Post on 01-Feb-2016
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ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES
Sea L una recta cualquiera que no pasa por el polo. Tracemos por el polo una perpendicular a
L , que se intercepta en N . Sea el ángulo que hace el eje polar con la normal ON y p la
medida del segmento ON . Finalmente sea ( , )P r un punto cualquiera de L .
En el triángulo ONP se tiene:
cosp
r
Por lo tanto cosr p
Es la ecuación polar de la recta L .
Casos particulares: a) Recta perpendicular al eje polar, está a la derecha del polo; haciendo
0 , entonces cosr p
b) Recta perpendicular al eje polar, está a la izquierda del polo; haciendo
0 , entonces cosr p
c) Recta paralela al eje polar, está arriba del polo; haciendo
90º2
, entonces cos 90ºr p
r sen p
d) Recta paralela al eje polar, está debajo del polo; haciendo
3270º
2
, entonces cos 270ºr p
Que es lo mismo que r sen p
e) Rectas tales que contienen al polo. La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella es de la forma: y mx
Realizando las transformaciones respectivas:
cos
cos
tan tan
y mx
rsen mr
senm
Por lo tanto si la recta L pasa por el polo, su ecuación es de la forma k . Siendo k una
constante que puede restringirse a valores no negativos menores de 180 .
Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2;30ºP y es perpendicular al
eje polar OX . Solución:
La ecuación de la recta es de la forma: cosr p . Pero como L está a la derecha entonces
la ecuación es de la forma: cosr p .
Si 2;30ºP L , entonces: 2cos 30º p
32
2p
3 p
Luego la ecuación de la recta es: cos 3r
EJERCICIOS
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )3/2,4( P y es perpendicular al
eje polar.
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )4/3,23( P y es paralela al eje
polar.
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 3; 30 y es paralela al eje OY .
4. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto 4;30 y forme un ángulo de
150 con el eje polar.
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2 2;34
P
y es paralela al eje
polar. 6. Hallar la ecuación en coordenadas polares de una recta que pasa por el punto
26;
3P
y es perpendicular al eje polar.
7. Hallar la ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por )6/,4( P y que
es perpendicular a la recta 060
8. Deducir la ecuación polar de una recta que pasa por el punto 2;6
P
con una
inclinación respecto al eje polar de un ángulo 2
3
.
9. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por )30,2/1( P y es perpendicular a la
recta 060 .
10. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por el punto P(3,0o) y forma un ángulo
4/3 con el eje polar.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES
Sea 1( , )C r el centro de una circunferencia cualquiera de radio R. Sea ( , )P r un punto
cualquiera de la circunferencia.
Teorema La ecuación polar de una circunferencia de centro
en el punto 1( , )C r , y radio igual R es:
2 2 2
1 12 cos( )r rr r R
Casos particulares a) Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la
derecha del polo, y la circunferencia pasa por él, se tiene : 1r R y 0º , entonces:
2 cos( )r R
- Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la izquierda del polo, y la circunferencia
pasa por él, se tiene: r R y , entonces:
2 cos( )r R
b) Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY , arriba del polo, y la circunferencia
pasa por él, entonces: 1r R , 2
, entonces:
2 sr R en
- Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY , debajo del polo, y la circunferencia
pasa por él, entonces: 1r R , 3
2
, entonces:
2 sr R en
c) Si el centro de la circunferencia está en el polo, 1 0r y la circunferencia se reduce a:
r R
Ejemplo Hallar la ecuación polar de la circunferencia con centro (4,30º )C y radio igual a 5.
Solución
Por datos del problema se tiene, 1 4r , 5R , 30º . Luego: 2 2 22(4) cos( 30) 4 5r r
2 8 cos( 30) 16 25r r
2 8 cos( 30) 9 0r r
Ejemplo Hallar el centro y el radio de la circunferencia 02034cos42 rsenrr .
Solución
Aplicando la ecuación de la circunferencia 2 2 2
1 12 cos( )r rr r R , desarrollando se
obtiene:
2 2 2
1 12 cos cos 0r rr sen sen r R
2 2 2
1 1 12 cos cos 0r r r r sen sen r R
O bien
2 2 2
1 1 12 cos cos 2 r r r r sen rsen r R
Comparando la ecuación dada 02034cos42 rsenrr con esta última, tenemos:
(1) 12 cos 4r
(2) 12 4 3r sen y
(3) 2 2
1 20r R
Dividiendo la ecuación (2) por (1) 3tg , entonces 120 . Sustituyendo en (1),
4221
1 r
de donde
41 r .
De (3) se tiene, 216 20R , 6R .
Luego el centro de la circunferencia es el punto 1( , )C r = 4; 120º y su radio vale 6.
EJERCICIOS
1. Hallar la ecuación polar de la circunferencia cuyo centro y radio son:
a. 4;0 , 4C R
b. 5),180,5( RC
c. 8),45,3( RC
d. 7),240,2( RC
2. Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación polar:
a) 03)sin(3)cos(2 rrr b) 05)sin(3)cos(332 rrr
c) 05)sin(22)cos(222 rrr
d) 2 4 3 cos( ) 4 sin( ) 15 0r r r