Dibujando el triángulo de Sierpinsky

Universidad Estatal a Distancia.Curso: Introducción a los Fractales.Prof. Luis Fdo. Ramírez Oviedo.

Fractal

Definición. Un fractal es un subconjunto de ℝ𝑛 cuya dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor que la dimensión topológica.

El triangulo de Sierpinski

Waclaw Franciszek Sierpenkins (Varsovia, 1882 - Republica Popular dePolonia, 1969), fue un matemático polaco. Son notables susaportaciones a la teoría de conjuntos , la teoría de números, latopología y la teoría de funciones. Tres conocidos fractales llevan sunombre: Triángulo de Sierpinski, Alfombra de Sierpinski y Curva deSierpinski.

El triangulo, la alfombra y la curva de Sierpinski

Construyamos el triángulo de Sierpinski

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas)

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas)

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas).

Paso #2. Copiamos y pegamos el primer triángulo.

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas).

Paso #2. Copiamos y pegamos el primer triángulo.

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas).

Paso #2. Copiamos y pegamos el primer triángulo.

Paso #3. Reducimos el triángulo copiado a la mitad.

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas).

Paso #2. Copiamos y pegamos el primer triángulo.

Paso #3. Reducimos el triángulo copiado a la mitad.

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas).

Paso #2. Copiamos y pegamos el primer triángulo.

Paso #3. Reducimos el triángulo copiado a la mitad.

Paso #4. Rotamos el triángulo 60°.

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas).

Paso #2. Copiamos y pegamos el primer triángulo.

Paso #3. Reducimos el triángulo copiado a la mitad.

Paso #4. Rotamos el triángulo 60°

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas).

Paso #2. Copiamos y pegamos el primer triángulo.

Paso #3. Reducimos el triángulo copiado a la mitad.

Paso #4. Rotamos el triángulo 60°

Paso #5. Trasladamos el triángulo de tal modo que sus vértices coincidan con los puntos medios de los lados del triángulo original.

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas).

Paso #2. Copiamos y pegamos el primer triángulo.

Paso #3. Reducimos el triángulo copiado a la mitad.

Paso #4. Rotamos el triángulo 60°

Paso #5. Trasladamos el triángulo de tal modo quesus vértices coincidan con los puntos mediosde los lados del triángulo original.

Paso #1. Insertamos un triángulo equilátero (insertar-formas).

Paso #2. Copiamos y pegamos el primer triángulo.

Paso #3. Reducimos el triángulo copiado a la mitad.

Paso #4. Rotamos el triángulo 60°

Paso #5. Trasladamos el triángulo de tal modo quesus vértices coincidan con los puntos mediosde los lados del triángulo original.

Paso #6. Repetimos los pasos anteriores, salvo el #4.

Algunas aplicaciones de los fractales

El triángulo de Sierpinsky permite representar objetos un poco másnaturales, pues este conjunto se usa también como una proyección enel plano de cadenas de nucleótidos en el análisis de secuencias deADN, dicha representación se llama Representación del Juego del Caos(CGR por sus siglas en inglés) que permite una mejor comprensión dehileras de nucleótidos de ADN. Jeffrey en 1990, afirma que esteconjunto ha revelado visualmente “estructuras previamentedesconocidas".

Algunas aplicaciones de los fractales

Comprensión de imágenes: El almacenamiento digital de imágenes,esta formada por millones de pixeles o puntos de diferentes colores, ypueden ocupar mucha memoria. Por lo que, existen muchos algoritmospara comprimir las imágenes, con el objetivo de almacenar lainformación de una manera eficiente que reduzca el espacio queocupa. Por ejemplo, las imágenes que guardamos habitualmente enjpeg o gif, utilizan dicha comprensión.

Algunas aplicaciones de los fractales

Algunas aplicaciones de los fractales

Arte fractal: Los fractales se pueden aplicar de una forma artística, de manera que puedan reproducir paisajes generados a partir de sistemas de funciones iteradas, dicho arte se ha utilizado en películas como StarWars (1977 - 2005) y Star Trek (1979 - 2013), también es utilizado en la programación de videojuegos.

Algunas aplicaciones de los fractales

• Dimensión fractal en la cromatina: La cromatina es un material fibroso dentro del núcleo de las células, que contiene el material genético. La cromatina tiende a replegarse en sí misma. Es posible estimar la dimensión fractal de este material. Los científicos del centro de investigaciones Monte Sinaí de Nueva York han demostrado que existe una relación entre la dimensión fractal de la cromatina y el cáncer de mama.

Algunas aplicaciones de los fractales

Análisis de la estructura ósea: la alteración de la estructura ósea, y eldescenso de la masa ósea, contribuye a que un paciente conosteoporosis sufra una fractura. Los métodos tradicionales de medidade la masa ósea no parecen muy eficientes a la hora de diagnosticar elriesgo de fractura en estos pacientes. Por ello, numerosos equipos deradióloga han desarrollado métodos para estimar la dimensión fractalde la estructura ósea, utilizando tomografías computarizadasadecuadas (TAC). Estas medidas han demostrado que son maseficientes a la hora de predecir los riesgos de fractura.

Referencias: Alfaro A, Manuel. Murillo T, Manuel y Soto A, Alberto. Fractales. (2010). Revista digital, Matemática, Educación e Internet. www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/

Atencia Toro, Vanessa. Fractales Matemáticos. Trabajo Final de Grado en Matemáticas. Universidad de Barcelona.