ECONOMETRIA Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiple

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Estadísticos de Prueba en el Modelo Estadísticos de Prueba en el Modelo de Regresión Múltiplede Regresión Múltiple



Mtro. Horacio Catalán Alonso

Revisión de algunas DistribucionesRevisión de algunas Distribuciones

Taller de Econometría

Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso

EconometríaEconometría

Sea un vector x que representa un variable aleatoria que se distribuye como una función de densidad de probabilidad normal

kxxyx ,...,, 21

donde

kkk

k

k

y

Cov

mx

mx

m

1

1111 )()(E




),(X N

x se distribuye como una normal con media y varianza

x es una normal con media cero y varianza igual a uno se define como una normal estandarizada




En el caso de un vector de variables aleatorias

),0(N I Z

La matriz de covarianzas es una matriz identidad

Cualquier vector puede ser estandarizado si se define una matriz T tal que

1ΣT´T

ITΣΣT

Por lo tanto I)N(0, μ)T(




• La multiplicación de la matriz T por las desviaciones respecto a la media generan una variable normal estándar

• Asociados a la distribución normal existen diferentes distribuciones asociadas que son utilizadas en la inferencia estadística




Teorema: sean x1, x2,…,xn una muestra aletaoria, con una distribución normal con media y varianza 2

Se define la variable aleatoria

21

2)(

n

iix

V

Se distribuye como una chi-cuadrada con n grados de libertad )(2




Teorema: si x1 y x2 son dos variables aleatorias independientes y cada una tiene una distribución chi-cuadrada con k1 y k2 grados de libertad, respectivamente, entonces Y = x1+x2 también se distribuye como chi-cuadrada con k1+ k2 grados de libertad

)( 21 kk 2




Sea Z una variable normal estándar y X una variable aleatoria chi-cuadrada con grados de libertad. Si X y Z son independientes, entonces.

νΧ

ZT Tienen una distribución t de student

con grados de libertad

s

tˆ

de student con n -1 grados de libertadt




Sean y dos variables aleatorias independientes que se distribuyen como una chi-cuadrada con m y n grados de libertad respectivamente

n

m

u Se distribuye como una F con m y n

grados de libertad




Distribución normal




0

Distribución t de student




)(2 k ),( nmF

Distribución Chi-cuadrada

Distribución F




Normal estándar

(0,1) N)T(

Se define )T(Z

)μ μ)´)´T´TT(Z´Z

μ)T(μ)T(Z´Z /




Dado que 1ΣT´T

)()()(´ 21 n ZZ

Se distribuye como una chi-cuadrada con n grados de libertad




ZZ )()(´ 1

21

2)(

n

ii

Con base en dos variables normal estándar se puede obtener una variable chi-cuadrada con n grados de libertad




Del modelo de regresión

UX)2

UXY)1

Es la suma de errores al cuadrado

)ˆXY)´(ˆYY(U´U)3




Es importante notar que

E

)(E Bajo regresores fijos

Bajo regresores aleatorios con muestras independientes

EE )()(




El término de error se distribuye como una normal

),0(NU 2 Es necesario obtener un estimador de la varianza

Sabemos que

)ˆ(MU)4

MU)3

´)´(I´)´(U)2

ˆU)111

u




0´)´(

´)´(IM

´)´(IM

1

1

1

UMˆMU)5

UMU)6

Sabemos que




U´M´MU

)U)´(MU(MUÚ)7

Dado que la matriz M es simétrica e idempotente

MÚUUÚ)9

UMÚUÚ)8

Aplicando valor esperado

´MUUE)UÚE()10

MMM´M´M




2

2

KxKNxN2

KxKNxN2

1NxN

2

12

2

σk)(n

)U´UE(

k)(nσ

)tr(I)tr(Iσ)u´uE(

IIσ

´)´(Iσ

´)´(Iσ

Mσ´MUUE)11




Estimador de la varianza

Es un estimador insesgado de la varianza

k)-(n

U1

2i

2

N

tS

2

SS 2Es la desviación estándar de los valores de Y respecto a la estimación Ŷ

Es un estimador insesgado de la varianza




Sabemos que

Si

Es una normal estándar

I)N(0, Z

(n) ZZ 2/

),0(NU 2

),0(NU 2

)ranM(UU 2

/




Si

Si se dsitribuye como una chi-cuadrsda con n-k grados de libertad

KNKN

--UU //

KN 22

2SK-T




Restricciones

Se define

Uβ

qRβ

β

/1/2/1/2

/

//

RRRRβRVar

RβRVar

Rβ-ββ-βRERβVar




Se obtiene que

1/2β,Nβ

/1/2 RRβ,RNβR

/1/2 RR0,Nβ-βR

/1/2 RR0,Nq-βR




Se define la hipótesis

qβR:H

qβR:H

1

0

/1/2 RR0,Nq-βR

¿Cuál es el estadístico apropiado para realizar la prueba?




Primero se define un estadístico con base en la normal estándar

0,1N

RR

q-βR

RR

q-βR/1/2/1/2

Se distribuye como una normal estándar con media cero y varianza igual a 1




Sabemos que

qt

q)(

N(0,1)2

q

K-NKNUU 2

2

/




S

RR

q-βR

KNUU

RR

q-βR/1/2

2

/

/1/2

dado que 2

/

SKN

UU




El estadítico se distribuye como una t de student con N – K gardos de libertad

K-N

Sq-βR

RRS

q-βR

βR/1/

t

En el caso particular de H0 : βi = 0, H1 : βi ≠ 0

K-Nestimador delestándar Desviación

EstimadorSβ

iβ

i t




Es importante destacar que la prueba -student es válida, sólo si los errores se distribuyen como una normal

dado que t (N – K) → N(0, 1) cuando N →∞

La distribución t-student tiende a la normal estandár cuando N tiende a infinito

t




Entonces

(n) ZZ 2/

)I,0(N 2

)()I( 212/ K

/1/2 RR0,Nq-βR




Se distribuye como una chi-cuadrda con q grados de libertad que es igual al numerio de restricciones donde

/1/22 RR)I(

)(q-βRRRq-βR 21

/1/2/q

La forma cuadrática

q-βRX




dos variables aleatroias

)KN(

SKN 22

2

La forma cuadrática

)(2 m

)(2 n )(F 2 m

n

m




)KN(S)KN(

q-βRRRq-βR

2

2

1/1/2/

q

)KNq,(F

)KN(

F 2

2

q

paámetros de NúmeroK

nesobservacio de NúmeroN

nesrestriccio de Númeroq




nesrestricciocon

modelo del cuadrado al errores de SumaU**UQ*

nesrestricciosin

modelo del cuadrado al errores de SumaUUQ

/

/

q-βRRRq-βRQ*-Q1

/1//




)KNq,(F

qK-N

Q-Q*Q

)KN(Q

)-Q*Q(

F

q

nesrestriccio

con modelo del RR

nesrestriccio

sin modelo del RR

22R

22u

El estadístico F se puede expresar como

)KW()R-(1

)R-R(

F 2u

2R

2u

q




2R

2 NR

NQ

-Q*Q)( q

La hipótesis de restricciones en los parámetros se puede probar utilizando la chi-cuadrada con “q” grados de libertad que genera resultados similares a la prueba F




K)-NF(1,

Cuando se impone sólo una restrición

Es equivalente a un estadístico t de student

i

2

i

β(β

K)-NF(1,Var

q Es uan prueba pseudo t





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