Tema 1: El espacio euclídeo n-dimensional, topología de la recta real ydel espacio métrico R

, sucesiones, series, funciones y series de potenciasLa mayor parte de las cosas que veremos se suponen conocidas, así que este tema significará en su mayoría un

repaso de cosas anteriormente vistas.

Los conjuntos numéricos más destacables son los siguientes:

i) El conjunto de los números naturales

N = {0 1 2 3 }A veces nos interesa tomar el conjunto

N∗ = {1 2 3 }formado por todos los naturales excepto el 0.

ii) El conjunto de los números enteros

Z = {0 1−1 2−2 }Es claro que todo número natural es un número entero.

iii) El conjunto de los números racionales o fraccionarios

Q = { tales que ∈ Z y es no nulo}

Este conjunto puede también verse como los números decimales que son periódicos (incluyendo el caso de

números sin decimal [los enteros] y números con una expresión decimal finita). Así por ejemplo serían números

racionales 23= 0b6 = 0666, 7

−2 = −35 y 42= 2. De este modo se ve claramente que todo número entero es

un número racional, pues = 1.

iv) El conjunto de los números reales R, algo más difícil de dar explícitamente, podríamos verlo como el conjunto

de los números decimales, tanto los periódicos como los no periódicos. Serían ejemplos de números reales,

aparte de todos los números racionales, algunos que no lo son, como√2 = 141421, log2 5 = 232192,

y otros tantos números que tienen infinitos decimales, pero no pueden darse con una expresión que se repita

periódicamente. También tenemos los conjuntos

R+ = { ∈ R| 0} y R− = { ∈ R| 0}

A los números reales que no son racionales se les llama números irracionales. El conjunto de los números irra-

cionales es R−Q.

v) El conjunto de los números complejos

C = {+ | ∈ R}donde se considera como la raíz cuadrada de −1, = √−1. Algunos números complejos serían los siguientes:2− 3√3 + −4− 04, etc. Es claro que todo número real es un número complejo pues = + 0.

De la definición de los conjuntos numéricos anteriores se deduce que

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

1. El espacio euclídeo -dimensional

Trabajaremos con el conjunto R ( ∈ N) de las -uplas ordenadas de números reales

R = {(1 2 ) | ∈ R para todo = 1 2 }

A los elementos de este conjunto los llamaremos puntos (Cálculo) o vectores (Álgebra).

Si x = (1 2 ) llamaremos a 1 2 componentes de x en el caso de vectores y coordenadas cuando

trabajemos con puntos.

1

Si además y = (1 2 ) se tiene que x = y si y sólo si = para = 1 2 .

Definimos la operación adición en R como

x+ y =(1 2 )+ (1 2 )= (1 + 1 2 + 2 + )

y la operación multiplicación por un escalar (la palabra escalar es un sinónimo de número real) ∈ R como

x = (1 2 ) = (1 2 )

El elemento nulo de R es el

0R = (0 0 0)

y el elemento opuesto de x =(1 2 ) es

−x =(−1−2 −)

Sean xy ∈R y sean ∈ R, se verifican las siguientes propiedades:

(i) ( · ) · x = · ( · x).

(ii) (+ ) · x = · x+ · y.

(iii) · (x+ y) = · x+ · y.

(iv) · 0R= 0R .

(v) 0 · x = 0R .

(vi) 1 · x = x

Generalmente trabajaremos con la recta R, el plano R2 y el espacio tridimensional R3.

En R2 y R3 (geométricamente) un vector será un segmento de recta dirigido (en el plano o en el espacio) con punto

inicial en el origen y con dirección y magnitud especificadas. Usando esta definición de vector, asociamos con cada

vector x el punto (1 2 3), y recíprocamente, a cada punto (1 2 3) en el espacio le podemos asociar un vector

x. Así, identificamos x con (1 2 3) y escribimos x =(1 2 3). Por esta razón, los elementos de R3 (o R2) no son

sólo puntos, sino que también son considerados vectores.

Los elementos de R suelen representarse por y son los números reales.

Los elementos de R2 suelen representarse por x = ( ) y los llamaremos pares ordenados de números reales.

Si denotamos por i =(1 0) y j = (0 1) es claro que x = ( ) = i+ j.

Los elementos del espacio vectorial R3 suelen representarse mediante x = ( ) y los llamaremos terna. Si

denotamos por i =(1 0 0), j = (0 1 0) y k = (0 0 1) es claro que x = ( ) = i+ j+ zk.

1.1. Producto interno, longitud y distancia

Sean x =(1 2 ) y y =(1 2 ) dos puntos de R. Diremos que x y y son iguales si y sólo si =

para todo = 1 2 .

2

1.1.1. Producto escalar o producto interno

Definimos el producto escalar o producto interno de xy ∈ R como el número real

x · y = hxyi =X=1

= 11 + 22 + + .

A R2 dotado de su producto interior¡R2 ·¢ lo llamaremos plano euclídeo y a ¡R3 ·¢ lo llamaremos espacio

euclídeo tridimensional.

Sean xy ∈ R y sea ∈ R. Se verifica

(i) x · x ≥0. De hecho x · x = 0 si y sólo si x = 0.

(ii) x · y = y · x.

(iii) x· (y + z) = x · y + x · z.

(iv) (x) ·y = (x · y) = x· (y).Nota: Más generalmente también se le da el nombre de producto escalar en R a cualquier producto (no

únicamente éste visto aquí) que cumpla las 4 condiciones anteriores. Pero eso se verá en la asignatura de

Álgebra Lineal y Métodos Numéricos. En nuestro contexto no nos interesa otro producto escalar distinto.

1.1.2. Longitud

Llamaremos longitud o norma de un vector x =(1 2 ) ∈ R, y lo denotaremos por kxk, al número realno negativo

kxk = (x · x)12=

q21 + 22 + + 2.

