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8/8/2019 Control automàtico informe final
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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE
CHIMBORAZO
FACULTAD DE INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
CARRERA DE CONTROL Y REDES INDUSTRIALES
TEMA: TRANSFORMACIÓN DE CONTORNOS EN EL PLANO s Y TEOREMA
DE NYQUIST
Profesor: Ing. Pedro Infante
Fecha: 2010-06-07
Semestre: Sexto A Control
Integrantes:
Sofía Asadobay 245820
Liliana Caiza 245824
Magaly Olivo 245963
Katherine Castro 245848
José Luis Cortés 245854
Carlos Ruiz 245835
Leonardo Asqui 245830
José Tonato 245177
Cristian Toalombo 245597
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OBJ ¡
¢ VOS
a) General
y Analizar la estabilidad de un sistema de control de lazo cerrado en el
dominio de la f recuencia.
b) Específicos
y Establecer los pasos requeridos para la transformación de los contornos
en el plano s y su debida aplicación en el análisis del criterio de Nyquist.
y Encontrar el contorno de Nyquist aplicando los criterios determinado en
el teorema para llevar un sistema a la estabilidad.
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¤
ODUCCIÓN
La determinación de la estabilidad de un sistema de control es de vital importa ncia en
el diseño y análisis del mismo. En el caso de que sea estable, f recuentemente es necesario determinar la estabilidad relativa, que puede definirse como la propiedad
medida por la parte real relativa de cada raíz o par de raíces de la ecuación
caracterí stica; es decir, depende de la localización de las raíces que pueden hallarse
por el Método del lugar de las raíces o el criterio de Routh-Hurwitz, que establece con
relativa facilidad la estabilidad relativa pero su aplicación es muy lenta, ya q ue
requiere un empleo repetido del mismo.
Anteriormente, se ha descrito la respuesta y el funcionamiento de un sistema en
términos de la variable compleja s=+j y la localización de polos y ceros en el plano s ¥
Un camino alternativo muy práctico en el análisis de un sistema es el método de
respuesta en f recuencia. La respuesta en f recuencia de un sistema representa la
respuesta en estado estacionario a una entrada senoidal y proporciona suficiente
información para determinar la Estabilidad Relativa, dado que la respuesta de
f recuencia de un sistema puede obtenerse f ácilmente por medios experimentales
excitando el sistema con señales de entrada sinusoidales, se puede utilizar para
investigar la estabilidad relativa del sistema cuando los valores de los parámetros no
se han determinado, también es posible obtener la función de transf erencia de un
sistema con una señal de entrada Escalón, pero a dif erencia de la señal senoidal, la
obtención es más compleja.
Sería útil un criterio de la estabilidad para determinar el enfoque adecuado que
permita modificar un sistema con el ob jeto de aumentar su Estabilidad Relativa.
H. Nyquist desarrolló un criterio de caracterí sticas semejantes, que se mantiene como
un método fundamental para el análisis de la estabilidad, que presenta varias venta jas
a los anteriores métodos ya que proporciona información sobre la estabilidad tanto
absoluta como relativa del sistema, sin la necesidad de calcular las raíces.
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Dic ¦ § criterio se basa e ̈ la teor© a de la función de variable compleja.El Teorema de
Cauc¦ y está relacionado con la transformación de los contornos en el plano s
complejo.
Para determinar la estabilidad relativa de un sistema de lazo cerrado, se debe
investigar la ecuación caracter©
stica del sistema.
F(s)=1+L(s)=0
Para el siguiente sistema de control con lazo único
L(s)=G(s)H(s)
Para un sistema de lazos múltiples, la ecuación caracter© stica es:
Donde es el determinante. L(s) es una función racional de s. Para garantizar la
estabilidad, se debe estar seguro de que todos los ceros de F(s) caigan en la parte
izquierda del plano s. Para investigar esto Nyquist propuso una transformación de la
parte derec¦
a del plano s en el plano F(s).
