RAUL ANDRES TORRES B

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

Una función real de dos variables es aquella que asigna a cada par ordenado (x, y) de algún conjunto D del plano, un numero real (único) f(x, y).

* El conjunto D se llama dominio de la función

* El rango de una función es el conjunto de valores

Si deseamos embozar en el plano xy el dominio natural

de debemos excluir y el

punto (0, 1) Fig.1 Se entiende por gráfica de una función de

dos variables, la grafica de la ecuación z= f(x, y), que por lo general es una superficie (Fig.2)

Fig.1 Fig.2

Si tenemos una superficie de una grafica correspondiente a una función z= f(x, y), donde se tiene que cada plano horizontal z= c intersecta la superficie en una curva, se denomina que la proyección de dicha curva se llama curva de nivel (Fig.3) y que una colección de tales curvas es un mapa de contorno (Fig.4)

Fig.3 Fig.4

Fig. 5 Ejemplo de algunos mapas de contorno

DERIVADAS PARCIALES Suponiendo que f sea una función de dos variables

x, y si y se mantiene constante digamos y=y0

entonces f(x, y0) se convierte en una función de una sola variable. Su derivada para x=x0 se llama derivada parcial de f con respecto a x en (x0, y0) y se denota como , de igual manera se tiene , luego

En lugar de calcular y lo usual es encontrar

por derivación y luego sustituir

Interpretación Física y Geométrica Considerando la superficie . El plano

y=y0 intersecta esta superficie en la curva plana QPR (Fig.6) y el valor de es la pendiente de la recta tangente a esta curva en . Análogamente el plano x=x0 corta a la superficie en la curva plana PLM (Fig.7) y es la pendiente de la recta tangente a esta curva en P.

Fig.7Fig.6

Las derivadas parciales también pueden interpretaren como razones de cambio (instantáneo).

La Fig.8 muestra la posición de una cuerda en un tiempo t, si designa la altura en el punto P, entonces es la pendiente de la cuerda en P y es la velocidad vertical de P.

Fig.8

Derivadas Parciales Superiores Puesto que una derivada parcial de una

función x, y es en general otra función con las mismas dos variables, se puede calcular su derivada parcial con respecto a cualquiera de sus variables, con lo que resulta

Las derivadas parciales de orden tercero y superior se definen en forma análoga, tal que

Más de Dos Variables Sea f una función de tres variables. La

derivada parcial de f respecto a x en (x,y,z) se denota como y se define como

por lo tanto, se puede obtener considerando como constantes a y, z para derivar con respecto a x.

Las derivada con respecto a y al igual que respecto a z se definen de una manera análoga.

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Considerando la Fig.9, tenemos que la definición para el

esta dada como sigue a continuación:

Fig.9

Para interpretar considérese a (x,y) y (a,b) como vectores. Entonces:

y los puntos que satisfacen son los interiores al circulo de radio con excepción del centro (a,b) Fig.10

Fig.10

Continuidad en un Punto Para decir que f(x,y) es continua en un punto

(a,b) se requiere que: * f tenga un valor en (a,b) * f tenga un limite en (a,b) * el valor de f en (a,b) sea igual al limite en

ese punto

En síntesis se necesita que:

Continuidad Sobre un Conjunto Decir que f(x,y) es continua sobre un

conjunto S significa que f(x,y) es continua en cada punto del conjunto.

* Se tiene que la vecindad de radio de un punto P, es el conjunto de todos los puntos Q tales que

En dos dimensiones la vecindad es el interior de un circulo, en tres dimensiones es el interior de una esfera Fig.11

Fig.11

* Un punto P es un punto interior de un conjunto S si existe una vecindad de P contenida en S

* P es un punto frontera de S si toda vecindad de P contiene puntos que pertenecen a S y otros que no

* El conjunto de todos los puntos frontera de S se llaman frontera de S

* Un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores y cerrado si contiene todos sus puntos frontera

Si S es un conjunto abierto, decir que f es continua en S significa que f es continua en todo punto de S.

Decir que f es continua en un punto frontera P de S significa que f(Q) debe aproximarse a f(P) cuando Q tiende a P a través de puntos de S.

DIFERENCIABILIDAD

Descartando la distinción entre un punto (x,y) y el vector <x,y>, tenemos que y que

Recordando

entonces

del primer límite tenemos que existe un número tal que:

donde conforme . Podemos escribir

o después de reemplazar

Por lo tanto decir que f es derivable en x0

significa que existe un numero tal que:

De la Fig.12 tenemos que y= T(x)= f(x0)+m(x-x0), consecuentemente podemos reformular la ultima ecuación para decir que f es derivable en x0 siempre que exista una recta y= T(x) que pase por (x0, f(x0)) que aproxime a y= f(x) tan bien cerca de x0 que:

Fig.12

Generalizando para dimensiones superiores, decir que f(p) es derivable en p0 significa que existe un vector m tal que:

donde Aquí

Que es la ecuación de un plano que pasa por (p0, f(p0)), a este se le conoce como plano tangente (Fig.13)

Fig.13

La definición formal esta dada como:

Se puede demostrar que si q existe, es único. Este vector se llama gradiente de f en P y se denota como entonces, si f es diferenciable en p, tiene un gradiente y

Donde

Cálculo de Gradientes

Se necesita conocer si f y g son diferenciables

Reglas para los Gradientes En muchos aspectos, los gradientes se

comportan como las derivadas. recordando que D, considerado como

operados, es lineal. Así lo es el operador conocido como operador gradiente.