Veamos cuales son las normas en R, R2 y R3.

Si = 1, entonces

kk =√2 = ||

Si = 2, entonces

k( )k =p2 + 2.

Si = 3, entonces

k( )k =p2 + 2 + 2.

En R la norma de un vector no es más que el módulo o valor absoluto de un número. Recordar que el valor absoluto

de un número real , que escribiremos ||, se define como el número real no negativo

|| = max {−} =

⎧⎪⎨⎪⎩ si ≥ 0

− si 0.

Geométricamente el valor absoluto de un número real representa la longitud del segmento cuyos extremo son y 0.

Para el valor absoluto se tienen las siguientes propiedades: Sean ∈ R. Entonces:

1. |||− ||| ≤ |+ | ≤ ||+ ||. Desigualdades triangulares

2. || = || ||

3.¯

¯=

||||

4.¯−1

¯= ||−1

3

5. || ≤ ⇔ − ≤ ≤ con 0.

6. − || ≤ ≤ ||Los vectores que tienen norma 1 se llaman vectores unitarios. Por ejemplo, los vectores i j y k son vectores

unitarios. Observar que para cualquier vector x (distinto de cero), el vectorx

kxk es un vector unitario. Cuandorealizamos esta operación decimos que hemos normalizado el vector x.

Sean xy ∈ R y sea ∈ R. Se verifica:(i) kxk = || kxk.(ii) |x · y| ≤ kxk kyk. Desigualdad de Cauchy-Schwarz (iii) kx+ yk≤ kxk+ kyk. Desigualdad triangular

1.1.3. Ángulo entre dos vectores

Sean xy ∈ R y sea , tal que 0 ≤ ≤ , es el ángulo entre ellos. Entonces,

x · y = kxk kyk cos De esta identidad deducimos que si x e y son diferentes de cero, podemos expresar el ángulo entre ellos como

= cos−1µ

x · ykxk kyk

¶

Además se tiene claramente que x · y =0 si y sólo si cos = 0. De este modo el producto interno de dos vectoresdiferentes de cero es cero si y sólo si los vectores son perpendiculares. De esta forma el producto interior nos proporciona

un buen método para determinar si dos vectores son perpendiculares, también llamados vectores ortogonales. A los

vectores ortogonales de norma uno los llamaremos vectores ortonormales.

1.1.4. Distancia

Llamaremos distancia entre x e y al número real no negativo

(xy) = kx− yk

Veamos cuales son las distancias en R, R2 y R3.

Si = 1, entonces

( ) =

q(− )

2= |− | .

Si = 2, entonces

((1 1) (2 2)) =

q(1 − 2)

2+ (1 − 2)

2.

Si = 3, entonces

((1 1 1) (2 2 2)) =

q(1 − 2)

2+ (1 − 2)

2+ (1 − 2)

2.

Sean x,y z ∈ R. Se verifica:(i) (xy) = 0 si y sólo si =

(ii) (xy) = (yx).

(iii) (xy) ≤ (x z) + (zy).

(iv) (xy)− (x z) ≤ (y z)

4

1.2. Producto vectorial

Sean x = 1+ 2 + 3 e y = 1+ 2 + 3 dos vectores de R3. El producto vectorial de se define como

x× y =

¯¯ i j k

1 2 3

1 2 3

¯¯

1.2.1. Dirección y sentido

Si los vectores x y y no son paralelos, determinan un plano . El vector x× y es perpendicular a y su sentidoes tal que (como sucede con i, j y k) los vectores xy y x× y forman una terna orientada positivamente. Una formade visualizar el sentido del tercer vector es la siguiente: Si el dedo índice de la mano derecha apunta en el sentido de

x y el dedo medio en el sentido de y el pulgar apuntará en el sentido de x× y.

1.2.2. Módulo

Si x y y no son paralelos, definen un paralelogramo. El módulo de x×y es el área de dicho paralelogramo, es decir

kx× yk = kxk kyk

donde es el ángulo formado por x y y, con 0

Nota: Esta fórmula sería válida también para el caso en que los vectores sean paralelos, pues su producto vectorial

es nulo.

1.3. Rectas

Los vectores que se usan para determinar la posición de un punto se llaman vectores de posición. Los vectores de

posición que parten del origen se conocen con el nombre de radios vectores.

1.3.1. Parametrización vectorial

Sean = (0 0 0) y dos puntos del espacio determinemos la ecuación de la recta r que pasa por dichos puntos.

Para ello tomemos el vector v = = (1 2 3). Entonces en el espacio las ecuaciones paramétricas son

= 0 + 1

= 0 + 2

= 0 + 3

La ecuación vectorial ( ) = P+v parametriza la recta cuando varia en R Si varía en un intervalo cerrado

[ ] la ecuación parametriza a un segmento de origen y extremo .

1.3.2. Ecuaciones cartesianas

Si 1 2 y 3 son distintos de cero, entonces se puede despejar de cada una de las ecuaciones paramétricas obteniendo

=− 0

1, =

− 0

2y =

− 0

3

eliminando ahora el parámetro obtenemos tres ecuaciones, una de ellas redundante, pudiendo escribir

− 0

1=

− 0

2=

− 0

3

que es la expresión para las ecuaciones cartesianas de una recta.

En el plano es similar solo que con 2 componentes en lugar de 3. En este caso también tenemos la ecuación

punto-pendiente

− 0 = (− 0)

5

donde = 21se llama pendiente de la recta (si 1 = 0 es una recta vertical y se dice que tiene pendiente infinita).

Y la forma explícita

= +

1.4. Planos

Existen varias formas de especificar un plano:

1. Dando tres puntos (no alineados) del mismo, siempre que no estén alineados.

2. Dando dos rectas del plano.

3. Dando una recta del plano y un punto del plano (que no esté en la recta)

4. Dando un punto del plano y vector no nulo perpendicular a dicho plano.

1.4.1. Ecuación escalar

Vamos a obtener la ecuación de un plano en función de las coordenadas de P = (0 0 0) y, partiendo de este

punto, de las componentes de un vector n =i+j+k no nulo perpendicular al plano, que llamaremos vector

normal.

Para hallar la ecuación del plano tomemos un punto x = ( ) del espacio y formemos el vector

v = x− a = (− 0 − 0 − 0) .

El punto x estará en el plano sii

n · v = 0es decir,

(− 0) + ( − 0) + ( − 0) = 0

o, equivalentemente,

+ + + = 0

donde = −0 −0 − 0.

2. Topología de la recta real R

Acostumbraremos a representar R como una recta, la recta real. En esta recta si representamos dos números

escribiremos a la derecha de .

Veamos a continuación algunas propiedades y conceptos que nos interesan:

Densidad: Dados números reales existen números ∈ Q y ∈ R−Q tales que y .

Símbolo de infinito: Es el siguiente: ∞. Representa una cantidad mayor que cualquier número finito. Una delas situaciones en las que se utiliza es para designar a los intervalos no acotados, como se indica a continuación.

Intervalos:

Se llama intervalo abierto de extremos y al conjunto

] [= { ∈ R : }

También hay intervalos abiertos infinitos del estilo

]-∞ [= { ∈ R : }

6

o

]+∞[= { ∈ R : }

Nota: A veces se utilizan paréntesis en vez de corchetes para representar a los intervalos abiertos, así tendremos

notaciones del estilo ( ) (−∞ ) y (+∞).

Se llama intervalo cerrado de extremos y al conjunto

[ ] = { ∈ R : ≤ ≤ }

También intervalos infinitos del estilo

]-∞ ] = { ∈ R : ≤ }o

[+∞[= { ∈ R : ≤ }

Además hay intervalos abiertos por un extremo y cerrados por el otro, que son del tipo

] ] = { ∈ R : ≤ }

o

[ [= { ∈ R : ≤ }

3. Topología del espacio R

En esta parte analizaremos la extensión de ciertos conceptos topológicos de la recta real al contexto más general

del espacio métrico

R = {(1 2 ) : 1 2 ∈ R}donde también se pueden definir distancias. Trataremos los espacios métricos R dotados de la distancia usual o

euclídea, que ya hemos visto anteriormente.

Precisamente asociados a una distancia vienen los siguientes conceptos:

Se llama bola abierta (o simplemente bola) de centro ∈ R y radio 0 al conjunto

( ) = { ∈ R : ( ) }

Se llama bola cerrada de centro ∈ R y radio 0 al conjunto

( ) = { ∈ R : ( ) ≤ }

Ejemplos:

1. En R con la distancia usual, ( ) no es más que el intervalo ]− + [ (si la bola es cerrada se tomaría el

intervalo cerrado). Así

(1 3) =]-2 4[ (0 4) = [−4 4]

2. En R2 con la distancia euclídea, ( ) es el círculo de ese centro y ese radio (si la bola es cerrada se tomaría

el círculo junto con el borde [la circunferencia]).

((2−1) 3) = {( ) ∈ R2 : (− 2)2 + ( + 1)2 9}((0 1) 2) = {( ) ∈ R2 : 2 + ( − 1)2 ≤ 4}

3. En R3 con la distancia euclídea, ( ) es el interior de la esfera de ese centro y ese radio (si la bola es cerrada

se tomaría la esfera completa incluida la superficie [la esfera]).

Diremos que es un punto interior (o que está en el interior) de un conjunto si existe ( ) ⊆ ; también

se dice que el conjunto es un entorno del punto .

7

Diremos que es un punto de acumulación del conjunto si toda ( ) contiene infinitos puntos del

conjunto .

Diremos que un conjunto del espacio métrico R es abierto si todo punto de es un punto interior de ,

es decir si

∀ ∈ ∃ 0 : ( ) ⊆

Diremos que es cerrado en el espacio métrico si su complementario R − es abierto (o equivalentemente

si contiene a todos sus puntos de acumulación).

Observación: La idea intuitiva es que un conjunto es abierto cuando no tiene puntos que estén en el borde, cuando

están todos encerrados en el interior, y que un conjunto es cerrado si todo el borde del conjunto pertenece a él.

Ejemplo: Los siguientes conjuntos son abiertos en R:

]0 1[ ]-∞ 4[ R ]1 2[∪]5 7[ R− {7 8 9}

Ejemplo: Los siguientes conjuntos son cerrados en R:

[0 1] ]-∞ 4] R [1 2] ∪ [5 7] N {2 5 6} [1 2] ∪ {5}

Ejemplo: Los siguientes conjuntos no son abiertos ni cerrados en R:

]0 1] ]1 4[∪{5} { 1: ∈ N ≥ 1}

Ejemplo: En R2 los conjuntos

= {( ) : || 2} = {( ) : 2 + ( − 2)2 1}

son abiertos; los conjuntos

= {( ) : | − 2| ≥ 1} = {( ) : + ( − 2) = 1} = {(1−1)}

son cerrados; y el conjunto

= {( ) : 2 ≥ 0}no es ni abierto ni cerrado.

Un conjunto se dirá que está acotado si se puede introducir en alguna bola, es decir, si existe ( )

cumpliendo que ⊆ ( ). En R además se pueden definir conjuntos acotados superior o inferiormente.

Finalmente diremos que es un conjunto compacto si es cerrado y acotado.

Así por ejemplo serían compactos (luego acotados) los conjuntos [1 2], {3}, [−1 5] ∪ {−2 8} y no los conjuntos]-∞ 0] y ]2 3], siendo el último acotado y el penúltimo no (éste está acotado superior pero no inferiormente).

4. Funciones

Llamaremos función real de variable real a una función : ⊆ R → R, donde al conjunto se le llamará

dominio de la función, y lo denotaremos por .

En general el dominio de la función puede sobreentenderse como el conjunto más amplio posible de puntos en el

que está definida la función (en ocasiones pondremos : R → R, donde el dominio será un subconjunto de R que

vendrá entonces sobreentendido o podrá hallarse).

Ejemplos:

8

1. () = 1. El dominio es R− {0}.

2. () = 11−2 . El dominio es R− {1−1}.

3. () =√− 1. El dominio es [1+∞[.

4. () = log . El dominio es ]0+∞[.

5. () = 3 + 2. El dominio es R.

La gráfica de es la representación en el plano de todos los puntos ( ()) con ∈ .

Gráfica de () = 23 − 102 + 200 Gráfica de () = 2 · cos 3

4.1. Operaciones con funciones

Las funciones suma y resta de dos funciones y son las funciones definidas por

( ± )() = ()± ()

y el producto por el escalar

( · )() = · ()

Producto

( · )() = () · ()y cociente

() =

()

()

Composición

( ◦ )() = (())

Recordemos que la función constante es la que está definida por

() =

para todo del dominio, que la función identidad es la que está definida por

() =

para todo del dominio, y que una función biyectiva es invertible, es decir, existe otra función, a la que

llamaremos función inversa de y a la que denotaremos por −1, que verifica que ◦ −1 = −1 ◦ = (en

definitiva, se tiene que

(−1 ◦ )() =

9

para todo del dominio de y

( ◦ −1)() =

para todo del dominio de −1).

Ejemplo: Sean () = + 1 y () = 1.

Entonces

( + )() = + 1 +1

=

2 + + 1

( − )() = + 1− 1=

2 + − 1

( · )() = (+ 1) · 1=

+ 1

y en los puntos para los que tenga sentido

() = (+ 1) :

1

= (+ 1) · = 2 +

() =

1

: (+ 1) =

1

(+ 1)

( ◦ )() = (1

) =

1

+ 1

( ◦ )() = (+ 1) =1

+ 1

Ejemplo: Sean

: R→ R : R→ R

dadas por

() = 32 () = 2− 1para cada ∈ R. Entonces es posible calcular las aplicaciones

◦ : R→ R ◦ : R→ R

y están dadas, para cada , por

◦ () = (()) = (32) = 2(32)− 1 = 62 − 1

◦ () = (()) = (2− 1) = 3(2− 1)2 = 3(42 − 4+ 1) = 122 − 12+ 3Ejemplo: Consideremos la aplicación

: R→ R

definida, para cada ∈ R, por() = 2+ 1

Veamos que es biyectiva. Empecemos por la inyectividad. Supongamos que para ∈ R se tiene que () = ()

es decir, 2 + 1 = 2 + 1. Entonces restando 1 y dividiendo después entre 2 se tiene que = . Para probar que

es suprayectiva tomemos un elemento arbitrario ∈ R. Debemos encontrar alguna antiimagen, es decir, un elemento ∈ R tal que () = , es decir, tal que 2+ 1 = . Procediendo como antes, es decir, restando 1 y dividendo entre

2, se tiene que el elemento buscado es = −12, es decir, (−1

2) = .

Al ser biyectiva eso equivale a que tiene inversa. Para determinar la inversa −1 : R→ R simplemente hay que

repetir la demostración de la suprayectividad. Así, para cada ∈ R tenemos que

−1() = − 12

Nota: Lo que ocurre en el ejemplo anterior no es lo más habitual. Más frecuentemente lo que ocurre para construir

la inversa es lo siguiente:

10

A partir de una función , se toma un conjunto ⊆ en el que sea inyectiva. Restringiendo de este modo

el dominio se tiene ahora que la nueva función es inyectiva y tomando como codominio la imagen de se tiene pues

que : → () es biyectiva, luego tiene sentido tomar la inversa −1 : ()→ restringiendo el dominio y

el codominio de este modo.

Ejemplo: La aplicación exponencial () = es inyectiva ( : R → R) pero no suprayectiva. Ahora bien si

restringimos el codominio a R+ (que es la imagen de ) resulta que ahora sí es biyectiva : R → R+. Su inversa

−1 : R+ → R es el logaritmo neperiano () = log .

Ejemplo) La aplicación

: R→ R

definida, para cada ∈ R, por() = 2

no es inyectiva, pues (2) = (−2) = 4 (de hecho para cada se tiene que () = (−)). Tampoco es suprayectiva(pues @ ∈ R tal que () = −2; de hecho, lo mismo que sucede para el número −2, sucede para cualquier númeronegativo). Por tanto no es biyectiva, con lo que no tiene inversa. Notemos qué pasa ahora si restringimos el codominio

primero. Concretamente Im = R+ ∪ {0}. Tomemos

1 : R→ R+ ∪ {0}

definida, para cada ∈ R, por1() = 2

Esta aplicación ahora sí es suprayectiva, pues aunque está definida del mismo modo anterior, ahora tomamos como

espacio final R+ ∪ {0}, precisamente la imagen de la aplicación, y así nos aseguramos de que todo elemento de esteespacio es imagen de alguno del espacio inicial.

Y si ahora además restringimos el dominio del siguiente modo

1 : R+ ∪ {0}→ R+ ∪ {0}

la aplicación además de ser inyectiva también es suprayectiva, y por tanto biyectiva.

Paralelamente se puede definir otra función biyectiva

2 : R− ∪ {0}→ R+ ∪ {0}

exactamente igual solo que quedándonos con el dominio de los negativos (y el 0), en vez de los positivos. Notemos que

1 y 2 están definidas exactamente igual que (llevan cada número a su cuadrado), lo único que las diferencia entre

ellas y a su vez de es el dominio y/o el codominio. Al ser ambas funciones biyectivas tienen inversas respectivas

−11 : R+ ∪ {0}→ R+ ∪ {0}

−12 : R+ ∪ {0}→ R− ∪ {0}definidas del siguiente modo:

−11 () =√

−12 () = −√

es decir, la inversa de 1 es la raíz cuadrada (positiva) y la inversa de 2 es la raíz cuadrada negativa.

Ejemplo: Dada la función : R→R definida para cada posible (debe ser ≥ 1 ó ≤ −1) por

() =p2 − 1

se tiene que =]-∞−1]∪[1+∞[, y como Im = [0+∞[ y en cada uno de los dos intervalos del dominio la funciónes inyectiva, se tiene que la función, con el dominio y codominio restringidos del modo siguiente : [1+∞[→[0+∞[,es una función biyectiva. La inversa de esta restricción de se podría hallar como sigue. Para cada ∈ [0+∞[ setiene que −1() = de modo que = () =

√2 − 1, luego 2 = 2 − 1, por lo que 2 = 2 + 1. De ahí que

= ±p2 + 1. Puesto que estamos tomando ≥ 1 debe ser forzosamente =

p2 + 1 = −1().

Nota: Podríamos haber tomado la otra inversa de :]-∞−1]→[0+∞[ escogiendo los valores ≤ −1

11

Finalmente decir que también se puede realizar la exponenciación

()()

FUNCIONES USUALES

1. Los polinomios

expresión general recta horizontal recta oblícua parábola potencia -ésima

0 + 1+ 22 + +

+ 2 + +

2. Función exponencial y su inversa (logaritmo)

Dado 0, 6= 1 se tiene que

exponencial de base logaritmo de base

log

Propiedades

exponencial 0 = 1 + = − =

log = ∀ 0

logaritmo log 1 = 0 log = log + log log= log − log log(

) = ∀

El caso particular más relevante se da cuando la base es el número ' 272. En este caso la función se denominalogaritmo neperiano y es la que vamos a utilizar por defecto al escribir log, salvo mención expresa de la base.

Gráfica de la función constante () = 2 Gráfica de la función () = 2− 1

Gráfica de la función () = 2 − + 3 Gráfica de la función () = 3 − 8− 10

12

Gráfica de la función () = Gráfica de la función () = log

3. Funciones trigonométricas

Las principales de ellas son las funciones seno ( ), coseno (cos) y tangente (tan = cos

).

En un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y tal que uno de los ángulos distintos del ángulo recto es el

valor representa el cateto opuesto al ángulo y cos el cateto contiguo. Éstas funciones admiten inversas de

modo local: arc cos arctan. (Existen otras funciones trigonométricas: sec = 1cos

= 1

y cot = 1tan

con sus respectivas inversas.) Algunas de sus propiedades son las siguientes (válidas en cada caso

para todo posible):

2+ cos2 = 1 1 + tan2 = 1cos2

() = cos(arc cos) = tan(arctan) =

() = arc cos(cos) = arctan(tan) =

Gráfica de la función () = Gráfica de la función () = cos

Gráfica de () = tan Gráfica de la función () = 2

13

Gráfica de la función () = 2 Gráfica de la función () = (+ 2)

Gráfica de la función () = + 2 Gráfica de la función () = 3(4− 2) + 5Funciones sinusoidales

Son funciones que se obtienen a partir de las trigonométricas seno o coseno realizándoles una o varias de trans-

formaciones, tanto en sentido vertical como en sentido horizontal: desplazamientos de la gráfica, dilatarla, com-

primirla o realizar una reflexión. Así tendríamos funciones del estilo

() = (+ ) +

() = cos(+ ) +

o combinaciones de éstas.

En todos los casos las funciones de cualquiera de los dos tipos tienen gráficas similares a la del seno y del coseno,

del tipo una onda infinita. Comentemos en qué afectan cada uno de los parámetros ó a la gráfica:

a) y nos ensanchan o contraen la gráfica en sentido vertical u horizontal, respectivamente, pudiendo

también reflejarla (en caso de ser negativos) según alguno de los dos ejes, vertical u horizontal:

La onda con = 2 sería el doble de alta, con = 13la tercera parte de alta, con = −4 sería el

cuádruple de grande pero invertida según el eje .

Para = 2 la onda se encogería el doble, de modo que el período de la función sería la mitad: Si

la función sin tarda 2 radianes en completar un ciclo (la gráfica empezaría valiendo 0, en = 2,

llegaría a su valor máximo 1, en = bajaría hasta tener altura nula, en = 32baja hasta la altura

mínima −1 y en = 2 vuelve a valer 0 complentando así el primer ciclo), la función sin 2 tarda

radianes en completar un ciclo (la gráfica empezaría valiendo 0, en = 4, llegaría a su valor máximo 1,

en = 2bajaría hasta tener altura nula, en = 3

4baja hasta la altura mínima −1 y en = vuelve

a valer 0 complentando así el primer ciclo). Para = 12el proceso sería simétrico valiendo el período

4 y estirándose la onda en sentido horizontal. Para valores negativos de la onda sería el reflejo de

la gráfica respecto del eje .

b) y nos desplazarían la gráfica en sentido horizontal o vertical:

14

La onda para = 3 estaría tres unidades más arriba que la onda para = 0

La onda para = −1 estaría una unidad más abajo que la onda para = 0

La onda para = 5 estaría 5unidades más a la izquierda que la onda para = 0

La onda para = −2 estaría 2unidades más a la derecha que la onda para = 0

Nota: Las últimas 5 gráficas son ejemplos de funciones sinusoidales.

4. Funciones hiperbólicas

Las principales de ellas son las funciones seno hiperbólico ( = −−2

), coseno hiperbólico (cosh =+−

2) y tangente hiperbólica (tanh =

cosh). También tienen inversas: argumento seno hiperbólico

(arg ), argumento coseno hiperbólico (arg cosh) y argumento tangente hiperbólica (arg tanh).

