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Área de una

región plana

de coordenas

polares

Y Mucho

mas

AREA DE UNA

REGION EN

EL PLANO DE

COORDENADAS

POLARES

Ejemplos y Soluciones

GRAFICAS EN

COORDENADAS

POLARES

25 ejemplos de graficas

en coordenadas polares

Ahora, bien

cuando se quiere

hallar el área

comprendida

entre

dos gráficas

polares, se

emplea

el procedimiento

conocido de

sustraer un área

de

otra. Aunque en

el

siguiente

ejemplo

los cálculos no

fueron sencillos,

con frecuencia,

determinar los

límites de

integración es la

parte más

desafiante para

hallar el área de

una región polar.

AREA DE UNA REGION EN EL

PLANO DE COORDENADAS

POLARES

Ejemplo 1

Hallar el área de la región A comprendida

dentro del Caracol r=1+2cosø y el exterior

del circulo r=2

SOLUCION:

Si observamos la figura se puede apreciar las

dos ecuaciones donde el área A entre ellos

esta sombreada. Los puntos de intersección

del círculo y el caracol están dados por:

Ejemplo 2

Hallar el área interior del limacon r = 3 + 2cosø y

exterior a la circunferencia r = 2

SOLUCIÓN:

Primero debe resolverse la ecuación igualando ambas

ecuaciones: 3+2cosø=2

Observe que como cosø es periódico, existen muchas

soluciones para esta ecuación. En consecuencia, es

necesario recurrir a la gráfica para determinar en

cuales soluciones esta interesado. En este caso, se

desea hallar las soluciones menores negativas y las más

pequeñas positivas. Observando la figura,

cuidadosamente donde solo se ha representado solo

aquellas porciones de las gráficas correspondientes

a ø entre las primeras dos soluciones positivas.

De manera semejante, el

área encerrada por la

circunferencia en este

intervalo esta dado por:

el área interior de la limacon

y exterior a la circunferencia

está dada por:

El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va

paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero

con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos

básicos de dicha área.

En la figura se observa que la superficie de un sector circular de

radio r viene dada por: