Coordenades intrínseques

Àngel VillalbaIES Salvador Espriu (BCN)

Coordenades intrínseques

Fa referència a un sistema de coordenades que “viatja” amb el mòbil.Un eix és sempre tangent a la trajectòria (té per vector unitari )L’altre eix és perpendicular a la trajectòria i dirigit cap al centre de curvatura (té per vector unitari )

Vectors unitaris intrínsecs (I)

En el sistema de coordenades intrínseques, utilitzarem dos vectors unitaris:

Vector unitari tangent a la trajectòria

Vector unitari normal (perpendicular) a la trajectòria i dirigit cap el centre de la corba

Vectors unitaris intrínsecs (II)

Recordeu que ara el sistema de coordenades “viatja” amb el mòbil...

Vectors unitaris intrínsecs (III)

Per últim, veiem com s’escriuen aquests vectors en coordenades cartesianes:

ji

ji

cossin

sincos

VelocitatDe la definició de velocitat, multiplicant i dividint per ds:

··· v

dt

ds

ds

rd

dt

ds

dt

rdv

Ja que “en el límit” coincideix el valor de dr i ds...El primer terme (v=ds/dt) és doncs el mòdul de la velocitat (s’anomena celeritat).El segon terme () és el vector unitari tangent a la trajectòria...fes clic sobre l’enllaç si vols veure una explicació...

Acceleració (I)

Per obtenir l’acceleració, derivem l’expressió anterior....

dt

dv

dt

dv

dt

vd

dt

vda

··)·(

El primer terme és la derivada del mòdul de la velocitat respecte el temps i és tangent a la trajectòria. S’anomena acceleració tangencial.

Acceleració (II)

El segon terme....

dt

dv

·

???

Acceleració (III)

Per calculardt

dhem de tenir en conte

que... dRds ·...per

tant...dt

dR

dt

ds ·

dt

dsv

i com...llavors...

R

v

dt

d

Acceleració (IV)

Fem ara

ji

ji

cossin

sincos

dt

d

dt

dji

dt

d

jdt

di

dt

d

dt

d

··cossin

·cos·sin

recordant l’expressió dels vectors unitaris en coordenades cartesianes...

dt

d

Acceleració (V)

Ja podem calcular dt

dv

·

Per lo vist a Acceleració (IV)...

·····dt

dv

dt

dv

dt

dv

Per lo vist a Acceleració (III)...

·····

2

R

v

R

vv

dt

dv

Acceleració (VI)

Així doncs, l’expressió de l’acceleració queda:

··

2

R

v

dt

dva

Acceleració tangencial

Acceleració normal (o centrípeta)

Acceleració (VII)L’acceleració tangencial mesura el canvi en el mòdul de la velocitat (p.ex. de 2 m/s a 3 m/s)L’acceleració normal mesura el canvi en la direcció de la velocitatSempre es compleix que:

222nt aaa

R i s en el límit...