Continuidad y Diferenciabilidad La Diferenciabilidad implica continuidad, pero

esto no sucede a la inversa

El Campo Gradiente El gradiente asociado con cada

punto p en el dominio de f es el vector el conjunto de todos estos vectores se llama el campo gradiente. Fig.14 grafica de

y su campo gradienteFig.14

DERIVADAS DIRECCIONALES

Sea p= (x,y) con i y j como vectores unitarios. Entonces las derivadas parciales en p se pueden escribir como:

Para obtener el concepto, reemplazamos i y j por un vector arbitrario u

Entonces .

La Fig.15 da la interpretación geométrica de donde mide la razón de cambio de f con respecto a la distancia en la dirección u.

Fig.15

Relación con el Gradiente Ya que esta dada por

tenemos:

Máxima Razón de Cambio Para una función dada f en un punto

determinado p, tenemos que , por la formula geométrica del producto punto, es:

donde θ es el ángulo que forman u y . Entonces, el máximo ocurre cuando y el máximo

Curvas y Superficie de Nivel El valor de una función para todos

los puntos de una misma curva de nivel es constante (Fig.16)

Designando por L la curva de nivel

de f(x,y) que pasa por P(x0,y0) y sea u el vector unitario tangente a L en P.

Entonces: donde son perpendiculares.

Fig.16

REGLA DE LA CADENA

Si donde tanto f como x son funciones

diferenciables, entonces:

Primera Versión Si donde x, y son funciones de t,

entonces:

Segunda Versión Sea donde x= x(s,t) y y= y(s,t),

entonces:

Funciones Implícitas Suponiendo que F(x,y)= 0 define

implícitamente a y como función de x, podemos encontrar .

Derivamos ambos miembros de F(x,y) con respecto a x

al despejar, obtenemos

Si tenemos que F(x,y,z)= 0, se produciría: Si despejamos a

y observando que

obtenemos la primera de las siguientes formulas, y un calculo semejante la segunda.

PLANOS TANGENTES, APROXIMACIONES

Sea F(x,y,z)= k (adviértase que z= f(x,y) se puede escribir como F(x,y,z)= f(x,y) –z= 0). Considerando una curva sobre esta superficie que pasa por el punto (x0,y0,z0). Si x= x(t), y= y(t) y z= z(t) son las ecuaciones paramétricas de la curva, entonces:

por regla de la cadena

Expresando en términos del gradiente de F y de la derivada de la expresión el vector de la curva

tenemos:

es tangente a la curva. El gradiente en (x0,y0,z0) es perpendicular a la tangente en este punto. (Fig.17)

Fig.17

como consecuencia de la definición se puede escribir la ecuación de plano tangente

Diferenciales y Aproximaciones Sea z= f(x,y) y P(x0,y0,z0)

un punto fijo en la superficie. Introduciendo nuevos ejes coordenados (dx, dy, dz) paralelos a los antiguos, con P como origen (Fig.18)

En el sistema antiguo el plano tangente a P tiene como ecuación

y en el nuevo sistema

Fig.18

es una buena aproximación de a medida que y se hagan mas pequeñas (Fig.19)

Fig.19

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Sean p= (x,y) y p0= (x0,y0) un punto variable y un punto fijo, respectivamente.

La Fig.20 da una interpretación geométrica de los conceptos definidos.

Fig.20

Los puntos críticos de f en S son de tres tipos:

* Puntos Frontera * Puntos Estacionarios: p0 es un punto

estacionario si es interior a S donde f es diferenciable y

* Puntos Singulares: p0 es singular si es interior en S donde f no es diferenciable

Condiciones Suficientes para los Extremos

MÉTODO DE LAGRANGE

Interpretación Geométrica Considerando el caso en el que se quiere

maximizar o minimizar f(x,y) sujeto a la restricción g(x,y)= 0. la Fig.21 sugiere la interpretación geométrica

Fig.21

Las curvas de nivel son f(x,y)= k, k= 200, 300,…,700 para maximizar f(x,y) se debe encontrar la curva de nivel con la máxima k posible que intersecte a la curva de restricción g(x,y)=0.

Dicha curva es tangente a la curva de restricción en P0(x0,y0), el valor máximo de f sujeto a la restricción es f(x0,y0), el punto de tangencia p1(x1,y1) da el valor mínimo f(x1,y1).

El método de Lagrange nos indica que:

para algunos números no nulos