La principal relación que satisfacen es

2+ 1 = cosh2

(para todo posible).

Gráfica de la función () = sinh Gráfica de la función () = cosh

Gráfica de la función () = tanh

5. Sucesiones. Convergencia de sucesiones

A continuación vemos el concepto de sucesión de números reales. Ésta se define formalmente como una aplicación

: N → R (el dominio no tiene por qué ser exactamente N, puede ser cualquier subconjunto infinito suyo), aunque

la principal idea con la que debemos quedarnos es con que una sucesión de números reales es una colección infinita

de números reales ordenados mediante índices naturales 0 1 2 (pudiendo empezar por otro índice que no sea

= 0). Podremos denotarla por ()∈N o simplemente por (), diciendo que el término general de la sucesión es .(Observemos que podemos definir exactamente igual el concepto de sucesión en cualquier R.)

Algunos ejemplos de sucesiones son:

1. La sucesión de término general = 2; sus términos son 0 = 0 1 = 1 2 = 4 3 = 9 4 = 16 ; más

abreviadamente diremos que sus términos son 0 1 4 9 16 .

15

2. La sucesión de término general = 2− 1; sus términos son 0 = −1 1 = 1 2 = 3 3 = 5 4 = 7 .; másabreviadamente diremos que sus términos son −1 1 3 5 7 .

3. La sucesión de término general =1; sus términos son 1 = 1 2 =

12 3 =

13 4 =

14 ; más abreviadamente

diremos que sus términos son 1 12 13 14

4. La sucesión de término general =+2; sus términos son 3 4

2 53 64

5. Dado ∈ R, la sucesión de término general = ; sus términos son Se denomina sucesión

constante .

6. En R2, la sucesión de término general = ( 1 ); sus términos son (1 1) (12 2) (1

3 3) (1

4 4)

Hay ciertos tipos de sucesiones de números reales que interesa destacar:

Se dice que una sucesión () esmonótona creciente, o simplemente creciente (respectivamente, estrictamente

creciente) si para todo ∈ N se tiene que ≤ +1 (respectivamente, +1). Simétricamente se define el

concepto de sucesión (monótona) decreciente o estrictamente decreciente, cambiando los símbolos de menor y

menor o igual por mayor y mayor o igual, respectivamente.

Nota: En el ejemplo anterior son sucesiones crecientes las de los apartados 1, 2 y 5 (las 1 y 2 en sentido estricto)

y monótonas decrecientes las de los apartados 3, 4 y 5 (las 3 y 4 en sentido estricto).

Se dice que una sucesión de números reales () está acotada superiormente (respectivamente, acotada infe-

riormente) si existe un número real tal que para todo ∈ N se tiene que ≤ (respectivamente, ≥). Si

la sucesión está acotada superior e inferiormente se dirá que es una sucesión acotada (en el caso de una sucesión en

R, se dirá que dicha sucesión está acotada cuando podamos introducirla dentro de alguna bola).

Pasemos ahora a abordar un concepto muy importante:

Se dice que la sucesión () tiene por límite (y se denotará por lım→+∞

= o simplemente por lım = )

cuando

∀ 0 ∃0 ∈ N tal que si ≥ 0 entonces ∈ ( )

Es decir, que para cualquier bola ( ) que tomemos existe un 0 a partir del cual todos los términos de la sucesión

están dentro de la bola. En esta situación diremos que la sucesión es convergente.

La definición de sucesión () convergente hacia un punto significa intuitivamente que los términos de la sucesión

se aproximan hacia cuando se hace grande.

Nota: La condición ∈ ( ) significa que ( ) , por lo que dicha condición dependerá del espacio

métrico en que estemos. Así en el caso que más se nos va a presentar, en R, eso significará que | − | , es decir,

que ∈]− + [.

Veamos también el concepto de sucesiones divergentes:

Se dice que la sucesión de números reales () tiene límite +∞ (respectivamente, −∞ ó ∞) o que lım = +∞(respectivamente, lım = −∞ lım =∞) cuando

∀ 0 ∃0 ∈ N tal que si ≥ 0 entonces (respectivamente − ó || ).

En cualquiera de los casos se dice que la sucesión es divergente (hacia +∞, −∞ o hacia ∞).Nota: En general en R se dice que una sucesión () es divergente si dado cualquier ∈ se tiene que

∀ 0 ∃0 ∈ N tal que si ≥ 0 entonces ( ) .

Intuitivamente significa que cualquier bola que tomemos solamente contiene un número finito de términos de la

sucesión.

Finalmente cuando una sucesión no sea ni convergente ni divergente se dirá que no tiene límite o que es oscilante.

Algunas propiedades que se verifican son:

1. Si una sucesión tiene límite (finito o infinito) éste es único.

2. Toda sucesión convergente está acotada.

16

3. Toda sucesión de números reales creciente o decreciente tiene límite (finito o infinito). Concretamente, si la

sucesión es creciente (respectivamente decreciente) entonces será convergente cuando esté acotada superiormente

(respectivamente inferiormente).

Como nuestro propósito no es un desarrollo exhausto de esta parte de sucesiones, sino meramente algo introductorio,

pondremos aquí una lista de ejemplos de límites de sucesiones de números reales (excepto el ejemplo sexto que es una

sucesión en R2).

Ejemplos:

1. La sucesión de término general =1converge a 0 (lım 1

= 0).

2. La sucesión de término general = 2 diverge a +∞ (lım2 = +∞).

3. La sucesión de término general = (−1) es oscilante (@ lım(−1)).

4. La sucesión de término general = (−1) diverge a ∞ (lım(−1) =∞).

5. La sucesión constante , de término general = , converge a (lım = ).

6. La sucesión en R2 de término general = ( 1 3) converge a (0 3) (lım(1 3) = (0 3)).

7. La sucesión cuyos primeros términos son 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 y así sucesivamente, es divergente.