TRANSFORMACIÒN DE LOS CONTORNOS EN EL PLANO s
Se trata de la transformación o traslado de un contorno del plano s a otro a través de
la relación F(s). Entonces se tiene que dado ques es una variable compleja denotada
por s=+ j, la función F(s) es por sí misma compleja y se puede determinar por
F(s)=u+jv, representándose en un plano F(s) de coordenadas u y v.
F(s)=2s + 1
F(s)= u+jv
F(s)= u + jv = 2s + 1 = 2(+ j) + 1
u + jv= 2 + 2 j+ 1
u=2 + 1
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jv = 2 j v= 2
unción Punto A Punto B Punto C Punto D
s=+ j 1+j1 1 1-j1 -j1 -1-j1 -1 -1 j1
F(s)=2s + 1 3+j2 3 3-j2 1-j2 -1-j2 -1 -1+j2 1+2j
Del ejemplo anterior, se ha transformado el contorno por medio de F(s) en otro de idéntica
forma, un cuadrado, con el centro desplazado en una unidad y la magnitud del lado
multiplicada por dos. En particular, éste tipo de transformación mantiene los ángulos del
contorno del plano s en el plano F(s) y se lo conoce como transformación conforme.
Es importante notar que un contorno cerrado en el planos da como resultado un contorno
cerrado en el plano F(s).
Puede indicarse el recorrido de la dirección del contorno del planos por la dirección ABCD, y las flechas mostradas en el contorno. El plano F(s) presenta un recorrido semejante a medida
que se gira en el orden ABCD. Donde se deriva que el recorrido de un contorno en el sentido
del movimiento de las manecillas del relo j es positivo y la superficie cerrada dentro del
contorno está a la derecha.
Teor ema de Cauchy:
Si un contorno s en el plano s rodea Z ceros y P polos de F(s) y no pasa a tr avés de
ningún polo o cero de F(s) cuando el r ecorrido es en la dir ección del movimiento del
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EJEMPLOS
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LA ESTABILIDAD DE NYQUIST
El criterio de la estabilidad de Nyquist determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado a
partir de la respuesta en f recuencia en lazo abierto y los polos en lazo abierto. Para lo cual
utilizaremos la función de transf erencia en lazo cerrado:
Y(s) = G(s)R(s) 1+G(s)H(s)
Para la estabilidad, todas las raí ces de la ecuación característica:
1 + G(s)H(s) = O
Deben estar en el semiplano izquierdo del plano s. [Se debe se
alar que, aunque los polos y
ceros de la función de transf erencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano
derecho del plano s, el sistema sólo es estable si todos los polos de la función de transf erencia
en lazo cerrado (es decir, las raí ces de la ecuación característica) están en el semiplano
izquierdo del plano s].
El criterio de Nyquist se relaciona con la transformación de la ecuación característica y el
número de rodeos del origen del plano F(s). De manera alternativa se puede definir la función:
F(s)=F(s)-1=G(s)H(s)=L(s)
Entonces la transformación de s en el plano s se hará a través de la función F(s)=L(s) en elplano F(s). En este caso el número de rodeos en el origen del plano F(s) en el sentido del
movimiento del relo j será igual al número de rodeos en el mismo sentido del punto-1+j0.
El criterio de Nyquist permite determinar la estabilidad de un sistema a lazo cerrado
empleando información a lazo abierto.
El criterio de Routh-Hurwitz también hace algo parecido, pero es bastante complicado
utilizarlo para dise ar un sistema a lazo cerrado, ya que no se tiene información del margen de
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Un sistema de control realimentado es estable si, y solo si para el contorno L el
número de rodeos del punto -1+j0 en el sentido contrario al movimiento del relo j es
igual al número de polos de L s) con partes reales positivas. Esto sucede cuando el
número de polos de L s) en la parte derecha del plano s es dif erente de cero.
Análisis De Est bilid d
Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad
de Nyquist, se observa que se pueden presentar tres casos.
1. El punto -1 + j0 no está rodeado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos
de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es
inestable.
