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CAPÍTULO II
TRABAJO DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA
II - 32
MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
MÉTODOS ENERGÉTICOS
TRABAJO DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA
ó
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
Se considera que los cuerpos sólidos en la mecánica de materiales están formados por materia que consiste de partículas denominadas puntos materiales y cuyo conjunto constituye la configuración del cuerpo – elemento. Se dice que el cuerpo – elemento experimenta una deformación cuando cambia su configuración, o sea cuando se desplazan sus puntos materiales (sufren un reacomodo).
Si se supone un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, este se deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra al sistema de fuerzas externas. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se transforma y acumula en el cuerpo como energía interna, esta energía (o trabajo interno) es el utilizado por el cuerpo para recuperar su forma cuando cesa la acción del sistema de fuerzas externas. Si el cuerpo recupera exactamente su forma inicial se dice que es un cuerpo perfectamente elástico, e indica que el trabajo de las fuerzas externas durante la deformación del cuerpo se transformará totalmente en energía de deformación. (Se desprecia la pérdida de energía por cambio de temperatura del cuerpo, por ser cantidad pequeña).
Considerándose una barra elástica de sección transversal A y longitud L, sujeta a una carga axial P, aplicada gradualmente, como se muestra en la figura 3.
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ING. RONALD SANTANA TAPIA
Sabemos:
El trabajo externo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
El trabajo de la deformación elástica corresponde al área sombreada del triángulo mostrado, es decir, está representado por el área bajo la recta.
En el caso de la elasticidad no lineal, la energía de deformación es el área bajo la curva.
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN EN BARRAS
CASO I: Debido al esfuerzo normal
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ING. RONALD SANTANA TAPIA
Como:
(2) en (1):
(A.L) = Representa un volumen que se puede considerar unitario, obteniéndose
el llamado TRABAJO ESPECÍFICO DE DEFORMACIÓN , es decir, la
energía de deformación almacenada en la unidad de volumen.
Como:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
De la energía especifica de deformación:
(3) en (4):
A. EFECTO DE FUERZA NORMAL
en (5):
Como N, E, A son constantes en una sección transversal.
Además:
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ING. RONALD SANTANA TAPIA
En (6):
B. EFECTO DE MOMENTO FLEXIONANTE
En (5)
Como M, E, I son constantes en una sección y
Además:
En (7)
CASO II: Debido al esfuerzo cortante
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
Sabemos:
Considerando: dx.dy.dz = 1, volumen unitario, se obtiene el TRABAJO
ESPECÍFICO DE DEFORMACIÓN debido a esfuerzo de corte.
ENERGÍA ESPECÍFICA DE DEFORMACION DEBIDA A ESFUERZO DE CORTE
Como:
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ING. RONALD SANTANA TAPIA
De la energía específica de deformación:
(4) en (5):
A. EFECTO DE FUERZA CORTANTE
En (6)
Como: V, G, A son constantes y además:
(*) Factor o coeficiente de forma (solo depende de la forma de la sección transversal)
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
En (7)
K = 1.2, Para secciones rectangulares y triangulares
K = 10/9, Para secciones circulares.
(*) TRABAJO DE DEFORMACIÓN POR FUERZA CORTANTE
B. EFECTO DE MOMENTO TORSIONANTE
Considerando sección circular:
En (6)
Como: son constantes y además:
En (8)
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ING. RONALD SANTANA TAPIA
(*)TRABAJO DE DEFORMACIÓN POR MOMENTO TORSIONANTE
Aplicando el Principio de Superposición de Causas y Efectos a fin de considerarse los 4 efectos simultáneamente en a barra; además como un sistema estructural esta compuesto de varios elementos Aplicando la sumatoria, se obtiene la energía interna a trabajo interno debido a la deformación elástica.
En donde:
El trabajo de la deformación elástica debido a:
- FUERZA AXIAL (Tracción o Compresión):
- MOMENTO FLEXIONANTE:
- MOMENTO TORSOR:
FACTOR DE FORMA “K”
El coeficiente de forma o factor de forma “K” de la sección transversal de un elementos, esta dado por la siguiente expresión:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
En donde:
Q = A.d ; Momento elástico
I = Momento de Inercia
t = Ancho de la sección
A = Área de la sección
K = 6/5 = 1.2 : Para secciones rectangulares
K = 10/9 : Para secciones circulares
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K = 1 : Para secciones I
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
PROBLEMA Nº 01
Determinar el trabajo de la deformación elástica de la viga en cantiléver
SOLUCIÓN:
En esta estructura se presentan los efectos de flexión y corte, por lo tanto:
1.º. Cálculo de las fuerzas internas
TRAMO AB:
2.º. Cálculo de la “
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PROBLEMA Nº 02
Calcular el trabajo de la deformación elástica para la viga de sección constante.
SOLUCIÓN:
1.º. Cálculo de las fuerzas internas
TRAMO AB:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
TRAMO CB:
2.º. Cálculo de la “ :
En (1):
PROBLEMA Nº 03
Encontrar el trabajo de la deformación elástica por todo concepto de la estructura en arco de circunferencia. La sección es única y tiene radio (r = 0.05R), usar G=0.4E
SOLUCIÓN
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TRAMO BA:
Además:
En (1):
A.
OJO:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
B.
OJO:
C.
OJO:
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Reemplazando las expresiones encontradas:
PORCENTAJE DE PARTICIPACIÓN:
La influencia del cortante y del normal son insignificantes en relación a la flexión, por consiguiente se pueden despreciar.
PROBLEMA Nº 04
Para la estructura que se muestra, hecha de una varilla maciza de diámetro (d =0.1a), siendo G = 2 E/S, determinar el trabajo de la deformación elástica considerando todos los efectos.
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
SOLUCIÓN:
1.º. Cálculo de las fuerzas internas:
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TRAMO AB:
Plano: XZ
TRAMO BC:
TRAMO CD:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
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2.º. Cálculo de la energía interna
POR FLEXIÓN:
POR CORTE:
POR CARGA AXIAL:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
POR TORSIÓN:
PORCENTAJE DE PARTICIPACIÓN:
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PROBLEMA Nº 05
Hallar:
SOLUCIÓN:
TRAMO AB:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
PROBLEMA Nº 06
Considerando solo el efecto de flexión (EI=cte), calcular la energía de deformación elástica acumulada en la estructura.
SOLUCIÓN:
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1.º. Reacciones:
2.º. Acciones Internas
TRAMO AB:
TRAMO CB:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
3.º. Energía de deformación
PROBLEMA Nº 07
La barra ABC de sección circular esta doblada según la recta AB y el cuadrante de circunferencia BC, si esta fija en A y libre en C, hallar la Energía de Deformación Elástica al actuar una carga “P” en C, perpendicular al plano de la barra. Considerar los efectos de deformación por flexión y torsión (J = 2 I, G = 0.40 E).
SOLUCIÓN:
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TRAMO CB:
TRAMO BA:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS
PROBLEMA Nº 08
Solo efectos de flexión
EI = cte.
TRAMO DC:
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TRAMO CB:
TRAMO BA:
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MÉTODOS ENERGÉTICOS Y MÉTODOS CLÁSICOS