8. La sucesión cuyos primeros términos son 8−5 0 4 7 15 16 17 y así sucesivamente, tiene límite 0.

Nota: El comportamiento de las 2 sucesiones anteriores se ha observado en la ”cola” de la sucesión, es decir,

mirando los términos a partir de un índice. Algunas sucesiones pueden tener un comportamiento muy particular

o caprichos durante un número finito de términos, pero si a partir de un índice tienen un comportamiento

regular, es eso en lo que hay que fijarse de la sucesión para saber si está acotada, si tiene límite, etc. No influye

el comportamiento de la sucesión en un número finito de términos.

9. lım(3 + 5) = lım3 + lım 5

= 3 + 5 · lım 1

= 3 + 5 · 0 = 3

10. lım(3− 3) = lım3− 3 lım = 3− 3 ·+∞ = 3−∞ = −∞

11. lım2 = +∞

12. lım(23) = 0

13. La sucesión ( 2−45+62

) tiene límite 0.

14. La sucesión (4−25+6

) tiene límite − 25.

15. La sucesión (2+43

5−62 ) tiene límite −∞.Nota: Si () y () son los términos generales de sucesiones de tipo polinómico entonces

lım()

()=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩0 si el grado de es menor que el grado de .

∞ si el grado de es mayor que el grado de .

si los grados coinciden.

Esto explica los 3 últimos límites anteriores.

16. lım 1004

= 0

17. lım log= 0

Nota: Los dos últimos ejemplo se resumen en una frase: El crecimiento exponencial es mayor que el polinómico

y éste a su vez es mayor que el logarítmico.

18. lım(1 + 1) = .( ' 272 es la constante de Euler, utilizada para la función exponencial y para el logartimo

neperiano.)

Nota: Este último ejemplo es un caso particular del caso más general que dice que si () es una sucesión

divergente hacia uno de los infinitos, entonces lım(1 + 1) = .

17

19. lım √ = lım

1 = lım log

1

= lım 1log = lım

log = 0 = 1

Para explicar con detalle y que se entienda bien el desarrollo y la solución de toda esta lista de ejemplos haría

falta dar de modo muy exhaustivo toda una serie de pautas y resultados que aquí creemos no necesario por el carácter

introductorio y, en parte, de repaso del tema. Sí diremos que entre estos límites hay algunos en los cuales la aplicación

directa del límite la sucesión como combinación de otras sucesiones (sea como producto, cociente, exponente, etc.)

nos daría lo que dentro de la teoría de límites se conoce como indeterminaciones. Son casos en los que el límite,

no es que no tenga solución (que siempre la hay, en sentido positivo -convergente o divergente- o negativo -oscilante)

sino que no se puede obtener de modo directo. Hay que emplear algún tipo de regla o manipular adecuadamente la

expresión para evitar dicha indeterminanción. He aquí las 7 indeterminaciones que pueden aparecer en los límites de

sucesiones (y posteriormente en los límites de funciones): 00 ∞∞ 0 ·∞∞−∞ 00∞0 1∞.

6. Series de números reales

Sea ()≥0 una sucesión de números reales (pudiendo empezar por otro índice que no sea el 0). Construimos unanueva sucesión del siguiente modo:

0 = 0 1 = 0 + 1 2 = 0 + 1 + 2 = 0 + 1 + + . A esta sucesión se le llama sucesión de

sumas parciales de , la denotaremos porP≥0

y la denominaremos serie numérica o serie de números reales

(o simplemente serie) de término general .

Dada una serieP

(omitimos los subíndices si no son estrictamente necesarios) se dirá que es convergente

cuando la sucesión sea convergente, y se dirá que lım es el valor de la suma de la serie. Se dirá que la serie es

divergente cuando la sucesión sea divergente, y se dirá que la suma de la serie es el correspondiente infinito (+∞,−∞, o ∞). Se dirá que la serie es oscilante (o no sumable) si la sucesión es oscilante.

En lo sucesivo cuando se hable de estudiar el carácter de una serie se tratará de determinar si la serie es

convergente, divergente u oscilante.

De modo intuitivo lo que se hace es analizar si la suma de los términos de la sucesión de término general tiene

sentido realizarla, en el sentido da un número finito o acaba resultando infinito (o no es posible hacerla).

Ejemplos:

1. La serie geométrica de razón ∈ R. Esta serie tiene por término general . Además converge si y sólo si−1 1 y de hecho, en ese caso, la suma vale

P≥0

= 11− . Es el ejemplo clásico de serie.

2. La serieP≥0

(35) es geométrica de razón 3

5, con lo que es convergente, y su suma es 1

1− 35

= 125

= 52.

3. La serieP≥1

(− 13) es geométrica de razón −1

3, con lo que es convergente, y su suma es

− 13

1+ 13

=− 1343

= −14.

4. La serieP2 es geométrica de razón 2, con lo que es divergente.

5. La serie exponencial: La fórmula =P≥0

!es válida (la serie converge) para cualquier número real .

6. La serieP≥1

[3·(04)−2·( 15)] puede ponerse en la forma 3

P≥1

(04)−2P≥1

(15) y las dos series que aquí intervienen

son (geométricas y) convergentes, luego la serie inicial es convergente, y además la suma es 3 · 041−04 − 2 ·

15

1− 15

=

2− 12= 3

2. Esto se denomina el carácter lineal de la serie.

7. Si una serie es convergenteP≥1

es convergente entonces la sucesión () tiene límite 0. El recíproco no es

cierto, como demuestra el ejemplo siguiente.

8. La serie armónica. Su término general es 1. Su suma es

P≥1

1= +∞ (es divergente).

9. La serieP≥1

(−1)

es convergente. De hecho también lo es toda serie del tipoP≥1

(−1) siendo () una sucesióncreciente o decreciente con límite 0.

