ECONOMETRIA Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiple

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Estadísticos de Prueba en el Modelo Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiplede Regresión Múltiple

Mtro. Horacio Catalán Alonso

Revisión de algunas DistribucionesRevisión de algunas Distribuciones

Taller de Econometría

Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso

EconometríaEconometría

Sea un vector x que representa un variable aleatoria que se distribuye como una función de densidad de probabilidad normal

kxxyx ,...,, 21

1111 )()(E

),(X N

x se distribuye como una normal con media y varianza

x es una normal con media cero y varianza igual a uno se define como una normal estandarizada

En el caso de un vector de variables aleatorias

),0(N I Z

La matriz de covarianzas es una matriz identidad

Cualquier vector puede ser estandarizado si se define una matriz T tal que

1ΣT´T

ITΣΣT

Por lo tanto I)N(0, μ)T(

• La multiplicación de la matriz T por las desviaciones respecto a la media generan una variable normal estándar

• Asociados a la distribución normal existen diferentes distribuciones asociadas que son utilizadas en la inferencia estadística

Teorema: sean x1, x2,…,xn una muestra aletaoria, con una distribución normal con media y varianza 2

Se define la variable aleatoria

Se distribuye como una chi-cuadrada con n grados de libertad )(2

Teorema: si x1 y x2 son dos variables aleatorias independientes y cada una tiene una distribución chi-cuadrada con k1 y k2 grados de libertad, respectivamente, entonces Y = x1+x2 también se distribuye como chi-cuadrada con k1+ k2 grados de libertad

)( 21 kk 2

Sea Z una variable normal estándar y X una variable aleatoria chi-cuadrada con grados de libertad. Si X y Z son independientes, entonces.

ZT Tienen una distribución t de student

con grados de libertad

de student con n -1 grados de libertadt

Sean y dos variables aleatorias independientes que se distribuyen como una chi-cuadrada con m y n grados de libertad respectivamente

u Se distribuye como una F con m y n

grados de libertad

Distribución normal

Distribución t de student

)(2 k ),( nmF

Distribución Chi-cuadrada

Distribución F

Normal estándar

(0,1) N)T(

Se define )T(Z

)μ μ)´)´T´TT(Z´Z

μ)T(μ)T(Z´Z /

Dado que 1ΣT´T

)()()(´ 21 n ZZ

Se distribuye como una chi-cuadrada con n grados de libertad

ZZ )()(´ 1

Con base en dos variables normal estándar se puede obtener una variable chi-cuadrada con n grados de libertad

Del modelo de regresión

Es la suma de errores al cuadrado

)ˆXY)´(ˆYY(U´U)3

Es importante notar que

)(E Bajo regresores fijos

Bajo regresores aleatorios con muestras independientes

EE )()(

El término de error se distribuye como una normal

),0(NU 2 Es necesario obtener un estimador de la varianza

Sabemos que

)ˆ(MU)4

´)´(I´)´(U)2

ˆU)111

0´)´(

´)´(IM

UMˆMU)5

Sabemos que

U´M´MU

)U)´(MU(MU´U)7

Dado que la matriz M es simétrica e idempotente

M´UUU´U)9

UM´UU´U)8

Aplicando valor esperado

´MUUE)U´UE()10

MMM´M´M

KxKNxN2

σk)(n

)U´UE(

k)(nσ

)tr(I)tr(Iσ)u´uE(

´)´(Iσ

Mσ´MUUE)11

Estimador de la varianza

Es un estimador insesgado de la varianza

SS 2Es la desviación estándar de los valores de Y respecto a la estimación Ŷ

Es un estimador insesgado de la varianza

Sabemos que

Es una normal estándar

I)N(0, Z

(n) ZZ 2/

),0(NU 2

)ranM(UU 2

Si se dsitribuye como una chi-cuadrsda con n-k grados de libertad

--UU //

Restricciones

Se define

/1/2/1/2

RRRRβRVar

RβRVar

Rβ-ββ-βRERβVar

Se obtiene que

1/2β,Nβ

/1/2 RRβ,RNβR

/1/2 RR0,Nβ-βR

/1/2 RR0,Nq-βR

Se define la hipótesis

qβR:H

/1/2 RR0,Nq-βR

¿Cuál es el estadístico apropiado para realizar la prueba?

Primero se define un estadístico con base en la normal estándar

q-βR/1/2/1/2

Se distribuye como una normal estándar con media cero y varianza igual a 1

Sabemos que

N(0,1)2

K-NKNUU 2

q-βR/1/2

dado que 2

El estadítico se distribuye como una t de student con N – K gardos de libertad

Sq-βR

βR/1/

En el caso particular de H0 : βi = 0, H1 : βi ≠ 0

K-Nestimador delestándar Desviación

EstimadorSβ

Es importante destacar que la prueba -student es válida, sólo si los errores se distribuyen como una normal

dado que t (N – K) → N(0, 1) cuando N →∞

La distribución t-student tiende a la normal estandár cuando N tiende a infinito

Entonces

(n) ZZ 2/

)I,0(N 2

)()I( 212/ K

/1/2 RR0,Nq-βR

Se distribuye como una chi-cuadrda con q grados de libertad que es igual al numerio de restricciones donde

/1/22 RR)I(

)(q-βRRRq-βR 21

/1/2/q

La forma cuadrática

q-βRX

dos variables aleatroias

SKN 22

La forma cuadrática

)(2 n )(F 2 m

)KN(S)KN(

q-βRRRq-βR

1/1/2/

)KNq,(F

paámetros de NúmeroK

nesobservacio de NúmeroN

nesrestriccio de Númeroq

nesrestricciocon

modelo del cuadrado al errores de SumaU**UQ*

nesrestricciosin

modelo del cuadrado al errores de SumaUUQ

q-βRRRq-βRQ*-Q1

)KNq,(F

)-Q*Q(

nesrestriccio

con modelo del RR

nesrestriccio

sin modelo del RR

El estadístico F se puede expresar como

)KW()R-(1

-Q*Q)( q

La hipótesis de restricciones en los parámetros se puede probar utilizando la chi-cuadrada con “q” grados de libertad que genera resultados similares a la prueba F

K)-NF(1,

Cuando se impone sólo una restrición

Es equivalente a un estadístico t de student

K)-NF(1,Var

q Es uan prueba pseudo t

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