2. El punto -1 + j0 queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al de las agu jas
del relo j. En este caso, el sistema es estable si el número de rodeos en sentido
contrario al de las agu jas del relo j es igual al número de polos G(s)H(s) en el semiplano
derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable.
3. El punto -1 + J0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agu jas del relo j.
En este caso el sistema es inestable.
Al unos det lles i po t ntes
Para la aplicación del criterio de Nyquists debemos tener en cuenta lo siguiente!
y Cuando tenemos un polo o cero en el origen tenemos lasiguiente igualdad para realizar el
cambio de plano y poder determinar la nueva grafica: s ; y luego aplicar el limite
cuando tiende a cero
y Cuando queremos obtener la linea que une + y - utilizamos la siguiente igualdad para
realizar la tranformacion de plano: s ; y luego aplicar el limite cuando tiende a
infinito.
y Para facilitar la glos datos para la grafica de 0+ a +, se puede ayudar de la siguiente tabla,
con los pasos indicados a continuación:
Conociendo la función transf erencia de lazo abierto G(s) o G(s) H(s), para trazar el
diagrama polar directo, es conveniente realizar algunas consideraciones particulares que
facilitan el trazado y lo ponen en escala.
Conocida G(s), es necesario:
a) Calcular , lo cual lo podemos realizar mediante
racionalización, o por el método que sea necesario.
b) Calcular los puntos singulares, que corresponden a los valores mostrados en la tabla de la
siguiente figura:
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Una vez calculados los valores indicados(con signo de pregunta ) en la tabla de la anterior se
tendrán cuatro puntos en el diagrama polar que permitirán trazar a mano alzada el
gráfico G (j" ). La primera columna de la tabla da el punto de comienzo del gráfico polar
(para f recuencia cero). La segunda columna da el punto de finalización del gráfico polar
(para f recuencia infinita).La tercer columna da la f recuencia y el valor del punto de cruce del
diagrama polar con el eje imaginario. La cuarta columna da la f recuencia y el valor del punto
de cruce del diagrama polar con el eje real.
c) Con los cuatro valores calculados en (b) se puede obtener una razonable aproximación
al diagrama polar. Si fuese necesario habrá que obtener el valor de G (j"
) para algunas
f recuencias adicionales (En general no hará falta).
Una vez calculado esto, para el intervalo de -0 a - no hará falta hacer los cálculos, ya que es
simplemente el conjugado del anterior.
CONCLUSIONES
Si se compara los procedimientos existentes para el cálculo de la estabilidad
relativa de sistemas, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la
f recuencia, podemos decir que elC
riterio de Routh es de aplicación lenta yrepetitiva, el Método del Lugar de las raíces proporciona además de la
estabilidad la respuesta transitoria pero en sistemas de alto orden su aplicación
es tediosa, sin embargo el criterio de Nyquist proporciona información sobre la
estabilidad sin la necesidad de hallar las raíces.
Todos los ceros de F(s# deben caer en la parte izquierda del plano s para
garantizar la estabilidad, para lograrlo el Criterio de propone una
transformación de la parte derecha del plano s en el plano F(s).
Una transformación conforme es aquella donde al trasladar un contorno del plano s al
F(s) se mantienen los ángulos de mismo. La funciòn F(s) es compleja, de coordenada u
y jv. El criterio de Nyquist se establece para dos casos específicos: cuando el número de
polos de L(s) en la parte derecha del plano s es igual a cero y cuando no lo es.
Se conoce a la trayectoria de Nyquist como un contorno cerrado en el plano s que
encierra todo el semiplano derecho formado por el eje jw completo desde w = - a +
, y una trayectoria semicircular de radio infinito.
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Biblio$
%
& fí & :
y DORF, RICHARD C. y BISHOP, ROBERT H. Sistemas de cont' ol moderno (10ª ED.)
y KATSUHIKO OGATA, Ingeniería de control moderna, 3ra edición
y A.M. MARIANI, Criterio de Estabilidad de Nyquist- Aplicación al análisis de la Estabilidad
de Sistemas de Control continuos y LTI, UTN-FRBA, año 2007