18

6.1. Algunos criterios para determinar la convergencia de una serie

Para determinar si una serie converge o no existen una serie de criterios, 2 de los cuales (los más importantes)

vamos a comentar aquí.

6.1.1. Criterio del cociente

SeaP≥1

una serie de términos positivos y supongamos que existe lım+1

= . Entonces si

⎧⎪⎨⎪⎩ 1 la serie converge

1 la serie diverge

= 1 no sabemos nada

Ejemplo: La convergencia o divergencia de la serie geométrica de razón 6= ±1 se puede demostrar con estecriterio.

Ejemplo: La serieP

2

!es convergente pues, si observamos el término general es =

2

!, se tiene que lım

+1

=

lım2+1

(+1)!

2

!

= lım 2+1!2(+1)!

= lım 2+1

= 0 1.

Nota: Recordemos que el factorial de un número natural es ! = · (− 1) · (− 2) · · · 3 · 2 · 1.

6.1.2. Criterio de la raíz

SeaP≥1

una serie de términos positivos y supongamos que existe lım √ = . Entonces si

⎧⎪⎨⎪⎩ 1 la serie converge

1 la serie diverge

= 1 no sabemos nada

Ejemplo: La serieP

2+1es divergente pues, si observamos el término general es =

2+1, se tiene que lım

√ =

lım

q

2+1= lım

√

√2+1

= lım √2·2 = lım

√2· √2 = lım

√2·2 =

+∞1·2 =

+∞2= +∞ 1.

7. Series de potencias

A la expresión de la forma:

0 + 1(− ) + 2(− )2 + + (− ) + =+∞P=0

(− )

se le da el nombre de serie de potencias centrada en .

Ejemplos:+∞P=0

+∞P=0

(− 1)+∞P=0

(+2)

!

La serie de potencias puede ser también interpretada como una función de

() =+∞P=0

(− )

cuyo dominio son todos los ∈ R para los cuales la serie numérica es convergente y el valor de () es precisamentela

suma de la serie en ese punto .

Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son

funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aún, su función derivada es, otra vez, una serie de

potencias.

Lo que se pretende ahora, es averiguar cuál es el dominio de una serie de potencias. Debemos de tener en cuenta,

que el centro de la serie , siempre está en él, ya que () =+∞P=0

(− ) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + = 0

19

Podrá ocurrir que la serie solo sea convergente en = , pero, en general, el dominio donde será convergente

resultará ser un intervalo. Para ello, veamos el siguiente teorema.

Teorema

Sea+∞P=0

(− ) una serie de potencias. Entonces se cumple una, y solo una, de las tres afirmaciones siguientes:

1. La serie solo converge en = .

2. Existe 0 de manera que la serie converge (absolutamente) si |− | y diverge si |− | .

3. La serie converge para todo ∈ R.

Este número es llamado el radio de convergencia de la serie. Así pues, si la serie converge solamente

en , entonces = 0: Si la serie converge para todo real , entonces = +∞.Por tanto el dominio o campo de convergencia de una serie de potencias es siempre un intervalo, ocasionalmente

un punto, que llamaremos intervalo de convergencia.

Observación

Notar que el teorema anterior, no dice nada respecto de la convergencia en los extremos del

intervalo de convergencia, − y + . Para ellos hará falta hacer un análisis independiente.

Para calcular el radio de convergencia , se pueden emplear diferentes métodos. Uno de los más utilizados es el

criterio

del cociente. Con este criterio el radio de convergencia sale

= lım→+∞

¯

+1

¯Otro criterio comúnmente utilizado es el criterio de la raíz.Con este otro criterio el radio de convergencia sale

=1

lım→+∞

p||

Ejemplo: Hallar el radio y el intervalo de convergencia de las siguientes series:

+∞P=0

(−2)(− 3) Radio de convergencia 1

2Intervalo de convergencia ( 5

2 72].

+∞P=0

! Radio de convergencia 0 Intervalo de convergencia {0} (solo converge en el punto 0, el punto centralde la serie).

+∞P=0

2+1

22+1(+ 2) Radio de convergencia ∞ Intervalo de convergencia R

+∞P=0

3

4 Radio de convergencia 4 Intervalo de convergencia (−4 4)

Teorema: Consideremos la función definida como una serie de potencias

() =+∞P=0

(− )

con radio de convergencia positivo. Entonces es integrable en el intervalo de convergencia, y continua y derivable en

todo punto del interior, y además Z() =

+∞P=0

+ 1(− )+1

0() =+∞P=1

(− )−1

teniendo estas series también el mismo radio de convergencia que la serie original.

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Este resultado se suele enunciar diciendo que la serie se deriva e integra término a término.

Ejemplo: Consideremos la función definida mediante la serie de potencias

() =+∞P=1

Está centrada en el origen. Es una sencilla cuestión determinar que el intervalo de convergencia es [−1 1) (y portanto su radio de convergencia es 1). Su derivada vale

0() =+∞P=1

−1 = 1 + + 2 + =+∞P=0

que es otra serie de potencias del mismo radio de convergencia 1. Fácilmente deducimos que el intervalo de convergencia

es (−1 1). Además para todo de este intervalo se tiene que la serie anterior es la serie geométrica de razón . Por

tanto

0() =+∞P=0

=1

1−

y deducimos pues que () =R

11− = − log(1− ).

Añadiremos finalmente que la serie integral de converge en [−1 1].

Propiedad: Las series tienen carácter lineal en su intervalo de convergencia. Esto se traduce en que se pueden

sumar dos series término a término y se puede multiplicar una serie por un número, también término a término.

Si hasta ahora tomábamos una serie de potencias y después la veíamos como una función, ahora, para finalizar esta

sección, vamos a abordar el problema inverso. Dada una función, se trata de encontrar una serie de potencias que la

defina. Pero este problema se resuelve (al menos localmente para funciones infinitamente derivables) con los conocidos

desarrollos de Taylor.

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