ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES

Sea L una recta cualquiera que no pasa por el polo. Tracemos por el polo una perpendicular a

L , que se intercepta en N . Sea el ángulo que hace el eje polar con la normal ON y p la

medida del segmento ON . Finalmente sea ( , )P r un punto cualquiera de L .

En el triángulo ONP se tiene:

cosp

r

Por lo tanto cosr p

Es la ecuación polar de la recta L .

Casos particulares: a) Recta perpendicular al eje polar, está a la derecha del polo; haciendo

0 , entonces cosr p

b) Recta perpendicular al eje polar, está a la izquierda del polo; haciendo

0 , entonces cosr p

c) Recta paralela al eje polar, está arriba del polo; haciendo

90º2

, entonces cos 90ºr p

r sen p

d) Recta paralela al eje polar, está debajo del polo; haciendo

3270º

2

, entonces cos 270ºr p

Que es lo mismo que r sen p

e) Rectas tales que contienen al polo. La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella es de la forma: y mx

Realizando las transformaciones respectivas:

cos

cos

tan tan

y mx

rsen mr

senm

Por lo tanto si la recta L pasa por el polo, su ecuación es de la forma k . Siendo k una

constante que puede restringirse a valores no negativos menores de 180 .

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2;30ºP y es perpendicular al

eje polar OX . Solución:

La ecuación de la recta es de la forma: cosr p . Pero como L está a la derecha entonces

la ecuación es de la forma: cosr p .

Si 2;30ºP L , entonces: 2cos 30º p

32

2p

3 p

Luego la ecuación de la recta es: cos 3r

EJERCICIOS

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )3/2,4( P y es perpendicular al

eje polar.

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto )4/3,23( P y es paralela al eje

polar.

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 3; 30 y es paralela al eje OY .

4. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto 4;30 y forme un ángulo de

150 con el eje polar.

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 2 2;34

P

y es paralela al eje

polar. 6. Hallar la ecuación en coordenadas polares de una recta que pasa por el punto

26;

3P

y es perpendicular al eje polar.

7. Hallar la ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por )6/,4( P y que

es perpendicular a la recta 060

8. Deducir la ecuación polar de una recta que pasa por el punto 2;6

P

con una

inclinación respecto al eje polar de un ángulo 2

3

.

9. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por )30,2/1( P y es perpendicular a la

recta 060 .

10. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por el punto P(3,0o) y forma un ángulo

4/3 con el eje polar.

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES

Sea 1( , )C r el centro de una circunferencia cualquiera de radio R. Sea ( , )P r un punto

cualquiera de la circunferencia.

Teorema La ecuación polar de una circunferencia de centro

en el punto 1( , )C r , y radio igual R es:

2 2 2

1 12 cos( )r rr r R

Casos particulares a) Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la

derecha del polo, y la circunferencia pasa por él, se tiene : 1r R y 0º , entonces:

2 cos( )r R

- Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la izquierda del polo, y la circunferencia

pasa por él, se tiene: r R y , entonces:

2 cos( )r R

b) Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY , arriba del polo, y la circunferencia

pasa por él, entonces: 1r R , 2

, entonces:

2 sr R en

- Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY , debajo del polo, y la circunferencia

pasa por él, entonces: 1r R , 3

2

, entonces:

2 sr R en

c) Si el centro de la circunferencia está en el polo, 1 0r y la circunferencia se reduce a:

r R

Ejemplo Hallar la ecuación polar de la circunferencia con centro (4,30º )C y radio igual a 5.

Solución

Por datos del problema se tiene, 1 4r , 5R , 30º . Luego: 2 2 22(4) cos( 30) 4 5r r

2 8 cos( 30) 16 25r r

2 8 cos( 30) 9 0r r

Ejemplo Hallar el centro y el radio de la circunferencia 02034cos42 rsenrr .

Solución

Aplicando la ecuación de la circunferencia 2 2 2

1 12 cos( )r rr r R , desarrollando se

obtiene:

2 2 2

1 12 cos cos 0r rr sen sen r R

2 2 2

1 1 12 cos cos 0r r r r sen sen r R

O bien

2 2 2

1 1 12 cos cos 2 r r r r sen rsen r R

Comparando la ecuación dada 02034cos42 rsenrr con esta última, tenemos:

(1) 12 cos 4r

(2) 12 4 3r sen y

(3) 2 2

1 20r R

Dividiendo la ecuación (2) por (1) 3tg , entonces 120 . Sustituyendo en (1),

4221

1 r

de donde

41 r .

De (3) se tiene, 216 20R , 6R .

Luego el centro de la circunferencia es el punto 1( , )C r = 4; 120º y su radio vale 6.

EJERCICIOS

1. Hallar la ecuación polar de la circunferencia cuyo centro y radio son:

a. 4;0 , 4C R

b. 5),180,5( RC

c. 8),45,3( RC

d. 7),240,2( RC

2. Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación polar:

a) 03)sin(3)cos(2 rrr b) 05)sin(3)cos(332 rrr

c) 05)sin(22)cos(222 rrr

d) 2 4 3 cos( ) 4 sin( ) 15 0r r r