residual Error 2 1.4728 1.4728 0.7364Total 7 42.7797

21

12

11

10

9

821 21

21

12

11

10

9

821

A

Mean o

f SN r

atios

B C

D E

Main Effects Plot for SN ratiosData Means

Signal-to-noise: Smaller is better

Linear Model Analysis: Means versus A, B, C, D, E

Estimated Model Coefficients for Means

Term Coef SE Coef T PConstant 0.33000 0.008839 37.335 0.001A 1 0.06750 0.008839 7.637 0.017B 1 0.01000 0.008839 1.131 0.375C 1 0.04750 0.008839 5.374 0.033D 1 0.02000 0.008839 2.263 0.152E 1 0.01750 0.008839 1.980 0.186

S = 0.025 R-Sq = 98.0% R-Sq(adj) = 93.0%

Analysis of Variance for Means

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PA 1 0.036450 0.036450 0.036450 58.32 0.017B 1 0.000800 0.000800 0.000800 1.28 0.375C 1 0.018050 0.018050 0.018050 28.88 0.033D 1 0.003200 0.003200 0.003200 5.12 0.152E 1 0.002450 0.002450 0.002450 3.92 0.186Residual Error 2 0.001250 0.001250 0.000625Total 7 0.062200

21

0.40

0.35

0.30

0.2521 21

21

0.40

0.35

0.30

0.2521

A

Mean o

f M

eans

B C

D E

Main Effects Plot for MeansData Means

Response Table for Signal to Noise RatiosSmaller is better

Level A B C D E1 8.148 9.921 8.671 9.513 9.5132 11.726 9.954 11.203 10.361 10.361Delta 3.578 0.033 2.532 0.848 0.848Rank 1 5 2 3.5 3.5

Response Table for Means

Level A B C D E1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.34752 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125Delta 0.1350 0.0200 0.0950 0.0400 0.0350Rank 1 5 2 3 4

Nos resta decidir a que nivel habrá de fijar cada factor significante, y qué podremos esperar. Para tomar esta decisión, es de mucha ayuda obtener los promedios de las lecturas que se tomaron a cada nivel para cada uno de los factores significantes.

Los promedios de la emisión de formaldehído para cada nivel se obtienen dividiendo c/u de los totales entre 4, (c/total es la suma de cuatro lecturas).

A1= A1/4= 1.59/4= 0.3975A2= A2/4= 1.05/4= 0.2625

El resto de los promedio son:

Factor Nivel 1 Nivel 2

A A1= 0.3975 A2= 0.2625

B B1= 0.3400 B2= 0.3200

C C1= 0.3775 C2= 0.2825

D D1= 0.3500 D2= 0.3100

E E1= 0.3475 E2= 0.3125

El promedio general denotado como Y es:

Y= (0.49+0.42+0.38+0.30+0.21+0.24+0.32+0.28)/8=T/n= 2.64/8= 0.33

Los factores A, C, D y E que afectan emisión de formaldehído deberán fijarse al nivel que minimicen la emisión, esto es, al nivel que se obtenga el promedio menor, en este ejemplo; A2, C2, D2 y E2; resina tipo II, 15 segundos como tiempo de prensado, 5% de humedad y 900 psi.

El factor B juega aquí un papel sumamente importante. Dado que no afecta la emisión de formaldehído, dentro del intervalo analizado, se utiliza para reducir los costos de producción. Esto se hace fijándolo a su nivel más económico. ¿Cuál será el nivel esperado de emisión bajo las nuevas emisiones propuestas Y est.?

Para contestar esta pregunta, para cada efecto significante se calcula una resta, que llamaremos el efecto de cada factor respecto al promedio general, para este caso el efecto es

EF A = (promedio bajo la condición propuesta del factor promedio general)

= A2 – Y= 0.2625-0.3300= -0.0675 (A se fijó a su nivel 2)

EF C = C2 – Y= 0.2825-0.3300= -0.0475

EF D = D2 – Y= 0.3100-0.3300=-0.0200

EF E = E2 – Y= 0.3125-0.3300= -0.0175

Finalmente, el resultado esperado bajo las condiciones A2, C2, D2, E2, que llamaremos Yest. se calcula sumando al promedio general Y todos los efectos de los factores significantes.

Yest= Y + EF A + EF C +EF D +EF E= 0.3300-0.0675-0.0475-0.0200-0.0175=0.1775

Análisis utilizando gráficas

Existe una alternativa al análisis ANOVA, esta es una serie de gráficas que se muestran enseguida.

1) Primero se obtienen los promedios en cada nivel, para cada uno de los factores, incluyendo las columnas vacias.

Para hacer esto, encontramos los totales para cada nivel y dividimos entre el número de lecturas con el que se obtuvo cada total. Para nuestro ejemplo, los totales a cada nivel los tenemos ya en la sección anterior. Los promedios son:

Factor A B C D E e eNivel 1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 0.3200

0.3325

Nivel 2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.3400

0.3225

Promedio global Y= T/n= 2.64/8 = 0.33

Observe que para cada factor, uno de los promedios es mayor y el otro menor que el promedio global. Esto siempre debe de ocurrir.

2) Calcule la diferencia entre los promedios de niveles para cada factor, y ordénelos de mayor a menor en valor absoluto.

Esto es por ejemplo para el factor A

A1 – A2 = 0.3975 – 0.2625= 0.1350; para el resto tenemos:

Factor A B C D E e e

Diferencia 0.1350 0.0200 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200

0.0100

En la tabla de ANOVA encontramos los resultados obtenidos anteriormente:

Nº A B C D E e1 e2 Yi

1 1 1 1 1 1 1 1 0.49

2 1 1 1 2 2 2 2 0.42

3 1 2 2 1 1 2 2 0.38

4 1 2 2 2 2 1 1 0.30

5 2 1 2 1 2 1 2 0.21

6 2 1 2 2 1 2 1 0.24

7 2 2 1 1 2 2 1 0.32

8 2 2 1 2 1 1 2 0.28

T1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28

1.35 Tot

T2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29 2.64

SS 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 0.00080

0.00045 Ve

gl 1 1 1 1 1 2

V 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245

.00062 F 58.32 1.28 28.88 5.12 3.92

Sg si no si si si

P1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475

Y

P2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125

0.33

Ni 2 - 2 2 2

Ef -0.0675 -0.0475 -0.0200 -0.0175

Yest. = Y + Ef A2 + Ef C2 + Ef D2 + Ef E2

T1 = Total de lecturas al nivel 1T2 = Total de lecturas al nivel 2n = Número total de lecturasSS = (T2 - T1 )2 /ngl = Grados de libertad (columnas)

V = SS/gl

F = V/VeSg = ¿Efecto significante?P1 = Promedio nivel 1P2 = Promedio nivel 2Ni = Nivel seleccionadoEf = Efecto de la variableY = Promedio de todos los datosYest = Valor estimado de la variable a las condiciones propuestas

Ordenando de mayor a menor valor absoluto (ignorando el signo), tenemos:

Factor A C D E B e e

Diferencia 0.1350 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200

0.0200 0.0100

Se puede observar que el orden en que quedaron los datos anteriores, es también el orden de mayor a menor Fexp que se obtiene con la ANOVA.

Siguiendo el orden anterior, se obtiene una gráfica como se muestra en seguida:

.40

.35

.33

.30

.25

Mediante esta gráfica, se puede evaluar el efecto de cada factor. Entre

mayor sea la línea de cada factor, o bien, entre más vertical se encuentre, mayor

será el efecto de este factor.

Observamos un grupo de líneas inclinadas, seguida de un grupo de líneas que súbitamente se “acuestan” o se hacen horizontales. Es de esperar que las líneas que presentan columnas vacías o error aleatorio, quedan prácticamente horizontales

A1 A2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 B1 B2 e1 e2 e1 e2

Observe que las conclusiones a que se llegamos en este ejemplo son similares a las de la ANOVA, esto es, factores significantes A, C, D y e, igualmente los niveles recomendados se pueden identificar rápidamente, si deseamos reducir la variable de respuesta, se toma el nivel más bajo, en este caso A2, C2, D2 y E2, es decir, los puntos por debajo de la línea promedio global.

En conclusión, el método gráfico puede ser utilizado para fines de exposición o presentación y el ANOVA para fines de tomar una decisión más objetiva.

Para predecir la respuesta con Minitab

Stat > DOE > Taguchi > Predict Taguchi Results

Predict Mean Signal to Noise Ratio

Terms: A C D E

Levels: Seleccionar Coded Units Select levels from a list: A = 2, C = 2, D = 2, E = 2

OK

Los resultados se muestran a continuación:

Predicted values

S/N Ratio Mean 13.8404 0.1775

Factor levels for predictions

A C D E2 2 2 2