Post on 13-Jul-2015
objetivos:
• Clasificar Cuadriláteros.
• Identificar las propiedades de los paralelógramos.
• Aplicar las propiedades de los paralelógramos en la resolución de ejercicios.
• Identificar las propiedades de cada tipo de trapecio y trapezoide.
• Aplicar las propiedades de los Cuadriláteros en la resolución de ejercicios.
1. Cuadriláteros
1.1 Definición
Además, la suma de sus ángulos interiores es 360°.
α, β, γ , δ : ángulos interiores.
α + β + γ + δ = 360°
α´, β´, γ´ , δ´ : ángulos exteriores.
α´+ β´+ γ´+ δ´ = 360°
A, B, C y D: Vértices del cuadrilátero.
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y cuatro ángulos exteriores.
AB, BC, CD y DA: Lados del cuadrilátero.
CUADRILÁTEROS
PARALELÓGRAMOS TRAPECIOS TRAPEZOIDES
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
Trap. Isósceles
Trap. Rectángulo
Trap. Escaleno
Trap. Simétrico o Deltoide
Trap. Asimétrico
1.2 ClasificaciónDe acuerdo al paralelismo de sus lados, podemos clasificar los cuadriláteros en:
1. Paralelógramos: tienen dos pares de lados paralelos.
Cuadrado
Rectángulo Rombo
Romboide
2. Trapecios: tienen un par de lados paralelos.
Trap. rectángulo Trap. isósceles Trap. escaleno
3. Trapezoides: son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos.
Trapezoide simétrico o deltoide
Trapezoide asimétrico
A
D C
B
2. Paralelógramos
2.1 Características generales
• Lados opuestos paralelos
• Lados opuestos iguales
• Ángulos opuestos iguales y ángulos consecutivos suplementarios.
Ejemplo:12 cm
12 cm
6 cm6 cmAB // DC y AD // BC
AB = DC y AD = BC
ABCD, romboide.
• Las diagonales se dimidian
2.2 Cuadrado• 4 lados iguales
• 4 ángulos interiores iguales a 90°
• diagonal = lado ∙ 2
d
a
a a
a
d = a 2
• Área = (lado)2
Área = a2
Área = d2
2
• Área = (diagonal)2
2
• Perímetro = 4a
Propiedades de las diagonales:
• Son iguales: AC = BD
• Se dimidian: AE = EC = DE = EB
Ejercicios de aplicación:
1. Determinar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.
Solución:
Área = (10)2
2
Área = 50 cm2
Como Área = (diagonal)2
2⇒
⇒
• Son bisectrices
• Son perpendiculares: AC BD
diagonal = lado ∙ 2
2. Determinar la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 3 cm. 2
Solución:
⇒ diagonal = 3 ∙ 2 2 cm
⇒ diagonal = 3 ∙ 2 cm
⇒ diagonal = 6 cm
2.3 Rectángulo• 2 pares de lados iguales
• 4 ángulos interiores iguales a 90°
(Por teorema de Pitágoras)• diagonal(d) = (largo)2 + (ancho)2
d = a2 + b2
• Área = largo ∙ ancho
A = a∙b
• Perímetro = suma de sus 4 lados
P = 2(a + b)
Propiedades de las diagonales:
• Son iguales: AC = BD
• Se dimidian: AE = EC = DE = EB
Ejercicios de aplicación:
1. Determinar diagonal de una rectángulo de lados 5 cm y 12 cm.
Solución:
d = 52 + 122
diagonal(d) = (largo)2 + (ancho)2
⇒
⇒ d = 25 + 144
⇒ d = 169
⇒ d = 13 cm
2. Determinar el perímetro de la zona achurada del rectángulo
Por las características de la zona achurada, su perímetro es igual al perímetro del rectángulo.
ABCD de la figura.
Solución:
Luego, el perímetro de la zona achurada es:
P = 2( 21 + 12) cm
P = 2·(33) cm
P = 66 cm
2.4 Rombo• 4 lados iguales
• ángulos opuestos iguales
• Área = lado ∙ altura
• Área = producto de diagonales
2
Área = d1 ∙ d2
2
Área = a ∙ h
P = 4a
• Perímetro = suma de sus 4 lados
Propiedades de las diagonales
• Son bisectrices.
• Se dimidian: AE = EC y DE = EB
Ejemplo:
• Son perpendiculares: AC BD⊥
2.5 Romboide• 2 pares de lados iguales
• Ángulos opuestos iguales
• Área = base ∙ altura
P = 2a + 2b
• Perímetro = suma de sus 4 lados
Área = a ∙ h
1. Trapecios
1.1 Características Generales
M N
A B
CD
• Mediana (MN): Trazo que une los puntos medios de los
lados NO paralelos.
• Un par de lados paralelos, llamados bases (AB//DC)
MN = AB + DC
2
AB // DC // MN
E
CD
M N
A B
h
• El área del trapecio corresponde a la semisuma de sus bases, por la altura:
Área = Mediana ∙ alturaó
Altura = DE = h
• La mediana MN, dimidia a la altura h.
Área = (AB + DC) ∙ h
2
1.2 Trapecio isósceles
• Lados no paralelos iguales: AD = BC
• Ángulos basales iguales.
• Diagonales iguales: AC = BD
• Al trazar las alturas desde los vértices superiores, se forman en ambos extremos del trapecio dos
triángulos rectángulos congruentes:
AF = EB
• AB//CD
AFD = BEC~
Ejercicio de aplicación:
1. Determinar el área del trapecio isósceles ABCD.
Solución:
Al trazar las alturas desde los vértices superiores, seforman los triángulos rectángulos AED y BFC de ángulos: 30°, 60° y 90°.
Además, como el trapecio es isósceles, AE=FB.
h
1.3 Trapecio Rectángulo
• Tiene 2 ángulos rectos
• α + β = 180°
E
• AB//DC
• DA: altura del trapecio (DA = CE = h)
Ejercicios de aplicación:
Solución:
MN = 12 + 10
2MN = 11
11
1. En el trapecio ABCD de la figura, MN es mediana. Determinar la razón entre el área del trapecio MNCD y
el área del trapecio ABNM.
MN = AB + DC
2
Si MN es mediana, entonces:
ÁreaABNM =(AB + MN) ∙ h2
2
Luego, la razón (división) entre las áreas de los trapecios es:
La mediana dimidia a la altura, entonces h1 = h2.
ÁreaMNCD
ÁreaABNM
=
(11 + 10) ∙ h1
2
= 21 ∙ h1
2
=
(12 + 11) ∙ h2
2
= 23 ∙ h2
2
=
21∙h1
2
23∙h2
2
=21
23
ÁreaMNCD =(MN + CD) ∙ h1
2
2. Trapezoides
2.1 Características Generales• No tienen lados paralelos.
Tipos de Trapezoides:
Asimétrico
Simétrico (Deltoide)
2.2 Trapezoide Simétrico (Deltoide)
• Está formado por 2 triángulos isósceles con base común:
• El área se puede calcular como:
ADC y ABC, triángulos isósceles de base AC
• Las diagonales son perpendiculares: AC DB⊥
Área = (AC ∙ DB)
2
• La diagonal DB dimidia a la diagonal AC (AE = EC)
• La diagonal DB es bisectriz del ángulo ADC y del ángulo CBA.
Ejercicio de aplicación:
Solución:
Luego, x= 35°.
1. En el trapezoide simétrico ABCD de la figura, BD es base. Determinar la medida del ángulo x.
Los triángulos BAD y BCD son isósceles de base BD.
Además, las diagonales son perpendiculares y AC: bisectriz del ángulo DCB.